solomon 3/16/99 5:33 PM Page 231

On Finite Simple
Groups and Their
Classification
by Ron Solomon

D
anny Gorenstein called it the “Thirty linear, unitary, symplectic, and orthogonal groups
Years War,” for the Classification acting on a finite-dimensional vector space over
battles were fought mostly in the a finite field, whose derived subgroups are all
decades 1950–1980, although the simple, except in a few cases for very small di-
dream of a classification of all finite mensions and fields. The
simple groups goes back at least to the 1890s. work of Chevalley, Tits,
In this brief article, I shall attempt to give some Steinberg, Suzuki, and
sense of the mathematical highpoints of the Ree in the 1950s pro-
original proof and the ongoing revision project. vided a systematic de- . . . the study of
I shall also give some personal reflections on the
sociology of the classification effort, and finally
scription of finite ana-
logues for all of the
simple groups
I shall discuss some current and future directions complex simple Lie generated amazing
for research in finite group theory. Many thanks groups, some real forms
are due to Jon Alperin, Michael Aschbacher, and related “twists”. Fi- insights into the
George Glauberman, Bill Kantor, Radha Kessar,
Richard Lyons, and Steve Smith for valuable cri-
nally in the period
1965–1974, a great gold
structure of finite
tiques of this article. rush unearthed twenty- groups and
But first, a word about our sponsors: the fi- one new simple groups
nite simple groups themselves. Before there even to supplement the five uncovered several
was a mathematical term “group”, Lagrange, which had been discov-
Gauss, and their contemporaries were familiar ered in the 1860s by
of the most
with the cyclic groups Zp and the alternating Mathieu and dubbed fascinating objects
groups An. Galois, who gave us the term “group” “sporadic” by Burnside.
and the concept of a normal subgroup, was also Like the elementary par- in the mathematical
familiar with the fractional linear groups ticles of physics, spo-
PSL(2, p) and their connection to p -division radic simple groups were
firmament.
points on elliptic curves. Jordan described the often predicted several
classical linear (or matrix) groups over prime years before their exis-
fields, and this was extended to all finite fields tence was confirmed. For
by Dickson. This yields the projective special example, the Monster was predicted in 1973,
but not constructed until 1980.
Ron Solomon is a professor of mathematics at The A vast literature of theorems, most of which
Ohio State University, Columbus, OH . His e-mail ad- were published between 1955 and 1983, com-
dress is solomon@math.ohio-state.edu. bines to yield the following result.

FEBRUARY 1995 NOTICES OF THE AMS 231

solomon 3/16/99 5:33 PM Page 232

Galois Stroth Gorenstein Gauss Suzuki Tits

The Classification of the Finite Simple Groups The battle to restrict the structure of H was
Let G be a finite simple group. Then G is one of intricately interwoven during the decade
the following: 1965–1975 with the quest for new sporadic sim-
1. a cyclic group of prime order, Zp; ple groups to create a unique mathematical ta-
2. an alternating group, An , n ≥ 5 ; pestry. This precis will focus only on the battle.
3. a classical linear group PSL(n, q), PSU(n, q) , This then was one of the principal remaining
PSp(2n, q) or PΩε (n, q) ; challenges of the Classification problem in 1965:
4. an exceptional or twisted group of Lie type How does one use the hypothesis of simplicity of
3 D (q) , E (q) , 2 E (q) , E (q) , E (q) , F (q) ,
4 6 6 7 8 4 G to restrict the structure of the centralizer H ?
2 F (2n )0, G (q) , 2 G (3n ) or 2 B (2n ) ; For example, H could hypothetically have ar-
4 2 2 2
5. a sporadic simple group: M11, M12, M22, M23 , bitrarily complicated solvable normal subgroups.
M24 (the Mathieu groups); J1 , J2 , J3 , J4 (the But in the actual finite simple groups, solvable
Janko groups); Co1, Co2, Co3 (the Conway normal subgroups of centralizers of involutions
groups); HS , Mc ; Suz ( Co1 ‘babies’), Fi22 , are of very restricted type. In particular, normal
0 subgroups of odd order in centralizers of invo-
Fi23 , Fi24 (the Fischer groups); F1 = M (the
Monster), F2 , F3 , F5 , He(= F7 ) (Monster ‘ba- lutions are cyclic and “almost” central. There is
bies’); Ru ; Ly ; ON . a suggestive analogy in the theory of Lie algebras:
If L is a finite-dimensional semisimple Lie alge-
The Mathematics of the Classification bra over C and x is a semisimple element of L
The term “Thirty Years War” is apt, inasmuch as (i.e., ρ(x) is diagonalizable for any matrix rep-
the first close approximation to the eventually resentation ρ of L ), then the centralizer CL (x)
successful classification strategy was proposed is a reductive Lie algebra (i.e., any solvable ideal
by Richard Brauer at the International Congress of CL (x) is central). The achievement of the anal-
of Mathematicians in Amsterdam in 1954. His ogous theorem for finite simple groups (the Bp -
idea was: Theorem) is the longest chapter in the entire clas-
sification and centers around three themes:
In a finite nonabelian simple group G ,
choose an involution z (an element of order 1. Signalizer Method
two) and consider its centralizer
The signalizer method provides the most far-
CG (z) = {g ∈ G : gz = zg} . Show that the
reaching answer to the question:
isomorphism type of CG (z) determines the
possible isomorphism types of G . How can one exploit the absence of solvable
normal subgroups in G to bound the struc-
During the period 1950–1965, Brauer and oth-
ture of solvable normal subgroups of cen-
ers honed methods for solving the class of prob-
tralizers H = CG (z) ?
lems: Given a specific H , determine up to iso-
morphism all simple groups G having an The key initial ideas for the study of “ A -sig-
involution z with CG (z) ≡ H . Once Feit and nalizers” appeared in the work of Thompson,
Thompson proved Burnside’s odd order conjec- while the concept of a signalizer functor is due
ture in 1963, Brauer’s strategy gained further to Gorenstein. The crucial Signalizer Functor
credibility: at least one could find an involution Theorem (see Appendix) gives conditions under
in any nonabelian finite simple group! which a collection of A -invariant p0-subgroups
The subgroup CG (z) is an example of a ( p-) of G can be glued together into a single proper
local subgroup of G , i.e., the normalizer of a non- p0-subgroup of G . ( X is a p0-group if the prime
identity p-subgroup of G for some prime p. (In p does not divide the order of X.) The wished-
this case, p = 2 .) Brauer’s philosophy represented for conclusion is that this subgroup, Θ(G; A) , is
the first version of a type of local-global princi- a normal subgroup of G , whence Θ(G; A) = 1 .
ple that was to determine the shape of the Clas- This is a lengthy journey, a principal way-station
sification proof. of which is the proof that if Θ(G; A) is not nor-

