ECE 301 Signals and Systems Course Info August 2, 2006 1

Table of Contents for Lathi, Linear Systems and Signals

PREFACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

B BACKGROUND

B.1 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

B.1-1 A Historical Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
B.1-2 Algebra of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

B.2 Sinusoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
B.2-1 Addition of Sinusoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
B.2-2 Sinusoids in Terms of Exponentials: Euler’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

B.3 Sketching Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

B.3-1 Monotonic Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
B.3-2 The Exponentially Varying Sinusoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

B.4 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

B.5 Partial Fraction Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

B.5-1 Method of Clearing Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
B.5-2 The Heaviside “Cover-Up” Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
B.5-3 Repeated Factors of Q(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
B.5-4 Mixture of the Heaviside “Cover-up” and Clearing Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
B.5-5 Improper F (x) with m = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B.5-6 Modified Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

B.6 Vectors and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

B.6-1 Some Definitions and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
B.6-2 Matrix Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B.6-3 Derivatives and Integrals of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
B.6-4 The Characteristic Equation of a Matrix: The Cayley-Hamilton Theorem . . . . . 45
B.6-5 Computation of an Exponential and a Power of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

B.7 Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B.7-1 L’Hôpital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B.7-2 The Taylor and MacLaurin Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B.7-3 Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B.7-4 Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
B.7-5 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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B.7-6 Trigonometric Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

B.7-7 Indefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
B.7-8 Common Derivative Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
B.7-9 Some Useful Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
B.7-10 Solution of Quadratic and Cubic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
MATLAB Session B: Elementary Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1 SIGNALS AND SYSTEMS

1.1 Size of a Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.1-1 Signal Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.1-2 Signal Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.2 Some Useful Signal Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.2-1 Time Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.2-2 Time Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.2-3 Time Reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.2-4 Combined Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.3 Classification of Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.3-1 Continuous-Time and Discrete-Time Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.3-2 Analog and Digital Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.3-3 Periodic and Aperiodic Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.3-4 Energy and Power Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.3-5 Deterministic and Random Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.4 Some Useful Signal Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.4-1 Unit Step Function u(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.4-2 The Unit Impulse Function δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.4-3 The Exponential Function est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

1.5 Even and Odd Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.5-1 Some Properties of Even and Odd Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
1.5-2 Even and Odd Components of a Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1.6 Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
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1.7 Classification of Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.7-1 Linear and Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.7-2 Time-Invariant and Time-Varying Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.7-3 Instantaneous and Dynamic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1.7-4 Causal and Noncausal Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
1.7-5 Continuous-Time and Discrete-Time Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.7-6 Analog and Digital Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.7-7 Invertible and Noninvertible Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.7-8 Stable and Unstable Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1.8 System Model: Input-Output Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.8-1 Electrical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.8-2 Mechanical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1.8-3 Electromechanical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1.9 Internal and External Description of a System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

1.10 Internal Description: The State-Space Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

1.11 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
MATLAB Session I: Working with Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

2 TIME-DOMAIN ANALYSIS OF CONTINUOUS-TIME SYSTEMS

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.2 System Response to Internal Conditions: The Zero-Input Response . . . . . . . . . . . . . 152

2.2-1 Some Insights into the Zero-Input Behavior of a System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.3 The Unit Impulse Response h(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.4 System Response to External Input: Zero-State Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.4-1 The Convolution Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2.4-2 Graphical Understanding of Convolution Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
2.4-3 Interconnected Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
2.4-4 A Very Special Function for LTIC Systems: The Everlasting Exponential . . . . . 195
2.4-5 Total Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197

2.5 Classical Solution of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

2.5-1 Forced Response: The Method of Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
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2.6 System Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

2.6-1 Internal (Asymptotic) Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
2.6-2 Relationship Between BIBO and Asymptotic Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

2.7 Intuitive Insights into System Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

2.7-1 Dependence of System Behavior on Characteristic Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
2.7-2 Response Time of a System: The System Time Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
2.7-3 Time Constant and Rise Time of a System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
2.7-4 Time Constant and Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
2.7-5 Time Constant and Pulse Dispersion (Spreading) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
2.7-6 Time constant and Rate of Information Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
2.7-7 The Resonance Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

2.8 Appendix 2.1: Determining the Impulse Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

2.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
MATLAB Session 2: M-Files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

3 TIME-DOMAIN ANALYSIS OF DISCRETE-TIME SYSTEMS

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

3.1-1 Size of a Discrete-Time Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

