Download the Full Ebook and Access More Features - ebooknice.

com

(Ebook) Quantum Computing: Circuits, Systems,

Automation and Applications by Himanshu Thapliyal,
Travis Humble ISBN 9783031379659, 3031379659

https://ebooknice.com/product/quantum-computing-circuits-
systems-automation-and-applications-53788302

OR CLICK HERE

DOWLOAD EBOOK

Download more ebook instantly today at https://ebooknice.com

 Instant digital products (PDF, ePub, MOBI) ready for you
Download now and discover formats that fit your needs...

Start reading on any device today!

(Ebook) Biota Grow 2C gather 2C cook by Loucas, Jason;

Viles, James ISBN 9781459699816, 9781743365571,
9781925268492, 1459699815, 1743365578, 1925268497
https://ebooknice.com/product/biota-grow-2c-gather-2c-cook-6661374

ebooknice.com

(Ebook) Matematik 5000+ Kurs 2c Lärobok by Lena

Alfredsson, Hans Heikne, Sanna Bodemyr ISBN 9789127456600,
9127456609
https://ebooknice.com/product/matematik-5000-kurs-2c-larobok-23848312

ebooknice.com

(Ebook) SAT II Success MATH 1C and 2C 2002 (Peterson's SAT

II Success) by Peterson's ISBN 9780768906677, 0768906679

https://ebooknice.com/product/sat-ii-success-
math-1c-and-2c-2002-peterson-s-sat-ii-success-1722018

ebooknice.com

(Ebook) Master SAT II Math 1c and 2c 4th ed (Arco Master

the SAT Subject Test: Math Levels 1 & 2) by Arco ISBN
9780768923049, 0768923042
https://ebooknice.com/product/master-sat-ii-math-1c-and-2c-4th-ed-
arco-master-the-sat-subject-test-math-levels-1-2-2326094

ebooknice.com
(Ebook) Cambridge IGCSE and O Level History Workbook 2C -
Depth Study: the United States, 1919-41 2nd Edition by
Benjamin Harrison ISBN 9781398375147, 9781398375048,
1398375144, 1398375047
https://ebooknice.com/product/cambridge-igcse-and-o-level-history-
workbook-2c-depth-study-the-united-states-1919-41-2nd-edition-53538044

ebooknice.com

(Ebook) Applications of Computing, Automation and Wireless

Systems in Electrical Engineering: Proceedings of MARC
2018 by Sukumar Mishra, Yog Raj Sood, Anuradha Tomar
https://ebooknice.com/product/applications-of-computing-automation-
and-wireless-systems-in-electrical-engineering-proceedings-of-
marc-2018-10493874
ebooknice.com

(Ebook) Reversible Computing: Fundamentals, Quantum

Computing, and Applications by Alexis De Vos ISBN
9783527409921, 3527409920
https://ebooknice.com/product/reversible-computing-fundamentals-
quantum-computing-and-applications-4702616

ebooknice.com

(Ebook) Energy Efficient Computing & Electronics: Devices

to Systems (Devices, Circuits, and Systems) by Santosh K.
Kurinec, Sumeet Walia ISBN 9781138710368, 1138710369
https://ebooknice.com/product/energy-efficient-computing-electronics-
devices-to-systems-devices-circuits-and-systems-55598546

ebooknice.com

(Ebook) Quantum Mechanics for Beginners - with

applications to quantum communication and quantum
computing by M. Suhail Zubairy ISBN 9780198854227,
9780198854234, 0198854226, 0198854234, 2020934341
https://ebooknice.com/product/quantum-mechanics-for-beginners-with-
applications-to-quantum-communication-and-quantum-computing-12031338

ebooknice.com
Himanshu Thapliyal
Travis Humble Editors

Quantum
Computing
Circuits, Systems, Automation and
Applications
Quantum Computing
Himanshu Thapliyal • Travis Humble
Editors

Quantum Computing
Circuits, Systems, Automation
and Applications
Editors
Himanshu Thapliyal Travis Humble
University of Tennessee Oak Ridge National Laboratory
Knoxville, TN, USA Oak Ridge, TN, USA

ISBN 978-3-031-37965-9 ISBN 978-3-031-37966-6 (eBook)

https://doi.org/10.1007/978-3-031-37966-6

© The Editor(s) (if applicable) and The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland
AG 2024
This work is subject to copyright. All rights are solely and exclusively licensed by the Publisher, whether
the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse
of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and
transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar
or dissimilar methodology now known or hereafter developed.
The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication
does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant
protective laws and regulations and therefore free for general use.
The publisher, the authors, and the editors are safe to assume that the advice and information in this book
are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or
the editors give a warranty, expressed or implied, with respect to the material contained herein or for any
errors or omissions that may have been made. The publisher remains neutral with regard to jurisdictional
claims in published maps and institutional affiliations.

This Springer imprint is published by the registered company Springer Nature Switzerland AG
The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland

Paper in this product is recyclable.

To my wife, Apeksha, for her understanding
and support.
—Himanshu
And to Holly, for her perpetual patience and
love.
—Travis
Preface

This book offers readers an overview of the latest research and technological
advancements in the field of quantum computing. The field has grown tremendously
since the initial ideas were formulated in the 1980s, and the increasing sophis-
tication brought by years of research and development have propelled quantum
computing into a new regime. We organized an international symposium/workshop
on “Quantum Computing: Circuits Systems Automation and Applications (QC-
CSAA)” that focused on advancements in quantum computing hardware, software,
and algorithms at a time when progress is rapidly increasing. The contributions
aimed at facilitating discussion on practical and novel quantum computing oper-
ations and applications through transformative research. Researchers from the
symposium/workshop were then invited to contribute their work to this book. This
book delves into various design paradigms associated with quantum computing. The
topics covered in this book encompass:
• The Lagrange interpolation approach applied to the general parameter-shift rule.
• Multi-programming mechanisms for near-term quantum computing.
• Architecture-aware decomposition techniques for quantum circuits.
• Software solutions designed for massively parallel quantum computing.
• The integration of machine learning into quantum annealing processors.
• Real-world applications of quantum annealing in machine learning.
• Queuing theory models tailored for (fault-tolerant) quantum circuits.
• The use of machine learning for assessing the reliability of quantum circuits.
• Examination of side-channel leakage in Suzuki stack circuits.
In summary, this book provides an in-depth exploration of a wide range of topics
at the forefront of quantum computing research and technology.

