‫ﺳﻠﺳﻠﺔ اﻷﻧﺳب ﻟﻠﻣراﺟﻌﺔ ﻓﻲ اﻟﺑﻛﺎﻟورﯾﺎ‬

‫ﻣن ﻛﺗﺎﺑﺔ اﻷﺳﺗﺎذ‬

‫‪NAA M‬‬

‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬‫ﻓﻲ‪Z‬‬
‫اﻟﻘﺳﻣﺔ ﻓﻲ‬
‫اﻟﻣواﻓﻘﺎت وو اﻟﻘﺳﻣﺔ‬
‫اﻟﻣواﻓﻘﺎت‬
‫ﲤﺎﺭﻳﻦ ﳕﻮﺫﺟﻴﺔ ﻣﺮﻓﻘﺔ ﺑﺎﳊﻠﻮﻝ ﺍﳌﻔﺼﻠﺔ‬
‫ﺍﻟﺸﻌﺐ ‪ :‬ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ‪ ،‬ﺗﻘﲏ ﺭﻳﺎﺿﻲ‬
‫]‬
‫‪3‬‬
‫‪AS‬‬
‫‪b‬‬ ‫[‬‫‪n‬‬
‫‪a‬‬ ‫≡‬
‫]‪9 ≡ −1[10‬‬
‫=‪d‬‬
‫‪PG‬‬
‫‪C‬‬ ‫(‪D‬‬
‫‪a, b‬‬
‫‪α‬‬
‫)‬
‫‪α‬‬
‫‪αα‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬

‫‪α‬‬

‫‪α‬‬
‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬

‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬

‫اﻟﻣواﻓــــﻘـــﺎت و اﻟﻘﺳـﻣـــﺔ ﻓــﻲ ‪Z‬‬

‫‪ LATEX‬ﺍﻟﺸﻌﺐ‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬
‫ﺕ ﺭ ‪ +‬ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬
‫‪TEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬

‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬

‫ﺍﳌﻔﺼﻠﺔ‬
‫‪LT X‬‬
‫ﻣﺮﻓﻘﺔ‪L T‬ﺑﺎﳊﻠﻮﻝ‬
‫‪X‬‬
‫ﳕﻮﺫﺟﻴﺔ‬
‫‪LT X‬‬
‫‪X‬ﲤﺎ‪T‬ﺭ‪L‬ﻳﻦ‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬
‫‪ ‬اﻟﻤﻠﻒ ﻣﻮﺟﻮد ﻓ ‪elite of latex and python  :‬‬
‫‪TEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬

‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬
‫ﻣن ھﻧﺎ‬ ‫‪EX‬‬
‫اﻟﺣل‬ ‫‪2001L‬‬ ‫طﺑﯾﻌﺔ و‪AT‬‬
‫ﺣﯾﺎة‬ ‫ﺑﻛﺎﻟورﯾﺎ ﻋﻠوم ‪X‬‬
‫‪E‬‬ ‫‪LAT‬‬ ‫‪EX04‬‬ ‫اﻟﺗﻣرﯾن‬
‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫ﻣن‪L‬ھﻧﺎ‬
‫اﻟﺣل‪AT‬‬
‫‪EX‬‬ ‫‪LAT‬‬
‫ﻓﺻﻠﯾﺔ‬ ‫‪LATEX01‬‬
‫ﺗﻣرﯾن ﻣن ‪EX‬‬
‫إﺧﺗﺑﺎرات‬ ‫اﻟﺗﻣرﯾن‬
‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬

‫‪TEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫ﻃﺒﻴﻌﻲ‪.E‬‬

‫‪LAT‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ﻋﺪﺩ‬
‫‪LATE‬‬
‫‪nX‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪a L=ATE‬‬‫ﺣﻴﺚ‪X + 3: L‬‬
‫‪2n‬‬ ‫ﻏﲑ‪LA‬ﻣﻌﺪﻭﻣﺔ ‪ATEX‬‬
‫ﺃﻋﺪﺍﺩ‪ L‬ﻃﺒﻴﻌﻴ‪‬ﺔ‪TEX‬‬
‫‪ATEX n‬‬ ‫؛‬ ‫‪ EaX‬؛‬
‫‪bLAT‬‬
‫‪ /1‬ﺃ( ﺃﺩﺭﺱ ﺗﺒﻌﺎ ﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ n‬ﺑﻮﺍﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺪﻳ‪‬ﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪.b = 5n − 2‬‬
‫‪. 10‬‬ ‫‪ /1‬ﺑﻴ‪‬ﻦ ﺃﻧّﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻏﲑ ﺃ ‪‬ﻭﻟﻴﲔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪PGCD(a; b) = :‬‬
‫ﺏ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺑﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺪﻳ‪‬ﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪ 63 × 92001 − 71422‬ﻋﻠﻰ‬ ‫‪.19‬‬
‫‪.10‬‬ ‫‪ /2‬ﻋﻴ‪‬ﻦ ﻗﻴﻢ ‪ n‬ﺍﻟﱵ ﻣﻦ ﺃﺟﻠﻬﺎ ﻳﻜﻮﻥ ‪.PGCD(a; b) = 19 :‬‬
‫ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻳﻜﻮﻥ ‪:‬‬ ‫‪ /2‬ﺃ( ﺑﺮﻫﻦ ﺃﻧّﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ّ‬ ‫اﻟﺣل ﻣن ھﻧﺎ‬ ‫ﺑﻛﺎﻟورﯾﺎ ﺗﻘﻧﻲ رﯾﺎﺿﻲ ‪2008‬‬ ‫اﻟﺗﻣرﯾن ‪02‬‬
‫]‪.3n × 9n + 72n+1 ≡ (n − 1)32n+1 [10‬‬
‫ﺏ( ﻋﻴ‪‬ﻦ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺣﺘﻰ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫‪ n‬ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ ‪. 5‬‬
‫]‪.3n × 9n + 72n+1 ≡ 0[10‬‬ ‫‪ a /1‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻃﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﺣﻴﺚ ‪ a = n − 2 :‬ﻭ ‪. b = 2n + 3‬‬
‫ﺃ( ﻣﺎﻫﻲ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﳌﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﻘﺎﺳﻢ ﺍﳌﺸﱰﻙ ﺍﻷﻛﱪ ﻟﻠﻌﺪﺩﻳﻦ ‪ a‬ﻭ ‪.b‬‬
‫اﻟﺗﻣرﯾن ‪ Métropole juin 2011 05‬اﻟﺣل ﻣن ھﻧﺎ‬ ‫ﺏ( ﺑﻴ‪‬ﻦ ﺃ ‪‬ﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻣﻦ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪ 7‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻂ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪n + 5‬‬
‫ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪. 7‬‬
‫ﺍﳉﺰء ﺍﻷﻭﻝ ‪:‬‬
‫ﺝ( ﻋﻴ‪‬ﻦ ﻗﻴﻢ ‪ n‬ﺍﻟﱵ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺃﺟﻠﻬﺎ ‪.PGCD(a; b) = 7‬‬
‫ﺗﺬﻛﲑ‪:‬‬
‫‪ /2‬ﻧﻌﺘﱪ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﲔ ‪ p‬ﻭ ‪ q‬ﺣﻴﺚ ‪ p = 2n2 − 7n − 15 :‬ﻭ‬
‫ﻣﱪﻫﻨﺔ ﺑﻴﺰﻭ ‪:‬‬
‫‪. q = n2 − 7n + 10‬‬
‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﺻﺤﻴﺤﺎﻥ ﺃ ‪‬ﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻂ ﺇﺫﺍ ﻭﺟﺪ ﻋﺪﺩﺍﻥ‬ ‫ﺃ( ﺑﻴ‪‬ﻦ ﺃ ‪‬ﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ‪ p‬ﻭ ‪ q‬ﻳﻘﺒﻼﻥ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪.n − 5‬‬
‫ﺻﺤﻴﺤﺎﻥ ﻧﺴﺒﻴﺎﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﲝﻴﺚ ‪. au + bv = 1 :‬‬ ‫ﺏ( ﻋﻴ‪‬ﻦ ﺗﺒﻌﺎ ﻟﻘﻴﻢ ‪ n‬ﻭ ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ n‬؛ )‪. PGCD(p; q‬‬
‫ﻣﱪﻫﻨﺔ ﻏﻮﺹ ‪:‬‬ ‫اﻟﺗﻣرﯾن ‪ Nouvèlle calédonie 2002 03‬اﻟﺣل ﻣن ھﻧﺎ‬