232 NOTICES OF THE AMS VOLUME 42, NUMBER 2

 solomon 3/16/99 5:33 PM Page 233

its Steinberg Dickson

mal in G , then NG (Θ(G; A)) is a strongly p-em-

bedded subgroup of G .

2. Strong p-Embedding
Definition. Let G be a finite group. A proper sub-
group M of G is a strongly p-embedded subgroup
of G if p divides |M|, but p does not divide
|M ∩ M g | for any g ∈ G − M .
This means that in the transitive permuta-
tion action of G on the coset space M\G, every
element of order p fixes exactly one point. The
evolution of this theory passes through the work
of Frobenius, Zassenhaus, Feit, Brauer, Suzuki,
and others and, for p = 2 , reaches a very elegant
conclusion in the Strongly Embedded Theorem
of Bender. This identifies all simple groups with
a strongly 2-embedded subgroup and, in partic-
ular, asserts that no simple group has a strongly
2-embedded 20 -local subgroup (by a p0-local sub-
group we mean the normalizer of a nonidentity
p0-subgroup).
When p is odd, the story is messier. For ap-
plications to signalizer theory, the crucial fact is: In 1982, Danny Gorenstein (above), Ron Solomon, and
No simple group G of p-rank ≥ 3 has a strongly Richard Lyons began a “Revision Project” intended to
p-embedded p0-local subgroup. This has only produce a “new and complete proof of the Classification.”
been established after the fact of the Classifica-
tion. However, in the inductive context, the re-
quired special case of this result was established volutions t in G are semisimple (in fact, diago-
by Aschbacher. Because nontrivial signalizer nalizable) and a typical such t and its central-
functors lead to strongly p-embedded p0-local izer H = CG (t) are:
subgroups, they in turn do not in general exist. ¥
−Im×m 0
This is the key to establishing the crucial Bp -The- t=
orem whose statement we shall now approach. 0 Ir ×r
( ¥
A 0
3. Semisimple Elements and Components H= :
0 B
Definitions. We call a finite group L quasi- )
simple if L = [L, L] and L/Z(L) is simple. A good A ∈ GL(m, q), B ∈ GL(r , q)
example is SL(n, q) for (n, q) 6= (2, 2) or (2, 3).
We call L a component of H if L is quasi-sim- ≡ GL(m, q) × GL(r , q),
ple and L is a subnormal subgroup of H , i.e.,
n = m + r.
there is a normal series (in the sense of Jordan-
Holder) from L to H . Distinct components of H If m > 1 and (m, q) 6= (2, 3) , then SL(m, q) =
commute and the (commuting) product of all E(GL(m, q)) is a quasisimple component of H ,
components of H is denoted E(H) . and likewise for SL(r , q) . Thus, except for the
Components play a dominating role in the small cases noted, E(H) ≡ SL(m, q) × SL(r , q) =
centralizers of semisimple elements in classical [H, H] .
linear groups (indeed, in all groups of Lie type). In contrast to this, if G = GL(n, 2m ) , then in-
For example, if G = GL(n, q) with q odd, then in- volutions t in G are unipotent matrices and the

