Scribd
Upload
44 views2 pages

9 5post

The document discusses several tests for determining whether a series converges or diverges, including: 1) The integral test, which relates a series to an integral test. If the integral converges, so does the series, and vice versa. 2) Examples of p-series and the harmonic series, which converge or diverge based on the value of p. 3) The direct comparison test and limit comparison test, which compare a series to other convergent or divergent series. 4) The alternating series test, which provides criteria for determining if an alternating series converges conditionally. Several series are then given and the reader is tasked with determining if they converge absolutely, conditionally, or diverge based on

Uploaded by

eperla
Copyright
© Attribution Non-Commercial (BY-NC)
We take content rights seriously. If you suspect this is your content, claim it here.
Available Formats
Download as PDF, TXT or read online on Scribd
44 views2 pages

9 5post

The document discusses several tests for determining whether a series converges or diverges, including: 1) The integral test, which relates a series to an integral test. If the integral converges, so does the series, and vice versa. 2) Examples of p-series and the harmonic series, which converge or diverge based on the value of p. 3) The direct comparison test and limit comparison test, which compare a series to other convergent or divergent series. 4) The alternating series test, which provides criteria for determining if an alternating series converges conditionally. Several series are then given and the reader is tasked with determining if they converge absolutely, conditionally, or diverge based on

Uploaded by

eperla
Copyright
© Attribution Non-Commercial (BY-NC)
We take content rights seriously. If you suspect this is your content, claim it here.
Available Formats
Download as PDF, TXT or read online on Scribd
You are on page 1/ 2

9.

5 Testing For Convergence

The Integral Test


Let ‚ an be a series with positive terms, and suppose that an = f HnL, where f is a continuous,
positive, decreasing function of x for all x ≥ N Hwhere N is some positive integerL. Then the series
• •

„ an and the integral ‡ f HxL dx either both converge or both diverge.


n=N N

The Harmonic Series


•

„ ÄÄÄÄÄÄ
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 1 + ÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄ + . . . + ÄÄÄÄÄÄ + . . . Diverges!
n 2 3 4 5 6 7 8 n
n=1

p - series
•

„ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ HaL Diverges for p £ 1 HbL Converges for p > 1


1
np
n=1

The Direct Comparison Test


Let ‚ an be a series with no negative terms
HaL ‚ an converges if there is a convergent series ‚ cn with an £ cn for all n > N, for some
integer N
HbL ‚ an diverges if there is a divergent series ‚ dn of nonnegative terms with an ≥ dn
for all n > N, for some integer N

The Limit Comparison Test


Let ‚ an and ‚ bn be series with positive terms

HaL if lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ where 0 < c < •, then ‚ an and ‚ bn either both converge or both diverge
an
= c,
n Æ • bn

HbL if lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ and ‚ bn converges, then ‚ an converges also


an
= 0
n Æ • bn

HcL if lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ and ‚ bn diverges, then ‚ an diverges also


an
= •
n Æ • bn

For problems 1 - 4, determine whether the series converges or diverges.


• •

1. „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2. „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
2n 4 n4 - 2 n3
Hn + 1L H2 n2 - nL H3 n + n2 L
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
1 + 22 n
n=0 n=1
• è!!!!!!
3 •

3. „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 4. „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
n2 + 2 1
n2 + 1 è!!!!!!!!!
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ!ÄÄÄ
n=1 n=2
n ln n

The Alternating Series Test

‚ H-1L
•
n+1
The series un = u1 - u2 + u3 - u4 + . . . converges if all three of the following conditions are satisfied
n=1

HaL each un is positive HbL un ≥ un + 1 for all n ≥ N, for some integer N HcL lim un = 0
nƕ

For problems 5 - 10, determine whether the series converges absolutely, converges conditionally,
or diverges. Justify your answer.
• •

5. „ H-1Ln + 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 6. „ H-1Ln ÄÄÄÄÄÄÄÄÄnÄÄÄÄ


1 n!
è!!!!!!!!!
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ!ÄÄÄ
10
n=1
n ln n n=1

• •

7. „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 8. „ H-1Ln + 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ


cos n n 3n
ÄÄÄÄ
n
4
ÄÄ3ÄÄÄ 5n
n=1 n=1

cos Hn pL
• •

9. „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 10. „ H-1Ln + 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄnÄ


1
è!!!! ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
Hln 2L
n=1
n n=1

You might also like