‫‪a‬‬ ‫‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻃﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﲑ ﻣﻌﺪﻭﻣﲔ ﺃ ‪‬ﻭﻟﻴﲔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪ ،‬ﻧﻀﻊ ‪ a, b, c :‬ﺛﻼﺛﺔ ﺃﻋﺪﺍﺩ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻏﲑ ﻣﻌﺪﻭﻣﺔ ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ a‬ﻳﻘﺴﻢ ‪ bc‬ﻭ‬
‫ﺃﻭﱄ ﻣﻊ ‪ b‬ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪ a‬ﻳﻘﺴﻢ ‪. c‬‬ ‫‪ S = x + y‬ﻭ ‪. P = xy‬‬
‫‪ /1‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻣﱪﻫﻨﺔ ﺑﻴﺰﻭ ‪ ،‬ﺃﺛﺒﺖ ﻣﱪﻫﻨﺔ ﻏﻮﺹ‪.‬‬ ‫‪ /1‬ﺃ( ﺑﺮﻫﻦ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ S‬ﺃ ‪‬ﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭ ﻛﺬﻟﻚ ‪ y‬ﻭ ‪. S‬‬
‫‪ p /2‬ﻭ ‪ q‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻃﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﺏ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ S‬ﻭ ‪ P‬ﺃ ‪‬ﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬
‫ﺝ( ﺑﺮﻫﻦ ﺃ ‪‬ﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﻦ ‪ S‬ﻭ ‪ P‬ﻣﻦ ﺷﻔﻌﻴﺘﲔ ﳐﺘﻠﻔﺘﲔ )ﺃﺣﺪﳘﺎ ﻓﺮﺩﻱ ﻭ ‪ −‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻣﱪﻫﻨﺔ ﻏﻮﺹ ﺑﻴ‪‬ﻦ ﺃﻧّﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ]‪ a ≡ 0[p‬ﻭ ]‪a ≡ 0[q‬‬
‫ﺣﻴﺚ ‪ a‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﱯ ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪. a ≡ 0[pq] :‬‬ ‫ﺍﻵﺧﺮ ﺯﻭﺟﻲ‪.(.‬‬
‫ﺍﳉﺰء ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ‪:‬‬ ‫‪ /2‬ﻋﻴ‪‬ﻦ ﺍﻟﻘﻮﺍﺳﻢ ﺍﳌﻮﺟﺒﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪. 84‬‬
‫‪ S‬ﳎﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ‪ n‬ﺍﻟﱵ ﲢﻘﻖ ﺍﳉﻤﻠﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ /3‬ﻋﻴ‪‬ﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻷ ‪‬ﻭﻟﻴ‪‬ﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﺎ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺣﻴﺚ ‪. S P = 84 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫]‪ n ≡ 9[17‬‬ ‫‪ /4‬ﻋﻴ‪‬ﻦ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻃﺒﻴﻌﻴﲔ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﳛﻘﻘﺎﻥ ﺍﻟﺸﺮﻃﲔ ﺍﻟ ّﺘﺎﻟﻴﲔ ‪:‬‬
‫‪. ‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫]‪ n ≡ 3[5‬‬ ‫‪‬‬
‫‪ a + b = 84‬‬
‫‪ ‬؛ ﻣﻊ )‪. d = PGCD(a, b‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪AM‬‬
‫‪NAA M‬‬
‫‪ (u, v) /1‬ﺛﻨﺎﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬
‫‪ ab = d3‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA‬‬

‫‪NAA M‬‬

‫‪AM‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪2‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NA‬‬
‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NA M‬‬ ‫‪NA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪ A‬ﻣن ‪A‬ﻛﺗﺎﺑﺔ ‪A‬اﻷﺳﺗﺎذ‪A M: A‬‬
‫‪NA M‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA‬‬

‫‪TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬

‫اﻟﻣواﻓــــﻘـــﺎت و اﻟﻘﺳـﻣـــﺔ ﻓــﻲ ‪Z‬‬

‫‪ LATEX‬ﺍﻟﺸﻌﺐ‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬
‫ﺕ ﺭ ‪ +‬ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬
‫‪TEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬

‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬

‫ﺍﳌﻔﺼﻠﺔ‬
‫‪LT X‬‬
‫ﻣﺮﻓﻘﺔ‪L T‬ﺑﺎﳊﻠﻮﻝ‬
‫‪X‬‬
‫ﳕﻮﺫﺟﻴﺔ‬
‫‪LT X‬‬
‫‪X‬ﲤﺎ‪T‬ﺭ‪L‬ﻳﻦ‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬
‫‪ ‬اﻟﻤﻠﻒ ﻣﻮﺟﻮد ﻓ ‪elite of latex and python  :‬‬
‫‪TEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬
‫‪17u + 5v = 1‬‬
‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬ ‫اﻟﺣل‪EX‬‬ ‫‪L T X sept 2009‬‬
‫‪LT‬‬ ‫‪EX08‬‬ ‫اﻟﺗﻣرﯾن‬
‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬
‫ھﻧﺎ‬ ‫ﻣن‬ ‫‪Métropole‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬
‫ﺃ( ﺑﺮﺭ ﻭﺟﻮﺩ ﺍﻟﺜﻨﺎﺋﻴﺔ )‪. (u; v‬‬
‫‪TEX‬‬ ‫‪LATE.‬‬ ‫‪LAT2009‬ﻋﻠﻰ‬
‫‪X 11‬‬ ‫ﺍﻹﻗﻠﻴ‪E‬ﺪ‪T‬ﻳﺔ‪LA‬ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪EX‬‬
‫ﻟﻘﺴﻤﺔ ‪X‬‬ ‫ﺑﺎﻗﻲ‪T‬ﺍ‪LA‬‬
‫ﺃ( ﻋﻴ‪‬ﻦ ‪EX‬‬‫‪LAT‬‬ ‫‪/1‬‬
‫‪EX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬
‫‪. n0 L=AT3EX‬‬ ‫‪L TEX‬‬
‫× ‪× 17u + A9‬‬
‫‪L TEX‬‬
‫ﺏ( ‪A‬ﻧﻀﻊ ‪5v :‬‬
‫ﺏ( ﻋﻴ‪‬ﻦ ﺑﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺪﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪ 210‬ﻋﻠﻰ ‪. 11‬‬ ‫‪ −‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ n0 :‬ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ‪. S‬‬
‫ﺝ( ﻋﻴ‪‬ﻦ ﺑﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺪﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪ 2 + 2009‬ﻋﻠﻰ ‪. 11‬‬
‫‪2009‬‬
‫ﺝ( ﺃﻋﻂ ﻣﺜﺎﻻ ﻋﻦ ﻋﺪﺩ ‪ n0‬ﻳﻨﺘﻤﻲ ﺇﱃ ‪. S‬‬
‫‪ p /2‬ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻭ ‪ n‬ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻏﲑ ﻣﻌﺪﻭﻡ ﻧﻀﻊ ‪An = 2n + p‬‬
‫‪ /2‬ﺃ( ‪ n‬ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﱯ ﻣﻦ ‪. S‬‬
‫‪dn = PGCD(An , An+1 ) ،‬‬
‫‪ −‬ﺑﻴ‪‬ﻦ ﺃ ‪‬ﻥ ‪. n − n0 ≡ 0[85] :‬‬
‫ﺃ( ﺑﻴ‪‬ﻦ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ dn :‬ﻳﻘﺴﻢ ‪. 2n‬‬
‫ﺏ( ﺑﻴ‪‬ﻦ ﺃ ‪‬ﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ‪ n‬ﻣﻦ ‪ S‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻂ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ n‬ﻳﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ‬
‫ﺏ( ﺃﺛﺒﺖ ﺃ ‪‬ﻥ ﺷﻔﻌﻴﺔ ‪ An‬ﻣﻦ ﺷﻔﻌﻴﺔ ‪. p‬‬
‫ﺍ ‪‬ﻟﺸﻜﻞ ‪ n = 43 + 85k‬ﺣﻴﺚ ‪. k ∈ Z‬‬
‫‪ /3‬ﺃ( ﺑﻴ‪‬ﻦ ﺃ ‪‬ﻥ ﺷﻔﻌﻴﺔ ‪ dn‬ﻣﻦ ﺷﻔﻌﻴﺔ ‪. p‬‬
‫ﺏ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ )‪. PGCD(22009 + 2009, 22010 + 2009‬‬ ‫اﻟﺗﻣرﯾن ‪ Amérique du Sud nov 2010 06‬اﻟﺣل ﻣن ھﻧﺎ‬