FEBRUARY 1995 NOTICES OF THE AMS 233

solomon 3/16/99 5:33 PM Page 234

Feit Timmesfeld Lagrange Seitz Chevalley

centralizer of t has a large “unipotent radical”— With the Bp -Theorem and the p-Component
a normal 2-subgroup—and has no components. Theorems in hand, Brauer’s original strategy can
The early work of Feit, Suzuki, and Thompson now be vindicated and refined to an inductive al-
dealt exclusively with groups whose local sub- gorithm for classifying those finite simple groups
groups H were solvable, thus for which E(H) = 1. that contain a semisimple p-element for some
It was Gorenstein and Walter in the mid ’60s who prime p:
first came to grips with the general problem of 1. Choose a semisimple element x of prime
simple groups with nonsolvable local subgroups. order p whose centralizer contains a large com-
Definitions. The generalized Fitting subgroup ponent K , as promised by the p-Component
of H is F ∗ (H) = F(H)E(H) where F(H) is the Fit- Theorem. By induction, K is a known quasi-
ting subgroup of H , i.e., the (unique) largest nor- simple group and by the p-Component Theorem,
mal nilpotent subgroup of H. We call a p-element K is almost all of CG (x) .
x of G semisimple if E(CG (x)) 6= 1 . We call a p- 2. Now for each known quasi-simple group K
element x of G unipotent if F ∗ (CG (x)) is a p- and each prime p, classify all finite simple groups
group. G having an element x of order p with CG (x) ap-
Caveat: If G is a classical linear group, this no- proximately equal to K.
tion of semisimple roughly corresponds to the With some refinements (in particular, one
classical notion, but there are definite discrep- must choose p = 2 , if possible), this is the strat-
ancies. In a simple classical linear group over a egy which handles roughly half of the Classifi-
field of characteristic p, every nonidentity unipo- cation proof, but does not handle:
tent element (in the classical sense) is unipotent
in the above sense. 4. Quasi-Unipotent Groups
The principal application of the signalizer Definition. We call G quasi-unipotent if every el-
method is to establish a slightly weakened ver- ement of G of order p is unipotent for all primes
sion of the following theorem: p such that G has p-rank ≥ 3 .
Theorem. If G is simple of p-rank ≥ 3 , then ei- Thus the other half of the Classification prob-
ther some x ∈ G of order p is semisimple or every lem is the determination of all quasi-unipotent
X ∈ G of order p is unipotent. groups. In the context of the classification of
finite-dimensional semisimple Lie algebras over
At the heart of this analysis is the Bp -Theo-
C, a roughly analogous problem is quickly re-
rem. (See Appendix.)
solved by Engel’s Theorem: A finite-dimensional
In the semisimple setting a second important
Lie algebra L, all of whose elements are ad-nilpo-
answer to the question: How does one exploit the
tent, is itself a nilpotent Lie algebra (hence, in par-
simplicity of G ? is provided by the following the-
ticular, L is not semisimple). In the classification
orem of Aschbacher (as refined by Foote):
of the finite simple groups, this problem is con-
Aschbacher’s Component Theorem: Suppose
siderably thornier. It sits logically at the base of
that E(G) is simple and G contains a semisim-
the entire problem, in the sense that any mini-
ple involution. Then there is some semisimple
mal simple group is quasi-unipotent.
involution x such that CG (x) has a normal sub-
[The classification of the minimal simple
group K which is either quasi-simple or iso-
groups was achieved in the monumental Odd
morphic to O + (4, q)0 and such that Q = CG (K) is
Order Theorem of Feit and Thompson and the
tightly embedded (i.e., |Q ∩ Qg | is odd for all
N -Group Theorem of Thompson.]
g ∈ G − NG (Q)) .
There are four principal cases of the general
In practice, when K is a known quasi-simple
Quasi-unipotent Problem:
group, tight embedding usually implies that Q
has 2-rank 1. In the current revision of the Clas- A. The Odd Order Case, treated by Feit and
sification proof, Aschbacher’s theorem is ex- Thompson.
tended to (somewhat different) p-Component B. The 2-Rank 2 Case, treated by Alperin, Brauer,
Theorems for all primes p. Gorenstein, Walter and Lyons.

234 NOTICES OF THE AMS VOLUME 42, NUMBER 2

solomon 3/16/99 5:33 PM Page 235

Ito Brauer Burnside Ree Thompson Brown

The remaining two cases, together with many of The Sociology of the Classification
the fundamental ideas for their solution, first in the 1970s
emerged clearly in Thompson’s fundamental
work on “ N -groups”. Up to the early 1960s, really
nothing of real interest was
C. The Classical Klinger-Mason Case: G is quasi- known about general simple
unipotent of 2-rank ≥ 3 and some 2-local sub- groups of finite order. . . .
group M has p-rank ≤ 2 for every odd prime p. Since [1962], finite group the-
(The “thin” subcase is when the 2-local p-rank ory simply is not the same any
of G is 1.) more.
D. The Classical Quasi-Thin Case: G is quasi- —Richard Brauer (ICM, 1970) Richard Brauer
unipotent of 2-rank ≥ 3 but every 2-local sub- The Odd Order Theorem of Feit and
group P has p-rank ≤ 2 for every odd prime p. Thompson (followed by Thompson’s N -
(The “thin” subcase is when the 2-local p-rank group paper) was a singularity in the
of G is 1.) evolution of finite group theory. An
The first step in Case D is to establish that understanding of the dramatic new ideas
G is generated by two 2-locals, say P1 and P2 , and methods introduced in this 255-page
containing a common Sylow 2-subgroup T of G. paper became almost indispensible for
The existence of at least two maximal 2-locals continued participation in the
containing a given Sylow 2-subgroup T is guar- Classification endeavor. Gorenstein wrote
anteed by the Global C(G; T )-Theorem: If a Sylow the ‘Reader’s Guide’ in 1968: Finite
2-subgroup T of G lies in a unique maximal 2- Groups. He also provided the optimism,
local P of G , then P is a strongly embedded the organization and, in 1972, a ‘16-step
subgroup of G and G is known. plan’ for the completion of the
The Quasi-thin Theorem asserts that in Case Classification proof. Although obsolete
Michael Aschbacher
D , if G does not have a strongly embedded sub- in several important points within months
group, then G is a group of Lie type in charac- of its articulation, Gorenstein’s program
teristic 2 of Lie rank 2 generated by a pair of (par- was a critical source of problems and
abolic) subgroups P1 and P2 or G is on a short inspiration for the ‘young Turks’ who
list of exceptions. The strategy is to construct the attacked the Classification in the ’70s.
“building”, i.e., the (P1 , P2 ) -coset geometry, and Yet another critical new feature of the
then identify this geometry and the associated ’70s, most notably in the work of
group. The original proof of the Quasi-thin The- Timmesfeld and Aschbacher, was the
orem by Aschbacher and Geoff Mason (only in fusion of the geometric methods of
preprint, except for [A1]) uses the Weak Closure Fischer, Hall, and Shult with the
Method, introduced by Thompson and extended architectonic analysis of Thompson,
by Aschbacher. Current work towards a new Gorenstein, and Walter.
proof uses the Amalgam Method, introduced by The pace of the Classification in the
Goldschmidt. These methods afford the final ’70s was exhilarating. Not a single lead-
deep answer to the question: ing group theorist besides Gorenstein be- John Thompson
lieved in 1972 that the Classification
How does one exploit the simplicity of G to would be completed this century. By Numerous
bound the p-local structure of a (quasi- 1976, almost everyone believed that the mathematicians have
unipotent) simple group G ? Classification problem was “busted”. The been directly or
principal reason was Michael Asch- indirectly involved in
This completes a very brief overview of the strat- bacher’s lightning assaults on the B-Con- this research, many of
egy for the Classification proof. jecture, the Thin Group Problem, and the their names appear in
Strongly p-embedded 2-local problem. gray along the tops of
Also, in 1976 Timmesfeld announced a these pages.

