ECE

 305     Spring  2015  

SOLUTIONS:    ECE  305  Homework:  Week  2  

 
Mark  Lundstrom  
Purdue  University  
 
 
1) Sketch  the  following  planes  or  directions.  
 
a) ( 010 )  
b) ⎡⎣010 ⎤⎦  
c) ( 203)  
d) ( 11 1 )    
 
Solution:  
 
1a)      (010)  is  a  plane.  

   
Note  that  a  similar  plane  with  a  y-­‐intercept  at  2a,  or  3a  would  also  be  an  (010)  plane.  
 
1b)    [010]  is  a  direction  normal  to  the  plane  in  1a)  
 

   
 

ECE-­‐305     1   Spring  2015  

ECE  305     Spring  2015  

ECE  305  Homework  2  SOLUTIONS:    Week  2    (continued)  

 
1c)    (203)  is  a  plane  
 

   
 
1d)     ( 11 1 )  is  a  plane  

 
Note  that  a  similar  plane  with  intercepts  at   x = −a, y = a, z = −a  would  also  be  a   ( 11 1 )  
plane.  In  general,  {h,  k,  l}  denotes  a  family  of  planes.  
 
 
2) Consider  a  hydrogen  atom  (1  electron  orbiting  one  proton).    Suppose  that  we  excite  the  
electron  from  the  ground  state  to  the  first  excited  state  (see  Fig.  2.1  in  Pierret,  SDF).    
 
a) The  electron  relaxes  to  the  ground  state  and  emits  a  photon.    What  is  the  energy  
of  this  photon    (in  eV)?  
 
b) What  is  the  wavelength,  λ,    of  the  photon  in  vacuum?  It  may  be  helpful  to  recall  
that   E = hν ,  where  h  is  Planck’s  constant  and   ν  is  the  frequency,  and   c = λν ,  
where  c  is  the  speed  of  light.      Pay  attention  to  units.  
 
 
 

ECE-­‐305     2   Spring  2015  

ECE  305     Spring  2015  

ECE  305  Homework  2  SOLUTIONS:    Week  2    (continued)  

Solution:  
 
2a)    From  Fig.  2.1  in  Pierret,  SDF:  
E0 = −13.6 eV  (ground  state)  
E1 = −3.4 eV  (first  excited  state)  
(Note  that   E = 0 is  the  energy  of  the  electron  infinitely  far  away  from  the  proton.  
 
( )
E ph = −3.4 − −13.6 = 10.2 eV  (photon  energy)   E ph = 10.2 eV  

c c hc
2b)   λ = = =    
ν E ph h E ph

λ=
hc
=
( )(
6.626 × 10−34 J-s 3.00 × 108 m/s
= 1.22 × 10−7 m  
)
E ph 10.2 × 1.6 × 10 −19
(J )
Careful:    Be  sure  to  use  MKS  (SI)  units  –  meters  for  distance,  meters/second  for  velocity,  
and  Joules  for  energy.  
λ ph = 122 nm  
 
 
3) Consider  Si  ( EG = 1.1 eV ),  Ge  ( EG = 0.67 eV )  and  GaAs  ( EG = 1.4 eV ).    
 
a) Using  the  same  vertical  scale  ,  draw  a  simple  energy  band  diagram  (showing   EC  
and   EV )  for  each  of  the  three  materials.  
b) On  the  energy  band  diagram  for  Si,  illustrate  an  electron  in  the  conduction  band.  
c) On  the  energy  band  diagram  for  Ge,  illustrate  a  hole  in  the  valence  band.  
 
Solution:  
3a)    

ECE-­‐305     3   Spring  2015  

ECE  305     Spring  2015  

ECE  305  Homework  2  SOLUTIONS:    Week  2    (continued)  

 
A  comment  on  the  sketched  in  Fig.  3a).    We  arbitrarily  aligned  the  valence  bands  of  each  
of  the  three  semiconductors.    In  general,  these  bands  do  not  line  up.    The  precise  band  line  
ups  are  critical  when  making  “heterojunctions”,  which  put  two  different  semiconductors  
together.  
 
3b)   An  electron  in  the  conduction  band  is  a  filled  state  in  the  conduction  band.    It  is  a  
carrier  of  negative  charge.  
 

 
 
3c)   A  hole  in  the  valence  band  is  an  empty  state  in  the  valence  band.  It  is  a  carrier  of  
positive  charge.  
 

 
 
 
 
 

ECE-­‐305     4   Spring  2015  

ECE  305     Spring  2015  

ECE  305  Homework  2  SOLUTIONS:    Week  2    (continued)  

 
4) Consider  a  region  of  Si,  which  is  a  perfect  single  crystal  except  for  the  phosphorous  
atom  shown  in  the  figure  below.    Note  that  the  P  atom  has  donated  one  electron  to  the  
lattice  (as  shown).  

 
a) Find  the  net  charge  within  Region  A.  
 
b) Find  the  net  charge  within  Region  B.  
 
c) Repeat  parts  a)  and  b),  assuming  that  the  P  atom  has  been  replaced  with  a  B  
atom  and  that  the  B  atom  has  accepted  one  electron,  and  that  the  corresponding  
hole  is  within  region  B.    
 
