In tro d u c t io n

1 .

L a s t y e a r y o u h a v e le a r n t h o w to fo r m a d iĦe re n tia l e q u a tio n fr o m a g iv e n p rim itiv e a n d a ls o to

s o m e s im p e
l d iĦe r e n tia l e q u a tio n s
s o lv e

In th is h a p te r w e s h a ll le a r n s o m e m o re m e th o d s o f s o lv in g th e d iffe re n tia l e q u a tio n s o f th e

c

irs t o rd e r a n d firs t d e g re e i e T e d Ħe re n tia l e q u a tio n o f th e ty p e a w d x = f (x , y ) T h e m e th o d o f

h i
ı
n tia l e q u a tio n o f th e firs t o rd e r a n d firs t d e g re e d e p e n d s u o n th e t
s o lv in g a d iĦe re p y p e to w h ic h it
b e lo n g s T h e s e ty p e s a re

1 e s S e pa
V a r ia b ı ra bı
e Ty p e
2 H o m o ge n e o u s Eq u a tio n

3 N o n ho m o ge n e o u s Eq u a tio n

4 Ex a c t D iffe r e n t ia l E q u a t io n

5 L in e a r D iĦe re n tia l E q u a tio n

6 B e rn o u i' s D iĦe
lı re n tia l E q u a t io n

Yo u h a v e a lr e a dy s tu d ie d h o w to s o lv e th e e q u a tio n s o f th e firs t th re e ty p e s W e s h a ı l b rie tı

y
re v ie w th e m th e s a k e o r c o m p le te s a n d s h a ll d is c u s s in d e ta ils th e re m a in in g th re e
a g a in fo r ne s
ı
yp e s

h a te Jg h

S tu d e n ts m a y o m it th e a rtic la s 2 3 a n d 4 a fte r re a d ı
n g th e m B u t th e y a re a d v is e d to te a m
,

c ın y ly th e re m a in in g th r e e a rtic a ls

Scanned by CamScanner
 Ap pı
ıe d M o th e m o tı
c s ı
l (1 2 ) Dı o l E q u a tı
ffe re n tı o n s o fFO & ED

3
E xa m pı
e 1 soı
ve x y = a x
2
+
)
S o ı T he e q u a tio n ca n be w ritte n a s ,

X ĹT = ・ . [ B y p a rtia ıfra c tio n s ]

3 .
Eq u a t io n s H o m o g e n e o u s in x a n d y (R e v ie w )
d y is id to b e h o m (h o m sa m e ) if th e d e g re e o
A p re s s io in o n e o u s o -
n e x n x a n sa
2 3 2 th ir d d e g re e
is h o m o g e n e o u s o f th e

島
e v e ry te r m is th e s a m e e g x y + x + xy y
3 2 2 3 4
is h o o f th e fo u r th d e g e A h o m o g e n e o u s e x p re s s io n
re o f d e g re
x y + x y + xy x m o ge neo us
n
n
o n in th e fo rm x f (y / x ) F o r e x a m p le , th e h o m o ge n e o u
be p re s s e d b y ta k in g x com m

酽
n ca n ex

s s io n s g iv e n a b o v e c a n b e w ritte n a s
e x p re

ĹŤ) ĹŤR ł(Ť) (Ťr

' '

島
4
x
3
Ť " " . M x ・ . "

if f1 (x y )a n d r2 (x , y ) a re fu n c tio n s o f th e s a m e d e g re e in x a n d y th e n f;(x , J4 / Fz (x , ý

厂
F u rth e r, ,

c a n b e p u t in th e fo rm f (y / x ) o r F (x / y )
2 l y + 3x】 7 a nc
c o n s id e r tw o h o m o g e n e o u s fu n c tio n s f(x, y ) a n d 62 (Ą y ) w h e re f (x y )
.
,

S in c e b o th a re h o m o g e n e o u s fu n c tio n s o f d e g re e th re e w e c a n w rite t e r ra tic

h i
2 2
l2 (x y )= x y x y
ー a s
,

3 2 2
f2 (x y ) , x [(y /x ) (y /x ) ] (y /x ) (y /x )

ゆ w

va
he ref: a n d ￠ z a re
ria b le s e p a ra b ı

If w e put
ho m o ge n e o u s
e ty p e b y p u ttin g y

f
v

(x
・

, y)
y l x in th e

2v + 37
a
-
e x p re s s io n s o

b o v e illu s tra tio

w A n d th e n

n ,
w e
f th e
m e re

ge t
sam e d e g re e in
in te g ra tio n g iv e s
x a n

th e
d y c a n b e re d u c e d tc
s o lu tio n o f th e e q u a tio n

-
2
- F (v )
l2 (x y ) v v

T h is is a fu n c tio n o fv o n ly ı p\
ł v

To s o ı
v e ho m o ge n e o u s e q u a tio n in x a n d y

L e t th e g iv e n e q u a tio n be
dv
.
Į (x y ) ,
(1
dx l2 (x y ) ,

w he re f a n d t2 a re ho m o ge n e o us fu nc tio n s in x a n d y o f th e sa m e d e g re e

習 Scanned by CamScanner
 th tı
c s ı
ı
Ą p p lı
e d M a e m a (1 3) Dı
tfe \ı
o l E q u o tı
re n o n ıo t ￠o & rD

N ow w e puty . " " ' "

d 62 h o m o ge fu n c tio n s o
S in c e f a n a re n e o u s f th e sa m e d e g re e s a y n ı n x a n d y w e c a n ta k e
" fr o m b o th n u m e r a to r a n d de n o m in a to r C lı
in g it o u t th e rig h t h a n d s id e o f (1 ) th e n
x co m m o n a nce

fu ċ tio n o f v o n ı
y s a y F (v ) H e nce th e e q u a tio n (1 ) r e d u c e s
becom e s a n to
dv dv
改 改
dv dx
w h ic h is o fv a r ia b le se p a ra b le ty p e (
F (v ) v T
b o th id e s w e ge t
n te g r a tin g
s
ı

Ĵ ı
o g x + c

g e t th e q u ire d s o lu tio n
R e su b s titu tin g v =
y /x w e re

Ex a m p le 1 S o lv e (x
3
+ y
3
) x
2
y

d y
is h o ge n e o u s o f th e th ird d e g re e in x an
tio n m o
ı S in c e th e
e qu a
S o

vx
@ V + X
p u ttin g y =
dx dx

dv dv dx
O

ı
o g x - \o g c
+ ı
o g v + ￠İ
In te g ra tin g R 1
(q

lo g c =
L o g vi c
ı -

v + ı
o g x +
lo g a
/3 y
3
x
is cy - e
3
h e s o lu tio
n »
x T ť Į

o g cy
ı =

p u ttin g v -

(R e v ie w )
u a t io n
s
Eq
h o n lo g e n e ロ
リ コ
ニ
ニニ
ı in e a f (1)

H \
4 .
N o n
-
an d y
\in e a r in x
ous
ho m o ge n e
o is non
,
+ c
'
)d y .
he
a x +
b y s of
'

)d x ( v a lu e
or (? + by + c
and
fin d th e
'
+ k
a nd y . y
h
T o s o lv e th e e q u a t io
'
n x +
x -

io n w e put
e qu at
th e a b o v
e
To s o lv e

p re v io u s m e th o d

Scanned by CamScanner
p?

APpı
ıe d M o ł
he m ie fı
c s lı (1 4) ffë re
Dı n llo l E q u a llo ns o f60 &

P u ttin g x = x
'
+ h y,
=
y
'
+ k s in c e dx - dx
'
a n d dy = dy '

,
th e e q u a tio n (1 ) re d u c e s to

a x + ( '
h ) + b (y '+ k ) + c
.

