||

Calculo
Diferencial
Actividad 2

Nombre: Gerardo Rafael Galván Leos

Matricula: 14270
Fecha: 20/05/2019
1) 𝑓(𝑥) = 4

𝑓(𝑥) = 4 𝑑𝑦 𝑑(4)
=
𝑑𝑥 𝑥

𝒅𝒚
=𝟎
𝒅𝒙

2) 𝑓(𝑥) = −4

𝑓(𝑥) = −4 𝑑𝑦 𝑑(−4)
=
𝑑𝑥 𝑥

𝒅𝒚
=𝟎
𝒅𝒙

3) 𝑓(𝑥) = 6𝑥

𝑓(𝑥) = 6𝑥 𝑑𝑦
= 6𝑥 6−1 𝑑𝑥
𝑑𝑥

𝒅𝒚
= 𝟔𝒙𝟓
𝒅𝒙

4) 𝑓(𝑥) = −6𝑥

𝑓(𝑥) = −6𝑥 𝑑𝑦
= −6𝑥 −6−1 𝑑𝑥
𝑑𝑥

𝒅𝒚
= 𝟔𝒙−𝟕
𝒅𝒙

5) 4
𝑓(𝑥) = 𝑥
3
4
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝒅𝒚
3 =𝟎
𝒅𝒙

6) 4
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2
3
4
𝑓(𝑥) = 𝑥+2 𝑑𝑦 4 ∗ 1
3 = +0
𝑑𝑥 3

7) 4
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥
3
4
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑦 4
3 = (2)𝑥 2−1 + 2𝑥
𝑑𝑥 3
 𝑑𝑦 8
= 𝑥 + 2𝑥
𝑑𝑥 3

𝑑𝑦 10
= ∗1
𝑑𝑥 3

𝒅𝒚 𝟏𝟎
=
𝒅𝒙 𝟑

8) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑑𝑦
= 2𝑥 2−1 𝑑𝑥
𝑑𝑥

𝒅𝒚
= 𝟐𝒙
𝒅𝒙

9) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2

𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 𝑑𝑦
= 3 ∗ 2𝑥 2−1 𝑑𝑥
𝑑𝑥

𝒅𝒚
= 𝟔𝒙
𝒅𝒙

10) 𝑓(𝑥) = 𝑥 −3

𝑓(𝑥) = 𝑥 −3 𝑑𝑦
= −3𝑥 −3−1
𝑑𝑥

𝒅𝒚
= −𝟑𝒙−𝟒
𝒅𝒙

11) 3 3
𝑓(𝑥) = (3𝑥 − )
2
3 3
𝑓(𝑥) = (3𝑥 − ) 3 3−1
2
𝑓(𝑥) = 3 (3𝑥 − ) (3)
2

𝟑 𝟐
𝒇′(𝒙) = 𝟗 (𝟑𝒙 − )
𝟐

12) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 3

𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 3 𝑑𝑦
= (3𝑥 + 3)1/2
𝑑𝑥

𝑑𝑦 1
= (3𝑥 + 3)−1/2 ∗ (3)
𝑑𝑥 2

𝑑𝑦 3
=
𝑑𝑥 2 ∗ (3𝑥 + 3)1/2
 𝒅𝒚 𝟑
=
𝒅𝒙 𝟐√𝟑𝒙 + 𝟑

13) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 3

3
𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 3 𝑑𝑦
= (3𝑥 + 3)1/3
𝑑𝑥

𝑑𝑦 1
= (3𝑥 + 3)−2/3 ∗ (3)
𝑑𝑥 2

𝑑𝑦 3
=
𝑑𝑥 2 ∗ (3𝑥 + 3)2/3

𝒅𝒚 𝟑
= √(𝟑𝒙 + 𝟑)²
𝒅𝒙

14) 1 1 1
𝑓(𝑥) = = 1 = 𝑥 −2
√𝑥 𝑥2
1
𝑓(𝑥) =
√𝑥 1 1
𝑓′(𝑥) = − 𝑥 −2−1
2
1 3
𝑓′(𝑥) = − 𝑥 −2
2
1
𝑓′(𝑥) − 3
2𝑥 2
𝟏
𝒇′(𝒙) =
𝟐√𝒙𝟑

15) 1 1 1
𝑓(𝑥) = = 1 = 𝑥 −3
√𝑥 𝑥3
1
𝑓(𝑥) = 3
√𝑥 1 1
𝑓′(𝑥) = − 𝑥 −3−1
3
1 4
𝑓′(𝑥) = − 𝑥 −3
3
1
𝑓′(𝑥) − 4
3𝑥 3
𝟏
𝒇′(𝒙) = 𝟑
𝟑 √𝒙𝟒
 I. Obtener la derivada de las funciones del 1 al 10 aplicando las reglas de
derivación para:
 Una suma
 Una constante por una función
 De un producto
 De un cociente

