RADICALI

1
h) ( √ 5−2 √ 2+3 )⋅( √ 5+2 √ 2−3 ) =
1. Calculați
a) √ 27− √12−5 √ 3= b)
i) ( √ 7−3 √ 3+2 )⋅( √ 7+3 √ 3−2 )=
c) d)
p) 4 √ 3⋅( √ 3−2 )−12=
e) √ 1,6−√ 2,5= f) ( 3 √ 5−4 √ 2 )⋅( √ 5−√ 2 )=
√ 1,6−√ 2,5+√ 4,9= q)
( 3 √5−2 √3 )⋅( √ 5− √3 ) =
g) √ 12,1− √22,5+ √36 ,1= h) r)
3 √18⋅( 2 √72−3 √288+5 √ 1152−7 √ 648 )=
√ 0,9− √8,1+√ 3,6= s)
i) 3 √3−4 √12+ √27= j) ș) 2 √ 18⋅( 2 √ 18−5 √ 72−7 √ 128+9 √ 450 )=
t)
l) 2 √3−3 √12+ √27=
√ 125⋅( 2 √32−3 √50+6 √8 )−√ 80⋅( 2 √ 18−5 √ 8 ) =
j) 4. Calculați:
m) 3 √3−2 √12+ √27= n) 2 √3−3 √12+ √27= 2−√ 2 2 √ 2−3 1−√ 2
− − =
a) √ 2 √2 √8
o)
2. Calculați
(
2 √ 2 3 √3 5 √ 6
− + ⋅
)( ) =

√ √ √ √
4 6 10 4 b) √ 3 2 √ 2 √ 6 3
1+ − 2+ = 2+ − 7+ =
( √5 2 √2 √10 ) ( 2 √10 )=
2 √ 2 3 √5 3
a) 5 5 b) 3 3 5
− + ⋅
c) √ 0,1 ( 3 )−√ 0,0 ( 3 )+ √ 0,2 ( 9 )= c)
d) √ 0, ( 3 )−√ 1, ( 3 ) + √ 5, ( 3 )= 5−√ 2 7+2 √ 2 4+ √ 2
+ − =
e) √ 3,6− √ 6,4=
d) 3 √ 2 4 √2 6 √2
5 1 7 2
f) 3 √ 2⋅( √6−√ 5 ) −3 √ 12+ √ 50= + − − =
e) 4 √ 3 2 √ 3 √3 3 √3
g) 2 √ 3⋅( √ 6−√ 5 ) −2 √18+2 √ 15=
3−2 √6 5 √ 6−3 2+ √ 6 2 √6−1
h) 2 √ 2⋅( √6−√ 10 )−4 √ 3+4 √ 5= + − − =
f) 2 √ 2 2 √ 3 4 √ 2 4 √ 3
i) 2 √ 3⋅( √ 6−√ 3 ) −6 √ 2+6=
6 √2 3 6 √3 4 √3
j) 2 √ 7⋅( √ 7−1 ) −14= + + + =
( 3 √ 5−4 √ 2 )⋅( √ 5−√ 2 )= ) 6 √ 3 4 √ 6 3 √ 2 2 √ 2
k) g
3 √2⋅( √2−3 )−6= 20 9 15 27
l) + − − =
4 √3−3 √12+ √27= h) 3 √ 5 5 √ 3 9 √ 5 15 √ 3
m)
5 2 2 5
4 √ 5⋅( √ 5−2 )−20= − + − =
n) ) 2 √ 5 5 √2 3 √ 2 4 √ 5
4 √3⋅( √3−2 )−12= i
o)
3. Calculați: 6−3 √ 3 4+2 √ 2 √ 6−3
+ + =
b) ( √ 3−2 √ 7 )⋅( 2 √ 3+ √ 7 )= j) 3 √ 3 2√2 6 √3
f) ( 2 √ 3−√ 2 )⋅( √ 3+2 √ 2 ) = 2−3 √6 2+3 √ 6 3−2 √ 6
+ − =
g) ( 2 √ 5−√ 2 )⋅( √ 5+2 √ 2 ) = k) 2 √ 3 3 √3 4 √3
 ) √ ( 3 √2−5 ) −√ ( 1−√ 2 ) =
2−√ 6 4−√ 6 6−√ 6 2 2
− + =
l) 2 √ 2 4 √ 2 6 √ 2 d