W e c ho o se h a n d k suc H th a t th e ltl
e q u a tio n (2 ) is h o m o g e n e o u s o f th e firs t d e g re e T h is w iı
so if th e c o n s ta n ts o n th e r ig h t ha n d s id e o f (2 ) in n u m e ra to r a n d d e n o m in a to r a re z e ro i e If

Fo r th e s e v a lu e o fh a n d k th e e qu a tio n (2 ) re d u c e s to

dť a x +
' '
b y ' '

B u t th is is h o m o ge n e o u s a n d he n ce b y p u ttin g y '
. .
'
A n d . v + y th e e q u a tio n (4
,

dť 0 '

be co m e s

dx a +
'
b '
v

w he re th e v a ria b le s a re s e p a r a te d a n d th e s o lu tio n c a n be o b ta in e d b y in te g ra tı
on

T he s o lu tio n o f th e e q u a tio n (1 ) is th e n o b ta in e d b y re s u b s titu tin g v =

y
'
/ x
'
a n d x
'
. x I\
y
'
.
y k in te rm s o fx a n d y

a b
T he m e th o d ho w e v e r, fa ils if -
,
Ë
be ca u se th e ro o ts o f th e e qu a tio n (3 ) a re th e n in d e te rm in a te

a b
S u ppo se ' th e n th e e q u a tio n (1 ) r e d u c e s to
a b '
m

dx (a x b y )+ '
m + c

O n p u ttin g a x ◆ by ・ v a n d a + b g .
C th e e q u a tio n (5 ) r e d u c e s to
dx dx

w h e re th e v a r ia b le s a re se p a r a te d a n d th e s o lu tio n c a n b e o b ta in e d by m e re in te g ra tio n
R e s u b s titu tin g v - a x + by ,
w e ge t th e s o lu tio n o f th e e q u a tio n (1 )

a b
Type ' +
i ı j i

Exa m e 1
pı S o ı
ve (4 x + 3y + 1) d r + (3 x + 2y + 1) d y = 0

@ 4x + 3y + 1 i
S o l W e ha ve _ ,

dr 3x + 2y + 1 .

S in c e
Ĵ Ş ・ ,
w e s o lv e th e e q u a tio n s .
.
.
,

4x + 3y + 1 = 0 a n d 3x + 2y + 1 - 0 a n d ge t x = 1 a n d y - 1

4x '
+ 3y '

H ence , p u « in g x . x
'
1 a n d y -
y
'
+ 1, w e ge t ,
.

d )ť 3x '
+ 2y '

Scanned by CamScanner
 th e m a tic s lı (1 6 ) Dı
ffe ï lo ıE q u o ł
lo m o fF0 & ED
le d M
Ap pı a re n . .

dv 2 v + 2
1= 二二 二 二二
Ok 2v + 3
dv 4v + 5

d bc 2v + 3

C 不た)
： !十
5
. 一 。 [B y a c tu a ıd iv is io n ]

In te g ra tin g , v + lo g (4 v + 5 )= x + c
2 8

P u ttin g v = x + 2y ĝH + 2 y )・ : o g (4 *
ı + 8 y + 5 ). ' "

'

By 5 )= 4 x By + C
T he s o lu tio n o g j4 x
is ı + +

o f re v ı
ew o n ly
T he a rtic le s 2 3 4 a
, ,
re m e a n t fo r th e p u rp o s e

5 Ex a c t D iĦe r e t ia l E q u a t io n s
,
n o n ly
tı
m ı
i tio n
v e b y d iffe re n t a
s o b ta in e d fro m
ts p rı
ı
D e fln ı o n w h ic h ı
tio n : A d iffe re n tia l e q u a tı a l e q u a tı
on
tdıfte r e n tı
a n d w it d c tio n l
s c a lle d a n e x a c
h o u t a n y o e ra tio n o f e ıım ın a tio n o r re u
p

Scanned by CamScanner
A p p lı
e d M a th e m o tı
c s II (1 6 ) Ħe re n ï la ıE q u a tio n s o f 6 0
Dı & ED
\

fu
ı he is fu n c tio fx d y is
c w re u a p rim itiv e th e
=
n o a n ,
a n

?u ?u
o u = Ox + ? y = U
ax ay
is a n e xa c t d iĦe re n tia l e q u a tio n T h u s a n
, e a c t d iffe re n tia l e q u a tio n is o b ta in e d fro m its p r im itiv e b y
e qu a tin g its to ta l d iffe re n tia l to z e ro F o r e x a m le
p ,
fu
ı = x
2
+ y
2
. c th e n c fu =
y a r +
?u
dy = 2x a r + 2y ay .
ñ
E q u a tin g d u O g e t th e
=
,
w e e q u a tio n x c fx + y dy = O w h ic h is e x a ct

W e s h a lın o w p ro v e th a t if th e e q u a tio n M dx + N ?y = O is e x a c t, th e n . A n d c o n v e rs e ly
?y ?x

i
¡l .
'

'" - . " " + N dy = o is e xa c t In o th e r w o rd s w e p ro v e th a t :

Th, N " " S m . Ie . T C.

:y ' " . . M ,b . Fo . M d ' " d y = O be e. . c t ie

P ro o f (a ) T h e C o n d it io n is n e c e s s a ry t
v .
'
ņf q ) S X
G iv e M N aM ?N
n o r + c fy - O is e x a c t, to p ro v e th a t a
T
- ?
y
S in c e th e g iv e n e q u a tio n is e x a c t, b y d e fin itio
,
n it is o b ta in e d b y p u ttin to ta l d iff
so m e fu n c tio n u o f x a n d y to
,
g e re n tia l d u o l
z e ro

H e nce th e I h s f th e
, o e q u a tio n is d u i e D u - M dx + N dy A

But d나三 づ七 十 ニニ ゴン
?x Ļ ı ay

?u !
M - a n d N
?u ?M a2 u ?N ?2
万
-

万
az u ?2 u ðM
But ðN
he
m
-

yax nce ,
-

(b ) T h e co n d itı
o n is s u ffı
c ı
ent

?M ðN
G Yv e n - to p r o th a t M d x + N d
i ve
y - o is a n e x a c t d iffe re n tia ıe q u a tio n

Le t JM dx - V th "
g - M a nd
m
- L t g łj l ı
LÌ t

:
iRM ?N ?z v ?N a 1
lŕ rl r
!

w he re o '
(y ) is a fu n c tio
,
n o fy a lo n e (a c o n s ta n 墓
t w ith re s p e c t to p a rtia l In te ra tin
g g) 匦
Scanned by CamScanner
 M lh e m a tı
c s II . °' " ! (1 7 ) ţ » F! D lffe re n ï lo l E q u a ï lo n $ o f 6 0 & ED
a p p lie d
,
a ,

ttin g th e va ı
ue s o fM a n d N
H e nce , pu

N y
M dr li
+ d =

?V av
-

x
d 'X + o y + O
'
(y )o y
i
M dx + N dy - d [V + 4 ) (y )]
M dx + N d y is a n e x a c t d iffe r e n tia l e q u a tio n

R u le fo r n g th e
fin d ı s o ı
u tio n
(c )
i d iĦe
If M d x + N d y O s a n e xa ct re n tia l e q u a tio n it m t h a v e b e e n o b ta in e d b y e q u a tin g to
=
,
u s
f fu
z e ro ,
to ta l d iffe re n tia l d u o s o m e n c tio n u o f x and y