1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 6𝑥 + 3

𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 6𝑥 + 3 𝒇′(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟔

2) 𝑓(𝑥) = −4𝑥 3 − 8𝑥 2 + 1

𝑓(𝑥) = −4𝑥 3 − 8𝑥 2 + 1 𝒇′(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝟏𝟔𝒙

3) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5𝑥 + 6

𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 5𝑥 + 6 𝒇′(𝒙) = 𝟗𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓

4) P S

𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 2)(𝑥 4 + 7𝑥) 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 2)(𝑥 4 + 7𝑥)

𝑃′ = 2𝑥 𝑆′ = 4𝑋 + 7

𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 2)(4𝑥 3 + 7) + (𝑥 4 7𝑥)(2𝑥)

𝑓(𝑥) = 4𝑥 5 + 7𝑥 2 + 8𝑥 3 + 14 + 2𝑥 5 + 14𝑥 2

𝒇′(𝒙) = 𝟔𝒙𝟓 + 𝟖𝒙𝟑 + 𝟐𝟏𝒙𝟐 + 𝟏𝟒

5) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2𝑥)(𝑥 + 4𝑥)

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2𝑥)(𝑥 + 4𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 2 + 2𝑥 2 + 8𝑥²

𝑓(𝑥) = 15𝑥²

𝒇′(𝒙) = 𝟑𝟎𝒙

6) 2𝑥 3 + 𝑥 + 4 𝑢′ = 6𝑥 2 + 1
𝑓(𝑥) =
6𝑥 2 + 1 𝑣′ = 12𝑥
2𝑥 3 + 𝑥 + 4
𝑓(𝑥) = (6𝑥 2 + 1)(6𝑥 2 + 1) − (2𝑥 3 + 𝑥 + 4)(12𝑥)
6𝑥 2 + 1
𝑓′(𝑥) =
(6𝑥 2 + 1)²

36𝑥4 + 6𝑥2 + 6𝑥2 + 1 − (24𝑥4 + 12𝑥2 + 48𝑥)

𝑓′(𝑥) =
(6𝑥2 + 1)²

36𝑥4 + 6𝑥2 + 6𝑥2 + 1 − 24𝑥4 − 12𝑥2 − 48𝑥

𝑓′(𝑥) =
(6𝑥2 + 1)2
 𝟏𝟐𝒙𝟒 − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟏
𝒇′(𝒙) =
(𝟔𝒙𝟐 + 𝟏)²

7) 7𝑥 3 + 2𝑥 2 + 4𝑥
𝑓(𝑥) =
8𝑥 2
7𝑥 3 + 2𝑥 2 + 4𝑥
𝑓(𝑥) = (8𝑥 2 ))21
8𝑥 2 𝑓′(𝑥) =
8𝑥 2

7𝑥 3 + 2𝑥 2 + 4𝑥
𝑓′(𝑥) =
8𝑥 2

7𝑥 3 + 2𝑥 2 + 4𝑥
𝑓′(𝑥) =
8𝑥 2

𝟕𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙
𝒇′(𝒙) =
𝟖𝒙𝟐

8) 2
𝑓(𝑥) =
√𝑥
2
𝑓(𝑥) = −1
√𝑥 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 2

1 −3
𝑓′(𝑥) = 2 𝑥 2
2

2(−1)
𝑓′(𝑥) = 3
𝑥2
−𝟐
𝒇′(𝒙) =
√ 𝑥3

9) √𝑥 − 1
𝑓(𝑥) =
𝑥+1
√𝑥 − 1
𝑓(𝑥) =
𝑥+1 (√𝑥 − 1)(𝑥 + 1) − ( √𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑓′(𝑥) =
(𝑥 + 1)²

1
∗ (𝑥 + 1) − ( √𝑥 − 1)
2 −1
𝑓′(𝑥) = √𝑥
(𝑥 + 1)²

𝑥+1
− ( √𝑥 − 1)
2 −1
𝑓′(𝑥) = √𝑥
(𝑥 + 1)²

𝑥 + 1 − 2√𝑥 − 1²
𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥) =
2√𝑥 − 1
(𝑥 + 1)²
 𝑥 + 1 − 2(𝑥 − 1)
𝑓′(𝑥) =
2√𝑥 − 1
(𝑥 + 1)²

𝑥 + 1 − 2𝑥 − 2
𝑓′(𝑥) =
2√𝑥 − 1
(𝑥 + 1)²

−𝑥 + 3
2 −1
𝑓′(𝑥) = √𝑥
(𝑥 + 1)²

−𝒙 + 𝟑
𝒇′(𝒙) =
𝟐√𝒙 − 𝟏 ∗ (𝒙 + 𝟏)²

10) 4
𝑓(𝑥) =
√𝑥
4
𝑓(𝑥) = −1
√𝑥 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2