Knoxville, TN, USA Himanshu Thapliyal

Oak Ridge, TN, USA Travis Humble

vii
Contents

Lagrange Interpolation Approach for General Parameter-Shift Rule . . . . . 1

Vu Tuan Hai and Le Bin Ho
Multi-Programming Mechanism on Near-Term Quantum Computing. . . . 19
Siyuan Niu and Aida Todri-Sanial
Side-Channel Leakage in Suzuki Stack Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Yerzhan Mustafa and Selçuk Köse
AQuCiDe: Architecture Aware Decomposition of Quantum Circuits . . . . . . 69
Soumya Sengupta, Abhoy Kole, Kamalika Datta, Indranil Sengupta,
and Rolf Drechsler
Structure-Aware Minor-Embedding for Machine Learning in
Quantum Annealing Processors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Jose P. Pinilla and Steven J. E. Wilton
Software for Massively Parallel Quantum Computing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Thien Nguyen, Daanish Arya, Marcus Doherty, Nils Herrmann,
Johannes Kuhlmann, Florian Preis, Pat Scott, and Simon Yin
Machine Learning Reliability Assessment from Application to
Pulse Level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Vedika Saravanan and Samah Mohamed Saeed
Queuing Theory Models for (Fault-Tolerant) Quantum Circuits:
Analysis and Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Robert Basmadjian and Alexandru Paler
Quantum Annealing for Real-World Machine Learning Applications . . . . 157
Rajdeep Kumar Nath, Himanshu Thapliyal, and Travis S. Humble

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

ix
Lagrange Interpolation Approach for
General Parameter-Shift Rule

Vu Tuan Hai and Le Bin Ho

1 Introduction

Quantum computing is an elegant fusion between computer science and principles

of quantum physics to facilitate calculations [1]. It promises an excellent compu-
tational capacity that is intractable for classical computers to solve challenging
problems, including materials science, information science, computer science,
mathematical science, and others. However, it turns out that fault-tolerant quantum
computers are challenging to realize due to: (i) the difficulty of accessing complete
information from entangled systems because of the state collapse upon measure-
ments, and (ii) the difficulty of building, controlling, and measuring quantum states
with arbitrarily high accuracy [2]. In this regard, despite the tremendous rate of
development, the current state-of-the-art quantum computers mainly contain a small
number of quantum bits (qubits) with a noise level called the noisy intermediate-
scale quantum devices (NISQ) that prevents them from being practical [3].
Variational quantum algorithms (VQAs) are promising to speed up the com-
puting capacity in the NISQ computers [4]. Massive applications of the VQAs
were extensively reported, from dynamic simulation to condensed matter physics,
machine learning, mathematical applications, and new frontiers quantum founda-

V. T. Hai
University of Information Technology, Ho Chi Minh City, Vietnam
Vietnam National University, Ho Chi Minh City, Vietnam
e-mail: haivt@uit.edu.vn
L. B. Ho (O)
Frontier Research Institute for Interdisciplinary Sciences, Tohoku University, Sendai, Japan
Department of Applied Physics, Graduate School of Engineering, Tohoku University, Sendai,
Japan
e-mail: binho@fris.tohoku.ac.jp

© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024 1

H. Thapliyal, T. Humble (eds.), Quantum Computing,
https://doi.org/10.1007/978-3-031-37966-6_1
2 V. T. Hai and L. B. Ho

Fig. 1 A variational quantum algorithm consists of a quantum and a classical part. In the quantum
part, let .|ψ> be the initial quantum state, it evolves under a parameterized ansatz .U (θ) before being
subject to measurement. The cost function .C (θ) is defined and optimized in the classical part. The
new parameters .θ are derived and updated for each iteration to the quantum part. The scheme is
repeated until it converts

tions [4]. The main task of VQAs is to optimize a trainable parameterized circuit by
using a hybrid quantum-classical scheme, as shown in Fig. 1. Here, one measures
the cost function of interest .C(θ) in the quantum part and iteratively optimize it in
the classical part until it converts. The optimization can use either gradient-free or
gradient-based methods.
A critical technique for the VQAs to compute analytic derivatives of the cost
function is known as the “parameter-shift rule” [5, 6], which is often required for
the gradient-based optimization. The method was first introduced by Mitarai et al.
[5] and then extended to a so-call two-term parameter-shift rule [6]. This approach
gives the exact gradient (first-order derivative) of the cost function by subtracting
the two cost functions with different shifts. It is, however, only applicable for single-
qubit quantum gates, whose generators have two distinguished eigenvalues, such as
the rotation gates [7, 8]. So far, Anselmetti et al. introduced a four-term parameter-
shift rule that applies to generators with three distinguished eigenvalues .{−1, 0, 1},
such as the controlled-rotation gates [9]. In this case, the derivative is given in the
linear combination of four cost functions with different shifts. Recently, various
attempts were devoted to generalizing the parameter-shift rule for any assigned
quantum gates [10–12]. Remarkably, strategies for generalizing using polynomial
expansion were proposed [11, 12]. Apart from that, Wierichs et al. introduced a
general parameter-shift rule based on the finite Fourier series of the cost function
[10]. However, this method heavily consumes cost of computation to evaluate all
Fourier coefficients. So far, higher-order parameter-shift rule is also derived [13],
such as the second-order derivative can reduce to the Hessian formula of the finite
differential.
In this work, we introduce the Lagrange interpolation approach [14, 15] to derive
the general parameter-shift rule. We expand a quantum gate having a generator
.G into a polynomial .P (G) of degree .n − 1, where n is the number of distinct

eigenvalues of .G. Our approach is similar to the polynomial expansion Refs.