?u ?u ?u ?u
S in c e d【
ı= a r + o y a n d M -
'
N - b y in te g ra tin g M c fx w r t x ,
w e g e t p a rt o f
,
ay ax
i i N T h e te rm s in
ts p a rtia l d e r iv a tiv e w r y s n a r in M but
t u w h ic h a re fre e fro m x do n o t a ppe
ı
th e y a p p e a r in N
H e n c e th e re m a in in g p a rt o f u is
,
o b ta in e d b y in te g ra tin g w r t Y th o se te rm s in N

w h ic h a re fre e
fro m x T h u s w e g e t , ,

The R u ı
e 1

In te g ra te M c fx w r t x tr e a tin g y c o n s ta n t In te g ra te o n ly th o s e te r m s in N w h lc h a re fr e e

fro m x w r t V E q u a te th e s u m to a c o n s ta n t T h is is t h e s o ı
u tio n

In sym b o ls ,
dx (tr e a tin g y c o n s ta n t) + (T e rm s in N fro m x )d y = c

A lte rn á tiv e ly w e m a y firs t in te g ra te N w ith re s p e c t to y trė a tin g x c o n s ta n t

Th e R u le 2

In te g ra te N d y w r t y tr e a tin g x c o n s ta n y th o s e te r m s in M w h ic h a re
t In te g r a te o n ı
fro m y w r t x Eq u a te th e s u m to a c o n s ta n t T h is is th e s o lu tio n (S e e Ex 1 be ı
ow )

In s ym bo ı
s , N o y (tre a tin g x c o n s ta n t) + (T e rm s in M fre e fro m y )d x = c

(S e e so ı
ve d E x 7 p a g e 1 19
, )

So ı
v e d Ex a m pı
e s C ı
a s s «a ) 4 M a r ks

2
E x a m p le 1 (a ) S o lv e (ta n y + x )d x + (x sec y 3 y )d y = 0

S o ı H e re M 2
,
. ta n y + x N - x sec y 3y
,

aM aN
T he e q u a tio n is e xac t

Now ,
JM o r -
(ta n y + x )d x = x ta n y +

2
3
And
J (te rm . In N fre e fro m x )dy =
J 3 y c ly =

Scanned by CamScanner
 A p pı
le d M o n s o fEO
D iffe re n tia l E q u a tı & ED ,
o th e m o llc s ı
l (1 8 ) .

A lte m a tı
veı
y
2
3
JNdy ,e a tin g x c o , s ta n o = (x sec
2
y 3 y )o y = x ta n y

(te rm s in M fre e fro m y ) d x = x ok -

国
)
?
T he soı
u tio n is x ta n y + . c
2 2

a (x d y y a r )
- - _ - r ı- ' w l v u ıv c n u n r y u y 2 2 w n U ı= = ı, = g)
X + y
S o ı: T h e e q u a tio n ca n be w r itte n a s

M - x +
a y ?M
-
a 2a 7 ax
2
a y
2
2 -

■国虹 + y x
z
+ J 0 + y
2 2
) (x
2
. y
2
)
ax ?N a 2a} a J ? a y
2
N =
y - + -

x
2
. y
2 J + y
2
(x
z
+ y
2 2
) (Ĵ + y
2 2
)
r

ðM ?N
S in c e -
'
th e e q u a tio n is e x a c t
n o l

And J[l e '" . M N ￠

. ' " ° c v =
Jy o y =

ř)
Exa m p le 3 (a ) : S o lv e [1 + lo g (x y ) a 】r + 1' dy = o

N ow ,
Jl g ( y )
o x ・ 1・ dx - lo g (x y ) ・
x
J x .
I
y c fx
x
.
[ In te g ra tı
n g by p a rts ]
y
J ı
o g (x y ) 1 ・ ・ o r - x ı
og (x y) d* x lo
-
g (x y ) x
A n d (te rm s In N fre e fro m x )o y 1
= ・ oy .
y
T he s o lu tio n ı
s x + x lo g (x y ) x + y = c /e Y + x lo g (x y ) = c

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 th e m o tı
c s lı r ir rt t?
(1 9 ) !!j 1
ed M
A p p lı o ; Dı
ffe re n tla ıE q u a tio ns o ￠￠o & ￠D

e 4 (a ) S o ı
ve
g y c o s x + s in y + y
E x a m pı + - O (M U 19 89 , 9 2 , 2 003 , 12)
c rx s in X + x cos y + X

So l W e ha v e , (y c o s x + s in y + y ) dx + (s in x + x cos y + x )?y = o
M =
y c o s x + s in y + y ; N = s in x + x c o s y + x

?M ?N
= co s x + cos y + 1 ; cos x + cos 1
°
y +

ðM ðN
T he e q u a tio n is e xa ct
i
=
.

Now ,
M c fx = (y c os x + s in y + y )d x

=
y s in x + x s in y + x y

And (te rm s in N fre e fro m x )d y = O

T he u tio n
so ı is y s in x + x s in y + x y = c

Exa m pı
e 5 (a ) S o lv e 2 1+ x
2
Jy )y a K + x
2
Jy + 2 × dy = 0

2 3 12 3
So \ He re ,
M = 2y + 2 × y ; N = » + 2x

= 2 + 3× y
2 " 2
,
N = 3x
2
Jy + 2
?y ?x

ðM ?N
T he e q u a tio n is e xa c t
ay ðx

2 3" 3 3 /2
NOW ,
M dx = (2 y + 2× y )c fx = 2x y + X y

And (te rm s in N fre e fro m x )d y = O ・ dy = O

2 3 3 /2
T he s o lu tio n is 2 x y + x y = c
3

ðM ðN t
ı
ce - th e e q u a tio n is e xa c
li '

J. ° ・
12 x . '"
Ť d"

Scanned by CamScanner
,śį
A P ◆ı
e d M o th e m a tlc s ll (1 1 0 ) Dı o ıE q u a tio n s o f 8 0
ffe re n tı & Rl

(T e rm in N fre e fro m x )d y = O

T he s o lu tio n is x
2
sin . c
X

ï )y
Ex ×" w
a m p le 7 (a ) S o lv e (1 + e )d x + e
Ĵ
' o
d =
, g iv e n y (o ) = 4

L y )

ðM ðN
=
1
th e e q u a tio n is e xa ct
?y ?x

M dx =
1(1 + e
x /y
ck . x + ye
×/y

(T e rm ls N fre e fro m x )d y O dy
=
= O
T he s o lu tio n is x + ×/ y
ye = c
B y d a ta w he n x O y
=
,
= 4 4 . c
T h e p a r tic u la r s o lu tio n is x + ×l
ye y = 4

T he a b o v e d iĦe re n tia l e q u a tio n c a n a ls o be so ı

ve d b y p u ttin
g x °
w a n d th e n by se pa ra tin $
Exa m p le 8 (a ) S o lv e (x 2e 9
)a y + (y + x s in x
)d x O
S o l W e ha v e M
.
.
y + x s in x a n d N = x 2e y (M U 2013
?M ðN
- 1 °

ix
JM dx -
J(v . x s in x
)d r

x
[ In te g ra tio n b y p a r ts ]
-
y x cos x + si
n x
(T e r m is N fre e fro m
x )o y =
2e r a y = 2 r
e
: T he s o lu tio n is x y x co s x + si
n x 2 e
r = c

Scanned by CamScanner
 o «c r ı
ı (1 1 1 ) f 60 & RD
ı
Appıe d M d hm D lffe re n llo ıE q u tr tı
o m o

e 9
E xam pı «a ) s o lv e y l+
) . .m y d b« + (x + ı
o g x x sı
n y )c ry = o

(M U 199 8 , 2 00 6 , 1 5)

