上 海 交 通 大 学 试 卷（ A 卷 ）
课程 线性代数（B 类） 学期 2011－2012 第 1 学期
一．单项选择题 （每题 3 分，共 18 分）
1．设 A ， B 为 n 阶方阵，且 A = A ， B = B 。则
2 2
（ ）
（A） r ( A) = r ( B) 时， A ， B 不相似； （B） r ( A) r ( B) 时， A ， B 相似；
（C） r ( A) = r ( B) 时， A ， B 相似； （D）以上都有可能。
2．设 A 为 n 阶反对称矩阵 ，则 （ ）
（A） r ( A + E ) = 0 ； （B） r ( A + E ) = n ；
（C） 0 r ( A + E ) n ； （D）以上都有可能。
A 0
3．设 A, B 为 n 阶方阵， C = 。则伴随矩阵 C 为 （ ）
0 B
| B | A 0 | A | A 0
（A） ； （B） ；
0 | A | B 0 | B | B
| B | B 0 | A | B 0
（C） ； （D） 。
0 | A | A 0 | B | A
4．设 A 为 m n 的实矩阵，矩阵 ( A A) 正定的充分必要条件为
T
（ ）
（A） r ( A) = m ； （B） r ( A) m ；
（C） r ( A) m ； （D） r ( A) = n 。
5．设 是单位向量，矩阵 A = E + k T ，其中 k 1 。则 （ ）
（A） A 为正交矩阵； （B） A 为正定矩阵；
（C） A 为可逆矩阵； （D） A 为反对称矩阵。
6．设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，向量 1 , 2 , 3 线性相关但相互不成比例，且，
1 = k 1 + 2 + 3 , 2 = 1 + k 2 + 3 , 3 = 1 + 2 + k 3 。
则 （ ）
（A） k = −2 或 k = 1 ； （B） k = 1 ；
（C） k −2 且 k 1 ； （D） k = −2 。
二．填空题 （每题 3 分，共 18 分）
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2 1 1
7．设行列式 D = 1 3 1 ， Ai j 是 D 中元素 a i j 的代数余子式，
1 1 4
3 3
则 A
i =1 j =1
ij ＝ 。
8．已知 4 阶行列式 | ai j | 4 的展开式中某项为 ( −1) a 3 2 a1 3 a 41 a 2 4 。则 k =
k
。
9. 设 A = (a ij ) 33 , Ai j 是 | A | 中 a i j 的代数余子式， a i j = A i j ， a 11 = 2a 12 = 3a 13
。
已知 a 11 0 ，则 a 11 = 。
10．设 A 是实对称可逆矩阵，则线性变换 y = A x 将二次型 f = x Ax 化为
T
二次型____________________。
11．已知实二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = (1 + ) x12 + (1 + ) x22 + (1 + ) x32 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3
是正定二次型，则常数 的取值为 。
1 1 a 1
12．设 A = 1 a 1 ， = 1 ，已知线性方程组 Ax = 有解但不唯一。
a 1 1 − 2
则常数 a ＝ 。
三．解答题 （每题 8 分，共 48 分）
13．设实向量 = ( a1 ，a 2 ，
，a n )T , n 阶矩阵 A = E + T ，行列式 Dn =| A | 。
（1）计算 D3 ； （2）证明： Dn Dn −1 。
kx1 + x 2 − x3 = 4
14．已知非齐次线性方程组 Ax = b 为 x1 + kx 2 + x3 = 3 。 （1）试求行列式 | A | ；
− x + x + kx = l
1 2 3
（2）试问：常数 k ，l 为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解。
当方程组有无穷多解时，求出其通解
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1 1 0
15．已知 A , B 为 3 阶矩阵，其中 A = 0 2 0 。
0 0 − 1
•
（1）化简等式 A BA = BA − E ； （2）求满足（1）中等式的矩阵 B 。
16．已知二次型 f ( x1 ，x 2 ，x 3 ) = x T Ax 经正交变换 x = Q y 化为标准型 y12 + y 22 − 2 y 32 ，
1 1 1
且正交矩阵 Q 的第三列为 ( ， ， )T 。
3 3 3
（1）试求：正交矩阵 Q 和实对称矩阵 A ；（2）证明：矩阵 B = A + 3E 为正定矩阵。
0 1 0 0
