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Álgebra Linear e Geometria Analı́tica - 2020/21 - SV

1 - Soluções - Matrizes. Operações com matrizes.

       
2 3 1 −1 3 2 −1 1 −1  
3 4
1.1 A = 3 4, B = −1 1 , A + B = 2 5, AB T =  −1 1 −1 e B A =T .
−3 −4
4 5 1 −1 5 4 −1 1 −1
 
    51 1  
3 1 5 1 5 20 100
1.2 B + A = , AC = 3 , 5A · 4C = 20AC =
, CA = 0 1
  ,
0 2 3 0 7 0 140
60 2
 
      1 4 7
1 40 2 6 3 27
( AC )2 = , ( AC ) B = = A(CB), BD = , D T D = [66], DD T = 4 16 28 ,
0 49 0 7 0 4
7 28 49
 
−8 −32 −56
T
ED = 3  12 21  .
1 4 7

1.3 (a) ( AA T )12 = −21, ( AC )21 = 0, B22

2 = 3 e (C T C ) = 6
11
 
3 1  
T T T T 7 −7
(b) A + C = −3 3 = ( A + C ) , ( ABC ) =
  = C T BT AT
71 −71
3 −5
   
0 0 2 2
1.4 AB = 6= BA = .
0 0 −2 −2
1 1
1.5 a = − e b = − .
2 2



 a + 3c = a + b (
          
b + 3d = 3a + b
1 3 a b a b 1 3 a + 3c b + 3d a + b 3a + b b = 3c
1.6 = ⇔ = ⇔ ⇒ .
1 1 c d c d 1 1 a+c b+d c + d 3c + d 
 a+c = c+d d=a


b + d = 3c + d
 
a 3c
Logo B = , a, c ∈ R.
c a
    
0 3 −1 0
1.7 (a) AB = =
0 1 0 0
         
0 3 1 1 9 12 0 3 2 5 9 12
(b) AC = = AD = =
0 1 3 4 3 4 0 1 3 4 3 4

1.8 a = 2 e b = 3

1.9

1
 
  
−4 −5 −4 0
(a) X = ( BA)T −C = (= AT BT − C )
1 7 (b) X = − B T − AC T =  0 13 
1 −5
 
−3 0 −1
1.10 (a) X = −2A − B = −2 −7 0 
3 −6 −4
 
−5 9 1
(b) X = BA − AB = −4
 0 −2
−8 3 5
 
−4 0 7/2
1 2 1
(c) X = ( A B − A2 ) = A2 ( B − I ) =  9 0 0 
2 2
27/2 0 −9/2

1.11 (a) Proposição falsa.

(b) Proposição verdadeira.
(c) Proposição falsa.
(d) Proposição falsa.
(e) Proposição verdadeira.
(f) Proposição verdadeira.

1.12 (a) ( A + A T )T = A T + ( A T )T = A T + A = A + A T logo A + A T é simétrica.

(b) ( A − A T )T = A T − ( A T )T = A T − A = −( A − A T ) logo A − A T é anti-simétrica.

1.13 Seja A do tipo m × n.

(a) A matriz A T é do tipo n × m. Assim AA T é do tipo m × m e A T A é do tipo n × n logo são ambas

quadradas.
(b) ( AA T )T = ( A T )T A T = AA T logo AA T é simétrica;
( AT A)T = ( AT )( AT )T = AT A logo AT A é simétrica;
       
1 2 1 3 1 4 1 n
2
1.14 (a) A = AA = 3 2
,A =A A= 4
,A =A A= 3 n
, ..., A = , n ∈ N,
0 1 0 1 0 1 0 1
 
1 0
n
(b) A = ,n ∈ N
0 (−1)n
 
1/2 1/2
n
(c) A = ,n ∈ N
1/2 1/2
(d) A2 = AA = I2 , A3 = A2 A = I2 A = A, A4 = A3 A = AA = I2 , . . . , An = A se n ı́mpar, An = I se n par.

1.15 (a) D k é a matriz diagonal com entradas principais d1k , d2k , . . . , dkn :
 k  k 
d1 0 ··· 0 d1 0 ··· 0
 0 d2 0 ··· 0  0 dk 0 ··· 0
   2 
k
 .. .. ..   .. .. .. 
D =
. 0 . . =. 0
  . . 
 .. .. .. ..   .. .. .. .. 
. . . . . . . .
0 0 ··· 0 dn 0 0 ··· 0 dkn

2
 (b) D é invertı́vel sse todas as entradas principais são não nulas e, nesse caso,
 −1 
d1 0 ··· 0
 0 d −1 0 · · · 0 
 2 
 . .. .. 
−1
D = .  . 0 . . 
 .. .. .. .. 
 . . . . 
0 0 ··· −
0 dn 1
     
1 0 −1 0 0 0
1.16 (a) A= eB= são invertı́veis e A + B = não é invertı́vel;
0 1 0 −1 0 0
     
1 0 1 0 0 0
(b) A+B = é invertı́vel e nem A = nem B = são invertı́veis.
0 −1 0 0 0 −1
 
  1 1 2  
1 2 0  1 3 8
1.17 (a) X= 0 1 3 =
1 4 1 5 7 15
4 2 1
 
3 2 4
(b) X = A−1 ( A + 2I3 ) = I3 + 2A−1 = 0 3 6
8 4 3
   
c d e f    
b a c c b a
1.18 (a) P1 A = a b , P2 A = c d , BP1 =
    e BP2 = ;
e d f f e d
e f a b
(b) i. P1 A é a matriz que se obtém de A através da troca das linhas 1 e 2
P2 A é a matriz que se obtém de A através da troca das linhas 1 e 3;
ii. BP1 é a matriz que se obtém de B através da troca das colunas 1 e 2
BP2 é a matriz que se obtém de A através da troca das colunas 1 e 3.
    
0 1 0 0 1 0 1 0 0
(c) i. P1 P1 = 1 0 0 1 0 0 = 0 1 0 ⇒ P1−1 = P1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
    
0 0 1 0 0 1 1 0 0
P2 P2 = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 ⇒ P2−1 = P2
1 0 0 1 0 0 0 0 1
ii. P1T = P1 = P1−1 e P2T = P2 = P2−1 .
1.19 (a) B−1
(b) CD −1
1.20 Sejam A e B matrizes tais que AB = BA (matrizes permutáveis)
B−1 A−1 = ( AB)−1 = ( BA)−1 = A−1 B−1
logo A−1 e B−1 também são permutáveis.
1.21 Seja A tal que A3 + 2A − In = On ⇔ A3 + 2A = In .
A( A2 + 2In ) = A3 + 2A = In
logo A−1 = A2 + 2In .
1.22 Sejam A e B matrizes ortogonais (A−1 = A T e B−1 = B T )
A T ( B − In )T B + A−1 B = A T ⇔ A T ( B T − In ) B + A T B = A T ⇔ A T ( B T B − B) + A T B = A T ⇔
A T ( In − B) + A T B = A T ⇔ A T − A T B + A T B = A T ⇔ A T

3
  
1 − k −k
1.23 Ak =
k 1+k
    
1 − k −k 1 − m −m 1 − m − k + km − km −m + km − k − km
Ak Am = = =
k 1+k m 1+m k − km + m + km −km + 1 + m + k + km
(a)  
1 − (k + m) −(k + m)
= = Ak+m
k+m 1 + (k + m)
    
1 − k −k 1+k k 1 0
(b) Ak A−k = = ⇒ A− 1
k = A−k
k 1+k −k 1 − k 0 1