‫‪ n‬ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺃﻛﱪ ﺃﻭ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪ ، 2‬ﻧﻀﻊ ‪. A(n) = n4 + 1 :‬‬

‫اﻟﺣل ﻣن ھﻧﺎ‬ ‫‪Amérique du Nord juin 2009‬‬ ‫اﻟﺗﻣرﯾن ‪09‬‬ ‫‪ /1‬ﺃﺩﺭﺱ ﺷﻔﻌﻴﺔ )‪ A(n‬ﺣﺴﺐ ﺷﻔﻌﻴﺔ ‪. n‬‬
‫‪ /1‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﳎﻤﻮﻋﺔ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ ﺍﻟﱵ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﺇﱃ ﺍ‪‬ﺎﻝ ]‪. [1; 46‬‬ ‫‪ /2‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻧّﻪ ﻣﻬﻤﺎ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺃﻛﱪ ﺃﻭ ﺗﺴﺎﻭﻱ ‪ 2‬ﻓﺈ ‪‬ﻥ )‪A(n‬‬

‫‪ /1‬ﻧﻌﺘﱪ ﰲ ‪ Z2‬ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ‪. 23x + 47y = 1 · · · · · · (E) :‬‬ ‫ﻏﲑ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟـ ‪. 3‬‬

‫ﺃ( ﻋﻴ‪‬ﻦ ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ) ‪ (x0 , y0‬ﻟـ )‪. (E‬‬ ‫]‪n8 ≡ 1[d‬‬ ‫ﻛﻞ ﻗﺎﺳﻢ ‪ d‬ﻟـ )‪ A(n‬ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪ d‬ﺃﻭﱄ ﻣﻊ ‪ n‬ﻭ‬
‫‪/3‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻧّﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ّ‬
‫ﺏ( ﻋﲔ ﺍﻟﺜﻨﺎﺋﻴﺎﺕ )‪ (x, y‬ﺣﻠﻮﻝ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ )‪. (E‬‬ ‫‪ d /4‬ﻗﺎﺳﻢ ﻟـ )‪ s ، A(n‬ﺃﺻﻐﺮ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ ﻏﲑ ﺍﳌﻌﺪﻭﻣﺔ ‪ k‬ﺍﻟﱵ‬
‫ﺝ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻧّﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻭﺣﻴﺪ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ A‬ﺣﻴﺚ ]‪23x ≡ 1[47‬‬ ‫ﲢﻘﻖ ‪. nk ≡ 1[d] :‬‬
‫‪.‬‬ ‫ﺃ( ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺪﻳﺔ ﻟـ ‪ k‬ﻋﻠﻰ ‪ ، s‬ﺑﻴ‪‬ﻦ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ s :‬ﻳﻘﺴﻢ ‪. k‬‬
‫‪ a /2‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﺻﺤﻴﺤﺎﻥ ‪.‬‬ ‫ﺏ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ s‬ﻗﺎﺳﻢ ﻟـ ‪. 8‬‬
‫ﺃ( ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻧّﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ]‪ ab ≡ 0[47‬ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪ a ≡ 0[47] :‬ﺃﻭ ]‪b ≡ 0[47‬‬
‫اﻟﺣل ﻣن ھﻧﺎ‬ ‫‪Pondichéry avril 2010‬‬ ‫اﻟﺗﻣرﯾن ‪07‬‬
‫‪.‬‬
‫ﺏ( ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃﻧّﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ]‪ a2 ≡ 1[47‬ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪ a ≡ 1[47] :‬ﺃﻭ‬ ‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻃﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﳛﻘﻘﺎﻥ ﻣﺎﻳﻠﻲ ‪ ، a2 = b3 :‬ﻧﻀﻊ‬
‫]‪. a ≡ −1[47‬‬ ‫)‪ u, v ، d = PGCD(a, b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﺻﺤﻴﺤﺎﻥ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺣﻴﺚ‬
‫ﻛﻞ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ‪ p‬ﻣﻦ ‪ A‬ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫‪ /3‬ﺃ( ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻧّﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ّ‬ ‫‪ a = du :‬ﻭ ‪b = dv‬‬
‫‪ q‬ﲝﻴﺚ ‪. p × q ≡ 1[47] :‬‬ ‫‪ /1‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻥ‪. u2 = dv3 :‬‬
‫ﻛﻞ ‪ p‬ﻣﻦ ‪ A‬ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻭﺣﻴﺪ ﻣﻦ ‪ A‬ﻧﺮﻣﺰ‬ ‫ﺏ( ﻧﻘﺒﻞ ﺃﻧّﻪ ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ّ‬ ‫‪ /2‬ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ v :‬ﻳﻘﺴﻢ ‪ ، u‬ﺛ ‪‬ﻢ ﺑﻴ‪‬ﻦ ﺃ ‪‬ﻥ ‪. v = 1 :‬‬
‫ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ )‪ inv(p‬ﲝﻴﺚ ‪. p × inv(p) ≡ 1[47] :‬‬ ‫‪ a /3‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻃﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ‪ ،‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ a2 = b3 :‬ﺇﺫﺍ ﻭ ﻓﻘﻂ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬
‫ﻣﺜﺎﻝ ‪ inv(3) = 16 :‬ﻷ ‪‬ﻥ ‪3 × 16 ≡ 1[47] :‬‬ ‫ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟ ّﺘﺮﺗﻴﺐ ﻣﻜﻌﺐ ﻭ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬ ‫ّ‬
‫‪ −‬ﻋﻴ‪‬ﻦ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ ‪ p‬ﻣﻦ ‪ A‬ﺍﻟﱵ ﲢﻘﻖ )‪. p = inv(p‬‬ ‫‪ /4‬ﺃﺛﺒﺖ ﺃﻧّﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ n‬ﻣﺮﺑﻊ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻭ ﻣﻜﻌﺐ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪:‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬
‫ﺝ( ﺃﺛﺒﺖ ﺃ ‪‬ﻥ ‪46! ≡ −1[47] :‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬
‫]‪ n ≡ 0[7‬ﺃﻭ ]‪. n ≡ 1[7‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪AM‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA‬‬

‫‪NAA M‬‬

‫‪AM‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪3‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬
‫‪NA‬‬
‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NA M‬‬ ‫‪NA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪ A‬ﻣن ‪A‬ﻛﺗﺎﺑﺔ ‪A‬اﻷﺳﺗﺎذ‪A M: A‬‬
‫‪NA M‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA‬‬

‫‪TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬

‫اﻟﻣواﻓــــﻘـــﺎت و اﻟﻘﺳـﻣـــﺔ ﻓــﻲ ‪Z‬‬

‫‪ LATEX‬ﺍﻟﺸﻌﺐ‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬
‫ﺕ ﺭ ‪ +‬ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬
‫‪TEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬

‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬

‫ﺍﳌﻔﺼﻠﺔ‬
‫‪LT X‬‬
‫ﻣﺮﻓﻘﺔ‪L T‬ﺑﺎﳊﻠﻮﻝ‬
‫‪X‬‬
‫ﳕﻮﺫﺟﻴﺔ‬
‫‪LT X‬‬
‫‪X‬ﲤﺎ‪T‬ﺭ‪L‬ﻳﻦ‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬
‫‪ ‬اﻟﻤﻠﻒ ﻣﻮﺟﻮد ﻓ ‪elite of latex and python  :‬‬
‫‪TEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬

