Week

 2  Exercises    
Solutions  

S3E1  
We  will  use  the  numbers:  R1  =1800,  R2  =  1000,  V1  =  10,  and  V2  =  -­‐3.3.  

The  procedures  of  node  analysis  are:  

1. Select  a  reference  node  as  the  ground.    In  this  case,  it  has  already  been  chosen  for  you.  

2. Label  voltages  of  the  remaining  nodes  with  respect  to  this  reference  ground:    In  this  case,  we  have  
V1,  -­‐V2,  and  e  (this  is  the  only  unknown).

3. Write  KCL  for  the  necessary  nodes.    In  this  case,  only  need  to  do  it  for  the  unknown  node  e.  
     a.  (e-­‐V1)/R1  +  (e-­‐(-­‐V2))/R2  =  0  -­‐-­‐>  (e-­‐v1)/R1  +  (e+V2)/R2  =    
             (e-­‐10)/1800  +  (e+(-­‐3.3)/1000  =  0

4. Solve  for  the  node  voltages  

     a. From  3.a,  the  solution  for  e  is  5.69  V.

5. Back  solve  for  branch  voltages  and  currents  if  any.    In  this  case,  there  is  no  other  voltages/currents  
that  need  to  be  solved.

 So,  in  summary,  you  just  need  to  define  the  unknown  node  voltage  e  and  then  use  KCL  at  node  e  with  
the  following  equation:  (e-­‐V1)/R1  +  (e+V2)/R2  =  0  -­‐-­‐>  (e-­‐10)/1800  +  (e+(-­‐3.3)/1000  =  0  and  you  will  get  
the  answer  for  e.

 Here’s  a  way  to  check  your  answer:  

From  the  positive  node  of  V1  to  the  negative  node  of  V2,  there  is  a  potential  drop  of  V1  +  V2  =  6.7  V,  
because  of  two  voltage  sources  in  series.    We  then  find  the  current  passing  through  the  resistors  by  
using  an  equivalent  resistor  (Req  =  R1  +  R2  =  2800),  and  using  V  =  IR  to  find  current  I  =  V/R  =  0.0024.    We  
then  find  the  voltage  drop  over  R1  to  be  V  =  IR  =  4.31.    This  is  the  drop  from  V1,  so  we  find  V1  –  V  =  10  -­‐  
4.31  =  5.69.  

S3E2  
1.  

KCL  at  center  node  at  top  of  the  circuit  

(V1-­‐V3  )/R1  +  (V2  -­‐V3  )/R2  –  V3  /R3  =  0  

V3    *  (1  /  R1  +  1  /  R2  +  1  /  R3)  =  V1/R1  +  V2  /R2  

And  solving  for  V3    yields  V3    =  V1  *  R2R3  /  (R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  +  V2*  R1R3  /  (R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  

Now  we  can  pick  out  a  and  b  by  inspection    

So  a1  =  R2R3/(R2R3  +  R1R2  +  R1R3)      and    a2  =  R1R3/(R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  

2.  

I1    =  (V3    –  V1)  /  R1  =  (V1  *  R2R3/(R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  +  V2    *  R1R3  /  (R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  -­‐  V1)  *  1  /  R1  

 =  V1  *  R2R3  /  (R1*(R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  )  -­‐  V1  /  R1  +  R3V2    /  (R2R3  +  R1R2  +  R1R3)    

=  -­‐(R1R3  +  R1R2)V1  /  (R1(R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  )  +  R3V2    /  (R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  

Now  we  can  find  b1  and  b2  by  inspection  

so  b1    =  -­‐(R2*R1+R1*R3)/(R1*(R2*R3+R1*R2+R1*R3))  and  b2  =  R3/(R2*R3+R1*R2+R1*R3)  

3.  

Similarly    

I2  =  (V3    –  V2  )  /  R2  =  (V1  *  R2R3/(R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  +  V2    *  R1R3  /  (R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  –  V2  )  *  1  /  R2  

 =  V2    *  R1R3  /  (R2*(R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  )  –  V2    /  R2  +  R3Vf1/  (R2R3  +  R1R2  +  R1R3)    

=  -­‐(R1R3  +  R1R2)V1  /  (R1(R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  )  +  R3V2    /  (R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  

Now  we  can  get  c1  and  c2  by  inspection  

so  c1    =  R3/(R2*R3+R1*R2+R1*R3)and  c2  =  -­‐(R2*R1+R2*R3)/(R2*(R2*R3+R1*R2+R1*R3))  

S3E3  
Initial  values  R1  =  1  Ω,  R2  =  2  Ω,  R3  =  7  Ω,  V1  =  4V  and  V2  =  7V  

