习题四

A类
1. 求下列矩阵的特征值与特征向量：

2 −1 2
(3) 𝑨 = ( 5 −3 3 )；
−1 0 −2

解：特征方程为

𝜆−2 1 −2
|𝜆𝑬 − 𝑨| = | −5 𝜆 + 3 −3 | = 0
1 0 𝜆+2

解得

𝜆1,2,3 = −1

故线性方程组

(−𝑬 − 𝑨)𝒙 = 0

可写为

−3 1 −2
(−5 2 −3) 𝒙 = 0
1 0 1

解得

1
𝒙 = 𝑘1 ( 1 )
−1

故特征向量为

1
𝝃 = 𝑘1 ( 1 )
−1

其中𝑘1 ≠ 0.

0 1 0
(4) 𝑨 = (−4 4 0)；
−2 1 2

解：特征方程为

𝜆 −1 0
|𝜆𝑬 − 𝑨| = |4 𝜆 − 4 0 |=0
2 −1 𝜆 − 2

解得

𝜆1,2,3 = 2
 故线性方程组

(2𝑬 − 𝑨)𝒙 = 0

可写为

2 −1 0
(4 −2 0) 𝒙 = 0
2 −1 0

显然，该方程的通解可写为

1 0
𝒙 = 𝑘1 (2) + 𝑘2 (0)
0 1

故特征向量为

1 0
𝝃 = 𝑘1 (2) + 𝑘2 (0)
0 1

且𝑘1 , 𝑘2 不同时为零。

1 2 1
(7) 𝑨 = (−2 −3 0)；
0 0 3

解：特征方程为

𝜆 − 1 −2 −1
|𝜆𝑬 − 𝑨| = | 2 𝜆+3 0 |=0
0 0 𝜆−3

解得

𝜆1 = 3, 𝜆2,3 = −1

故线性方程组

(3𝑬 − 𝑨)𝒙 = 0

可写为

2 −2 −1
(2 6 0 )𝒙 = 0
0 0 0

显然，该方程的通解可写为

3
𝒙 = 𝑘1 (−1)
8

故与特征值𝜆1 = 3对应的特征向量为

3
𝝃𝟏 = 𝑘1 (−1)
8
 其中𝑘1 ≠ 0.而线性方程组

(−𝑬 − 𝑨)𝒙 = 0

可写为

−2 −2 −1
(2 2 0 )𝒙 = 0
0 0 −4

该方程的通解可写为

1
𝒙 = 𝑘2 (−1)
0

故与特征值𝜆2,3 = −1对应的特征向量为

1
𝝃𝟐 = 𝑘2 (−1)
0

其中𝑘2 ≠ 0.

1 1 1 1
1 1 −1 −1
(8) 𝑨 = ( )；
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1