FEBRUARY 1995 NOTICES OF THE AMS 235

solomon 3/16/99 5:33 PM Page 236

Bender Aschbacher Curtis Robinson Puig

which appeared during the years

1960–1975. At least 3,000 pages of
mathematically dense preprints ap-
peared in the years 1976–1980 and
simply overwhelmed the digestive
system of the group theory com-
munity. Mason’s 800-page quasi-
thin typescript has achieved some
notoriety, inasmuch as it has
never been published. More ac-
curately, it is an extreme point
on the spectrum of incompletely
assimilated manuscripts from
the latter years of the Classi-
fication. Indeed, it was not
until 1989 that it was noticed
that certain small subcases of the
problem remained untreated in
Mason’s typescript, a gap which Asch-
bacher filled in a typescript distributed
in 1992. The manuscript requires fur-
ther editing, and as yet the Mason-Asch-
bacher proof of the Quasi-thin Theorem has
not been submitted for publication.
A major factor in Mason’s initial reluctance
to complete and publish his work was a re-
markable insight by Goldschmidt, which sug-
Created by Silvio Levy break- gested a significantly different approach to prob-
(The Geometry Center,
University of
through in the “ O2 lems such as the quasi-thin problem—the
Minnesota) using extraspecial” problem. (Although Amalgam Method, mentioned above. Mason be-
Mathematica. major cases remained to be handled by Smith, lieved that this method was superior to the ap-
Stroth, and others, Timmesfeld “broke the back” proach that he had been using. Furthermore,
of the problem.) This had a profound psycho- several people—notably Goldschmidt, Stroth,
logical impact because sixteen of the twenty-six and Stellmacher—produced beautiful papers ex-
sporadic simple groups (including the Monster ploiting this method. (Two major papers of Stell-
0
and its babies, as well as Co1 , Co2 , Fi24 and J4 ) macher—on “thin groups” and on N -groups—
satisfy the O2 extraspecial hypothesis. Psycho- also remain unpublished.) Mason believed that
logically, Timmesfeld’s theorem was a finiteness a new proof of the Quasi-thin Theorem via the
theorem for sporadic simple groups. The endless Amalgam Method was inevitable in the near fu-
frontier was closing, and by the 1976 Duluth ture and abandoned his almost-completed paper.
Conference, Aschbacher, Gorenstein and Lyons, The necessity of bringing this entire Classifi-
Gilman and Griess, and Geoff Mason had staked cation endeavor to a more coherent and com-
their claims to all of the remaining major pieces pelling resolution was grasped immediately by
of the Classification. Danny Gorenstein and led him to spearhead:
The literature of the Classification was al-
ways challenging, coming in massive 200-page The Revision Project
papers. Nevertheless, there were always indi- The process of “revision” of the Classification was
viduals and seminar groups that made serious for years inextricably associated with the name
efforts to read and digest most of the papers of Helmut Bender, who began the creative re-

236 NOTICES OF THE AMS VOLUME 42, NUMBER 2

solomon 3/16/99 5:33 PM Page 237

Lusztig Alperin Testerman Dynkin Lyon

working of the Odd Order Theorem and the chbacher has taken a first major step towards
Abelian and Dihedral Sylow 2-Subgroup Theo- codifying this knowledge in [A2]. There is also a
rems in the late ’60s. In so doing, he enriched all book on the sporadic groups in preparation by
of group theory with fundamental new con- Griess.)
cepts—e.g., F ∗ (G) —and new theorems. Later, The GLS work itself will appear in a series of
several others, notably Glauberman, approximately twelve volumes to be
Peterfalvl, and Enguehard undertook published by the American Mathemat-
various “revision” projects. This effort @?
@L

ical Society. It is subdivided into five

@@@@(MI'@@@@(Me@@@@@(?'@@@@@?I'@@@@@?e@@@@@?I'@@@@(M?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e@@@@@@@@@@@@@?I'@@@@@(Y@@@@@@?I'@@@@@@@@@@
@@@0Y??V4@@0Y?e@@@@0Y?V4@@@@??V4@@@@?e@@@@@??N@@@0Y??@@@@@(M?I'@@@(M?I'@@@5?e3@@@(Me@@@@5??V'@@@(Y?3@@@@5??N@@@@@0?4@@
@)K??W2@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@6K
@0M?fI4@0Y?eV4@0Y?eV4@0Y?eV4@0Y?e@@@0Y?eV4@0Y??V4@@0Y?e@@@0M?eI'
@@@6T&@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@fW&
?N
?J
@@@@@Y@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@L??W&@
@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@??7@@
@@@@5?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@H??@@@
@@@0Y?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@
(Me?J@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@
?7@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@fI'
)Ke?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@W@@@@@@@?@@@@@@XI'@@?W@@@@@@@@@@@@X?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@f?N
@@6X?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@>@@@@@@?@@@@@@1e@@@@R'@@@@@@X@@@1?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@g
@@@1?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@U@@@@@?@@@@@@@?7@@@@?N@@@@@V@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?W2@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@5?@@@@(R@@@@@@?@@@@@@@?@@@@@?J@@@@@?@@@@5?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?7@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@H?@@@@Y?@@@@@@?@@@@@@@?3@@@@T&@@@@@?@@@@Y?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?eW@@@@@e?@@@

has produced an almost complete re- parts.