‫‪ LAT X‬ﻣﻨﻪ ‪ n +L5AT= X7k‬ﺃﻱ‪Xn = 7kLA−T5X‬ﺃﻱ‪. n = 7m +LA2T X, m ∈ LNAT‬‬

‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬ ‫اﻟﺗﻣرﯾن ‪ATEX10‬‬
‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪EX‬‬
‫ھﻧﺎ‬ ‫ﻓﺻﻠﯾﺔ‪ LA‬اﻟﺣل ﻣن‬
‫ﺗﻣرﯾن‪L‬ﻣن إﻣﺗﺣﺎﻧﺎت‪TEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬
‫‪ /2‬ﺃ( ‪ p = (n−5)b‬ﻭ ‪) q = (n−5)a‬ﳝﻜﻦ ﺍﻟﺘﺄﻛﺪ ﻣﻦ ﺫﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ‬
‫‪TEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT X‬‬ ‫‪LAT X‬‬ ‫‪LAT X‬‬ ‫‪LAT X‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT.‬‬
‫ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ‪EX‬‬
‫‪LATEnX‬‬
‫ﺍ‪E‬ﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺪ‪E‬ﻳﺔ( ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ nE− 5‬ﻳﻘﺴﻢ ﻛﻼ ﻣﻦ‪ p E‬ﻭ ‪. q‬‬
‫‪ /1‬ﺃﺩﺭﺱ ﺗﺒﻌﺎ ﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ n‬ﺑﻮﺍﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺪﻳ‪‬ﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪ 5‬ﻋﻠﻰ ‪ . 7‬ﺏ( )‪ PGCD(p, q) = (n − 5)PGCD(a, b‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪:‬‬
‫‪n‬‬

‫ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ‪ n = 7m + 2‬ﻓﺈﻥ )‪. PGCD(p, q) = 7(n − 5‬‬ ‫‪ /2‬ﻋﻴ‪‬ﻦ ﺑﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺪﻳ‪‬ﺔ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪ 62n‬ﻋﻠﻰ ‪. 7‬‬
‫‪ /3‬ﻋﻴ‪‬ﻦ ﻗﻴﻢ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺍﻟﱵ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﻦ ﺃﺟﻠﻬﺎ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ 5 + 6 + 3‬ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ‪ n , 7m + 2‬ﻓﺈﻥ )‪. PGCD(p, q) = (n − 5‬‬
‫‪n‬‬ ‫‪2n‬‬

‫ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪.7‬‬

‫اﻟﻌودة إﻟﻰ ﻧص اﻟﺗﻣرﯾن‬ ‫ﺣل اﻟﺗﻣرﯾن ‪3‬‬
‫اﻟﻌودة إﻟﻰ ﻧص اﻟﺗﻣرﯾن‬ ‫ﺣل اﻟﺗﻣرﯾن ‪1‬‬
‫‪ /1‬ﺃ( ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪،d‬ﻭ‬ ‫)‪= PGCD(a, b‬‬ ‫‪ a = 2n + 3 /1‬ﻭ ‪ ، b = 5n − 2‬ﻧﻀﻊ‬
‫ﻧﻔﺮﺽ ﺑﺎﳋﻠﻒ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ x :‬ﻭ ‪ S‬ﻏﲑ ﺃﻭﻟﻴﲔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪ ،‬ﺇﺫﻥ ﻓﻬﻤﺎ ﻳﻘﺒﻼﻥ‬ ‫ﻣﻨﻪ ‪ d/a‬ﻭ ‪ ، d/b‬ﺇﺫﻥ ‪ d/5a‬ﻭ ‪ d/2b‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ d/5a − 2b :‬ﺃﻱ ‪:‬‬
‫ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻞ ﻗﺎﲰﺎ ﻣﺸﱰﻛﺎ ‪ d‬ﳜﺘﻠﻒ ﻋﻦ ‪ 1‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ d/S − x‬ﺃﻱ ‪d/y‬‬
‫‪ d/19‬ﻭ ﻣﻨﻪ }‪ d ∈ {1, 19‬ﻭ ﲟﺎ ﺃﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻏﲑ ﺃﻭﻟﻴﲔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪:‬‬
‫ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ d‬ﻗﺎﺳﻢ ﻣﺸﱰﻙ ﻟـ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﳜﺘﻠﻒ ﻋﻦ ‪ 1‬ﻭ ﻫﺬﺍ ﺗﻨﺎﻗﺾ ﻷ ‪‬ﻥ ‪ x‬ﻭ‬ ‫‪. d = 19‬‬
‫‪ y‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ x‬ﻭ ‪ S‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪ ،‬ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ‬ ‫‪ ، d = 19 /2‬ﺇﺫﻥ ‪ 19/a‬ﻭ ‪ 19/b‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ 19/2a‬ﺃﻱ ‪ 19/4n + 6‬ﻭ‬
‫ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﻹﺛﺒﺎﺕ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ y‬ﻭ ‪ S‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪ 19/5n − 2‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ 19/5n − 2 − 4n − 6‬ﺃﻱ ‪ 19/n − 8 :‬ﻭ ﻣﻨﻪ‬
‫ﺏ( ‪ x‬ﻭ ‪ S‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭ ﻣﻨﻪ ﺣﺴﺐ ﻣﱪﻫﻨﺔ ﺑﻴﺰﻭ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩﺍﻥ‬ ‫‪ n − 8 = 19k‬ﻣﻊ ‪ k ∈ N‬ﺃﻱ ﻗﻴﻢ ‪ n‬ﺍﻟﱵ ﻣﻦ ﺃﺟﻠﻬﺎ ‪ d = 19‬ﻫﻲ‬
‫ﺻﺤﻴﺤﺎﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﺣﻴﺚ ‪ ux+vS = 1‬ﻭ ﺃﻳﻀﺎ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﺻﺤﻴﺤﺎﻥ‬ ‫‪. n = 19k + 8 , k ∈ N‬‬
‫‪ u′‬ﻭ ‪ v′‬ﺣﻴﺚ ‪ u′ y + v′ S = 1‬ﻷ ‪‬ﻥ ‪ y‬ﻭ ‪ S‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬
‫ﻭ ﻣﻨﻪ ‪(ux + vS )(u′ y + v′ S ) = 1‬‬ ‫اﻟﻌودة إﻟﻰ ﻧص اﻟﺗﻣرﯾن‬ ‫ﺣل اﻟﺗﻣرﯾن ‪2‬‬
‫ﻭ ﻣﻨﻪ ‪uu′ xy + uv′ xS + u′ vyS + vv′ S 2 = 1‬‬ ‫‪ a = n − 2‬ﻭ ‪. b = 2n + 3‬‬
‫ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ uu′ P + (uv′ x + u′ vy + vv′ S )S = 1‬ﻭ ﻣﻨﻪ ﺣﺴﺐ ﻣﱪﻫﻨﺔ‬ ‫ﺃ( ﻧﻀﻊ ‪ ، d = PGCD(a, b) :‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ d/a‬ﻭ ‪ d/b‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ d/2a‬ﺃﻱ‬
‫ﺑﻴﺰﻭ ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪ P‬ﻭ ‪ S‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺣﻴﺚ ‪ S = x + y‬ﻭ ‪. P = xy‬‬ ‫‪ d/2n − 4‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ d/2n + 3 − 2n + 4‬ﺃﻱ ‪ d/7‬ﻭ ﻣﻨﻪ ﻗﻴﻢ ‪ d‬ﻫﻲ‬
‫ﺝ( ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺯﻭﺟﻲ ﻭ ﻫﺬﺍ ﻏﲑ ﳑﻜﻦ ﻷ ‪‬ﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ‬ ‫‪. 1, 7‬‬
‫ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ﺏ( ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ‪ a, b‬ﻣﻦ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪ 7‬ﻭ ﻧﺜﺒﺖ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ n + 5‬ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪. 7‬‬
‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻓﺮﺩﻱ ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪ S‬ﺯﻭﺟﻲ ﻭ ‪ P‬ﻓﺮﺩﻱ ‪.‬‬ ‫‪ a, b‬ﻣﻦ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪ 7‬ﺇﺫﻥ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻃﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻏﲑ ﻣﻌﺪﻭﻣﲔ ‪k, k′‬‬
‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ x‬ﻭ ‪ y‬ﻣﻦ ﺷﻔﻌﻴﺘﲔ ﳐﺘﻠﻔﺘﲔ ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪ S‬ﻓﺮﺩﻱ ﻭ ‪ P‬ﺯﻭﺟﻲ ‪.‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ a = 7k‬ﻭ ‪ b = 7k′‬ﻣﻊ ‪ b > a‬ﻭ ﻣﻨﻪ )‪ b − a = 7(k′ − k‬ﺃﻱ‬
‫ﻭ ﻣﻨﻪ ﰲ ﻛﻞ ﺍﳊﺎﻻﺕ ‪ S‬ﻭ ‪ P‬ﻣﻦ ﺷﻔﻌﻴﺘﲔ ﳐﺘﻠﻔﺘﲔ‪.‬‬ ‫‪ b − a = 7ℓ‬ﻭ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ ﺃﺧﺮﻯ ‪ b − a = n + 5‬ﻭ ﻣﻨﻪ‬
‫‪n + 5 = 7ℓ‬‬
‫‪ 84 = 7 × 12 = 7 × 4 × 3 = 22 × 3 × 7 /2‬ﻭ ﻣﻨﻪ ﺍﻟﻘﻮﺍﺳﻢ ﺍﳌﻮﺟﺒﺔ‬ ‫ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ n + 5‬ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟـ ‪7‬‬
‫ﻟـ ‪ 84‬ﻫﻲ ‪. 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 :‬‬ ‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ‪ n + 5‬ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪ 7‬ﻭ ﻧﺜﺒﺖ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ a, b‬ﻣﻦ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪. 7‬‬
‫‪ /3‬ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ‪ S = 2 :‬ﻭﻣﻨﻪ ‪ P = 42‬ﻏﲑ ﳑﻜﻦ )ﻷ ‪‬ﻥ ‪ S‬ﻭ ‪ P‬ﻣﻦ‬ ‫‪ n+5 = 7k‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ n = 7k−5‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ a = 7k−5−2‬ﻭ ‪b = 14k−7‬‬
‫ﻟﺸﻲء ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ‪. S = 6, 14, 42‬‬ ‫ﺷﻔﻌﺘﲔ ﳐﺘﻠﻔﺘﲔ ( ‪ ،‬ﻧﻔﺲ ﺍ ‪‬‬ ‫ﻭ ﻣﻨﻪ )‪ a = 7(k − 1‬ﻭ )‪ b = 7(2k − 1‬ﺃﻱ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻣﻦ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪. 7‬‬
‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ ‪ S = 3‬ﺃﻱ ‪ x = 1, y = 2‬ﺃﻭ ﺍﻟﻌﻜﺲ ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪ P = 2‬ﻭ ﻫﺬﺍ‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬
‫ﺝ( ‪ PGCD(a, b) = 7‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ n + 5‬ﻣﻦ ﻣﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ‪ 7‬ﺣﺴﺐ ﺏ( ﻭ‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪AM‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA‬‬