解：特征方程为
𝜆 − 1 −1 −1 −1
|𝜆𝑬 − 𝑨| = | −1 𝜆 − 1 1 1
|=0
−1 1 𝜆−1 1
−1 1 1 𝜆−1
解得

𝜆1 = −2, 𝜆2,3,4 = 2

对于特征值𝜆2,3,4 = 2，线性方程组

(2𝑬 − 𝑨)𝒙 = 0

可写为

1 −1 −1 −1
−1 1 1 1
( )𝒙 = 0
−1 1 1 1
−1 1 1 1

显然，该方程的通解可写为

1 1 1
1 0 0
𝒙 = 𝑘1 ( ) + 𝑘2 ( ) + 𝑘3 ( )
0 1 0
0 0 1

故与𝜆2,3,4 = 2对应的特征向量为
 1 1 1
1 0 0
𝝃𝟏 = 𝑘1 ( ) + 𝑘2 ( ) + 𝑘3 ( )
0 1 0
0 0 1

其中𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3不全为零。对于特征值𝜆1 = −2，线性方程组

(−2𝑬 − 𝑨)𝒙 = 0

可写为

−3 −1 −1 −1
−1 −3 1 1
( )𝒙 = 0
−1 1 −3 1
−1 1 1 −3

显然，该方程的通解可写为

1
−1
𝒙 = 𝑘4 ( )
−1
−1

故与𝜆2,3,4 = 2对应的特征向量为

1
−1
𝝃𝟒 = 𝑘4 ( )
−1
−1

其中𝑘4不为零。

3. 若𝑨为一个幂零矩阵，即𝑨𝑘 = 𝑶，证明𝑨的特征值只能是零。

证：用反证法，假设𝑨存在一个非零特征值𝜆0 ，那么它满足

𝑨𝜶 = 𝜆0 𝜶

显然𝜶不为零向量。在等式两端左乘𝑨𝑘−1，得

𝑨𝑘 𝜶 = 𝜆0 𝑨𝑘−1 𝜶 = 𝜆𝑘0 𝜶

而上式左端为零，右端非零，矛盾！故𝑨不存在非零特征值。再证明 0 一定是𝑨的特征值，

显然

|𝑨𝑘 | = 0, |𝑨| = 0

|0𝑬 − 𝑨| = −|𝑨| = 0

故𝑨的特征值只能是零，证毕。

8. 设𝑨, 𝑩是𝑛阶矩阵，且𝑨可逆，试证明：𝑨𝑩与𝑩𝑨具有相同的特征值。

证：只要证，对于𝜆0满足
 𝑨𝑩𝜶 = 𝜆0 𝜶, 𝛼 ≠ 0

也均满足

𝑩𝑨𝜷 = 𝜆0 𝜷

注意到

𝑨𝑩𝜶 = 𝑨𝑩𝑨𝑨−1 𝜶 = 𝜆0 𝜶

左乘𝑨−1，得

𝑩𝑨(𝑨−1𝜶) = 𝜆0 (𝑨−1 𝜶)

注意到𝑨可逆，即意味着𝑨满秩，故𝑨−1 𝜶不为零向量，则𝜆0也为𝑩𝑨的一个特征值，证毕。

10. 设𝜆0是𝑛阶可逆矩阵𝑨的一个特征值，试证明|𝑨|/𝜆0为𝑨∗ 的一个特征值。

证：注意到

𝑨𝜶 = 𝜆0 𝜶, 𝜶 ≠ 𝟎

不妨设𝜆0 ≠ 0，只要证
|𝑨|
𝑨∗ 𝜷 = 𝜷
𝜆0
注意到
1
𝑨−1 𝜶 = 𝜶
𝜆0
故
|𝑨|
𝑨∗ 𝛼 = |𝑨|𝑨−1𝜶 = 𝜶
𝜆0
证毕。

11. 设𝑨是正交矩阵，且|𝑨| = −1，试证明𝜆 = −1是𝑨的一个特征值。

证：只要证

|−𝑬 − 𝑨| = |𝑨 + 𝑬| = 0

因为𝑨是正交矩阵，故

|𝑨 + 𝑬| = |𝑨 + 𝑨𝑨𝑇 | = |𝑨| ∙ |𝑬 + 𝑨𝑇 | = |𝑨| ∙ |(𝑨 + 𝑬)𝑇 | = −|𝑨 + 𝑬|

|𝑨 + 𝑬| = 0

证毕。

13. 当𝑖 ≠ 𝑗时，𝑎𝑖𝑖 ≠ 𝑎𝑗𝑗 ，证明上三角矩阵

 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
0 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
𝑨=( ⋮ ⋮ ⋮ )
0 0 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

可以对角化。

证：显然𝑨有𝑛个不同的特征值

𝜆𝑖 = 𝑎𝑖𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛

故矩阵𝑨可以对角化。

3 1
16. 设𝑨 = ( )
5 −1
(1) 求𝑨的全部特征值与特征向量；

解：特征方程为

|𝜆𝑬 − 𝑨| = |𝜆 − 3 −1 | = 0
−5 𝜆 + 1
解得

𝜆1 = 4, 𝜆2 = −2

则对于𝜆1 = 4，有

1 −1
( )𝒙 = 0
−5 5
解得其特征向量为

1
𝝃𝟏 = 𝑘1 ( )
1
其中𝑘1 ≠ 0.对于𝜆2 = −2，有

−5 −1
( )𝒙 = 0
−5 −1
解得其特征向量为

−1
𝝃𝟐 = 𝑘2 ( )
5
其中𝑘2 ≠ 0.