So ı W e ha ve M =
y 1+
İ) x
+ cos y a n d N = x + lo g x x s in y

ðM ðN
= x 十 s in y a n d 1十 s in
ay ×
一
y
?x x
ðM ðN
ay ?x

H e n c e th e g iv e,
n e q u a tio n is ex a c t

Now , JM d ( J y 1 +
) . ' ' " dy =
y (x + lo g x )+ x c o s y

A n d (T e rm is N fre e fro m x )d y = O c (y = O

T he u tio n
so ı is y (x + ı
o g x )+ x co s y = o

2 2 2 2
Exa m pı
e 10 «a » S o lv e (x 4xy 2y )dx + (y 4x y 2× )dy = 0 (M U 2 014)
2 2 2
Soı W e ha ve M . x 4x y 2y a n d N .
y 4xy 2 ×2
ðM ðN
= 4 × 4y a n d 一 4y 4 x
ay ?x
ðM ðN
Ì ?x
H e nce th e g iv e n e qu a tio n is e xa c t

2 2 2 2
N ow M 改 一
(× 4 ×y 2 )? = 2× y 2y x
。
2
And (T e rm is N fre e fro m x )d y =
y Dy =

T he u tio n
s o ı is

2 2 3
2× y 2y x + = C x + y
3
6 ×2 y 6y 2
x = C
3 3

R em ar k

T h e a b o v e d iĦe re n tia l e q u a tio n c a n a ls o be s o lv e d b y p u ttin g y vx a n d th e n by tin g

-
se pa ra
th e v a ria b le s a s in §3
pa ge 1 2

Exa m pı
e l1 s o lv e x + y m dx + x m y dy = o

Sol W e ha v e M d N x
= x + y a n =
y

Scanned by CamScanner
 AP Pı
ıe d M ll ne.'1lı;l ffe
Dı tla ıE q u a tio f60
a ïh e m o H c s , (1 1 2 ) r ! re n ns o & FD

?M ?N
-

ii
H ence ,
th e g iv e n e q u a tio n is e x a c t

m i
N ow , JM ok =
J . + y dx = ・ y
'
J ? !
,

By JJ 2 x i
a c lrx =
P a
2
y
2

2
W
JM o bc - + y
2
ŝF x
2
・
į s in
1
Ĺi )
ī y

-
ţ ŢW W W Į ・ . . (w

E x a m pı
e 12 s o lv e . M i
y dx + y J " f
cy - o (M u 2 0 14 )

S o \ W e hav e M x
=
y a n d N -
y x

?M ?N
-

ii
H e nce ,
th e g iv e n e q u a tio n is exa c t

N o w , JM dx =
J m ・
y dx

T o fin d 2 2 2
x x + 2
y o r, w e putx + y . 1 2x o x - dt

2 2 3 /2
l 2
2 3 /2
-
(X + y )
3 3
H e nce M dx 2 2 3 /2
, .
(x + y ) x y
A n d (T e rm is N fre e fro m x )d y = O ・
c fy = O
T he co m p le te s o lu tio n ls

ġ( x
2
+ J )
3 /2
x y = c
'
(x
2
1 y
2 3 /2
) 3xy = c

be e xa c ta n d ca n be s o lv e d byu s in g th e m e th
o d o f §5 F o r i
ll a ta nd Ex n s ta n c e E x 5 b
a s w e s e xa c 10 p a g e 1 11 i e lo is ho
, s ho m o e n e
g o u s a s w e ll
w n o n m o ge ne o us
a s e xa ct

.
İ Scanned by CamScanner
:
Q
 tic s II (1 13 ) Ħe re n tı
Dı & ED
ıe d M th e m a a ıE q u a tio n s o f 6 o
Ap pı a .

a
X E R C I SE -
aa
'
L ł ;
rs￡r ı
j(
f llo w in g e qu a tio n s C ı
a s s (a ) 4 M a rks
So v e th e o
ı

g U 7 g _
a 2 J￠y J
6 .
c f× 2
Dx 2 y lo g y + y x (x + y)

・
ļ

3 ×y 2
×y
2y )d x + (x e 6xy 2 y )d y = O
9 (y e
2
￠ x ta n
2
y + sec y )d y = (ta n y 2 ×17 y )d x
10

11
( y
2
2y o r + (2 y ta n
'
x 3x + s in h y )o y = O

2
2
(x y ) ] d x + [x s in (x y ) + x y co s (x y ) ] o y = O
12 [y s in (x y ) + xy co s
(M U 19 98 , 9 9 , 2 00 3)

2 y + e 2x
2
4x
3
12 ×y
2
+ 3y + x e )? y
13 (2 × y +
2X
3 3 r O
2
2 ×y
2
+ 4 × 4y + 2 ye + e ) dx =

+ (12 x y +

' C
' (6 1 y lo g y W
4. 2 Bx 71 6y "
(9 . 6W
'
y '
+ s in x = c
(8 ) x y 2

2 ta n y - c
ta n y x y x y
(1 o ) x

Scanned by CamScanner
 Ap pı
te d M a th e m o Hc s II sp E L (1 1 4 ) Dı
ffe re n tı
o ıE q u a tı
o n s o f 60 & EDA

6 . Eq u a t io n s R e d u c ib ı
e to E x a c t (I n te g ra t in g F a c t o r )
S o m e tim e s a g iv e n e q u a tio n is n o t e x a c t b u t is de re d e xac tip ı
t if it is m u ı ie d b y a s u ita b l
re n
ä
fa c to r Such a fa c to r is c a lle d a n in te g ra tin g fa c to r ïü

Fo r in s ta n c e th e e q u a tio n y o x ay o is t e x a ct If w ltip ly it b y 1 / y 2 th e n
, x ・ no e m u
, Ĥ
be co m e s

sı
n ce , gi - -
g ,
it is exacta n d M "
Jł
"
ř ' J. d y = '

x
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its s o lu tio n is . c
ダ

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ı th e it b e c o m

自
,
n es - - °

s in ce ,
i - -
3ï ,
it is e xa c t a n d its s o ı
u tio n is
Ť - °
'
i'
Ť - - ' " " .

歹 A ls o , if w

S in c e ,
aM
e m u

-
ı
tip ly

O =
?N
ix
(1 ) b y

'
it is
ı
Ày

e xa cta n
,
th e n it b e c o

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m es g

tio n is
"
g
y
. o J

w ・*t .
Io g x lo g y = ı
o g c ie Io g
ł - lo g e i e
ダ
x
. c a s b e fo re

o n e in te g ra tin g fa c to rs

ı
n te g r a tin g fa c to b y in
r s p e c tio n
S om e tim e s in te g ra tin g fa c to r ca n be o b ta in e d b y in s e c tio
p n c a re fu l s tu d y o f th e fo llo w in
g

(弓) ı
fu 一 ×
2
y du 2 砂 改 2
,
一
十 × dy

(7 ) ı
f u = ta n '
ř ,
du =

(9 ) If lo g C fx 吟
U 一
(x y) du ，
-

X y
2
(1 1 ) ı
f u 一
壬 ，
凼 一
空y w 2
y 湘

《
1 3 ) If u 一
，
c fu 。
丝吟 上声 川
)￠
y 2 ź
X y

Scanned by CamScanner
A p p lIe d M a th e m o tı
c s ı
\
(1 1 5 ) Dı
ffe re n tı
o ıE q u o tı
o m o ffO & +D

S o v e d E
ı x a m pı
e s C la s s (b ) 6 M a rk s

E x a m e 1
pı (b ) S o ı
v e (x + y ) (d x dy ) dx + dy

F ro th e re s u lt (1 0 )w e se e th a t if w d iv id e b y
S o ı m e (x + y ) th e e q u a tio n w iı
\be e x a ct