) √ ( 2 √ 6−5 ) −√ ( 2−√ 6 ) =
2 2 2
2+ √ 6 3−√ 6 4 √ 3−√ 2
− − = e
2 √ 3 3 √ 2 4 √ 6
m)
2 √ 3−3 √ 3+1 1−2 √3 f)
√ ( 3 √2−5) −√ ( 1−√ 2 ) =
2 2

− − =
o) √ 3 √ 12 √ 3
g)
√ ( 2 √3−4 ) −√( √3−2 ) =
2 2

1−2 √ 2 3 √2−2 5−√ 2

p) √2
−
√2
−
√8
=
h)
√ ( 2 √3−4 ) −√( 1−√ 3) =
2 2

1−√ 3 2−3 √3 3+ √ 3 6. Calculați

− + =
√ 12 √ 27 √3 a) ( 3 √ 5−4 √ 3 )⋅( √ 5− √ 3 ) =
f)
( 3 √3−4 √ 2 )⋅( √ 3−√ 2 )=
b)
( √ 3−2 √ 5 )⋅( 3 √ 3+ √ 7 )=
g) c)
2−√ 3 1+2 √ 3 1+ √ 3
− + =
√ 27 √ 12 √3
h) d)
1−√ 2 3+2 √ 2 1+ √ 2
√2
−
√8
−
√18
=
(
4 √ 3 3 √5 1
− +
7
⋅ =
e) √ 5 2 √ 3 √ 15 √ 15
)
i)
5−√ 2 3+2 √ 2 1+ √ 2
√ 18
+
√8
−
6 √2
=
f) √(
4 √ 2 3 √3 5 5
3
−
2 √ 2
+ ⋅ =
√6 √6 )
j)
2−√ 3 2 √ 3−1 2−3 √ 3
− − = g)
( 2√√25 − 3√√52 + √310 )⋅√910 =
√3 √3 √27
k)
( √ 7 2 √2 √14 ) √ 14 =
2 √ 2 3 √7 3
− + ⋅
5

√ √ √
11 26 1 h)
1+ − 2+ + 16+ =
l) 5 5 5

√ √ √
7. a) Găsiți două numere iraționale care au sumă un
2 15 7
2− − 4− + 4− = mumăr rațional.
m) 9 16 4 b) Găsiți două numere iraționale care au diferența

n) √ 2 7
√ 13
2+ − 3− + 2+ =
9 4 16 √ un mumăr rațional.
c) Găsiți două numere iraționale care au produsul
un mumăr rațional.

o) √ 1
√ 1 7
√
37+ + 1− − 7+ =
5. Calculați
2 3 6
d) Găsiți două numere iraționale care au câtul un
mumăr rațional.
√ 5n+1∉ Q , n∈ N
8. Arătați că a) b)
a) √ ( 2 √5−5) −√( √5−3) =
2 2
√ 6n−4 ∉Q , n ∈ N c) √ 5n+2∉ Q , n∈ N d)

b)
√ ( 2 √5−7) −√ ( 2−√ 5) =
2 2
√ n⋅( n+1 ) ∉Q , n∈N

) √ ( 2 √ 3−5 ) −√ ( 1−√ 3 ) =
2 2

c
9. Arătați că a)√ 1+3+5+.. .+71 ∈Q , b)
√ 1+3+5+...+97 ∈ Q, c) √ 1+3+5+.. .+19 ∈Q g)
( )( 2 5
3 √2 √ 8
+
− −)
3√2 1
2 3 √2
;
3
d) √ 1+3+5+.. .+99 ∈Q
10. Calculaţi:
a) h)
( 2 √12 ) ( 3 −√ 3 ) ;
5 √3 3
+ −
4 √3 2