(2) 𝑨是否与对角矩阵𝚲相似？若是，求可逆矩阵𝑷与对角阵𝚲.

解：是，其中

4 0
𝚲=( )
0 −2
而

1 −1
𝑷=( ).
1 5
 1 10
(3) 求𝑨50 ( )，𝑨100 ( )，𝑨𝑘 .
−5 −2
解：由上一问易知
1 5 1
𝑷−1 = ( )
6 −1 1
故
1 1 −1 450 0 ) ( 5 1)
𝑨50 = 𝑷𝚲50 𝑷−1 = ( )(
6 1 5 0 250 −1 1
则

1 1
𝑨50 ( ) = 250 ( )
−5 −5
而
1 1 −1 4100 0 ) ( 5 1)
𝑨100 = 𝑷𝚲100 𝑷−1 = ( )(
6 1 5 0 2100 −1 1
则

10 5
𝑨100 ( ) = 2101 ( )
−2 −1
而
1 1 −1 4𝑘 0 5 1
𝑨𝑘 = 𝑷𝚲𝑘 𝑷−1 = ( )( )( )
6 1 5 0 (−2)𝑘 −1 1
解得
1 5 ∙ 4𝑘 + (−2)𝑘 4𝑘 − (−2)𝑘
𝑨𝑘 = ( )
6 5 ∙ 4𝑘 − 5 ∙ (−2)𝑘 4𝑘 + 5 ∙ (−2)𝑘
20. 设三阶实对称矩阵𝑨的特征值为 1，2，3，矩阵𝑨属于特征值 1，2 的特征向量分别是𝜶𝟏 =

(−1, −1,1)𝑇 , 𝜶𝟐 = (1, −2, −1)𝑇 .

(1) 求矩阵𝑨属于特征值 3 的特征向量；

解：因实对称矩阵𝑨有 3 个不同的特征值，故三个特征向量两两正交。即

𝜶𝟑 = 𝑘𝜶𝟏 × 𝜶𝟐 = 𝑘(3,0,3)𝑇 = 𝑐(1,0,1)𝑇

其中𝑐 ≠ 0.

(2) 求矩阵𝑨.

解：不妨设𝑐 = 1，此时有

−1 1 1 1 −2 −2 2 1 0 0
𝑷 = (−1 −2 0) , 𝑷−1 = ( 1 −2 −1) , 𝚲 = (0 2 0)
6
1 −1 1 3 0 3 0 0 3

故
 1 13 −2 5
𝑨 = 𝑷𝚲𝑷−1 = (−2 10 2 ).
6
5 2 13
 B类
5. 试证明：𝑨是𝑛阶方阵，若任一𝑛维非零列向量𝜶都是𝑨的特征向量，那么𝑨是数量矩阵。

证：由题意知，对于任意的𝑛维列向量𝒙，均满足

(𝑨 − 𝜆𝑬)𝒙 = 0

即意味着该线性方程组的基础解系里有𝑛个自由变量，故矩阵𝑨 − 𝜆𝑬的秩为零，则有

𝑨 = 𝜆𝑬

𝑨为数量矩阵，证毕。

7. 已知向量𝜶 = (1, 𝑘, 1)𝑇 是矩阵

2 1 1
𝑨 = (1 2 1)
1 1 2

的逆矩阵的特征向量，试求𝑘的值。

解：先求出逆矩阵

1 3 −1 −1
𝑨−1 = (−1 3 −1)
4
−1 −1 3

则据题意知

1 3 −1 −1 1 1 2−𝑘 1
𝑨−1 𝜶 = (−1 3 −1) (𝑘 ) = (3𝑘 − 2) = 𝜆 (𝑘)
4 4
−1 −1 3 1 2−𝑘 1

解得

𝑘 = 1 𝑜𝑟 𝑘 = −2.