‫‪AM‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪4‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NA‬‬
‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NA M‬‬ ‫‪NA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪ A‬ﻣن ‪A‬ﻛﺗﺎﺑﺔ ‪A‬اﻷﺳﺗﺎذ‪A M: A‬‬
‫‪NA M‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA‬‬

TEX L TEX L TEX L TEX L TEX L TEX L TEX L TEX L TEX L TEX L TEX

Z ‫اﻟﻣواﻓــــﻘـــﺎت و اﻟﻘﺳـﻣـــﺔ ﻓــﻲ‬

LATEX‫ ﺍﻟﺸﻌﺐ‬LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LAT
‫ ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬+ ‫ﺕ ﺭ‬
TEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX

LATEX LATEX LATEX LATEX

‫ﺍﳌﻔﺼﻠﺔ‬
LT X
‫ﺑﺎﳊﻠﻮﻝ‬L T‫ﻣﺮﻓﻘﺔ‬
X
‫ﳕﻮﺫﺟﻴﺔ‬
LT X
‫ﻳﻦ‬L‫ﺭ‬T‫ﲤﺎ‬X LATEX LATEX LAT
A E A E A E A E
elite of latex and python  : ‫ اﻟﻤﻠﻒ ﻣﻮﺟﻮد ﻓ‬
TEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX

‫ﻋﺪﺩﺍﻥ ﺻﺤﻴﺤﺎﻥ‬
LATEX
‫ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ‬L‫ﺑﻴﺰﻭ‬
LATEX ATEX
‫ ﺣﺴﺐ‬، L‫ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‬
ATEX
‫ﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ‬L‫ﻭ‬ A‫ﺃ‬Tb X‫ ﻭ‬a /1 LAT X . S L=AT4,X6 ‫ﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﱃ‬ ‫ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻜﻼﻡ ﺑﺎ‬
LATEX
، P = 28L‫ﻥ‬ AT
LATEX
‫ﳑﻜﻦ ﻷ‬ ‫ ﻏﲑ‬LAT
E E E EX
a/bc ‫ﻥ‬ ‫ ﻥ ﲟﺎ ﺃ‬acu + bcv = c ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬au + bv = 1 ‫ ﺣﻴﺚ‬v ‫ ﻭ‬u ‫ ﺃﻛﱪ ﻣﻦ‬P ‫ ﺃﻭ ﺍﻟﻌﻜﺲ ﻭ ﻣﻨﻪ‬x = 28, y = 14 ‫ﻥ‬ ‫ ﻓﺈ‬S = 42 ‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬
TEX LATEX LAT X LAT X LAT X LAT X LATEX LATEX LATEX LATEX LAT X
. a/c ‫ﺃﻱ‬Ea/auc + bvcE ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬a/acuE ‫ ﻭ‬a/bvc ‫ﻥ‬ ‫ﻓﺈ‬E . P = 2 ‫ﻥ‬ ‫ﳑﻜﻦ ﻷ‬ ‫ﻭ ﻫﺬﺍ ﻏﲑ‬E2
‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬b ≡ 0[q] ‫ ﻭ‬a = pk ‫ ﺣﻴﺚ‬k ∈ N ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻳﻮﺟﺪ‬a ≡ 0[p] P = 98 ‫ ﺃﻭ ﺍﻟﻌﻜﺲ ﻭ ﻣﻨﻪ‬x = 7, y = 14 ‫ﻥ‬ ‫ ﻓﺈ‬S = 21 ‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬
‫ﻭﻟﻴﺎﻥ‬ ‫ ﺃ‬q ‫ ﻭ‬p ‫ ﻟﻜﻦ‬pk = qk′ ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬a = qk′ ‫ ﺣﻴﺚ‬k′ ∈ N ‫ﻳﻮﺟﺪ‬ .‫ﻏﲑ ﳑﻜﻦ‬
‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬k′ = pk′′ ‫ ﺣﻴﺚ‬k′′ ∈ N ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻳﻮﺟﺪ‬p/qk′ ‫ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭ‬P = 12 ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬x = 4, y = 3 ‫ ﺃﻭ‬x = 3, y = 4 ‫ﻥ‬ ‫ ﻓﺈ‬S = 7 ‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃﻥ‬
. a ≡ 0[pq] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬a = pqk′′ S P = 84 ‫ ﺣﻴﺚ‬x, y ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻬﺎ‬S p = 84 ‫ﻭ ﻣﻨﻪ‬
: ‫ﺍﳉﺰء ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬ . x = 4, y = 3 ‫ ﺃﻭ‬x = 3, y = 4 ‫ﻫﻲ‬



5 ‫ ﻭ‬17 ‫ﻥ‬ ‫ ﻣﻮﺟﻮﺩﺍﻥ ﺣﺴﺐ ﺑﻴﺰﻭ ﻷ‬v ‫ ﻭ‬u ‫ ﻥ‬17u + 5v = 1 (‫ ﺃ‬/1 . d = PGCD(a, b) ‫؛ ﻣﻊ‬

 a + b = 84
/4



. ‫ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‬  ab = d3

. n0 = 3 × 17u + 9 × 5v (‫ﺏ‬ ‫ﻭ‬ a = xd ‫ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﺣﻴﺚ‬y ‫ ﻭ‬x ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﻃﺒﻴﻌﻴﺎﻥ‬
‫ ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬9 × 5v ≡ 9[17] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬5v ≡ 1[17] ‫ ﺃﻱ‬5v = 1 − 17u a + b = 84 ‫ ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬xy = d ‫ﻥ‬ ‫ ﻓﺈ‬ab = d3 ‫ ﲟﺎ ﺃﻥ‬، y = yd