@@@5?@@@@@@@@??@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@L?@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@e@@@>@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@?@@@@?7@@@@@e?@@@
@@0Y?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@W@@@@@@@@@@@1?@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@?7@@S@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@?@@@@?@@@@?@@@@@@e?3@@
@?e?@@@@@@@@@@@@@@@(Y@@@@@Y@@@@@@@@@@@W@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@?@@@@>@@@@@@@W@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@W@@@X@@@@?3@@@?@@@@@@e?V'@
@Le?@@@@@@@@@@@@@?@Y?@@@@@@@@@@@@@@@@@@Y@@@@@@@@@@@W@@@@@@@?@@@@@>@@@@@@@Y@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@Y?;@@@e?V@@@@@@@@@@fV'
@)K??@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@Y@@@@@@?@@@@@@Y@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@6X@@@@@@@@@@@@@@@@@f?N
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@V@@@@@@@@@@@@@@@@@@g
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?W2@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?7@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@e?3@@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?V'@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@fV4
K?e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@g
@@6X?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@g
@@@1?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@X@@(MeI4@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@g
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@X@@@eI'@@Y?fW@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@e?W2@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@??V@@@@e?V4@@@@@?W&Y@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@e?7@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@W2@?gO&@T@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@e?@@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@V4@@@@@@@@?f?@@YS@UW@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@e?3@@
@?e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@? ?@@@@R@@Y?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@e?V4@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@f?I

vision of both the Odd Order Theo- Part I consists of: overview and out-
5?e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@X?
Y?e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@,? ?3@@@@@@@@T@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@g
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@(Y? ?V'@@@@@@S@U@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@g
V4@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@e?W2@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@H
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@W.? @@(R'>(?'@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@e?7@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@U? @0Y?S@H?N@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@e?@@@
7@L??@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@
@@@5?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@1?
@@0Y?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@W2@ @@@?e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@e?3@@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?/X? 3@f?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?V'@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@W@@@@?N1?heW26XgV'1?e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@fN@
@@6X?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@8W@@L?@?h?W.MB)K?f?V'?@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@f?@
@@@1?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@T&@@@?he?.Y??@@6X?g@@?3@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@V@@@X I')Kg@@?S@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@
?N@@@6X?e@@W&R4@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@1
@@@5?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@f?W26K?eO@K?f@?@@1?e@@@@eW@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@
@@0Y?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@6KO&@@@@@@@@@@e?J@?3@@Le@@@@e7@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?3@@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@??@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?7@?N@@1e@@@@e@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?V4@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?f?3@??@@@e@@@@L?3@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@g
@6K??@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@V4@@@@@@@@@@6K??V'?g3@@@1?V'@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@f?J
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e@@@@@@@@@@@@heV@@@@?e@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@fO&
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@(MW@@@@@Le@@@@@@@@@@@@L?g?@@@@@@?O&@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@

rem and the identification of the split line, general group theory, and prop-
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@YO&Y@@@@@f@@@@@@@@@@)Xg?N@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@X@@@@Hf@@@@@?@@@@@1g?J@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@??S@@@@@?f@@@@@@@@W@@@g?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@V4@?W&@@@@@?f?W@@@@@@(Mh?N@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?3@@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@L??W&@@@@@5?f?'@?@@@0Y?h?J@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?V'@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@)X?*@@@@@(Y?f?V'@@@h?@e?7Y@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@fN@
@@6X?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@(e@@@@@HhV'@@@@(?f?@e?@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@fJ@
@@@1?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@(Y?@@@@@@?e?@f?V4@@0Y?he?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?W&@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@Y??N@@@@5?e?@?@K? @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?7@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?J@@@@g?@@@@?f?'@?e?W2(e@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@
@@@5?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@H?7@@@@)KeO@X@@?g?V'?e?&0Ye@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?3@@
4@0Y?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@??@@@@@@@@@@@@@@@6K @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?N@@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@5?J@@@@@@@@@@@@@?@@@@?he?W2@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@f@@
?@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@YO&@@@@@@@@@@@@@?3@@@?e@?f?@?7@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@5g
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@(Me?V'@@@@?h?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?g
@@6X?@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@H?f?@@@H?f?)X?e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@1g
@@@1?@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@T&K??O&@@@W.?@eJ@(?@6X@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@5e?W2@
@@@@?@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?V@@@@@@@@@@@Ue?O&(YJ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@HeW&@@
@@@5?@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@1e@@@HW&@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e7@@@
@@(Y?@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@XI@e@@@W&@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e3@@@
@(Y??@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@fI4@@@@f@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?eN@@@

BN -pairs of rank 1 (i.e., PSL(2, q) erties of the known simple groups. In

@?e?@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@eW@@Hf@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e?@@@
@)K??@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@e@@@?@(e@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?g
@@@@?@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@0?@eN@@W(Ye@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?g
@@@@?@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@Xhe?@@0Y??J@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e?W2@
@@@@?@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@1 ?@?&@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e?7@@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e?@@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
@@@5?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@X?e@6X?h?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e?@@@
@@0Y?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@)XeN@1?fO2@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e?3@@
@?e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@)K??@@?eO2@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@?e?V4@
@Le?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?f?W
@)X??@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?f?7
@@)X?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@?f?@
@@@1?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?eW2@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e7@@@
@@@5?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@?e@@@@
@@(Y?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e3@@@
@(Y??@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?3@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@X?e?I'@@@@@@@@@@@@@?@@?eV'@@
@He?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@L??V@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?S@@@@6XV'@@@@@@@@@@@@?@@?e?V4@

PSU(3, q), 2 B2 (2n ) and 2 G2 (3n )).