11. 设矩阵
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
𝑨= 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
(1 0 0 0 0)
求正交矩阵𝑻，使𝑻−1 𝑨𝑻为对角阵。

解：先求出𝑨的特征值。列出特征方程
𝜆 0 0 0 −1
0 𝜆 0 −1 0
|𝜆𝑬 − 𝑨| = || 0 0 𝜆−1 0 0 || = 0
0 −1 0 𝜆 0
−1 0 0 0 𝜆
解得

𝜆1,2 = 1. 𝜆3 = −1
对𝜆1,2 = 1而言，列出线性方程组
1 0 0 0 −1
0 1 0 −1 0
0 0 0 0 0 𝒙=0
0 −1 0 1 0
( −1 0 0 0 1)
解得基础解系为
0 0 1
0 1 0
𝒙 = 𝑘1 1 + 𝑘2 0 + 𝑘3 0
0 1 0
(0) (0) (1)
找到三个正交的特征向量，并将其单位化
0 0 1
0 1 1 1 0
𝝃𝟏 = 1 , 𝝃𝟐 = 0 , 𝝃𝟑 = 0
0 √2 1 √2 0
(0) ( 0) (1)
对于特征值𝜆3 = −1，列出线性方程组
−1 0 0 0 −1
0 −1 0 −1 0
0 0 −2 0 0 𝒙=0
0 −1 0 −1 0
(−1 0 0 0 −1)
解得基础解系为
0 −1
−1 0
𝒙 = 𝑘1 0 + 𝑘2 0
1 0
(0) (1)
找到两个正交的特征向量，并将其单位化
0 −1
1 −1 1 0
𝝃𝟒 = 0 , 𝝃𝟓 = 0
√2 1 √2 0
(0) (1)
故正交矩阵为
0 0 1 0 −1
1 0 1 0 −1 0
𝑻= √2 0 0 0 0
√2 0 1 0 1 0
(0 0 1 0 1)
对角阵为
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
𝚲= 0 0 1 0 0
0 0 0 −1 0
(0 0 0 0 −1)
 1 −1 1
14. 设矩阵𝑨 = ( 𝑥 4 𝑦)有三个线性无关的特征向量，且𝜆 = 2是𝑨的二重特征值，求可
−3 −3 5