√27⋅( √0,1 ( 6 )) + 2 √ 3 ;
( 18
−
12
−
6
+
8
5 √3 4 √3 2 √ 3 2 √3
−
4
+
)(
3 40
−
3 √ 2 2 √ 2 12 √ 2
;
i) ) 7 √2

b)
(132√ 3 −306√ 3 )−( 34√2 −125√2 + 25√ 2 −2330 √ 2 ) ; j)
( 4 3
+ −
5 √2 √8 )(
5 √2 3
4 √2
− ; )
( )
⋅ √ 0 , ( 6 )+ √ 0 , ( 8 ) − √ ;
c)
24 24
( 9
− −
4
2 √ 6 3 √ 6 √6
8
−
16
−
33
)(
5 √ 6 10 √ 6
−
3
−
8
√ 6 3 √6
; e)
)( ) √2 6

d)
9
( 1
−
1 1
−
4 √3 5 √ 3 20 √ 3) (
−5
2
−
3
4 √5 2 √ 5
;
) f)
7 ( √2 )
√24⋅ √ 0,1 ( 6 ) + 2 √ 3 .

√ 3+ √ 6 ( + )−4 √ 6 ( + )+ √ 8
2 3 1 1
e) √3 √2 √3 √2

f)
( 5 8√6 − √424 −1615 √6 )−( 3 √854 − √654 ) ;
PATRULATERE CONVEXE.
PARALELOGRAM. DREPTUNGHI

1.
2. Să se determine măsurile unghiurilor unui 7. În patrulaterul convex ABCD A=600, B
patrulater convex știind că măsurile unghiurilor este de doua ori mai mare decat A, iar C
sunt direct proportionale cu numerele 2,3, 5 si 8. este cu 700 mai mare decât A. Să se afle: B,
3. Aflați măsurile unghiurilor unui patrulater știind C, D.
că sunt direct proporționale cu numerele 5, 7, 9 8. Se consigură Δ MNP dreptunghic isoscel cu
şi 15. baza [NP] comună cu Δ NQP este echilateral.
4. Măsurile unghiurilor unui patrulater convex Să se afle măsurile unghiurilor patrulaterului
sunt direct proporţionale cu numerele 3; 4; 5; 6. MNQP.
Să se afle măsurile unghiurilor patrulaterului 9. Aflati măsurile unghiurilor unui patrulater
5. Determinați măsurile unghiurilor unui patrulater convex ABDC știind că Δ ABC este echilateral
convex, știind că acestea se exprimă prin iar Δ CDB esteun triunghi dreptunghic în C ,
numere naturale impare consecutive. având BC = 2 CD.
6. Aflați măsurile unghiurilor patrulaterului 10. Patrulaterul convex ABCD are perimetrul 18
convex MNPQ dacă ∢ N =2 ∢ M, ∢ P =3∢ M și cm. Se ştie că AB=CD=4 cm şi AD=5cm.
∢ Q = 4∢ M. Stabiliţi natura acestui patrulater.
11. Fie O punctul de intersecție al diagonalelor unui dreptunghiului, se iau punctele M și N astfel
dreptunghi ABCD . Dacă CAD  53, atunci încât . Demonstrați că
4
determinați DOA . și
12. În dreptunghiul ABCD, AC ∩BD ={ O } ,
∢ AOD=60 °, AC=12 cm. Aflați perimetrul 21. În paralelogramul ABCD, M este mijlocul lui
triunghiului AOD .
, şi .
13. Fie un paralelogram ABCD pentru care avem:
Demonstrați că:
A=(2x+40)° şi B=(5x)° , unde x este un
a)
număr natural. Aflaţi măsurile unghiurilor
b) ABEC este paralelogram c)4OM=DE
paralelogramului.
22. În triunghiul ABC se consideră M și N
14. Demonstrați că mijloacele laturilor unui
mijloacele laturilor [ AB ], respectiv [ BC ]. Dacă
patrulater convex formează un paralelogram.
MN=12 cm, aflați lungimea laturii [ AC ].
15. Fie paralelogramul ABCD, iar [DE și [CE
bisectoarele unghiurilor ADC, respectiv 23. În dreptunghiul ABCD cu AC ∩BD ={ O }, fie X

DCB. Aflați: și Y mijloacele laturilor [ AB ], respectiv[ BC ].

a) Natura triunghiului DEC Arătați că XYCO paralelogram.

b) Perimetrul paralelogramului ABCD dacă 24. În triunghiul ABC, [ BD ] este mediană, D ∈ ( AC ).