‫ ﻭ‬17u = 1 − 5v ‫ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬، n0 ≡ 9[17] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬3 × 17u ≡ 0[17] ‫ ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ‬، (x + y)(xy) = 84 ‫ﻭ ﻣﻨﻪ‬
‫ ﻭ‬9 × 5v ≡ 0[5] ‫ ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ‬3 × 17u ≡ 3[5] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬17u ≡ 1[5] ‫ﻣﻨﻪ‬ ‫ ﺇﺫﻥ‬، d = 12 ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬x = 4, y = 3 ‫ ﺃﻭ‬x = 3, y = 4 ‫ﳒﺪ‬
. S ‫ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ‬n0 ‫ ﺇﺫﻥ‬، n0 ≡ 3[5] ‫ﻣﻨﻪ‬ . a = 48, b = 36 ‫ ﺃﻭ‬a = 36, b = 48
5 = 2 × 2 + 1 ‫ ﻭ‬17 = 3 × 5 + 2 ‫ﺝ( ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺧﻮﺍﺭﺯﻣﻴﺔ ﺇﻗﻠﺪﺱ ﳒﺪ‬ 4 ‫ﺣل اﻟﺗﻣرﯾن‬
‫اﻟﻌودة إﻟﻰ ﻧص اﻟﺗﻣرﯾن‬
‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬1 = 5 − (17 − 5 × 3) × 2 ‫ ﺃﻱ‬1 = 5 − 2 × 2 ‫ﻭ ﻣﻨﻪ‬
n= 4k 4k + 1 4k + 2 4k + 3 k ∈ N
. n0 = 213 ‫( ﻭ ﻣﻨﻪ‬u, v) = (−2, 7) ‫ ﺃﻱ‬1 = 17 × (−2) + 5 × 7 (‫ ﺃ‬/1
3n ≡ 1 3 9 7 [10]
، n − n0 ≡ 0[17] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬n0 ≡ 9[17] ‫ ﻭ‬n ≡ 9[17] (‫ ﺃ‬/2
. 63 × 92001 ≡ −3[10] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬9 ≡ −1[10] ‫ ﻭ‬63 ≡ 3[10] (‫ﺏ‬
‫ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ‬17 ‫ ﻭ‬5 ‫ﻥ‬ ‫ ﲟﺎ ﺃ‬، n − n0 ≡ 0[5] ‫ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﳒﺪ‬
‫ﻥ‬ ‫ ﺣﺴﺐ ﺍﳉﺪﻭﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻓﺈ‬، 71422 = 31422 [10] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬7 ≡ −3[10]
‫ )ﺣﺴﺐ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺳﺆﺍﻝ ﺳﺎﺑﻖ ( ﻭ ﻣﻨﻪ‬n − n0 ≡ 0[17 × 5] ‫ﻥ‬ ‫ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻓﺈ‬
‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬71422 ≡ 9[10] :
. n − n0 ≡ 0[85]
63 × 92001 − 71422 ≡ 8[10] ‫ ﺃﻱ‬63 × 92001 − 71422 ≡ −12[10]
213 ≡ 43[85] ‫ ﻟﻜﻦ‬n ≡ 213[85] ‫ ﺃﻱ‬n − 213 ≡ 0[85] ‫ﺏ( ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
. 8 ‫ ﻫﻮ‬10 ‫ ﻋﻠﻰ‬63 × 92001 − 71422 ‫ﻭ ﻣﻨﻪ ﺑﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬
. n = 85k + 43 , k ∈ N ‫ ﺃﻱ‬n ≡ 43[85] ‫ﻭ ﻣﻨﻪ‬
‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬7 ≡ −3[10] ‫ ﻭ‬3n × 9n ≡ n × 32n+1 [10] (‫ ﺃ‬/2
‫ ﻓﺮﺩﻱ ﻭ ﻣﻨﻪ‬2n + 1 ‫ﻥ‬ ‫ ﻷ‬72n+1 ≡ −32n+1 [10]
‫ اﻟﻌودة إﻟﻰ ﻧص اﻟﺗﻣرﯾن‬6 ‫ﺣل اﻟﺗﻣرﯾن‬
. 3n × 9n + 72n+1 ≡ (n − 1) × 32n+1 [10]
A(n) ‫ﻥ‬ ‫ ﻓﺮﺩﻱ ﻓﺈ‬n ‫ ﻭ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬، ‫ ﻓﺮﺩﻱ‬A(n) ‫ﻥ‬ ‫ ﺯﻭﺟﻲ ﻓﺈ‬n ‫ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬/1
‫( ﻭ‬n − 1) × 32n+1 ≡ 0[10] ‫ ﻭﻣﻨﻪ‬3n × 9n + 72n+1 ≡ 0[10] (‫ﺏ‬
. ‫ﺯﻭﺟﻲ‬
n = 10k + 1 , k ∈ N ‫ ﺃﻱ‬n − 1 ≡ 0[10] ‫ﻣﻨﻪ‬
. 2 ‫ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺃﻛﱪ ﺃﻭ ﺗﺴﺎﻭﻱ‬n /2
. n4 + 1 ≡ 1[3] ‫ﻥ‬ ‫ ﻓﺈ‬n ≡ 0[3] ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬ ‫ اﻟﻌودة إﻟﻰ ﻧص اﻟﺗﻣرﯾن‬5 ‫ﺣل اﻟﺗﻣرﯾن‬
NAA M NAA M NAA M
. n4 + 1 ≡ 2[3] ‫ﻥ‬ ‫ ﻓﺈ‬n ≡ 1[3] ‫ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬
NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M
: ‫ﺍﳉﺰء ﺍﻻﻭﻝ‬
NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M

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A M: A‫اﻷﺳﺗﺎذ‬A ‫ﻛﺗﺎﺑﺔ‬A ‫ ﻣن‬A
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‫‪TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬ ‫‪L TEX‬‬

‫اﻟﻣواﻓــــﻘـــﺎت و اﻟﻘﺳـﻣـــﺔ ﻓــﻲ ‪Z‬‬

‫‪ LATEX‬ﺍﻟﺸﻌﺐ‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬
‫ﺕ ﺭ ‪ +‬ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬
‫‪TEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬

‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬

‫ﺍﳌﻔﺼﻠﺔ‬
‫‪LT X‬‬
‫ﻣﺮﻓﻘﺔ‪L T‬ﺑﺎﳊﻠﻮﻝ‬
‫‪X‬‬
‫ﳕﻮﺫﺟﻴﺔ‬
‫‪LT X‬‬
‫‪X‬ﲤﺎ‪T‬ﺭ‪L‬ﻳﻦ‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬
‫‪ ‬اﻟﻤﻠﻒ ﻣﻮﺟﻮد ﻓ ‪elite of latex and python  :‬‬
‫‪TEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬

‫≡ ‪LATEXd‬‬ ‫‪0 X1‬‬

‫‪LAT‬‬ ‫‪2 LAT 3X‬‬ ‫‪4LAT X 5 LAT 6X‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬
‫]‪. n4 + 1 ≡ 2[3‬‬
‫‪LATEX‬‬
‫‪LATEX‬‬
‫]‪ n ≡L2[3‬ﻓﺈ ‪‬ﻥ‬ ‫‪ L T‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ‬
‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ATEX‬‬ ‫‪A‬‬

‫≡ ‪d6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 64‬‬ ‫‪729‬‬ ‫‪4096 15625 46656‬‬ ‫ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ n‬ﻟﻴﺲ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻟـ ‪. 3‬‬
‫‪TEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LATEX‬‬ ‫‪LAT X‬‬ ‫‪LAT X‬‬ ‫‪LATEX‬‬
‫]‪n ≡ ...[7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ‪ k E‬ﺣﻴﺚ ‪n4 + 1 =Ekd‬‬ ‫)‪LA(n‬ﻭ ﻣﻨﻪ‬
‫‪ATEX‬‬
‫‪LdAT/3‬ﻗﺎﺳﻢ ﻟـ‬
‫‪EX‬‬

‫ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ kd − n3 × n = 1‬ﻭ ﻣﻨﻪ ﺣﺴﺐ ﺑﻴﺰﻭ ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪ d‬ﻭ ‪ n‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ‬