1 −3
𝑓(𝑥) = 4 𝑥 2
2

4(−1)
𝑓′(𝑥) = 3
𝑥2
−𝟒
𝒇′(𝒙) =
√ 𝑥3

II. Obtener la derivada de las funciones del 1 al 5 aplicando las reglas de

derivación para:
 Funciones exponenciales

2 +1
1) 𝑓(𝑥) = 34𝑥
2 +1 2 +1
𝑓(𝑥) = 34𝑥 𝑓′(𝑥) = 34𝑥 ∗ 8𝑥
𝟐 +𝟏
𝒇′(𝒙) = 𝟖𝒙 ∗ 𝟑𝟒𝒙

2) 𝑓(𝑥) = 4√𝑥
2 −1

2 −1
𝑓(𝑥) = 4√𝑥 𝑓′(𝑥) = (√𝑥 2 − 1) ∗ 4√𝑥
2 −1
𝑙𝑛4

𝒙 𝟐 −𝟏
𝒇′(𝒙) = ∗ 𝟒√𝒙 𝒍𝒏𝟒
√𝒙𝟐 −𝟏
 1
3) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
1
−𝟏
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝒆𝒙
𝑓 ′(𝑥) = −
𝒙𝟐
𝟏
′(𝒙)
𝒆𝒙
𝒇 =−
𝒙𝟐

4)

𝑓(𝑥) = 𝑥 4 ∙ 𝑒 −5𝑥

5)

𝑒 2𝑥
𝑓(𝑥) =
√𝑥

III. Obtener la derivada de las funciones del 1 al 3 aplicando las reglas de

derivación para:
 Logaritmos

1)

𝑙𝑜𝑔2 (𝑥4 − 3𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥4 − 3𝑥)

1 𝑢′
𝑓 ′ (𝑥) = ∗
𝐿𝑛𝑎 𝑢
1 (4𝑥 3 − 3)
𝑓 ′ (𝑥) = ∗
𝐿𝑛2 (𝑥 4 − 3𝑥)

4𝑥 3 − 3
𝒇′ (𝒙) =
𝐿𝑛2(𝑥 4 − 3𝑥)

2)

𝑓(𝑥) = 𝑥 4 ∙ ln 𝑥

3)

𝑓(𝑥) = ln(2𝑥 3 + 𝑥)
 IV. Obtener la derivada de las funciones del 1 al 10 aplicando las reglas de
derivación para:
 Funciones trigonométricas

1)

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝒇′(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒙

2) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 ∗ 4

𝒇(𝒙) = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙

3) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 2

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 2 𝑓 ′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 ∗ 2𝑥

𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝒙𝟐

4) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 puede escribirse como 𝑓(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛𝑥)4 𝑓(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛𝑥)4

𝑓′(𝑥) = 4(𝑠𝑒𝑛𝑥)3 ∗ (𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝒇′(𝒙) = 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝒙

5)

𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑓(𝑥) =
8

6) 𝑓(𝑥) = cos(2𝑥 3 + 2𝑥 + 1)

𝑓(𝑥) = cos(2𝑥 3 + 2𝑥 + 1) 𝑓 ′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(2𝑥 3 + 2𝑥 + 1) ∗ (6𝑥 2 + 2)

𝒇′(𝒙) = −(𝟔𝒙𝟐 + 𝟐) 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟏)

7) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 𝒇′(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄²𝒙

8) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔√𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔√𝑥 1 1
𝑓 ′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 2√𝑥 ∗ 𝑥 −2
2

𝑠𝑒𝑐 2 √𝑥
𝒇′(𝒙) =
𝟐√𝒙
9) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 3𝑥 2

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 3𝑥 2 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐 2 3𝑥 2 ∗ 6𝑥

𝒇′(𝒙) = −𝟔𝒙 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝟑𝒙𝟐

10) 𝑓(𝑥) = sec 8𝑥

𝑓(𝑥) = sec 8𝑥 𝑓(𝑥) = sec 8𝑥 ∗ 𝑡𝑎𝑛8𝑥 ∗ 8

𝒇′(𝒙) = 𝟖𝒔𝒆𝒄 𝟖𝒙 ∗ 𝒕𝒂𝒏𝟖𝒙

V. Obtener la derivada de las funciones del 1 al 2 aplicando la regla de la

cadena:
1) 𝑓(𝑥) = (9𝑥 3 + 2𝑥 2 + 6𝑥 + 2)4

𝑓(𝑥) = (9𝑥 3 + 2𝑥 2 + 6𝑥 + 2)4 𝑓 ′ (𝑥) = 4(9𝑥 3 + 2𝑥 2 + 6𝑥 + 2)3 ∗ (27𝑥2 + 4𝑥 + 6)

𝒇′ (𝒙) = (𝟗𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟐)𝟑 ∗ (𝟏𝟎𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟐𝟒)

2)

3
𝑥2 − 1
𝑓(𝑥) = ( )
𝑥2 − 1

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