D iv id in g b y (x + y )
dx + a y
dx dy = i e d (x ) d (y ) o g (x
d tı + y )1
x + y

Its u tio n
so ı is x y - lo g (x + y )+ c

2 2
E x a m e 2
pı (b ) S o lv e y dx x dy + (1 + x )d x + x s in y dy 0
2
t th e te
2
H d iv id in g b y x
ı F ro m a s t te rm
th e ı w e se e th a t w e m u st g e t rid o rm x e nce
S o

Ĺ
" " g n y d y-

a tio n is e x a ct
t (4
th e r e s u ı )w e s e e th a t th e e qu
F ro m

W e ha v e d
Ĺ{) L 4 . d - * d ( CO S y) '

1 c
is + x c o s y
T he u tio n
so ı
X X

2 cx
ie y + 1 x + X CO S y -

(M U 2 0 14)
x x
dy 0
S o lv e y (2 ×y + e )d x e -

E x a m e 3 (b )
pı
2 tw e m u st d iv id e b y y
2xy dx exac
de th e te r m

Lł1
to re n r
S o ı In o rd e r
× 2 '
e
x
a K e dy
. d (x )・ d
y . .
2X O X + 2
H e nc e
y
u tio n
so ı
is
e xa ct a n
d its
T h is is Ř .
"

x
2
+ e . cy
- c i e x y
A T

y
dy . X + y
dy . x dx + y dy
x
n a s y dx
c a n b e w ritte
tio n
n J]
T he a
s o l e qu 2 2
w e ge t
+ y
ho u tby x
D iv id i g th ro u g
d ta n
'
Ť - d o g

+ c

H e n ce ,
its u tio n
so ı
is ta n
1
ť = lo g

p = Þ ii
Scanned by CamScanner
眉目团团团团团团■
M ◆he m a tlc s ı
l (1 16) D iffe re n tla ıE q u a tio n s
o f ro
ą
N " ,
I. I. g '"lng b y p a rt°

H e n c e ,
b y in te g ra tio n ,

L
ť d )t í łc x
X X X y
11
y (lo g x + 1)= 1 cx y is th e s o ı
u tio n

E x a m pı
e 6 (b ) S o lv e (1 + x y )y o x + (1 x y )x oy = 0
S o ı T he e qu a tio n ca n b e w r itte n a s (b 1l
2 2
y dx + x dy + x y dx X y dy = O
2 2
D iv id in g b y x y ,
w e get ,

y y ok
.
,
- o d
[] . [
d Io g × 】 d tıo g y ] = o

In te g r a tin g + lo g x ı
o g y - lo g e

自
,

x y
1
log _ x = c ye
" (x y ) i th
s e c o m ie te s o lu tio n

厂
c y ×y

E X E R C IS E II
-
， S o lv e t h e fo llo w in g e q u a t io n s C ı
a s s (b ) 6 M a rk s

自
厂

コ
月

Scanned by CamScanner
 \e d M
A P pł o h e m o tï c *
ł ・ ı
ı (1 16 ) D lffe re n tı
o l Eq u o ł
lo m t Eo
o
ą
N ow n g b y p a rts
in te g ra tı
ı a t* D Zfq r ic < !ı
,t
b

1 1 1
- ı
o g x
J
1 2
dx = ı
o g x
X X X X

d
[ ı
o g x
] 一] 一 d

H e nc e ,
b y in te g r a tio n ,

>c (d ĵ " '

rï G X
・ lo g x = 十 C
X X )y

y (lo g x + 1) = 1 c x y is th e u tio n
so ı

U屋 !
E x a m pı
e 6 (b ) S o lv e (1 + )y dK (1
x y + x y )x c ry = 0
S o ı T he e qu a tio n c a n b e w r itte n a s

Z
y dx + x dy + x jř d x x y dy - O
2 2
D iv id in g b y x y ,
w e ge t ,

In te g ra tin g , + lo g x lo g y - ïo g c
x y

ĺ l " (x y ) i h
lo g _ x = c ye s t e co m ie te s o lu tio n
c y ×y

ı E X E R C IS E II

Scanned by CamScanner
 lı
o th e m a ıc s
\ (1 1 7 ) Ħe
D ı lla ıE q u a tio n s o f E O & RD
\e d M
Appı re n :

t io n s R e d u c ib ıe T o E x a c t B y I n t e g r a t in g
7 Eq u a
to r s (R u ı
e s o f F in d in g I n t e g r a t in g F a c t o r s
Fa c
ı
e a rn so m e s ta n d a rd r u le s o f o b ta in in g in te g ra tin g fa c to rs
W e s ha ı
ın o w

n
R u le 1

ĺ i )/
lf(x )d r is in te g r a tin g fa c to r
,,
N is a fu n c tio n o f x o n ı
y s a y f (x ) th e n e a n

C ı (b » 6 M a r k s
S o v e d Ex
ı a m pı
e s a s s

2 2 (M U 2007)
S o ı (x Y 1) d x 2 x y dy 0
e 1 (b ) v e . +
Ex a m pı
2 2
+ 1 a n d N 2xy
ı W e ha v e M = x + y
S o

aM aN
2y 2y
Ì i
2
o g (1l x '
ıF e
J (2 / X )d x
.
2 ı
o g X
.
ı
T

M u ltip ly in g b y th e '
' w e ge t l +
J ・ - .
2
) dy ° w h ic h i" " '

)d y O
(T e rm s in N fre e fro m x

a n d N dy =

T he u tio n
so ı
is X
X X 1 9 9 5)
(M U
x y )d y
0
3 × [1
v e (y
2x )d x
Exa m e 2
pı (b ) S o ı 2
2 d N - x + x y
2× a n
S o ı: W e ha v e M = y

쁘 1 and ? ! + 2砂
2
f(x )
x {1 xy )

:x
' 2
ı
o g x x
2 lo g x
Ĵ e
J(2 / x )d x e
e

e x a ct

ĺł l. O w h ic h is
l. y

M u pı
w e ge t Ĺ 2×

?
J k卡 2× 。
ー
ペ )

JM c b《
J X

fro m X )dy y dy f2
in N fn e e
d N W (T e r m s
a n

2 C
兰
一
y 十
tio n is 2
T he s o lu X

Scanned by CamScanner
 Appı
ıe d M a th e m a Hc s - ı
ı p (1 18) D iĦe re n tı
o l Eq u a tı
o n s o fEo & Ĺ
E x a m p le 3 v e (2 × lo g
«b » S o ı x x y )dy + 2y o K - 0 ı «M U 1995 2
, t \ , 0
S o l H e re ,
M - 2y, N - 2x ı
og x y
?M ?N
.
g
2 1o g x + y
一 f(x )
?y ?x x (2 ı
o g x y ) x

f(x )d tr ( 1/X )d ir lo g
ıF x o g (1/x
ı )
= e = e = e = e =

M u ltip ly th e g iv e n e qu a tio n by 1 / x a n d re a rra n g e th e te rm s

dk + (2 lo g x y )o y = O ,
w h ic h ls e x a c t

JM c ht 一
幻 イ警 一 2y ı
o g x

J(T e rm s in N f. E f' " )d y =

J y d y =

T he s o lu tio n is 2 y lo g x . c
으

2
E x a m pı
e 4 (b ) S o ı
v e (4y + 3y x )d x + x (x + 2y )o V = o

(T e rm s in N fr e e fro m x )d y = O

4
4 3 2 x
The s o lu tio n is X y + x y . C 4x
4
y + 4 } 4 jf 2 x
4
. C
4
イ
Ex a m pı
e 5 (b » S o ı
v e (À 】f
2
e
1/ x '
)d x x
z
y oy = 0
(M U 2 004 , 品 、
?M ?N 酚
S o ı W e ha v e . 2 硝 _ 2 砂 条
?y ?x 臣
骨
瓜
葛
e
lı( X )o k
_ .
J dr _ .
4 ı
og X
. e
'o g j1 /X '
) .
ĺ
ı

