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How to Use This Book iii

Acknowledgements vii

1 Functions Review 1
1.1 Function Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Graphing Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Introduction to Trigonometric Functions 29

2.1 The Unit Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Radians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Graphs of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Transformations of Trig Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5 Inverse Trig Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ix

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3 Trigonometric Identities 83
3.1 Introduction to Trig Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2 Sums and Di↵erences of Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Double and Half Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4 Sum-to-product and Product-to-sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5? Problem Solving with Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4 Applications to Geometry 128

4.1 Right Triangle Trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2 Law of Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3 Law of Sines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.4 More Triangle Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5 Parameterization and Trigonometric Coordinate Systems 158

5.1 Parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3 Coordinates in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6 Basics of Complex Numbers 192

6.1 Complex Number Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.2 The Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.3 Real and Imaginary Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.4 Nonreal Roots of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7 Trigonometry and Complex Numbers 218

7.1 Polar Form of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.2 Exponential Form of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.3 Roots of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.4 Problems Involving Roots of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

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8 Geometry of Complex Numbers 255

8.1 Transformations of the Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.2 Parallel and Perpendicular Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.3 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.4 Regular Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.5? Classic Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

9 Vectors in Two Dimensions 297

9.1 What’s a Vector? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
9.2 The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
9.3 Lines and Linear Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
9.4 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
9.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

10 Matrices in Two Dimensions 334

10.1 What is a Matrix? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
10.2 Multiplying Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
10.3 Matrices as Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
10.4 The Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
10.5 Geometric Interpretation of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
10.6 Inverting a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

11 Vectors and Matrices in Three Dimensions, Part 1 380

11.1 Vectors in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
11.2 3 ⇥ 3 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
11.3 Determinants of 3 ⇥ 3 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
11.4 More Than Just 2 ⇥ 2 and 3 ⇥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

12 Vectors and Matrices in Three Dimensions, Part 2 421

12.1 Lines and Planes in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
12.2 More Planes in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
12.3 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
12.4 Geometric Interpretation of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

xi

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12.5 Inverse of a 3 ⇥ 3 Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

12.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

13 Vector Geometry 463

13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
13.2 Vectors in the Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
13.3? Vectors, Complex Numbers, and Challenging Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
13.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

References 488

Hints to Selected Problems 489

Index 501

xii

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