@Le?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@(MeW@@@)T2@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@5?7@@@@@1?N@@@@?@@@@@@@?@@?g
@)X??@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@Y?e'@@@@@Y@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@H?3@@@@@@e@@@@?@@@@?@@?@@?g
@@1??@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@6XV'@@@@?@@@@@@@@@@@@W@@@@@@@??N@@@@@@e@@@@?@@@@@@@?@@?e?O2@

particular, this will complement the

@@@??@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@1?V'@@@?@@@@@@@@@@@@@Y@@@@@@?e@@@@@@e@@@@?@@@@@@@?@@?e@@@@
@@@??@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@V4@@@@@@@eN@@@X@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e@@@@?@@@@@@@?@@?e@@@@
@@@?J@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@W5??I'@@@@@e?@MB@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@5?J@@@@@@@@@@@@?@@?e@@@@
@@@?7@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@H?e?@@@@@g@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@H?7@@@@@@@@@@@@?@@?e3@@@
3@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@5f'@@@@@@(f@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@5?J@@@@@@@@@@@@@?@@?eV'@@
?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@X?@@@@@@@@@@@YfV4@@?@(Y?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@(YW&@@@@@?@@@@@@@?@@?e?V4@
7@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@)X@@@@@@@@@@@@6KfI4@0Y??3@@@@@@(Y@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@(YW&@@@@@@?@@@@@@@?@@?g
@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@6K?h@@@@@0Y?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@UO&@@@@@@@?@@@@@@@?@@?g
@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@6K?f?@@@@0M?e@@@@@@@@@@@@?@@@@@@>@@@@@@@@@@?@@@@@@@?@@?eW2@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@6Khf3@@@@@@@@@@@@@@@@(R@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@?e7@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@6X?hV'@@@@@@@@@@0Y@@@HJ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e@@@@
@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@)Kh?N@@@@@@@@(M?J@@@T&@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e@@@@
@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@6Kh@@@@@@@0Y?W&@@V@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e3@@@
@?e@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@6X@@@@f?O&@@5?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?eV4@@
@?e@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@H?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?f?@
@?e@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@??@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?f?@
@@6X@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?h?@@@@@@@@@@@@@@@@?f?@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e?@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?eJ@@@
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e@@@@

In a somewhat different vein, Gold- existing literature on properties of the

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?eN@@@
@0M?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e?3@@
3@@@@@?@@@@@@@e@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e?V'@
L?eN@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@(Y@@@?@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?f?@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@?fN@
)KeJ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@Y?@@@@@@@@@@@@@@W@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@??@@@@@?@@@@W@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?fJ@
@@@?7@@@@V4@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@>@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@Y@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e?W&@
@@@?@@@@@?e@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?3@@@@@@@@Y@@@@@@@?@@@@?@@@@?@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@?@@@@@@@@@@?eW&@@
@@@?3@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e@@@?@@@@?V@W@@@@@@@@@@@@@@?@@@@?@@@@?@@?@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@@@?@@?@@@@@@@@@@?e7@@@
@@@?N@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?@@@@@@@@Y@@@@@@@?@@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e@@@@
@@@??@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e3@@@
@?e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?eV'@@
@?e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e?V4@
@?e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?g
@@6X?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?g
@@@1?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@?e?@@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@LeJ@@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@1e7@@@
@@@@?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e3@@@
@@e?@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@eV'@@
?I@MI4@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@e?V4@
@@
@@L? ?J

schmidt introduced the Amalgam finite groups of Lie type and will enu-
@@)X O@K?
@@@1eW2@@6XeW2@@6Xe?W2@@@e?@@@@@eW2@@6Xe?W2@@@e?@@@@@e?@@@@@e?W26K?eW2@@6Xhe?W26K?e?W26X?hfO&
@@@@?O&@@@@1e7@@@@1e?7@@@@L?J@@@@@L?7@@@@1e?7@@@@L?J@@@@@eJ@@@@@L?W&@@@@e7@@@@1eW2@@6XeW&@@@@eW&@@)Xe?@@@6Xe?@@@
@@@@@@@@@@@@L?@@@@@@L??@@@@@)?&@@@@@)X@@@@@@e?@@@@@)?&@@@@@?O&@@@@@)?&@@@@@e@@@@@@?O&@@@@1e7@@@@@?O&@@@@1eJ@@@@1eJ@@@