3.2 Useful Signal Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3.3 Some Useful Discrete-Time Signal Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

3.3-1 Discrete-Time Impulse Function δ[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
3.3-2 Discrete-Time Unit Step Function u[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
3.3-3 Discrete-Time Exponential γ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
3.3-4 Discrete-Time Sinusoid cos(Ωn + θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
3.3-5 Discrete-Time Complex Exponential ejΩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

3.4 Examples of Discrete-Time Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

3.4-1 Classification of Discrete-Time Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268

3.5 Discrete-Time System Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

3.5-1 Recursive (Iterative) Solution of Difference Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
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3.6 System Response to Internal Conditions: The Zero-Input Response . . . . . . . . . . . . . 276

3.7 The Unit Impulse Response h[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

3.8 System Response to External Input: The Zero-State Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

3.8-1 Graphical Procedure for the Convolution Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
3.8-2 Interconnected Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
3.8-3 A Very Special Function for LTID Systems: The Everlasting Exponential xn . . 302
3.8-4 Total Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .303

3.9 Classical Solution of Linear Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

3.10 System Stability: The External (BIBO) Stability Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

3.10-1 Internal (Asymptotic) Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312
3.10-2 Relationship Between and Asymptotic Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

3.1 1 Intuitive Insights into System Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

3.12 Appendix 3.1: Impulse Response for a Special Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

3.13 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

MATLAB Session 3: Signals and Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

4 CONTINUOUS-TIME SYSTEM ANALYSIS USING THE LAPLACE TRANSFORM

4.1 The Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

4.1-1 Finding the Inverse Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .348

4.2 Some Properties of the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .360

4.2-1 Time Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
4.2-2 Frequency Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
4.2-3 The Time-Differentiation Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
4.2-4 The Time-Integration Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
4.2-5 Time Convolution and Frequency Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
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4.3 Solution of Differential and Integro-Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

4.3-1 Zero-State Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .376
4.3-2 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
4.3-3 Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

4.4 Analysis of Electrical Networks: The Transformed Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

4.4-1 Analysis of Active Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

4.5 Block Diagrams

4.6 System Realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

4.6-1 Direct Form I Realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
4.6-2 Direct Form II Realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
4.6-3 Cascade and Parallel Realizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
4.6-4 Transposed Realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
4.6-5 Using Operational Amplifiers for System Realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

4.7 Application to Feedback and Controls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

4.7-1 Analysis of a Simple Control System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

4.8 Frequency Response of an LTIC System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

4.8-1 Steady-State Response to Causal Sinusoidal Inputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

4.9 Bode Plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

4.9-1 Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
4.9-2 Pole (or Zero) at the Origin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
4.9-3 First-Order Pole (or Zero) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
4.9-4 Second-Order Pole (or Zero) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .437
4.9-5 The Transfer Function from the Frequency Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

4.10 Filter Design by Placement of Poles and Zeros of H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

4.10-1 Dependence of Frequency Response on Poles and Zeros of H(s) . . . . . . . . . . . . . .447
4.10-2 Lowpass Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
4.10-3 Bandpass Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
4.10-4 Notch (Bandstop) Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .451
4.10-5 Practical Filters and Their Specifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

4.11 The Bilateral Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

4.11-1 Properties of Bilateral Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
4.11-2 Using the Bilateral Transform for Linear System Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
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4.12 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
MATLAB Session 4: Continuous-Time Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

5 DISCRETE-TIME SYSTEM ANALYSIS USING THE z-TRANSFORM

5.1 The z-Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

5.1-1 Finding the Inverse Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .501

5.2 Some Properties of the z-Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

5.3 z-Transform Solution of Linear Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .515

5.3-1 Zero-State Response of LTID Systems: The Transfer Function . . . . . . . . . . . . . . . . 519
5.3-2 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
5.3-3 Inverse Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

5.4 System Realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

5.5 Frequency Response of Discrete-Time Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

5.5-1 The Periodic Nature of the Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
5.5-2 Aliasing and Sampling Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

5.6 Frequency Response from Pole-Zero Location . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .544

5.7 Digital Processing of Analog Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

5.8 Connection Between the Laplace Transform and the z-Transform . . . . . . . . . . . . . . . 560

5.9 The Bilateral z-Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .562

5.9-1 Properties of the Bilateral z-Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
5.9-2 Using the Bilateral z-Transform for Analysis of LTID Systems . . . . . . . . . . . . . . . . 569