‫]‪n ≡ 1[7‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫]‪n ≡ 0[7‬‬ ‫ﻭ ﻣﻨﻪ‬ ‫ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻛﻞ ﻗﺎﺳﻢ ﻟـ )‪ A(n‬ﺃﻭﱄ ﻣﻊ ‪. n‬‬
‫‪ d‬ﻗﺎﺳﻢ ﻟـ )‪ A(n‬ﻭ ﻣﻨﻪ ]‪ n4 + 1 ≡ 0[d‬ﻭ ﻣﻨﻪ ]‪ n4 ≡ −1[d‬ﻭ ﻣﻨﻪ‬
‫اﻟﻌودة إﻟﻰ ﻧص اﻟﺗﻣرﯾن‬ ‫ﺣل اﻟﺗﻣرﯾن ‪8‬‬
‫]‪. n8 ≡ 1[d‬‬
‫‪ /1‬ﺃ( ‪ 2009 = 11 × 182 + 7‬ﻭ ﻣﻨﻪ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪. 7‬‬ ‫‪ /4‬ﺃ( ]‪ nk ≡ 1[d‬ﺣﺴﺐ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺪﻳﺔ ﻟـ ‪ k‬ﻋﻠﻰ ‪ s‬ﺗﻮﺟﺪ ﺛﻨﺎﺋﻴﺔ‬
‫ﺏ( ‪ 25 = 32‬ﻭ ﻣﻨﻪ ]‪ 25 ≡ 10[11‬ﺃﻱ ]‪ 25 ≡ −1[11‬ﻭ ﻣﻨﻪ‬ ‫ﻭﺣﻴﺪﺓ )‪ (q, r‬ﺣﻴﺚ ‪ k = sq+r‬ﻣﻊ ‪ 0 ≤ r < s‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪nk = (n s )q ×nr‬‬
‫]‪ 210 ≡ 1[11‬ﻭ ﻣﻨﻪ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻳﺴﺎﻭﻱ ‪. 1‬‬ ‫ﻟﻜﻦ ]‪ ns ≡ 1[d‬ﻭ ﻣﻨﻪ ]‪ (ns )q ≡ 1[d‬ﻟﻜﻦ ]‪ nk ≡ 1[d‬ﻭ ﻣﻨﻪ‬
‫ﺝ( ‪ ، 2009 = 210×200+9 = (210 )100 × 29‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ]‪ 210 ≡ 1[11‬ﻭ‬ ‫]‪ nr ≡ 1[d‬ﺣﻴﺚ ‪ r < s‬ﻟﻜﻦ ‪ s‬ﺃﺻﻐﺮ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﳛﻘﻖ ]‪n s ≡ 1[d‬‬
‫ﻣﻨﻪ ]‪ (210 )100 ≡ 1[11‬ﻭ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ 29 = 25 × 24‬ﻭ ]‪ 25 ≡ −1[11‬ﻭ‬ ‫ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ r = 0‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ s‬ﻳﻘﺴﻢ ‪. k‬‬
‫]‪ 24 ≡ 5[11‬ﻭ ]‪ 2009 ≡ 7[11‬ﻭ ﻣﻨﻪ‬ ‫ﺏ( ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎ ﺃ ‪‬ﻥ ]‪ n8 ≡ 1[d‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ s‬ﻳﻘﺴﻢ ‪ 8‬ﻷ ‪‬ﻥ ‪ s‬ﻳﻘﺴﻢ ‪. k‬‬
‫]‪ 2009 + 2009 ≡ −5 + 7[11‬ﺃﻱ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻫﻮ ‪. 2‬‬
‫‪ /2‬ﺃ( ﻛﻞ ﻗﺎﺳﻢ ﻟـ ‪ An‬ﻭ ‪ An+1‬ﻳﻘﺴﻢ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻟﻜﻦ ‪An+1 − An = 2n‬‬ ‫اﻟﻌودة إﻟﻰ ﻧص اﻟﺗﻣرﯾن‬ ‫ﺣل اﻟﺗﻣرﯾن ‪7‬‬
‫ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ dn‬ﻳﻘﺴﻢ ‪. 2n‬‬ ‫‪ /1‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ a2 = b3‬ﻭ ‪ a = du, b = dv‬ﺣﻴﺚ )‪ d = PGCD(a, b‬ﻭ‬
‫ﺏ( ‪ 2n ، An = 2n + p‬ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺯﻭﺟﻲ ﻭ ﻣﻨﻪ ﺷﻔﻌﻴﺔ ‪ An‬ﻣﻦ‬ ‫ﻣﻨﻪ ‪ (du)2 = (bv)3‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ d2 u2 = d3 v3‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪. u2 = dv3‬‬
‫ﺷﻔﻌﻴﺔ ‪. p‬‬ ‫‪ /2‬ﻭﺟﺪﻧﺎ ‪ u2 = dv3‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ v/u2‬ﻭ ‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭ ﻣﻨﻪ ‪v‬‬
‫‪ /3‬ﺃ( ﻣﻦ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ‪ An‬ﻭ ‪ An+1‬ﳍﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﺷﻔﻌﻴﺔ ‪ p‬ﻭ ﻣﻨﻪ‬ ‫ﻳﻘﺴﻢ ‪ PGCD(u, v) = 1 ، u‬ﻟﻜﻦ ‪ v‬ﻳﻘﺴﻢ ‪ u‬ﺃﻱ ‪PGCD(u, v) = v‬‬
‫‪:‬‬ ‫ﻭ ﻣﻨﻪ ‪. v = 1‬‬
‫‪ −‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ p‬ﻓﺮﺩﻱ ﻓﺈ ‪‬ﻥ ‪ An‬ﻭ ‪ An+1‬ﻛﺬﻟﻚ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻗﺎﲰﻬﻤﺎ ﺍﳌﺸﱰﻙ ﺍﻷﻛﱪ‬ ‫‪ /3‬ﻧﻔﺮﺽ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ ، a2 = b3‬ﻭ ‪ ، b = dv ، a = du‬ﻭﺟﺪﻧﺎ ‪ v = 1‬ﻭ ﻣﻨﻪ‬
‫ﺃﻳﻀﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪ p‬ﺯﻭﺟﻲ ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ dn‬ﻟﻪ ﻧﻔﺲ ﺷﻔﻌﻴﺔ ‪. p‬‬ ‫‪ u2 = d‬ﻭ ‪ b = d‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ b = u2‬ﻭ ‪ a = du = u3‬ﻭ ﻣﻨﻪ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ a‬ﻭ‬
‫ﺏ( ‪ A2009‬ﻭ ‪ A2010‬ﻓﺮﺩﻳﺎﻥ ﻷ ‪‬ﻥ ‪ 2009‬ﻓﺮﺩﻱ ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ dn‬ﺃﻳﻀﺎ ﻓﺮﺩﻱ‬ ‫‪ b‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﱰﺗﻴﺐ ﻣﻜﻌﺐ ﻭ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬
‫ﻭﺟﺪﻧﺎ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ dn‬ﻳﻘﺴﻢ ‪ ، 2n‬ﻛﻞ ﻗﻮﺍﺳﻢ ‪ 2n‬ﺯﻭﺟﻴﺔ ﺇﻻ ﺍﻟﻌﺪﺩ ‪ 1‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ‪‬ﻥ‬ ‫ﻧﻔﺮﺽ ﺃ ‪‬ﻥ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﱰﺗﻴﺐ ﻣﻜﻌﺐ ﻭ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‬
‫‪ dn = 1‬ﻭ ﻣﻨﻪ ﺍﻟﻌﺪﺩﺍﻥ ‪ 22009 + 2009‬ﻭ ‪ 22010 + 2009‬ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ‬ ‫‪ m‬ﺃﻱ ‪ a = m3‬ﻭ ‪ b = m2‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪ a2 = m6‬ﻭ ‪ b3 = m6‬ﻭ ﻣﻨﻪ‬
‫ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪ ، a2 = b3‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃ ‪‬ﻥ ‪ a2 = b3‬ﻣﻌﻨﺎﻩ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﱰﺗﻴﺐ‬
‫اﻟﻌودة إﻟﻰ ﻧص اﻟﺗﻣرﯾن‬ ‫ﺣل اﻟﺗﻣرﯾن ‪9‬‬ ‫ﻣﻜﻌﺐ ﻭ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ‪.‬‬
‫‪ ، n = a2 = b3 /4‬ﻣﻦ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ‪d‬‬
‫‪ /1‬ﺃ( )‪ (x0 , y0 ) = (−2, 1‬ﺣﻞ ﺧﺎﺹ ﻟـ )‪ (E‬ﻷ ‪‬ﻥ ‪−2×23+47×1 = 1‬‬
‫ﺣﻴﺚ ‪ a = d3‬ﻭ ‪ b = d2‬ﻭ ﻣﻨﻪ ‪n = d6‬‬
‫‪‬‬ ‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 23x + 47y = 1‬‬
‫ﻣﻨﻪ‬ ‫‪NAAM NAA M NAA M NAA M NAA M‬ﻭ‬ ‫‪ ،‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫‪(E)A‬‬ ‫ﺣﻞ ﻟـ‬ ‫‪(x, y)A‬‬ ‫ﺏ(‬
‫‪NAA M‬‬
‫‪ −2 × 23 + 47 × 1 = 1‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪AM‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA‬‬