Scanned by CamScanner
团团 b

b
e d M o th e m o «e * ïl (1 1 9 )
A p p lı ffe te n tlo ıE q u o ł
Dı lo m of ￠O & ￠D
Și 2 0 0 3 )
m um pM n g ï h ' " v °' " '" " '
"j ' "
1 .
= ° , " " " "

(T e rm s in N fre e fro m x )d y = O

2
3
1 /x y
The s o lu tio n is e c
i 2 ×
5

E x 6 p a g e 1 5 4 fo r a n o th e r m e th o d
S e e

4 4 3
Ex a m e 6
pı v e (x
(b ) S o ı + y )d x x y dy 0

ha
W 4y
3
y
3
W
.
l e v e
S o ay ?x

200 1 2)

M u y in g th e g
tip ı
ı iv e n e qu a tio n by
×
w e ge t .1 dx dy ' w h ic h is e xac t

A 4
y X

Ĺ 4 5 ı x
. og
JM ( Ĵ + y X 4
=

) c ly = O
in N fre e fro m X
(T e rm s
4 4
4 cx
= c ie 4 )ŕ lo g x y
T he s o lu tio n is lo g x
(M U 2 0 1 5)
2 ]dx 0
)
=
s in
dy + [y (x c o s x
v e x s in
x
S o ı
Exa m p le 7 (b ) d N = x s in x
in x a n
M x y co s x y s
so l W e hav e =
aN cos x
= s in x + x
刁八 a n d
s ln x
一 x cos x
ay X + X CO
X s ln X ) (s ln
(X Y

X S
2004 , 07 )
ııı

J Ŝ dx
e
o9x
2ı . e T
I = e
Ĵ f(x )d b r
= e
=

w e ge
t
by
q u a tı
'
o n
e
M u ı y in g
tip ı th e g iv e n

Scanned by CamScanner
 y 2
T he s o lu tio n is L s in x + = c
X X

R u ı
e 2

M is a fu n c t io n o f y o n ly , s a y f (y ), t h e n
Jf (y )d y
e J is a n in te g r a tin g fa c tr

S o v e d E
ı x a m pı
e s C ı
a s s «b ) 6 M a r k s

E x a m p le 1 (b ) S o lv e (x + 2y
3
) _
y
ok
3
s o ı T he e q u a tio n ca n be w r itte n a s
r
y dx (x + 2y ) dy = o f
j. y
'
J W : I
3
H e re M -
y a n d N ・ (x + 2y )

M u ltip ı
y in g b y th e I F ,
w e ge t ° ' " oy = O ,
w h ic h is e xa c t

Scanned by CamScanner
 e d M a th e m a tic s l ii
ı (1 2 1) Dı a l E q u a tio n s o f 6 0
ffe re n tı & FD
A p p !ı , .

4 y 3 2 4 2 2 0
Ex a m e 2
pı (b ) S o lv e (2 x y e + 2x y
y)d×(Ť y e
y x y 3 x )o rry =

(M U 1996 , 2005 , 10)

4 3
ha v e M 2x y e r + 2x y + y
ı W
-
S o e ,
Ų
2 4 y 2 2
a n d N = x y e x y 3x

4 3 2
- 2x (y e r + 4y er )+ 6xy + 1
ay
4 y 2
2xy e 2x y 3
a n d .

ðx

M u ltip l

,- --ĺ .
'
.
'
î ) . = o w h ic h is e xac t

)d y O
ri T fro m X =

e r

2 y + +
u tio n
s o ı
is x e
T he y
x
x
dv = 0
y ( y x + e )d K e
S o lv e
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n is n ot th e g e n e ra l s o l ti
g e n e ra ıs o ı
u tio n o f th e d iĦe re n ti ı u o n be c a u
s e 1he
a e q u a tio n o f n th
o rd e r s h o u ld h a v e n a r b itra r
y c o n s ta n ts
T o fin d th e g e n e ra ıs o lu tio n w he n r o o ts a r e r e
p e a te d
S u p p o s e th e ilia ry
a ux e qu a tio n s f (D ) O h a s th e
=
ro o t m l re p e a te d tw ic
e H e nce s u p p o se
f(D ) O (D )(D 2 ,

l)
=
m

ł
og v m lo g
lx +
=
c

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w e ge t m ly = c le
m ' x
dx .

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ea r re n tia l e q u a tio n o f th e ty p e g py Q
+ = an d he nce its o n ls
s o lu tı
cf
x
" X m X
, m x
y e . e ,
C 1e ï
dx + C - C
2 1 o K + C2 C1 X +
C
-

1x
w h ic h is th e s o lu tio n o f th e e u ti
s im ila rly ií th e q a on (5 )
ro o t m 'l1 is re p e a te d th ric e
,
th e so littio n c o r re s p o n is t!e
d in g to th e ro o ts
,

s o lu tio n 3 se
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Scanned by CamScanner
 lı fe re n lla l E q u a tlm r
th e m o tı
c s (3 5) li n e o r D ı
ı :" r
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p ro c e , ,

t m l is re p e a te d r tim e s th e c o rre s p o n d in g p a r t o f th e s o lu tio n ı

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e s C ı
a s s «a ) 3 M a r ks
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e (a ) S o ı
v e 5 .
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2 002, 16)

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So l
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2
2x x
T he u tio n
so ı is y - (C 1 + C2 X )e + c3 e

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v e th e fo ı
Soı lo w in g e q u a t io n s C la s s (a ) 3 M a rk s

2x X

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2 "
2× X

(3 » y -
(c l + C x + c3 x )e じり y \비 丁
哩 석 ワ 丁
叼 リ

3x ×

(5 ) y - (c t + c2 x )e
3 X
+ (c 3 + c4 x )e (6 ) y = (c 1 + c2 x ) + (c 3 + c4 x )e 1

6 . A u x ilia ry Eq u a t io n w it h I m a g in a ry R o o ts

Scanned by CamScanner
 pı
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(3 6 ) L In e a r Dı
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p o a gı
n a ry r o o ts re soı
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can b e w ritte n a s
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)e ' h ic h be w ritte n a s
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)e (a
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y =
(c i + c2 x
+
+ (c 3 + c4x

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°"
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+ 44x ) m l
S o ı
v e d Ex a m pı
e s C ı
a s s «a ) 3 M a r ks

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X x
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e 3 (a ) S o ı
ve + 6 + 9y 0
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+ 9 - 0
2
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2
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T he ro o ts a r e r e p e a te d co m p le x ro o ts

ー T he s o lu tio n is y =
(c i + c2 x )c o s l3 x + ( c3 +c 4 x ) si n 3
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け
ー
4
轟 E x a m p le 4 (a ) S o lv e + k y 0
U 2 0 0 3)
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S o l T he a ux ilia ry e q u a tio n is D + k 4
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Scanned by CamScanner
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,
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e q u a tio n is D 2D + aD z
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2
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2
ro o ts a re c o m p le x a n d r e p e a te d
S in c e , th e

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ve (D + + -

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So ı: T h e a u x ilia ry e
3 2 4 0
ď 4D + 8D 8D + =

2
2 2
0 D 2D + 2 - 0
: (D 2D + 2) .