AD=26 cm și E ∈ AB. Paralela prin C la BD intersectează paralela prin

16. Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel cu A la BC în F și AF ∩BD ={ E }.
A=90º, iar triunghiul ACE este a) Demonstrați că BCFE este paralelogram.
echilateral.Calculați măsurile unghiurilor b) Demonstrați că ABCE este paralelogram.
patrulaterului ABCE. c) Demonstrați că E este mijlocul lui [ AF ] .
17. În triunghiul ABC punctul M este mijlocul d) Dacă { O }=CE ∩ FD și M este mijlocul lui
laturii [BC], iar punctul D este simetricul lui A [ CF ] , arătați că A, O, M sunt coliniare.
față de M. Demonstrați că ABDC este 25. În paralelogramul ABCD se consideră M și N
paralelogram mijloacele laturilor AD și, respectiv, BC . Fie
18. ABCD este un paralelogram, iar O este punctul BM ∩CD= { P }.
de intersectie al diagonalelor. O dreaptă ce a) Demonstrați că BNDM este paralelogram.
conține punctul O intersectează două laturi b) Demonstrați că ABDP este paralelogram
opuse ale paralelogramului în punctele E și F. c) Demonstrați că D este mijlocul lui CP.
Demonstrați că [OE]≡[OF]. d) Dacă { X }=BD ∩ MC , arătați că P, X, N sunt
19. În paralelogramul ABCD A=60º, BD ¿ AD și coliniare.
AB= 28 cm. Aflați perimetrul paralelogramului 26. În paralelogramul ABCD se duce bisectoarea
ABCD. care taie DC în M și bisectoarea care
20. Fie ABCD un dreptunghi de latura și taie AB în N. Arătați că :

. Pe dreapta AC, în exteriorul a) AMCN este paralelogram

 b) BD trece prin mijlocul O al lui MN. perpendiculara în C pe CD intersectează
27. Fie ABC un triunghi echilateral la care [AD] perpendiculara în D pe DA în N.
este înălţime. Fie E astfel încât triunghiul ADE a) Demonstrați că punctele M, O, N sunt 5
să fie echilateral. Notăm {P}=AC∩DE şi coliniare.
mijlocul lui [AC] cu S. b) Dacă DAB > 90° , arataţi că MN > BD.
a) Stabiliți natura patrulaterului SEDB.
b) Aflați măsurile unghiurilor patrulaterului
SEDB.
28. Fie ABCD un paralelogram în care AB = AC =
=7 cm şi CB = 4 cm. În interiorul său se
consideră triunghiurile dreptunghice isoscele
ABM și AND cu bazele [BM] și respectiv
[DN]. Calculați perimetrul triunghiului ANM.
29. Fie ABCD un paralelogram iar M∈(AB),
N∈(DC) astfel încât ADM  CBM.
a) Stabiliți natura patrulaterului DMBN.
b) Dacă ADM este echilateral, aflați măsurile
unghiurilor patrulaterului DMBN.
30. Fie ABCD paralelogram şi punctele M, N, P, Q
aparținând laturilor AB, BC, CD şi DA astfel
încât AM=BN=CP=QD. Demonstrați că MNPQ
este paralelogram.
31. Fie ABCD paralelogram, din vârfurile B şi D se
duc perpendiculare pe diagonala AC (M, N
∈(AC) ) şi se notează cu M şi N picioarele
acestora. Să se demonstreze că BMDN este
paralelogram.
32. Fie ABCD un paralelogram şi M, N, P, Q
mijloacele laturilor AB, BC, CD și DA,
AN∩DM={H}, AN∩BP ={E}, CQ∩DM={G},
CQ∩BP={F}. Arătați că EFGH paralelogram.
33. În triunghiul ABC, E∈(AB) şi F∈(AC) astfel

încât EF||BC şi EF = ∙BC. Demostraţi că dacă

D este mijlocul laturii [BC] atunci BDFE este
paralelogram. Demonstrați că E este mijlocul
laturii [AB].
34. Fie paralelogramul ABCD cu AC∩BD = {O}.
Perpendiculara în A pe AB intersectează
perpendiculara în B pe BC în M, iar