‫‪NAA M‬‬

‫‪AM‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪6‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

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‫‪NAA M‬‬

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‫‪NAA M‬‬

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‫‪NA‬‬
‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

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‫‪NAA M‬‬

‫‪NA M‬‬ ‫‪NA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪ A‬ﻣن ‪A‬ﻛﺗﺎﺑﺔ ‪A‬اﻷﺳﺗﺎذ‪A M: A‬‬
‫‪NA M‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬
‫‪NAA M‬‬

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‫‪NAA M‬‬

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‫‪NAA M‬‬

‫‪NAA M‬‬ ‫‪NAA‬‬

TEX L TEX L TEX L TEX L TEX L TEX L TEX L TEX L TEX L TEX L TEX

Z ‫اﻟﻣواﻓــــﻘـــﺎت و اﻟﻘﺳـﻣـــﺔ ﻓــﻲ‬

LATEX‫ ﺍﻟﺸﻌﺐ‬LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LAT
‫ ﺭﻳﺎﺿﻴﺎﺕ‬+ ‫ﺕ ﺭ‬
TEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX

LATEX LATEX LATEX LATEX

‫ﺍﳌﻔﺼﻠﺔ‬
LT X
‫ﺑﺎﳊﻠﻮﻝ‬L T‫ﻣﺮﻓﻘﺔ‬
X
‫ﳕﻮﺫﺟﻴﺔ‬
LT X
‫ﻳﻦ‬L‫ﺭ‬T‫ﲤﺎ‬X LATEX LATEX LAT
A E A E A E A E
elite of latex and python  : ‫ اﻟﻤﻠﻒ ﻣﻮﺟﻮد ﻓ‬
TEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX

‫ﺃﻭ‬ a ≡ 1[47] ‫ﻭ ﻣﻨﻪ‬ a + 1 ≡ 0[47] ‫ﺃﻭ‬ a − 1 ≡ 0[47] ‫ ﻭ‬47(1 − y) ‫ ﻳﻘﺴﻢ‬23 ‫ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﻏﻮﺹ ﳒﺪ‬، 23(x + 2) = 47(1 − y)
LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LATEX LAT
a ≡ −1[47] 1 − y = 23k ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬1 − y ‫ ﻳﻘﺴﻢ‬23 ‫ ﺃﻭﻟﻴﺎﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭﻣﻨﻪ‬47 ‫ ﻭ‬23
TEX LAT X LAT X LAT X LAT X LAT X LATEX
‫ﻣﻨﻪ ﺣﺴﺐ‬E‫ ﺃﻭﱄ ﻭ‬47 ‫ﻥ‬ ‫ﻷ‬E47 ‫ﻳﻜﻮﻥ ﺃﻭﱄ ﻣﻊ‬
E
A ‫ ﻣﻦ‬p ‫ ﺃ( ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬/3
E E ‫( ﻫﻲ‬E) ‫ﻭ ﻣﻨﻪ ﺣﻠﻮﻝ‬LAxTE=X47k − 2LA‫ﳒﺪ‬
TEX
‫ﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬L‫ ﺑ‬A،TyEX= 1 − 23k
LATEX
‫ﺃﻱ‬
pq + 47m = 1 ‫ ﺣﻴﺚ‬m ‫ ﻭ‬q ‫ﻣﱪﻫﻨﺔ ﺑﻴﺰﻭ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩﺍﻥ ﺻﺤﻴﺤﺎﻥ‬ . {(47k − 2, 1 − 23k) , k ∈ Z}
. pq ≡ 1[47] ‫ﻭ ﻣﻨﻪ‬ 32x = 1−47y ‫ ﺣﻴﺚ‬y ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ‬23x ≡ 1[47] (‫ﺝ‬
‫ ﺃﻭ‬p ≡ 1[47] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬p2 ≡ 1[47] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬p = inv(p) (‫ﺏ‬ x = 47k − 2 ‫ﻥ‬ ‫ ﺣﺴﺐ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺆﺍﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻓﺈ‬، 23x + 47y = 1 ‫ﺃﻱ‬
. p = 46 ‫ ﺃﻭ‬p = 1 ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬p ≡ −1[47] ‫ ﻭ‬1 ≤ 47k − 2 ≤ 47 ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬1 ≤ x ≤ 47 ‫ ﻟﻜﻦ‬y = 1 − 23k ‫ﻭ‬
‫ﺣﻴﺚ‬inv(p) ‫ ﻳﻮﺟﺪ‬2 ≤ p ≤ 45 ‫ ﺣﻴﺚ‬A ‫ ﻣﻦ‬p ‫ﺝ( ﻣﻦ ﺃﺟﻞ ﻛﻞ‬ ‫ ﻭﻣﻨﻪ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‬x = 45 ‫ ﺃﻱ‬k = 1 ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬3 ≤ 47k ≤ 47 ‫ﻣﻨﻪ‬
‫ ﺣﺴﺐ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺳﺆﺍﻝ ﺳﺎﺑﻖ ﻟﻜﻦ‬p × inv(p) ≡ 1[47] . 45 ‫ ﻫﻮ‬23x ≡ 1[47] ‫ ﺍﻟﺬﻱ ﳛﻘﻖ‬A ‫ ﻣﻦ‬x ‫ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ‬
. 45! ≡ 1[45] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬45! = 1 × 2 × 3 × · · · × 45 ‫ ﺃﻭﱄ ﻭ ﻣﻨﻪ ﻓﻬﻮ‬47 ‫ ﻟﻜﻦ‬، ab ‫ ﻳﻘﺴﻢ‬47 ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬ab ≡ 0[47] (‫ ﺃ‬/2
. 46! ≡ −1[45] ‫ ﺃﻱ‬46! ≡ 46[47] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬46! = 46 × 45! ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ . b ≡ 0[47] ‫ ﺃﻭ‬a ≡ 0[47] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬b ‫ ﺃﻭ ﻳﻘﺴﻢ‬a ‫ﻳﻘﺴﻢ ﺇﻣﺎ‬
‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬a2 − 1 ≡ 0[47] ‫ ﻭ ﻣﻨﻪ‬a2 ≡ 1[47] (‫ﺏ‬
‫اﻟﻌودة إﻟﻰ ﻧص اﻟﺗﻣرﯾن‬ 10 ‫ﺣل اﻟﺗﻣرﯾن‬
‫ﻥ‬ ‫( ﺣﺴﺐ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺆﻝ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻓﺈ‬a − 1)(a + 1) ≡ 0[47]
. ‫ﺳﻬﻞ ﻳﱰﻙ ﻟﻠﻘﺎﺭﻯء‬

Z ‫اﻟﻣواﻓــــﻘـــﺎت و اﻟﻘﺳـﻣـــﺔ ﻓــﻲ‬

‫ﲤـــﺎﺭﻳﻦ ﳕﻮﺫﺟﻴﺔ ﻣﺮﻓﻘﺔ ﺑﺎﳊﻠﻮﻝ ﺍﳌﻔﺼﻠﺔ‬
NAA M : ‫ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻷﺳﺘﺎﺫ‬

NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M NAA M

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A M: A‫اﻷﺳﺗﺎذ‬A ‫ﻛﺗﺎﺑﺔ‬A ‫ ﻣن‬A
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