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it h R e a l, I r r a t io n a
7 A u x ilia r y E q u a t io n w o th e r
,
th e n w e k n o w th a t th e

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f irra tio n a l ro o
2 ) o f §4 h a s
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n g p a rt
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e
s o lu tio n c a n b e w r itte n as

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y =
(C 1 + C 2X )e
+
+ (C 3 + C4X )e
y = e
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[(A 1 + A2x )C O S h ・ x + (A 3 + A 4x )s in h ・ x ]
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a X
[(c 1 + C 2X )C O S h ・ X + (c 3 + C4X )s in h ・ x ]

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v e d Ex a m p le Cı
a s s «a ) 3 M a rk s

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e (a ) S o lv e (D 2D 4 )y - 0
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(M U 2 0 14)

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(M U 2 00 2)
+ + y -
11 2 3
(D + 1) (ď + D + 1)
2
y - O

Scanned by CamScanner
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(6 ) y
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x
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-

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(c 5 co s J3 . x + c 6 s in J3 ・ x )

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x
+ (C 3 + C4 X )C O S X + (C 5 + cóx )s in x

(9 ) y
- (C , + C2X

2
+ c4 X
3
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"
+ e
"
{(c 5 + c6 X )c o s x + (c T + caX )s in x }
(c l 1 CX+C3 x
(1 0 ) y
-

x "
)c o s (ß x / 2 ) + (c g + c 1o x )s in (J 3 x / 2 )]
+ e [(c 7 + c8 x

2x (c 3 + c4 X )s in 2x ]
(c l 4 c2 X )c o s +
(1 2 ) y -

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X h e re a
8, S o lu t io n o f f «D ) y - w

C o n s id e r th e e q u a tio n

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n d X is a fu n c
o
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a re c o n s ta n s le m e n ta ry fu n c tio n s
w he re pl ti u la r in te g ra l T h e c o m p
a n d th e p a r
, ,
c
c tio n
su m o f th e c o m pı e m e n ta ry fu n
ti
x ilia r y e q u a o
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o bta in e d b y s o lv in g th e a u (3 )

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b e w ritte n a s y =

s in c e f (D )y - x th e p a
,
r tic u ı
a r in te g r a l c a n ÃĎ
to r o f f (D )
d e fin a s th e in v e rs e o p e ra
To fin d x w e e
fio i f(D )
ra te d u P o n
b y f (D )
ti f X w h ic h w he n o pe
t fu n c o n o
(a ) D e fin itio n X is d e fin e d a s th a
f(D )
gl iıvv ee s XX
he n o pe ra te u
f x w h ic h w
x is th a t fu n c tio n o
(b )M e a n in f x B y th e a bo ve d e fin itio n
g o
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s in c e in te g ra tio n
D g iv e ļ tia tio n w r t x a nd
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Scanned by CamScanner
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a s s «a ) 3 M a r ks

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S o ı A s d is c u sse d a bo ve

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2
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E x a m pı
e 2 (a ) F in d th e p a rtic in te g r a ıo f D
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S o ı P a rtic u la r In te g r a ı P I ・ x x
= e = e c br ・ e

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e 3 (a ) F in d th e p a r tic 2
u la r in te g r a l o f D (y ) = sec x

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a r In te g r a ı p I sec
2
,
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x = se c x d K = ta n x
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g a y = X
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ia ry e qu a tio n is D L
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D ・
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e m e n ta ry fu n c tio n is y - ce
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,
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. e a -
x .
・x
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罔
S im ila r ı
y w e ca n p ro ve th a t

T h is m e a n s th e p a rtic u ı
a r in te g r a l (P I ) o f th e e q u a tio n g ay - X ie (D a)y = x is
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Scanned by CamScanner
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3 x
e
3 x
x dx
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pı (a ) F in d th e p a r tic u la r in tc g r ái f (D + 3)y - s i 2 Á x

soı p I- in s n î 2 x .
e
3x
e
3 x
s in 2x dK

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x
e (3 s in 2x 2 co s 2x e

-
l (3 s in 2x 2 cos 2x )
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ax
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ax
c o s b x dx = e

2x

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g r i o f (D
2
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1
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e
e
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3× X
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X
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3x
e E c fx - e
D 1
E 1
=
D
D 1 2x
x X
2× x x
c fx E . E . E
2x x x
e c fx - e e .

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th e p a rtic u ı g ra l b y
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Scanned by CamScanner
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Scanned by CamScanner
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ax
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ax
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w e =
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+ + r n )e a x

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D + 2D + 1 4 1 4 + 1

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T he m e th o d , h o w e v e r, fa iı
s if f (a ) O ie D is
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ax ax ax
e = e = e
f(D ) f(a ) 0
Now s in c e D is fa c to f f (D
, a a r o ) ,
su p po se

f (D ) = (D a ) 0 (D ) a n d 0 (a ) + 0

T he n p I一 上 e
a・
一
上 .
上 e
a。

f(D ) D a Q (D )

Scanned by CamScanner
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n e ra a a r re p e a te d r

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rm a bo v e re s u lts (1 ) a n d (2 ) c a n b e p u T in a n o th e r fo rm a s fo llo w s
S in ce f (D ) (D a ) 0 (D ) d iĦe re n tia tin g it w r t D g e t,
=
,
, ,
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f (D )
'
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(D a ) 0 '
(D ) + O (D )
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(a ) # O

P ro c e e d in g in th is w a y if f
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e c a n a ls o be s o lv e d b y th e
d is c u sse d a bo ve Śe e E x 1 o f th e e x e rc is e

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e s C ı
a s s «b ) 6 M a r ks

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S o l T he a ux ilia ry e q u a tio n is D 30 + 4 - o

Scanned by CamScanner
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+ C BX )e

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e 2 «b ) S o ı
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3
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啕 5D + 6 )y e
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So ı T he a u x iı
ia ry e q u a tio n is D 3
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(D 1 ) (ď D 6)= O
(D 1 ) (D 3 ) (D + 2 )= O

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x
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2 x
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3× 4
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x 2 x " "
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T he co m p le te s o lu tio n y - cle " " . "

2x 2
3
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2
5D 6 )y (e + 3)
Ex a m e 3
pı (b ) S o ı
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iı
ia r y tio n is D 3 2 5D + 6 = 0
So ı T he a u x e qu a

A s in th e a bo v e e x a m p le
D 1 2 3
1 ) (D 3 ) (D + 2 )= O =

(D 2x 3x
x + c3 e
c1e + c2 e
F u n c tio n c F is y -

c o m p le m e n ta ry
2×
4 x
6e + 9)
(e +
p a r tic u ı
a r In te g ra l P I- 3 2
5D + 6
,
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1
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4x e + 9 2
e + 6 2 D
3
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3
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D
3
2D 5D +

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s o lu tio n is
T he co m p le te 4× 3
e 3 2x
3x 1 e +
2x 1

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+ c2 e
+ c3 e
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一
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×
(M U 1999)

S o ı T he a ux ilia ry e q u a tio n is 6 0 + 17 D + 12 ・ O

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D - 3 /2
4 x /3 3 x /2
T h e C F is y - C1e + 62 e

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Scanned by CamScanner
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17 ı + 12

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(M U 19 88, 93, 97)

(M U 1994)

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(2 D + 1) y - 4 e 8 (D + 1)y = co s
7

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X
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2x 2 x
2x l 2x 2 x
e + e
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(3 ) H in t cos =

2
32 4

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(4 ) y = cje + c2 e 十
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c3 c o s (X / l 2 ) + c 4 s in (x / J2 )