[11, 12]. However, here, we provide a general procedure to derive the parameter-
shift rule for arbitrary distinct eigenvalues automatically. It only requires fewer
evaluations to compute the derivative. We illustrate the approach for the well-known
two-term and four-term parameter-shift rules, and generalize to multiple-term
Lagrange Interpolation Approach 3

Table 1 Major symbols used in this chapter

Symbol Type Description
.U Unitary operator A quantum gate or a set of quantum gates
.G Hermitian matrix Hermitian generator of a quantum gate
.θ Tuple Trainable parameters
.B Matrix Measured observable
.U Hermitian matrix Super-operator .U [B] = U † BU
.|ψ> Ket vector Initial quantum state
.C Real Cost function
N Integer Number of qubits
n Integer Number of distinguished eigenvalues of .G
n−1
.{λk }k=0 Real Eigenvalues of .G
.{Λk } Complex Coefficients of the Lagrange polynomial
.M Matrix (.n × n)-matrix
.F Matrix (.n × n)-matrix
m Integer Number of parameter-shift coefficients
.{αk }k=1
m Real Arbitrary shifted values
.{dk }k=1
m Complex Coefficients
.D Column vector A column vector contains all .{dk }
.τ Integer The order of derivative
.ej Column vector Unit vector along the .θj axis

parameter-shift rule. Higher-order derivatives of the cost function are also discussed.
We finally numerically evaluate the accuracy of the method via the mean-square
error and demonstrate the variational quantum eigensolver for a many-body system.
So far, our approach can be applied to trapped atomic ions quantum gates, such as
collective quantum gates, whose generators have linear eigenvalues as number of
particles [16, 17].
For convenience, in Table 1, we present the major symbols used in this work.

2 Preliminary
x
Let us consider a parameterized quantum gate with a general form .U (x) = e−i 2 G
where .G is the generator and assume the cost function of interest is the expectation
value of a measured observable .B as

C(x) = <ψ|U † (x)BU (x)|ψ>,

. (1)

where .|ψ> is the initial circuit’s state. The derivative w.r.t the parameter x yields

∂ i [ ]
. C(x) = − <ψ|U † (x) B, G U (x)|ψ>. (2)
∂x 2
4 V. T. Hai and L. B. Ho

For generators that obey .G2 = I , such as the standard rotation gates based on Pauli
matrices .G = {σx , σy , σz } or .G2 = G, such as projective operators, we have

[ ] i [ † ]
.B, G = U (α)BU (α) − U † (−α)BU (−α) , (3)
sin(α)

where .α is an arbitrary shift. Substituting (3) to (2) results in a two-term parameter-

shift rule as [6]

∂ 1 [ ]
. C(x) = C(x + α) − C(x − α) , (4)
∂x 2 sin(α)

where the gradient is proportional to the linear combination in the cost functions
with different shifts .+α and .−α. It is summarized in a scheme below:

This is the well-known parameter-shift rule used in various VQA approaches [4]. In
the following, we derive the parameter-shift rule for general quantum gates by using
the Lagrange interpolation.

3 General Parameter-Shift Rule with the Lagrange

Interpolation Approach

The Lagrange interpolation is a calculus method that decomposes a quantum gate

in terms of the polynomials generator. It thus supports deriving the parameter-shift
rule with any generic generator. In this section, we derive the general parameter-
shift rule using the Lagrange interpolation and apply it to the first-order derivative
(gradient) for the cost function.

3.1 Lagrange Interpolation Approach

x
We begin with a general quantum gate represented by .U (x) = e−i 2 G , where
the Hermitian generator .G has n distinguished eigenvalues .{λk }, i.e., .G =
E n−1
k=0 λk |φk ><φk |. The Lagrange interpolation of the unitary .U (x) is given by
[14, 15]
Lagrange Interpolation Approach 5

x E
n−1
x | |
n−1
G − λl I
e−i 2 G =
. e−i 2 λk , (5)
λk − λl
k=0 l=0,l/=k

where .I is an identity matrix having the same dimension as .G. In the following, we
explicitly derive the general two-term, four-term, and multiple-term parameter-shift
rule from Eq. (5).

3.2 Two-Term Parameter-Shift Rule

We first consider case .n = 2. Let .λ0 and .λ1 be two distinguished eigenvalues of .G.
Equation (5) explicitly yields
x
e−i 2 G = Λ0 I + Λ1 G,
. (6)

where
x x
λ0 e−i 2 λ1 − λ1 e−i 2 λ0
. Λ0 = ,
λ0 − λ1
x x
e−i 2 λ0 − e−i 2 λ1
Λ1 = ,
λ0 − λ1

are the zero- and first-order coefficients of the Lagrange polynomial. Set a super-
operator

U (±α)[B] = U † (±α)BU (±α),

. (7)

which straightforwardly gives

−2i sin( 12 αλ) [ ]

.U (α)[B] − U (−α)[B] = B, G , (8)
λ
where .λ = λ0 − λ1 . Substituting Eq. (8) into Eq. (2), we obtain

∂ λ [ ]
. C(x) = C(x + α) − C(x − α) . (9)
∂x 4 sin( 21 αλ)
x
For example, let .U (x) be a Pauli rotation gate, such as .Rx (x) = e−i 2 σx , .Ry (x) =
−i x2 σy x
e , .Rz (x) = e−i 2 σz , where .G = {σx , σy , σz } are Pauli matrices. These gener-
ators have two eigenvalues as .λ0 = −1, λ1 = 1. Then, Eq. (9) straightforwardly
deduces to Eq. (4). Besides these standard notations for superconducting-based
qubits, quantum computing with trapped ions uses spin-1/2 particle as a qubit. In
6 V. T. Hai and L. B. Ho

this case, a spin rotation gate is given in the terms of spin-1/2 operators, such as
S x = σx /2, S y = σy /2, S z = σz /2. The derivative reads
.