5.10 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
MATLAB Session 5: Discrete-Time IIR Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
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6 CONTINUOUS-TIME SIGNAL ANALYSIS: THE FOURIER SERIES

6.1 Periodic Signal Representation by Trigonometric Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

6.1 1 The Fourier Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
6.1-2 The Effect of Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
6.1-3 Determining the Fundamental Frequency and Period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

6.2 Existence and Convergence of the Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

6.2-1 Convergence of a Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
6.2-2 The Role of Amplitude and Phase Spectra in Waveshaping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

6.3 Exponential Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

6.3-1 Exponential Fourier Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
6.3-2 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

6.4 LTIC System Response to Periodic Inputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

6.5 Generalized Fourier Series: Signals as Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

6.5-1 Component of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
6.5-2 Signal Comparison and Component of a Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
6.5-3 Extension to Complex Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
6.5-4 Signal Representation by an Orthogonal Signal Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

6.6 Numerical Computation of Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

6.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
MATLAB Session 6: Fourier Series Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

7 CONTINUOUS-TIME SIGNAL ANALYSIS: THE FOURIER TRANSFORM

7.1 Aperiodic Signal Representation by Fourier Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

7.1-1 Physical Appreciation of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

7.2 Transforms of Some Useful Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .687

7.2-1 Connection Between the Fourier and Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
ECE 301 Signals and Systems Course Info August 2, 2006 9

7.3 Some Properties of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698

7.4 Signal Transmission Through LTIC Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

7.4-1 Signal Distortion During Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .719
7.4-2 Systems and Group Delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722

7.5 Ideal and Practical Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726

7.6 Signal Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729

7.7 Application to Communications: Amplitude Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .732

7.7-1 Double-Sideband, Suppressed-Carrier (DSB-SC) Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732
7.7-2 Amplitude Modulation (AM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737
7.7-3 Single-Sideband Modulation (SSB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742
7.7-4 Frequency-Division Multiplexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

7.8 Data Truncation: Window Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

7.8-1 Using Windows in Filter Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

7.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754
MATLAB Session 7: Fourier Transform Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760

8 SAMPLING: THE BRIDGE FROM CONTINUOUS TO DISCRETE

8.1 The Sampling Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770

8.1-1 Practical Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775

8.2 Signal Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778

8.2-1 Practical Difficulties in Signal Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
8.2-2 Some Applications of the Sampling Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

8.3 Analog-to-Digital(AID) Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792

8.4 Dual of Time Sampling: Spectral Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

ECE 301 Signals and Systems Course Info August 2, 2006 10

8.5 Numerical Computation of the Fourier Transform: The Discrete Fourier Transform
(DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798
8.5-1 Some Properties of the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
8.5-2 Some Applications of the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

8.6 The Fast Fourier Transform (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817

8.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822
MATLAB Session 8: The Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829

9 FOURIER ANALYSIS OF DISCRETE-TIME SIGNALS

9.1 Discrete-Time Fourier Series (DTFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837

9.1-1 Periodic Signal Representation by Discrete-Time Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . 838
9.1-2 Fourier Spectra of a Periodic Signal x[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .840

9.2 Aperiodic Signal Representation by Fourier Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847

9.2-1 Nature of Fourier Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850
9.2-2 Connection Between the DTFT and the z-Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858

9.3 Properties of the DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859

9.4 LTI Discrete-Time System Analysis by DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870

9.4-1 Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872
9.4-2 Ideal and Practical Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874

9.5 DTFT Connection with the CTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876

9.5-1 Use of DFT and FFT for Numerical Computation of DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876
9.6 Generalization of the DTFT to the z-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .878

9.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880

Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881
MATLAB Session 9: Working with the DTFS and the DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
ECE 301 Signals and Systems Course Info August 2, 2006 11

10 STATE-SPACE ANALYSIS

10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899

10.2 A Systematic Procedure for Determining State Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901

10.2-1 Electrical Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902
10.2-2 State Equations from a Transfer Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904

10.3 Solution of State Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912

10.3-1 Laplace Transform Solution of State Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912
10.3-2 Time-Domain Solution of State Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919

10.4 Linear Transformation of State Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926

10.4-1 Diagonalization of Matrix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930

10.5 Controllability and Observability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934

10.5-1 Inadequacy of the Transfer Function Description of a System . . . . . . . . . . . . . . . . 939

10.6 State-Space Analysis of Discrete-Time Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940

10.6-1 Solution in State-Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942
10.6-2 The z-Transform Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947

10.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949
MATLAB Session 10: Toolboxes and State-Space Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957

INDEX 963