Method with the principal intention of merate the assumed results on spo-
“revising” the weak closure arguments Sir W. R. radic groups. The overview and outline
at the heart of Thompson’s N -group Hamilton volume has been sent to the publisher.
paper and of the thin and quasi-thin observed in The remainder of Part I should be com-
group work of Aschbacher and Mason. 1856 that the pleted within the next year.
This program has had major successes, icosahedral Part II presents the fundamental
notably Stellmacher’s revisions of the group (left) may “uniqueness theorems” on which the
core of Thompson’s N -group paper be defined Classification rests: the Suzuki-
and Aschbacher’s thin group paper. It abstractly as Bender Strongly Embedded Theorem
too has had a fruitful influence on the the group (with extensions), the Strongly p-em-
related fields of finite geometry and generated by bedded Theorem (work of Gernot
geometric group theory. two Stroth), the Global C(G; T )-Theorem
In 1982, Danny Gorenstein launched substitutions of (Joint work with Richard Foote) and tje
a “revision project” in which he was orders 2 and 3, p-Component Uniqueness Theorems.
joined by Richard Lyons and myself. respectively, The main mathematical body of Part
This project is intended to complement whose product II is complete, although much remains
the work of the other revision efforts is of order 5. to be done in terms of preparation of
to yield a new and complete proof of preliminary sections.
the Classification. Here is a brief dis- Part III presents the proof of the
cussion of the status of this (GLS) project and its “generic case”. This constitutes the classification
interfaces with the other revision efforts. (subject to the inductive assumption that all
The work of GLS rests on a foundation of proper simple sections are isomorphic to known
background results. In addition to the contents simple groups) of most of the finite simple
of standard textbooks and monographs, these groups, including An for n ≥ 13 and the groups
consist principally of: of Lie type of rank ≥ 4 (except for a few defined
1. The Odd Order Theorem and the identifi- over F2 ). Operationally, the generic case treats
cation of the split BN -pairs of rank 1. (As dis- those local configurations to which, for some
cussed above, these theorems have already been prime p, the Signalizer Method can be effec-
subjected to extensive review and revision.), and tively applied to verify the Bp -Property for a
2. The existence, uniqueness, Schur multipli- large number of semisimple p-elements of G .
ers, and other basic properties of the twenty-six More than half of the mathematical body of Part
sporadic simple groups. (These properties are III is complete.
stated without proof in [GL] and in the Atlas The “special” (nongeneric) part of the proof
[Co]. Many have published proofs in journals. As- divides into “odd” and “even” cases, according

FEBRUARY 1995 NOTICES OF THE AMS 237

solomon 3/16/99 5:33 PM Page 238

Stellmacher Goldschmidt Mason Quillen

to whether involutions in G behave like semi- In another vein, several mathematicians—no-
simple or unipotent elements. The groups to be tably Alperin, Broué, Puig, and Robinson—have
identified include An for n ≥ 12 , all of the been exploring extensions of Brauer’s theory of
groups of Lie type of rank ≤ 2, and all of the spo- modular representations, which might yield
radic groups. (Groups of Lie rank 3 are split be- major simplifications of the Classification proof.
tween the generic and special cases.) Because In particular, the Bp -Conjecture is a natural can-
the Signalizer Method breaks down in these “nar- didate for proof by modular methods. It is also
row” cases and, even more, because available tempting to hope for a modular proof of an odd
recognition theorems require very detailed in- prime analogue of the Z 0-Theorem. A good ref-
ternal information, the analysis of the special odd erence for these and related themes is [Ca].
and even cases is extremely lengthy and delicate. Maximal Subgroups and Primitive Permutation
Nevertheless, the main mathematical body of Representations
the proof for the Special Odd Case (Part IV) is al- Extending works of Steinberg, Seitz, and Tester-
most complete. The Special Even Case (Part V)— man have shown how to lift many embedding
primarily the extended Klinger-Mason and Quasi- questions for finite Lie type groups to questions
thin Cases—on the other hand, is in by far the for algebraic groups. Also, they have extended
sketchiest state of all the parts of the revised the work of Dynkin on maximal subgroups of
proof, because of the Quasi-thin Case. simple Lie groups to simple algebraic groups in
The classification of the finite simple groups characteristic p. Unfortunately, their lifting re-
is an ongoing organic process, whose progress sult has prime restrictions that cry out to be re-
in the three decades since the Odd Order Theo- moved or at least significantly weakened. Nu-
rem has been extraordinary. An excellent de- merous other questions in this context remain
tailed overview of the original proof is provided open. A good introduction with references is
in [G1] with references for all the major theorems available in Seitz’s article in [LS].
stated above. An outline of the revised proof
Geometry and Topology
appears in [G2] and a more detailed introduction
There are numerous geometries or simplicial
will constitute volume I of the GLS series.
complexes naturally associated with finite groups
in general and simple groups in particular. Ex-
Speculations on Current and Future
amples include the p-group complexes studied
Directions for Finite Group Theory
by Brown, Quillen, and others. This generalizes
Quite a bit of recent research in finite group the- the buildings of Tits, associated with the p-local
ory has developed in response to problems from structure of Lie type groups in characteristic p.
other areas of mathematics—e.g., field theory, These complexes are useful in describing the p-
model theory, graph theory, finite geometry. local structure of the sporadic groups and shed
Many of these problems had been around for light on their p-modular representations, a view-
quite a while, but suddenly became accessible point poineered by Ronan and Smith. Many are
thanks to the completion of the Classification and simply connected, and this fact can be used to
some of its immediate corollaries, for instance, establish uniqueness results for sporadic simple
the classification of finite 2-transitive permuta- groups (Aschbacher and Segev) and give pre-
tion groups. Surveys of some of this work are sentations for simple and near-simple groups;
available in [G1], [G2], and in Kantor’s article in e.g., the Y-presentation for the Bimonster (see
[M]. No doubt there will be an ongoing flow of below) as well as the classical Steinberg-Curtis-
such questions and answers. Here I will briefly Tits presentations for the groups of Lie type.
mention some of the active areas of research. On the other hand, certain natural geome-
Representation Theory tries are far from simply connected, e.g., the 5-
In recent decades the work of Steinberg, Curtis, local geometry for the Lyons simple group Ly and
Lusztig, and many others has shed considerable the sporadic affine building covering it, investi-
light on the natural (i.e., characteristic p) repre- gated by Kantor. To date, the connectivity results
sentation theory of finite groups of Lie type in remain somewhat mysterious and the nature of
characteristic p, (as well as on the complex rep- the “exotic” universal covers of some of the nat-
resentation theory). Some of this work already urally-occurring nonsimply connected geome-
plays a crucial role in the Classification proof. It tries remains totally obscure.
would be valuable to develop a unified and effi- The complexes alluded to above are in gen-
cient treatment of those “small” characteristic p eral of rank at least 3. The rank 2 case dovetails
modules (quadratic, failure of factorization, small with the theory of amalgams. Here the geome-
centralizer, etc.) which are critical to this work. tries are never simply connected. Indeed the in-