∂ 1 [ ]
. C(x) = C(x + α) − C(x − α) . (10)
∂x 4 sin( 12 α)

3.3 Four-Term Parameter-Shift Rule

For .n = 3, i.e., .G has three distinguished eigenvalues .λ0 , λ1 , and .λ2 , we explicitly
recast Eq. (5) as [15]
x
e−i 2 G = Λ0 I + Λ1 G + Λ2 G2 ,
. (11)
−1 E x
Λ0 = | | e−i 2 λk λl λm (λl − λm ),
{i,j } (λi − λj ) {k,l,m}

1 E x
Λ1 = | | e−i 2 λk (λ2l − λ2m ),
{i,j } (λi − λj ) {k,l,m}

E
2
x | |
2
1
Λ2 = e−i 2 λk ,
λk − λl
k=0 l=0,l/=k

where .{i, j } takes .{0, 1}, {1, 2}, {2, 0}, and .{k, l, m} takes .{0, 1, 2}, {1, 2, 0}, {2, 0, 1}.
Apply the super-operator .U twice for the arbitrary shifts .α1 and .α2 , we get the four-
term parameter-shift rule as

∂ i{ [ ]
. C(x) = − d1 C(x + α1 ) − C(x − α1 )
∂x 2
[ ]}
+ d2 C(x + α2 ) − C(x − α2 ) , (12)

where the coefficients .d1,2 depend on the choice of .α1,2 .

For example, let .U (x) be a controlled-rotation gate, where the eigenvalues of
.G are .λ0 = −1, λ1 = 0, λ2 = 1, which yields .Λ0 = 1, Λ1 = −i sin(x/2), .Λ2

.= cos(x/2) − 1. Then, Eq. (11) explicitly gives

x [ ]
e−i 2 G = I − i sin(x/2)G + cos(x/2) − 1 G2 ,
. (13)

which obeys the relation [9]:

Lagrange Interpolation Approach 7

⎧
⎪d1 sin(α1 /2) + d2 sin(α2 /2) = 1
⎨
.
4 (14)
⎪ 1
⎩d1 sin(α1 ) + d2 sin(α2 ) = .
2
√
We can choose .α1 = π/2 and .α2 = π , then .d1 = i and .d2 = i(1 − 2)/2.

3.4 Multiple-Term Parameter-Shift Rule

For an arbitrary .n > 3, we have

x
e−i 2 G = Λ0 I + Λ1 G + · · · + Λn−1 Gn−1 ,
. (15)

where all .Λ terms are solvable. Explicitly, the super-operator .U (α)[B] in Eq. (7)
yields

n−1 [
E ] [ ]
.U (α)[B] = Λ∗k (α)Λl (α)Gk BGl = Tr M(α) · FT , (16)
k,l=0

where the superscript T denotes the transpose, .M(α) and .F are .(n × n)-matrices
⎛ ⎞
Λ∗0 (α)Λ0 (α)
Λ∗0 (α)Λ1 (α) · · · Λ∗0 (α)Λn−1 (α)
⎜ Λ∗1 (α)Λ1 (α) · · · Λ∗1 (α)Λn−1 (α) ⎟
Λ∗1 (α)Λ0 (α)
⎜ ⎟
.M(α) = ⎜ .. .. .. .. ⎟, (17)
⎝ . . . . ⎠
∗ ∗ ∗
Λn−1 (α)Λ0 (α) Λn−1 (α)Λ1 (α) · · · Λn−1 (α)Λn−1 (α)

⎛ ⎞
G0 BG1 · · · G0 BGn−1
G0 BG0
⎜ G1 BG1 · · · G1 BGn−1 ⎟
G1 BG0
⎜ ⎟
.F = ⎜ ..
.. .. .. ⎟. (18)
⎝ .. . . ⎠
G BG G BG · · · G BG
n−1 0 n−1 1 n−1 n−1

We next compute
[( ) ]
.U (α)[B] − U (−α)[B] = Tr M(α) − M(−α) · FT
[ ]
= Tr ΔM(α) · FT . (19)
8 V. T. Hai and L. B. Ho

Notable that .ΔM(α) is a complex symmetry matrix with .diag[ΔM(α)] = 0 and

( )∗ ( )T
[ΔM(α)]ij = [ΔM(α)]j i . We set a column matrix .D = d1 , d2 , · · · , dm that
.

obeys

E
m ( )
. dk U (αk )[B] − U (−αk )[B] = ℘[B, G]. (20)
k=1

Here, m depends on the number of non-vanish elements .[ΔM(α)]ij , ∀j > i, and .℘

is a coefficient similar as in Eq. (8)

E
m
[ ]
℘=
. dk ΔM(αk ) 01 . (21)
k=1

We normalize .dk by .dk /℘. Finally, by substituting Eq. (20) into Eq. (2), we get the
multiple-term parameter-shift rule as

i E [ ]
m
∂
. C(x) = − dk C(x + αk ) − C(x − αk ) . (22)
∂x 2
k=1

Here, we need to compute m coefficients .d1 , · · · , dm regarding the shifts

α1 , · · · , αm . See Algorithm 1 for the pseudo-code deriving all .{dk } terms. For
.

the symmetry set of .{λk }, we obtain .m = L2n /4. − 1 for .n ≥ 4. We summarize all
cases of m in Table 2.