Solutions:  
 
4a)   Phosphorus  is  from  column  V,  so  there  are  5  valence  electrons.    Four  of  the  valence  
electrons  form  covalent  bonds  with  four  Si  nearest  neighbors.    The  fifth  electron  is  
weakly  bound.    The  thermal  energy  breaks  the  bond,  so  the  Phosphorus  has  lost  one  
electron  and  has  a  positive  charge  of  q.    
 
The  charge  in  region  A  is   +q = 1.60 × 10−19 C    
 
4b)   Region  B  was  neutral,  until  the  fifth  electron  from  the  phosphorus    broke  its  bond  and  
moved  to  region  B.    Region  B  now  has  one  extra  electron.  
 
The  charge  in  region  B  is   −q = −1.60 × 10−19 C    
 

ECE-­‐305     5   Spring  2015  

ECE  305     Spring  2015  

ECE  305  Homework  2  SOLUTIONS:    Week  2    (continued)  

 
4c)   Boron  is  from  column  III,  so  there  are  3  valence  electrons.    An  additional  electron  is  
obtained  from  the  thermal  energy  that  breaks  on  of  the  Si-­‐Si  bonds.      Now  there  are  
four  electrons  for  the  Boron  atom  to  form  covalent  bonds  with  four  Si  nearest  
neighbors.  The  Boron  atom  has  acquired  one  additional  electron,    so  it  now  has  a  
negative  charge  of  -­‐q.  
 
The  charge  in  region  A  is   −q = −1.60 × 10−19 C    
 
Region  B  was  neutral,  until  one  of  the  Si  bond  was  broken;  the  electron  moved  to  
region  A.    Region  B  now  has  one  fewer  electrons,  so  it  has  acquired  a  positive  charge.  
 
The  charge  in  region  B  is   +q = +1.60 × 10−19 C    
 
 
5) Consider  the  conduction  band  of  Si.  Typically,  only  the  states  near  the  bottom  of  the  
conduction  band  are  occupied  with  electrons.    Assume  that  all  states  within  0.1  eV  of  
the  bottom  of  the  band  are  occupied  and  answer  the  following  questions.  
 
5a)   How  many  electrons  are  in  the  conduction  band?    Express  your  answer  per  cm3.  
 
5b)   Compare  this  number  to  the  atomic  density  of  Si.  
 
Solution:  
mn* 2mn* ( E − EC )
5a)   The  density  of  states  is     g c ( E ) =    (This  expression  assume  that  two  
π 2!3
electrons  occupy  each  state.)  
 
The  number  of  filled  states  is    
 
EC +0.1eV EC +0.1eV
mn* 2mn* mn* 2mn* 2 EC +0.1eV
g c ( E )dE = ( E − EC ) dE = ( E − EC )
1/2 3/2
Ne = ∫
EC π 2!3 ∫
EC π ! 3
2 3
EC
 

 
mn* 2mn* 2
( )
3/2
Ne = 0.1× 1.6 × 10−19  (convert  eV  to  Joules)  
π ! 3
2 3

 
 
 
 
 
 

ECE-­‐305     6   Spring  2015  

ECE  305     Spring  2015  

ECE  305  Homework    Week  2  SOLUTIONS  (continued)  

 
For  Si,   mn* = 1.18m0 = 1.18 × 9.11× 10−31 kg  (Table  2.1,  p.  34,  SDF)  
 
mn* = 1.07 × 10−30 kg  

( ) 2 (0.16 × 10 ) ( ) × 0.667 × ( 2.02 × 10 )  

3/2
2 mn* −19
3/2 1.414 × 1.11× 10−45 −30
Ne = =
π ! ( )
2 3 3
3 9.87 × 1.055 × 10 −34

 
1.414 × 0.667 1.11× 10−45 2.02 × 10−30
Ne = −34
× −34
× −34
= 1.82 × 1026 m −3  
9.87 × 1.055 × 10 1.055 × 10 1.055 × 10
 
(Note  the  order  of  the  divisions  so  that  my  calculator  does  not  underflow.)  
 
The  answer  is  per  cubic  meter  because  we  have  done  all  the  calculations  in  MKS  units,  but  
we  are  asked  for  a  number  per  cubic  centimeter.  
 
3
⎛ m ⎞
N e = 1.82 × 10 m × ⎜ 2 ⎟ = 1.82 × 1020 cm −3   N e = 1.82 × 1020 cm −3  
26 −3

⎝ 10 cm ⎠
 
Note  that  this  is  considered  to  be  a  very  large  concentration  of  electrons  in  the  conduction  
band.  
 
 
5b)   Silicon  (Si)  has  a  diamond  crystal  structure  and  a  lattice  spacing  of  a  =    5.42  
Angstroms.  
 
The  atomic  density  is:  
 
8
Na = cm −3 = 5.02 × 1022 cm −3  
( )
3
−8
5.42 × 10
 
N e 1.82 × 1020
= = 0.004  
N a 5.02 × 1022
 
Ne
= 0.04%  
Na
 
Note  that  a  high  concentration  of  electrons  in  the  conduction  band  is  only  0.04%  of  the  
atomic  density.  

ECE-­‐305     7   Spring  2015