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Scanned by CamScanner
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(1 3 ) y C1 4
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2
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s in a x

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s in a x = ) s in a X
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Scanned by CamScanner
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2
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2
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ia ry e q u a tio n is D + 4 - o D - 2 i, 2i
T h e C F is y - cl cos 2x + c 2 s in 2x

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T he c o m pı
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X
y - cl co s 2x + c z s in 2x + s in 2x 94
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D = ,

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s \n
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-
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s in 3 × 1 N o rıe 1h \* l
3
°
5D + 3 5D
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s in 3x
s in 3x -
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2 9
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(1 5 3x 3 s in 3x )
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(5 D 3 ) s in 3 x -

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2x
+ c2 e
3x
+ 47 8 [5 co s 3x s in 3x)
lu tio n is
-
so
T he co m p le te
:
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3 ) (D
2
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: (D 3x)
3X 3x + c a s īn
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T h e C F is y
-

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2 0 15»
1 c o s 3 x

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) th e g e n e r
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s in c e ď + 9 is a fa c to r o (D + 3 )c o s 3 x
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3x cos 3 x )
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( 3 .

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,
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s in 3x -

{» u 2 003 , 15)
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3x .
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s o lu tio n \s s \n 3x
: T he co m p le te ı cos 3x
+ C3 S ïn 3 x ) 36 3 iX
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y - c1e + (C 2 ls \n 3 x e
CO S 3 x
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2 7 )y - (
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2°
+ 9D
Am er C o n s id e r (D

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( co s 3x + sı

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2 7 )y s in
36
.
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e 5 (b ) :
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b ta in e d b y e q u a tin g
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3x 3x + C 3 s in 3x )+
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Ex a m pı e 6 «b ) : S o

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ia ry e q u a tio n s
s o ı T he a u x iı
2 D = O + L i
D (D 1 = O + )
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T h e C F is y =

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s in x

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3 19 ]
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,
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s o lu tio n is y c l + c 2 c o s x + c 3 s in x cos x
T he p le te į
-
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2 3i
S o l T he a u x ilia ry e q u a tio n is D + 9 - 0 D - 3i

T h e C R is y c lcos 3x + c s in
2
3x

P I 'e X COS 2x ) e
x
2
COS 2x
ď + 9 ď + 9 D + 9
X
= e cos 2x
10 5

: T he co m p le te s o lu tio n is y ' " o s 3x "

" in 3 x . .
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Scanned by CamScanner
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ı ]

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1
= e + = r cos 4x + cos 2x
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Ex a m pı 3
ia ry e q u a tio n is D
iı + D = o
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s
H

C 3 s in X Ĥ
T h e C F is y = C 1 + C2 C O S X +

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2 (M U 200 8, 12 )
2 2
1) y e
x
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(b ) S o ı
v e (D 1) (D + -

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2 D 1, 1 + i
1 )2 (D + 1)= 0 =

So l T h e a ux ia ry
iı e q u a tio n is (D
T h e c F is y - (c 1 + c2 x )e
X
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4
+ 8D 2 + 1 6 )y = cos
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× 7 (D 1)
2
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2
1) y =

2
×
(M U 2 0 01
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.
,

4
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n x + e *

10 D 2 (D 2 9 )y 3 5 11 (D
4
10 D
2
9 )y (2 x 3 )
+ = co s x + + + - cos + (M U 1988 2
, 00 4)
12 (ď 4 )y = s in
2
x (M U 19 8 8)

[A n Is (1 ) y = e
x /2
C1cos(J3/2)X+CSin(J3/2) į (2 s in 2x + 3 co s 2x )

(2 ) y . C le
x
+ e
x /2
c2 c o s ( l3 / 2 )x + C b s in (l 3 /2 ) ・
[īJt '" ax a
a
sı
n

(3 ) y - c l 1 c co s X + c sı
2 a n X
Š co s X

(4 ) ( H In t M u ltip ly b y s in x : N o te D 4
+ 1- (D
2
+ 1)
2
2D 2 )
l2
(x l J2 ) +
×/
y - . c lcos c z s in (x / l2

i
ax
(5 ) y = c 1e + c2 e
?
+ C c o s a x + c 4 s ln a x + ' x co s ax

(6 ) y =
(C 1 + C2 X )(C 3 CO S 2x + C4 s ı
n 2x )+ 1 1 . x
2
. COS 2x
32 64

(7 ) y (C )e
X
(C 3 1
=
1 + C2 X + + c4 x )(C s C O S X + 0 s in X
6 )+
2
ļ3 X
2
s in X +
1
x
z
e
ł
2 8
(8 ) y = C 1COS X + c 2 s ln x + c c o s 3x + c cos 3x 月四 国国
a 4 + x (c o s 3 x 3 c os X )

(1 0 ) y = c l + C2 X + c3 c o s 3x + c 4 s ln 3x s in 3x +
18
(1 1 ) y = C i C O S X + C s in x + c c
z a o s 3 x + c s in 3x
1
4 cos (2 x + 3)
15
«1 2 ) y c 1 e
x 2x x 1 33 e 4T
+ c
2 e s in
-
2x 1

1 1 P a r t ic u ı
a r I n te g ra lw h e n X m
.
= x w he re m is a p o s it iv e I n te g e r
m
W he n X = x w e w r ite f (D ) in a sce n d įn g p o
,
w e rs o f D b y p u ttin it in h
g e o rm 1 + (D ) T h e n ,

By e x pa n d in g th e b ra c k e t b y th e fo r m u la
,

1
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3
(l + x ) ・ 1 x + x + x
4

1 3
o r (1 x ) ・ l + x + ř + x + x
4
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Scanned by CamScanner
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ffe re n o ıE q u a tı
tı o m . . .

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b y o p e ra tin g e a c h te rm o f th e e x p a n s io n o n m
x
t h a t in th e e x p a n s io n te rm s b
w e g e t th e re u lre d
g ı
p a rıcuıa r ın te g ra l It is
o bv io u s e y o n d th e ,
m n t h p o w e f D d i
n o t be w r e n s ı
tt n c e th e
s ofx o f p o w e rs h ıg h e r th a n m a re z e
r o n ee
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a s s «b ) 6 M a r ks
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e 1 o ı
ve (D aD + 2 )y . x

T he a ux ilia ry e q u a tio n ı
s D a
so l 3D + 2 . o
a 2 Z
D D + D D 2 D + 2 0 (D 1 ) (D 2
.
+ D 2 )= O
(D 1 ) (D 1 ) (D + 2 )= 0

: T h e C F is y - (C 1 + c2 x )e x + c3 e
2x

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D
3
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× 一
X 1 丝の 竺
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一
2
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: T he co m p le te s o lu tio n is y =
(c 1 + c2 x )e x + c e
a

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v e 20 + 4y = 3×
2
5x + 2
dxa dx
ilia ry 3
S o ı: T h e a ux e qu a tio n is D 2D + 4 . 0

D
3
+ 2 0 2 6 4D + 2D + 4 = 0
2
(D + 2 )(D 2D + 2 )= 0 D . 2 ,
11 i
2X
T h e C F is y ×
(C 2
- c 1 e + e c o s X + c 3 s in x )

4
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: T he co m p le te s o lu tio n is y = c l e
"
+ .
"
(c 2 c o s x + c 3 s i' " ・
1[ 3 ×2 2x +

SO l
Exa m pı
e e «b ) s o lv e . ￥ . 4y - x
2
+ e
×
+ co s 2x (M U 1 9 9 5 , 2 0 0 5 , 1 0 , 11)

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