4 Higher-Order Derivative

In this section, we compute higher-order derivatives of the cost function using the
parameter-shift rule. Let a variational circuit is governed by a set of quantum gates

U (θ ) = V M U M (θM ) · · · V 1 U 1 (θ1 ),
. (23)
( )
where .θ = θ1 , · · · , θM is an M-tuple of classical parameters, and .{V k } are
arbitrary constant gates. The derivative of an arbitrary order .τ is defined by

∂ τ C(θ)
∂θτ1 ,θ2 ,··· ,θτ C(θ) =
. . (24)
∂θ1 ∂θ2 · · · ∂θτ

The first-order derivative of the cost function is given in the terms of parameter-
shift rule as in Eq. (22)
Lagrange Interpolation Approach 9

Algorithm 1 Lagrange interpolation for general parameter-shift rule

Input: Generator G
Output: {dk }k∈{1,··· ,m}
1: Calculate eigenvalues {λl }l∈{0,··· ,n−1} of the generator G
2: Apply the Lagrange interpolation to compute {Λl }l∈{0,n−1}
3: Compute M(α) and ΔM(α)
4: Count m non-zero elements in [ΔM(α)]ij , ∀j > i
5: Tk ← non-zero elements of ΔM(αk )k∈{1,··· ,m}
( )
6: T ← T1 · · · Tm : (m × m)-matrix
⎛ ⎞
d1
⎜ . ⎟
⎜
7: D ← ⎝ .. ⎟ ⎠
dm
equation[T · D = 0] → {dk }
8: Solve E
9: ℘ ← m k=1 dk ΔM(αk ) 01
10: Return all {dk ← dk /℘} with given {αk }

Table 2 Relationship n m Description

between n and m for
symmetry set of .{λk } 2 1 Two-term parameter shift rule
3 2 Four-term parameter shift rule
.≥ 4 .L2 /4. − 1
n 2m-term parameter shift rule

i E [ ]
mj
∂C(θ)
. =− dk C(θ + αk ej ) − C(θ − αk ej ) , (25)
∂θj 2
k=1

where .ej is the unit vector along the .θj axis. We next derive for higher-order
derivatives.

4.1 Second-Order Derivatives (Hessian)

The second-order derivative gives

{E
∂ 2 C(θ) ( −i )2 E [ ]
mj ml
(α + )
. = dk dr k C(αk+ + βr el ) − C(αk+ − βr el )
∂θj ∂θl 2
k=1 r=1

(αk− )
[ ]}
− dr C(αk− + βr el ) − C(αk− − βr el ) ,
(26)

where .αk± = θ ± αk ej .
10 V. T. Hai and L. B. Ho

For the two-term parameter shift rule, we have .mj = ml = 1. From Eq. (9), if
(α1± )
λ = −2 (such as Pauli generators), then . d1 = i/ sin(α1 ), and .d1
. = i/ sin(β1 ).
The second-order derivative explicitly gives

∂ 2 C(θ) 1 [ ( ) ( )
. = 2
C θ + α(ej + el ) − C θ + α(ej − el )
∂θj ∂θl 4 sin (α)
( ) ( )]
− C θ − α(ej − el ) + C θ − α(ej + el ) , (27)

where we used .α1 = β1 = α.

√ have .mj = ml = 2. Choosing .α1 =
For the four-term parameter shift rule, we
π/2 and .α2 = π , then .d1 = i and .d2 = i( 2 − 1)/2. The second-order derivative
explicitly gives
{
∂ 2 C(θ) ( −i )2 [ ( ) ( )]
. = − 1 C θ + α1 ej + α1 el − C θ + α1 ej − α1 el
∂θj ∂θl 2
√
1 − 2[ ( ) ( )]
− C θ + α1 ej + α2 el − C θ + α1 ej − α2 el
2
[ ( ) ( )]
+ C θ − α1 ej + α1 el − C θ − α1 ej − α1 el
√
1 − 2[ ( ) ( )]
+ C θ − α1 ej + α2 el − C θ − α1 ej − α2 el
2
√
(1 − 2) [ ( ) ( )]
− C θ + α2 ej + α1 el − C θ + α2 ej − α1 el
2
√
(1 − 2)2 [ ( ) ( )]
− C θ + α2 ej + α2 el + C θ + α2 ej − α2 el
4
√
(1 − 2) [ ( ) ( )]
+ C θ − α2 ej + α1 el − C θ − α2 ej − α1 el
2
√ }
(1 − 2)2 [ ( ) ( )]
+ C θ − α2 ej + α2 el + C θ − α2 ej − α2 el .
4
(28)

Similarly, one can extend the second-order derivatives for the general multiple-term
parameter-shift rule.

4.2 Fubini-Study Metric Tensor

We apply the above results to compute the Fubini-Study metric tensor. It is a

Riemannian metric that measures the “quantum distance” (in parameter spaces)
Lagrange Interpolation Approach 11

between the two quantum states. For pure quantum states, the metric tensor
associates with the Fisher information matrix or the Bures metric tensor [18].
Mathematically, for a pure state .|ψ(θ )> = U (θ)|ψ>, the metric is defined in terms
of the second-order derivative as

1 ∂ 2 |||| |2 ||
gij (θ ) = −
. | <ψ(θ ' )|ψ(θ)>| | ' . (29)
2 ∂θi ∂θj θ =θ

| |2
Here, the cost function is .C(θ) = |<ψ(θ ' )|ψ(θ)>| , which is the transition
probability from .|ψ(θ )> to .|ψ(θ ' )>, under the action of .U † (θ ' )U (θ ) on the initial
state .|ψ>. In other words, .C(θ) is the probability of finding the outcome state .|ψ>
when measuring the final state .|ψ(θ ' , θ )> = U † (θ ' )U (θ)|ψ>:
| |2
C(θ) ≡ p = |<ψ(θ ' )|ψ(θ)>|
.