238 NOTICES OF THE AMS VOLUME 42, NUMBER 2

solomon 3/16/99 5:33 PM Page 239

Enguehard Glauberman Smith Peterfalvl

finite amalgam can be studied independent of The eruption of mathematics during the hey-
the knowledge of any faithful finite completion. day of the study of simple groups generated
One particularly intriguing infinite amalgam (of amazing insights into the structure of finite
rank 3) associated both with the Lie group groups and uncovered several of the most fas-
Spin(7) and the sporadic simple group Co3 was cinating objects in the mathematical firmament.
studied by Chermak and has recently been Naturally, our understanding remains incom-
shown by Benson to be related to a 2-completed plete, some loose ends remain dangling and the
finite loop space discovered by Dwyer and Wilk- future of research in finite group theory prom-
erson. Such spaces seem to be rare (like finite ises as many insights and surprises as the past.
simple groups) and Benson speculates that their
References
classification might be a fruitful endeavor.
[A1] M. Aschbacher, Thin finite simple groups, J. Al-
Much remains to be understood about these gebra 46 (1978), 50–152.
tantalizing “objects at infinity” that seem to [A2] M. Aschbacher, Sporadic groups, Cambridge Uni-
complete the space of finite simple groups. A versity Press, Cambridge, 1994.
good starting point for further reading is [LS]. [Bl] E. Bannai and T. Ito, Algebraic combinatorics I: As-
sociation schemes, Benjamin/Cummings, Menlo Park,
Monsterology
1984.
The Monster remains the single most tantaliz- [Ca] M. Cabanes, ed., Representations lineaires des
ing simple group, with apparent (but as yet mys- groupes finis, Asterisque, 181–182 (1990).
terious) connections to Kac-Moody Lie theory, [Co] J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A.
quantum field theory, modular functions, and Parker, and R. A. Wilson, Atlas of finite groups, Claren-
congruence subgroups of SL(2, Z) . don Press, Oxford, 1985.
It is well known how to show that a finite [G1] D. Gorenstein, Finite simple groups: An intro-
duction to their classification, Plenum Press, New York,
group generated by involutions acts analytically
1982.
on a Riemann surface. It would be interesting to [G2] D. Gorenstein, Classifying the finite simple groups,
understand higher-dimensional analytic repre- Bull. A.M.S. 14 (1986), 1–98.
sentations of finite (simple) groups. In particu- [GL] D. Gorenstein and R. Lyons, The local structure
lar one would hope for a natural analytic rep- of finite groups of characteristic 2 type, Memoirs Amer.
resentation of the Monster in dimension 24 Math. Soc. 276 (1983).
(more or less), which would clarify the connec- [LS] M. W. Liebeck and J. Saxl, ed., Groups, combina-
tions between the Monster (and its subgroups) torics and geometry, L.M.S. Lecture Notes Series 165,
Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
and classical elliptic modular functions. Recent
[M] J. McKay, ed., Finite groups—Coming of age, A.M.S.
work of Ivanov and Norton has established that Contemporary Mathematics, Vol. 45, Providence, 1982.
the Bimonster (i.e., the wreathed product of the
Monster by Z2 ) is the quotient of a certain infi- Appendix of Technical Definitions and
nite Coxeter group (presented by the “ Y5,5,5 -di- Theorems
agram”) by a single additional relation. Is this a Definition. Let A be an elementary abelian p -subgroup
clue to right analytic object on which the Mon- of a finite group G of p-rank ≥ 3 . Suppose that θ is a
function which assigns to each a ∈ A# an A -invariant
ster acts?
solvable p0-subgroup of CG (a) . We call θ an A -signal-
Perhaps this will lead to a new unified ap-
izer functor if the balance condition holds:
proach to all of the finite simple groups, perhaps θ(a) ∩ CG (a0 ) = CG (a) ∩ θ(a0 ) for all a, a0 ∈ A − {1} .
only to a deeper level of insight into the Mon- The Signalizer Functor Theorem (Goldschmidt,
ster and its babies. Further material and refer- Glauberman): Θ(G; A) = hθ(a) : a ∈ A − {1}i is an A -
ences are available in [M] and in [LS]. invariant solvable p0-subgroup of G . (There is an im-
portant extension of this result to non-solvable signal-
Algebraic Combinatorics
izer functors due to Patrick McBride.)
The Classification has permitted the solution Definition. The p -layer of H, Lp0 (H) , is the (unique) min-
of numerous classification problems concerning imal normal subgroup of H which maps onto
combinatorial structures with large automor- E(H/Op0 (H)) .
phism groups. More ambitiously, Bannai, T. Ito, Lp0-Balance Theorem (Gorenstein-Walter): If every com-
and others (See [Bl]) have championed the ap- ponent L of X/Op0 (X) satisfies the “Schreler property”
plication of generalized hypergeometric func- (i.e. Aut L/lnn L is solvable), then Lp0 (Y ) ≤ Lp0 (X) for
tions to the study of certain association schemes. every p -local subgroup Y of X . (For p = 2 , a sufficient
“weak Schreier property” was established by Glauber-
For large rank, all such known schemes arise nat-
man as a corollary of his Z 0 -Theorem. The full Schreier
urally from some (almost) simple group. On the property is established only as an a posteriori conse-
other hand, the classification of all such asso- quence of the Classification.)
ciation schemes would subsume the classifica- The Bp -Theorem. If Op0 (G) = 1 and if x is a p -element
tion of the finite simple groups! of G , then Lp0 (CG (x) ≤ E(CG (x)) .

FEBRUARY 1995 NOTICES OF THE AMS 239