逆矩阵𝑷，使𝑷−1 𝑨𝑷为对角矩阵。

解：由题意知，方程

𝜆−1 1 −1
|𝜆𝑬 − 𝑨| = | −𝑥 𝜆 − 4 −𝑦 | = 0
3 3 𝜆−5

有一个因式(𝜆 − 2)2，解得

𝑥 + 3𝑦 = −4, 𝜆3 = 6

对𝜆1,2 = 2而言，列出线性方程组

1 1 −1
(−𝑥 −2 −𝑦) 𝒙 = 0
3 3 −3

又注意到，𝜆3 = 6为一重特征值，它的线性无关的特征向量最多只有 1 个，即意味着上

述方程组的基础解系内，应有两个线性无关的解，即上述矩阵的秩为 1.解得

𝑥 = 2, 𝑦 = −2

一并解得线性方程组的基础解系

−1 1
𝒙 = 𝑘1 ( 1 ) + 𝑘2 (0)
0 1

从中选取两个无关的特征向量

1 −1
𝝃𝟏 = (0) , 𝝃𝟐 = ( 1 )
1 0

对𝜆3 = 6而言，列出线性方程组

5 1 −1
(−2 2 2 ) 𝒙 = 0
3 3 1

解得

1
𝒙 = 𝑘3 (−2)
3

从中选取一个特征向量

1
𝝃𝟑 = (−2)
3

故可逆矩阵𝑃为
 1 −1 1
𝑷 = (0 1 −2)
1 0 3

对角阵为

2 0 0
𝚲 = (0 2 0)
0 0 6

1 1 𝑎 1
15. 设矩阵𝑨 = (1 𝑎 1) , 𝜷 = ( 1 )，已知线性方程组𝑨𝒙 = 𝜷有解但不唯一，试求
𝑎 1 1 −2

(1) 𝑎的值；

解：由题意知

1 1 𝑎
|𝑨| = |1 𝑎 1| = 3𝑎 − 𝑎3 − 2 = 0
𝑎 1 1

解得

𝑎 = 1 𝑜𝑟 𝑎 = −2

但注意到，当𝑎 = 1时，𝑅(𝑨) < 𝑅(𝑨, 𝜷)，该方程无解，故

𝑎 = −2.

(2) 正交矩阵𝑷，使𝑷𝑇 𝑨𝑷为对角阵。

解：先求出特征值。列出特征方程

𝜆 − 1 −1 2
|𝜆𝑬 − 𝑨| = | −1 𝜆 + 2 −1 | = 0
2 −1 𝜆 − 1

解得

𝜆1 = 0, 𝜆2 = 3, 𝜆3 = −3

对于特征值𝜆1 = 0，列出方程组

−1 −1 2
(−1 2 −1) 𝒙 = 0
2 −1 −1

解得

1
𝒙 = 𝑘1 (1)
1

将其单位化，得

1 1
𝝃𝟏 = ( 1)
√3 1
 对于特征值𝜆2 = 3，列出方程组

2 −1 2
(−1 5 −1) 𝒙 = 0
2 −1 2

解得

−1
𝒙 = 𝑘2 ( 0 )
1

将其单位化，得

1 −1
𝝃𝟐 = (0)
√2 1

对于特征值𝜆3 = −3，列出方程组

−4 −1 2
(−1 −1 −1) 𝒙 = 0
2 −1 −4

解得

1
𝒙 = 𝑘3 (−2)
1

将其单位化，得

1 1
𝝃𝟑 = (−2)
√6 1

故正交矩阵𝑷为

1 1 1
−
√3 √2 √6
1 2
𝑷= 0 −
√3 √6
1 1 1
(√3 √2 √6 )

对角阵为

0 0 0
𝚲 = (0 3 0 )
0 0 −3

𝑎 1 1
16. 设实对称矩阵𝑨 = (1 𝑎 −1)，求可逆矩阵𝑷，使𝑷−1 𝑨𝑷为对角矩阵，并计算行列式
1 −1 𝑎

|𝑨 − 𝑬|.

解：先解出特征值。列出特征方程
 𝜆−𝑎 −1 −1
|𝜆𝑬 − 𝑨| = | −1 𝜆−𝑎 1 |=0
−1 1 𝜆−𝑎

解得

𝜆1,2 = 𝑎 + 1, 𝜆3 = 𝑎 − 2

对于𝜆1,2 = 𝑎 + 1，列出线性方程组

1 −1 −1
(−1 1 1 )𝒙 = 0
−1 1 1

解得

1 1
𝒙 = 𝑘1 (1) + 𝑘2 (0)
0 1

1 1
𝝃𝟏 = (1) , 𝝃𝟐 = (0)
0 1

对于𝜆3 = 𝑎 − 2，列出线性方程组

−2 −1 −1
(−1 −2 1 ) 𝒙 = 0
−1 1 −2

解得

−1
𝒙 = 𝑘3 ( 1 )
1

−1
𝝃𝟑 = ( 1 )
1

故可逆矩阵𝑷为

1 1 −1
𝑷 = (1 0 1 )
0 1 1

对角阵为

𝑎+1 0 0
𝚲=( 0 𝑎+1 0 )
0 0 𝑎−2

|𝑨 − 𝑬| = 𝑎2 (𝑎 − 3).