| |2
= |<ψ|ψ(θ ' , θ )>| (30)

where p is the probability of obtaining the outcome state .|ψ>. Notable that in
Eq. (29), we set .θ ' = θ after the partial derivatives. However, in the quantum circuit
using the parameter-shift rule, we first apply .U (θ ± shift) onto .|ψ> according with
Eqs. (27) and (28), then apply .U † (θ ), and measure the final circuit’s state.
Concretely, let us consider the example shown in Fig. 2. The circuit consists
of two qubits, which is initially prepared in the state .|ψ> = |00>. The evaluation
operator .U (θ) is parameterized by two single-qubit rotation gates .Rx (θx ) and
.Rz (θz ), and a controlled-rotation gate .CRy (θy ). Here, the parameters are given in
( )
the order as .θ = θx , θz , θy . The state evolves to .|ψ(θ)> = U (θ)|00>.
Conventionally, we can derive .U (θ ) into two layers: one with the two single-
qubit rotation gates and one with the controlled-rotation gate. Then, the Fubini-
Study is a tensor of .(2 × 2)-matrix and .(1 × 1)-matrix, i.e., becomes a .(3 × 3)-matrix
[19]. Nevertheless, here we can directly apply the above method and get the same
result

Fig. 2 An example quantum circuit for evaluating the Fubini-Study tensor metric. The initial state
is .|ψ>
( = |00>. )It evolves to .|ψ(θ)> = U (θ)|00>, where .U (θ) = CRy (θy ) · Rx (θx ) ⊗ Rz (θz ), and
.θ = θx , θz , θy
12 V. T. Hai and L. B. Ho

⎛ ⎞ ⎛1 ⎞
gxx gxz gxy 4 0 0
.g = ⎝ ⎠ ⎝
gzx gzz gzy = 0 0 0 ⎠, (31)
1 2 θx
gyx gyz gyy 00 4 sin ( 2 )

where .gj l , ∀j, l ∈ {x, z, y} are given in Eq. (29) and computed from the parameter-
shift rule as described in Eq. (30).

5 Numerical Simulations

In this section, we first revisit the finite-difference gradient and quantify the mean-
square error (MSE) as the figure of merit for evaluating different estimators (finite-
difference and parameter-shift rule estimators). We later demonstrate the numerical
evaluation of the MSE. Afterward, we also examine a variational quantum circuit to
find the ground state of a many-body system.

5.1 Finite-Difference Approximation of Derivatives

For a given step size .h > 0, the finite-difference gradient of a function .f (θ ) gives

∂f (θ) f (θ + hej ) − f (θ − hej )

. = . (32)
∂θj 2h

The second-order derivatives is given via the Hessian formula [20]

∂f 2 (θ ) 1 [ ( ) ( )
. = 2 f θ + h(ej + el ) − f θ + h(ej − el )
∂xj ∂xl 4h
( ) ( )]
− f θ − h(ej − el ) + f θ − h(ej + el ) . (33)

These are approximate methods that give high accuracy when .h → 0.

5.2 Mean-Square Error

Following Ref. [13], we consider the mean-square error (MSE) as the figure of merit
to evaluate the accuracy of different estimators. The MSE of an estimator <
.∂
τ
θ1 ,θ2 ,··· ,θτ
is given as
[( )2 ]
Δ(<
. ∂θτ1 ,θ2 ,··· ,θτ ) = E <
∂θτ1 ,θ2 ,··· ,θτ − ∂θτ1 ,θ2 ,··· ,θτ , (34)
Lagrange Interpolation Approach 13

where .∂θτ1 ,θ2 ,··· ,θτ is the analytical derivative equation (24), the estimator <
.∂
τ
θ1 ,θ2 ,··· ,θτ
is either given by the parameter-shift rule or the finite-difference approximation.

5.3 Numerical Simulation the MSE

We investigate the precision of the two estimators based on the parameter-shift rule
and finite-difference approximation for the first-order derivatives. Let us consider
the example circuit shown in Fig. 2 and measure the expectation value .<Z ⊗ Z> as

.f (θ ) = <ψ(θ )|Z ⊗ Z|ψ(θ )>

1[ ( ) ]
= 1 + cos (θx ) + cos (θx ) − 1 cos (θy ) . (35)
2
Analytically, we have
⎛ ⎞ ⎛ θ
⎞
∂θx f − cos2 ( 2y ) sin (θx )
⎜ ⎟
.∇f (θ ) = ⎝∂θy f ⎠ = ⎝ sin2 ( x ) sin (θy ) ⎠ .
θ (36)
2
∂θz f 0

For the finite-difference estimator, we compute the partial derivatives .{< ∂θj f (θ)}
by using Eq. (32) and investigate the MSE (34) as a function of the step size h. For
the parameter-shift estimator, < .∂θx f (θ) and <
.∂θz f (θ) are given by the two-term (9)
<
while .∂θy f (θ ) is given by the four-term (12). We choose the shift .α of the two-term
the same as step size h and fix the four-term coefficients as above. The simulation
runs in Qiskit’s Aer simulator, and the expectation values are given after .103 shots,
and other .103 repetitions are used to determine the average of the MSE.
The results are shown in the main Fig. 3. The MSE for the parameter-shift
estimator gradually reduces and saturates at the optimal value when increasing
the step size. Similarly, the finite-difference curve reduces, then matches with the
parameter-shift curve, and finally deviates from the expected behavior since the
Taylor expansion is no longer viable for large step sizes [13]. For small step sizes,
the two estimators do not coincide because their < .∂θy f (θ ) are different, i.e., one is

varied with h, and one is fixed. Details are shown in the inset Fig. 3.