1 0 0 0
17．已知矩阵 A =
T
有 1 个特征值为 3 。（1）试求：常数 y ，以及矩阵 ( A A) 的特征值；
0 0 y 1
0 0 1 2
T
（2）试求：可逆矩阵 P ，使得矩阵 ( AP ) ( AP ) 为对角阵，并求出此对角阵。
18．已知向量空间 R 3 的两个基为
1 1 1 1 2 2
(a ) 1 = 0 ， 2 = 1 ， 3 = 1 。及 (b) 1 = 1 ， 2 = 1 ， 3 = 2 。
0 0 1 0 1 2
向量 = 1 + 2 2 + 3 3 。试求： （2） 在基 (b) 下的坐标 y 。
（1）基 (a) 到基 (b) 的过渡矩阵 A ；
四．论述或证明题 （每题 8 分，共 16 分）
19. （1）试叙述实矩阵 A 为正交矩阵的定义；
（2）证明： n 阶实矩阵 A 是正交矩阵的充分必要条件为，在欧氏空间中对任意 n 维列向量 ，
内积 ( A ，A ) = ( ，
)。
20. 设 A ， B 为 n 阶方阵，证明：齐次方程组 ( AB) x = 0 与 Bx = 0 为同解方程的
充分必要条件是秩 r ( AB) = r ( B) 。
线 性 代 数（B 类）参 考 答 案
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一 单项选择题
C B A D C D
二 填空题
6 −1 1
9. − 10. f = y A y ； 11. −
T
7. 36 ； 8. 5 ； ； ；
7 3
12. − 2 。
三 解答题
1 + a12 a1 a 2 a1 a3
13．（1） D3 = a 2 a1 1 + a 22
a 2 a3 = 1 + a12 + a 22 + a32 ； (4 分)
a3 a1 a3 a 2 1 + a32
1 + a12 a1 a 2 a1 a k
a 2 a1 1+ a 2
a2 ak k
（2） Dk =
2
= 1 + ai2 ， Dn − Dn −1 = a n2 ，
i =1
a k a1 ak a2 1+ a 2
k
所以 Dn Dn −1 。 (4 分)
（1） | A |= (k + 1) (k + 2) ；
2
14． (2 分)
（2） k −1, k 2 ，有唯一解；
k = −1 时无解， k = 2 且 l −1 时无解； (2 分)
5 1
1
k = 2 且 l = −1 时有无穷多解，通解为 = 2 + c − 1 。 (4 分)
3 1
0
15．（1） | A |= −2 ， ( A + 2 E ) B = E 。 （4 分）
4 −1 0
1 −1
（2） B = ( A + 2 E ) = 0 3 0 。 （4 分）
12
0 0 12
− 1/ 2 1/ 6 1/ 3 0 1 1
16．（1） Q = 1 / 2 1/ 6 1/ 3 ， A = 1 0 1 。 (6 分)
1 1 0
0 − 2 / 6 1 / 3
（2） B 实对称，且特征值为 4,4,1,都大于零，所以正定。 (2 分)
17．（1） 因为 | 3E − A |= 8(2 − y ) = 0 ，所以 y = 2 。
AT A 的特征值为 1 ，
1，1 ，9 。 (4 分)
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1 0 0 0 1 0 0 0
（2） P = 0 1 0 0 ， 0
( AP) ( AP) = P ( A A) P =
T T T 1 0 0 。 (4 分)
0 0 −1 1 0 0 1 0
0 1 0 9
0 1 0 0
−1
1 1 1 1 2 2 0 1 0
18．（1） A = 0 1 1 1 1 2 = 1 0 0 。 (4 分)
0 0 1 0 1 2 0 1 2
0 1 0 1 2
−1
（2） y = A x = 1 0 0 2 = 1 。 (4 分)
− 1 / 2 0 1 / 2 3 1
四 论述与证明题
（1） AA = A A = E ；
T T
19． (2 分)
（2）必要性：因为 A A = E ，所以 ( A ，A ) = ( A A) = = ( ，
)。
T T T T
(2 分)
充分性：因为 ( A A) − = ( A A − E ) = 0 ，所以 A A − E 为反对称矩阵。
T T T T T T
又 A A − E 为对称矩阵，故 AT A − E = 0 。得 A A = E ， A 为正交矩阵。 (4 分)
T T
20。必要性：它们的基础解系等价，所以 n − r ( AB) = n − r ( B) ，故 r ( AB) = r ( B) 。 (4 分)
充分性：显然 Bx = 0 的解都是组 ( AB) x = 0 的解。
若有 ( AB) x = 0 的解不是 Bx = 0 的解，则它们的基础解系不等价。
得 r ( AB) r ( B) 。矛盾。 (4 分)
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