Voltage  across  R3  =  V3  which  is  same  as  in  S3E2  

so,  x1  =  V1  *  R2R3  /  (R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  and  x2  =  V2*  R1R3  /  (R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  

Plugging  in  the  given  values  above,    

current  going  into  resistor  R1    is  I1  which  we  solved  for  in  S3E2  

so,  y1  =  -­‐(R1R3  +  R1R2)V1  /  (R1(R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  )  and  y2  =  R3V2    /  (R2R3  +  R1R2  +  R1R3)  

plugging  in  the  values  above  

S3E4  
Initial  values  V2    =  5V,  R1  =  5600  Ω,  R2  =  5600  Ω  

Using  voltage  divider,  and  taking  the  open  circuit  voltage  at  the  output,    
VTH    =  Vs  *  R2/(R1+R2)  =  2.5V  

And  parallel  resistors  

RTH    =  R1//R2  =  R2R1/(R2  +  R1)  =  5600/2  =  2800Ω  

S3E5  
Initial  values  RP    =  1.6MΩ,  RS  =  11kΩ,  RL  =  100kΩ  and  I  =  4.408  uA  

1.  

Again,  we  take  open  circuit  voltage  at  the  output  

VTH    =  IRP    =  1.6*4.408  =  7.05V  

2.  

RTH    =  RP    +  2RS  =  1.611  MΩ  

3.  

Using  voltage  divider  on  the  combination  of  the  Thevenin  equivalent  and  load,    

VL    =  VTH  *RL/(RL+RTH  )  =  IRP  *RL/(RL  +  2RS  +  RP  )  =  1.6*4.408*.1/1.711  =  0.41V  

S3E6  
Initial  values,  RP    =  1.6  MΩ,  RS  =  14kΩ  and  I    =  1.045  uA  

IN    =  I  =  1.045uA  

RN  is  found  by  turning  the  current  source  to  an  open  circuit  

Then  RN  =  2RS  +  RP    =  1.628MΩ  

We  can  get  current  IL  flowing  through  the  load  by  using  current  divider  on  the  center  node  

So,  IL  =  IN*RN/(RL  +  RN)  and  VL  =  IL*RL  =  IN*RN*RL/(RL  +  RN)  

=  1.045*.1*1.628/1.728  =      0.098V  

S4E1  

Part  1  
The  forbidden  zone  is  VIH  –  VIL.  

Part  2  
Low-­‐level  noise  margin  is:  VIL  –  VOL.  
Part  3  
High-­‐level  noise  margin  is:  VOH  –  VIH.  

S4E2  
Part  1  
First,  look  at  2  Boolean-­‐valued  signals:  X1  and  X2.    There  are  4  possible  values:  00=0,  01=1,  10=2,  11=3.      

Part  2  
How  many  ways  are  there  of  assigning  outputs  to  4  input  values?

 (0,  1,  2,  3)  -­‐>  (0,  0,  0,  0),  (0,  0,  0,  1),  (0,  0,  1,  0),  ...,  (1,  1,  1,  1).  

 This  means  that  for  two  Boolean-­‐valued  signals:  X1  and  X2,  we  can  have  16  Boolean-­‐valued  functions  
where  first  function  f1(X1,  X2):

X1X2          f1(X1,  X2)  

   0    0                            0  
   0    1                            0  
   1    0                            0  
   1    1                            0  
 
and  second  function  f2(X1,  X2):  

X1X2          f2(X1,  X2)  

   0    0                            0  
   0    1                            0  
   1    0                            0  
   1    1                            1  

and  so  on.    So,  there  are  ((2^(2^2))=16  Boolean-­‐valued  functions  for  2  Boolean-­‐valued  signals.  

So,  in  general,  there  are  (2^2^n)  Boolean-­‐valued  functions  for  n  Boolean-­‐valued  signals  as  inputs.    

 Part  3  
Likewise,  for  3  signals,  there  are  2^3  =  8  distinct  values  that  can  be  represented.      

Part  4  
Therefore,  there  are  (2^(2^3))=256  distinct  Boolean-­‐valued  functions  for  3  signals.  
S4E3  

Part  1  
Circuit  one  is  (A  or  B)  and  (Not  C),  while  Circuit  two  is  (A  and  B)  or  (Not  C).    Based  on  that,  we  can  see  
that  it  is  circuit  2.  

Part  2  
a  is  (0  and  0)  or  (not  1)  is  0  or  0,  which  gives  0.  

Part  3  
d  is  (1  and  0)  or  (not  0)  gives  0  or  1,  thus,  1.  

Part  3  
c  is  (0  and  1)  or  (not  1)  is  0.  

Part  4  
e  is  (1  and  0)  or  (not  1),  which  is  0.