5.4 Variational Quantum Eigensolver

In this subsection, we demonstrate our approach in the variational quantum

eigensolver (VQE) to find the ground state of a given system. We consider the
Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) model [21] consisting of N spin-1/2 particles with
infinite-range interaction and exposing under a magnetic field along the z axis, as
shown in Fig. 4a. The interaction Hamiltonian is given by
14 V. T. Hai and L. B. Ho

Fig. 3 Log-log plot of the mean-square error (MSE) versus the step size h for two estimators
parameter-shift and finite-difference. The shaded areas show the standard deviation, and the solid
lines represent the average MSE over .103 repetitions. For each MSE, we perform .103 shots to
compute the expectation value. Insets: the plot of MSE for partial differences <
.∂θx f (θ) and <
.∂θy f (θ)

Fig. 4 (a) The LMG model with N spin-1/2 particles that obeys the infinite-range interaction and
is placed under the magnetic field along the z axis. (b) The learning circuit used in VQE consists
of .(RX − RZ − RX)×L gates. The expectation value .<H > is measured and be the cost function.
(c) The cost function versus iterations for .γ = 0, −0.05, −0.1 and the theoretical bounds are
.{−0.10583, −0.269744, −0.509973}, respectively. (d) The minimum energy for .γ from .−0.1 to
.0.1. The solid curve is the exact result from theoretical analysis by diagonalizing the Hamiltonian
(37), and the dotted curve is obtained from the generalize parameter-shift rule
Lagrange Interpolation Approach 15

2λ ( 2 )
H = −2γ Jz −
. Jx − Jy2 , (37)
N
where .γ is an effective magnetic field, .λ is the spin-spin exchange coupling, and
Jk , (k = x, y, z) is a collective angular momentum
.

1E
N
(l)
. Jk = I ⊗ · · · ⊗ σk ⊗ · · · ⊗ I , (38)
2
l=1

(l)
where .σk is a Pauli matrix at the site l. The purpose is to find the ground state of
the Hamiltonian (37) by using the VQE and compare it with the theoretical result.
The learning circuit is shown in Fig. 4b with the initial state is .ρ = q1 ⊗ q2 ⊗
· · · ⊗ qN . The training ansatz .U (θ ) reads
( )×L
U (θ ) = RX(θ3 )RZ(θ2 )RX(θ1 )
. , (39)

with several layers L. Here, RX and RZ are collective rotation gates [17] that
(are sufficient to generate ) any quantum state in the Bloch sphere, and .θ =
θ1 , θ2 , θ3 , · · · , θ3L are training parameters. The quantum state evolves to .ρ(θ ) =
U (θ)ρU † (θ ) under the action of .U (θ). Finally, we measure the expectation value
of the Hamiltonian and define the cost function as
[ ]
C(θ) = <H > = Tr H · ρ(θ ) ,
. (40)

from which its minimum value is the lowest energy, and the corresponding state
ρ(θ ) becomes the ground state.
.

The simulation is executed in the tqix code [17]. Here we fit .N = 5, .L = 5

layers, and .λ = 0.05. We also add random noises in every quantum gates. We train
the model in 30 iterations with the standard gradient descent (SGD) optimizer

θ (t+1) = θ (t) − η∇θ C(θ),

. (41)

where learning rate is .η = 0.4, and .∇θ C(θ) is calculated via the generalize
parameter-shift rule (see detailed in the Appendix).
Figure 4c displays the cost function versus the number of iterations, where
it moves toward the theoretical bound after a certain number of iterations. The
minimum energy given by the VQE and a comparison with the theoretical result
are shown in Fig. 4d. The plots are given for different .γ from -0.1 to +0.1, offering
an excellent match between these two approaches.
16 V. T. Hai and L. B. Ho

6 Conclusion

We introduced the Lagrange interpolation approach for the general parameter-shift

rule. This method is based on the interpolation of any given quantum gate into
a polynomial form of its generator. We thus derived the general multiple-term
parameter-shift rule and the higher-order derivative. We provided the numerical
benchmarking via the mean-square error and further applied to the variational
quantum eigensolver. Our approach can apply to various collective rotation gates
in spin ensemble-based quantum computers.
The code is available in https://github.com/vutuanhai237/LagrangeGPSR.

Appendix

Generalized Parameter-Shift Rule for VQE

We compute the generalized parameter-shift rule for two quantum gates RX and
RZ in the circuit Fig. 4b. They read

RX(x) = e−ixJx , and RZ(x) = e−ixJz .

. (42)

Since both .Jx and .Jz have the same eigenvalues, hereafter, we derive for RZ
while RX can be done the same. The eigenvalues of .Jz for .N = 5 include
.λ = {−5/2, −3/2, −1/2, 1/2, 3/2, 5/2}. Hence, .n = 6 and .m = L2 /4. − 1 = 15.
n

Apply Algorithms 1 with random .{αk }k=1 ∈ [0, 2π ], we find the corresponding
15

.{dk }. The derivatives associated RZ is given from Eq. (22) as

∂ E [15 ]
. RZ(x) = −i dk RZ(x + αk ) − RZ(x − αk ) . (43)
∂x
k=1

Note that here we replace .−i/2 from Eq. (22) by .−i because RZ contains parameter
x instead of .x/2. Doing similarly for RX, and finally, we obtain .∂θ <H >.

References

1. J. D. Hidary, Quantum Computing: An Applied Approach, Springer Cham, 2019.

2. Y. Alexeev, D. Bacon, K. R. Brown, R. Calderbank, L. D. Carr, F. T. Chong, B. DeMarco,
D. Englund, E. Farhi, B. Fefferman, A. V. Gorshkov, A. Houck, J. Kim, S. Kimmel, M. Lange,
S. Lloyd, M. D. Lukin, D. Maslov, P. Maunz, C. Monroe, J. Preskill, M. Roetteler, M. J.
Savage, J. Thompson, Quantum computer systems for scientific discovery, PRX Quantum 2
(2021) 017001. doi:10.1103/PRXQuantum.2.017001. URL https://link.aps.org/doi/10.1103/
PRXQuantum.2.017001
Lagrange Interpolation Approach 17

3. J. Preskill, Quantum Computing in the NISQ era and beyond, Quantum 2 (2018) 79.
doi:10.22331/q-2018-08-06-79. URL https://doi.org/10.22331/q-2018-08-06-79
4. M. Cerezo, A. Arrasmith, R. Babbush, S. C. Benjamin, S. Endo, K. Fujii, J. R. McClean,
K. Mitarai, X. Yuan, L. Cincio, P. J. Coles, Variational quantum algorithms, Nature Reviews
Physics 3 (9) (2021) 625–644. doi:10.1038/s42254-021-00348-9. URL https://doi.org/10.
1038/s42254-021-00348-9
5. K. Mitarai, M. Negoro, M. Kitagawa, K. Fujii, Quantum circuit learning, Phys. Rev. A
98 (2018) 032309. doi:10.1103/PhysRevA.98.032309. URL https://link.aps.org/doi/10.1103/
PhysRevA.98.032309
6. M. Schuld, V. Bergholm, C. Gogolin, J. Izaac, N. Killoran, Evaluating analytic gradients on
quantum hardware, Phys. Rev. A 99 (2019) 032331. doi:10.1103/PhysRevA.99.032331. URL
https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.99.032331
7. C. P. Williams, Explorations in Quantum Computing, Springer London, 2011.
8. M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge,
2010.
9. G.-L. R. Anselmetti, D. Wierichs, C. Gogolin, R. M. Parrish, Local, expressive, quantum-num-
ber-preserving VQE ansätze for fermionic systems, New Journal of Physics 23 (11) (2021)
113010. doi:10.1088/1367-2630/ac2cb3. URL https://doi.org/10.1088/1367-2630/ac2cb3
10. D. Wierichs, J. Izaac, C. Wang, C. Y.-Y. Lin, General parameter-shift rules for quantum
gradients, Quantum 6 (2022) 677. doi:10.22331/q-2022-03-30-677. URL https://doi.org/10.
22331/q-2022-03-30-677
11. O. Kyriienko, V. E. Elfving, Generalized quantum circuit differentiation rules, Phys. Rev.
A 104 (2021) 052417. doi:10.1103/PhysRevA.104.052417. URL https://link.aps.org/doi/10.
1103/PhysRevA.104.052417
12. A. F. Izmaylov, R. A. Lang, T.-C. Yen, Analytic gradients in variational quantum algorithms:
Algebraic extensions of the parameter-shift rule to general unitary transformations, Phys. Rev.
A 104 (2021) 062443. doi:10.1103/PhysRevA.104.062443. URL https://link.aps.org/doi/10.
1103/PhysRevA.104.062443
13. A. Mari, T. R. Bromley, N. Killoran, Estimating the gradient and higher-order derivatives on
quantum hardware, Phys. Rev. A 103 (2021) 012405. doi:10.1103/PhysRevA.103.012405.
URL https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.103.012405
14. C. Moler, C. Van Loan, Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix, SIAM
Review 20 (4) (1978) 801–836. arXiv:https://doi.org/10.1137/1020098, doi:10.1137/1020098.
URL https://doi.org/10.1137/1020098
15. L. B. Ho, N. Imoto, Full characterization of modular values for finite-dimensional systems,
Physics Letters A 380 (25) (2016) 2129–2135. doi:https://doi.org/10.1016/j.physleta.2016.05.
005. URL https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960116301773
16. S. Debnath, N. M. Linke, C. Figgatt, K. A. Landsman, K. Wright, C. Monroe, Demonstration
of a small programmable quantum computer with atomic qubits, Nature 536 (7614) (2016)
63–66. doi:10.1038/nature18648. URL https://doi.org/10.1038/nature18648
17. N. T. Viet, N. T. Chuong, V. T. N. Huyen, L. B. Ho, tqix.pis: A toolbox for quantum dynamics
simulation of spin ensembles in dicke basis, Computer Physics Communications 286 (2023)
108686. doi:https://doi.org/10.1016/j.cpc.2023.108686. URL https://www.sciencedirect.com/
science/article/pii/S0010465523000310
18. J. Liu, H. Yuan, X.-M. Lu, X. Wang, Quantum fisher information matrix and multiparameter
estimation, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 53 (2) (2019) 023001.
doi:10.1088/1751-8121/ab5d4d. URL https://doi.org/10.1088/1751-8121/ab5d4d
19. V. T. Hai, L. B. Ho, Universal compilation for quantum state tomography, Scientific Reports
13 (1) (2023) 3750. doi:10.1038/s41598-023-30983-4. URL https://doi.org/10.1038/s41598-
023-30983-4
20. I. A. S. Milton Abramowitz, Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs,
and Mathematical Tables, Courier Corporation, 1965.
21. H. Lipkin, N. Meshkov, A. Glick, Validity of many-body approximation methods for a solvable
model: (i). exact solutions and perturbation theory, Nuclear Physics 62 (2) (1965) 188–
198. doi:https://doi.org/10.1016/0029-5582(65)90862-X. URL https://www.sciencedirect.
com/science/article/pii/002955826590862X
Multi-Programming Mechanism on
Near-Term Quantum Computing

Siyuan Niu and Aida Todri-Sanial

1 Introduction

In recent years, quantum technologies are continuously improving, and IBM

released the largest quantum chip with 433 qubits. But, current quantum devices
are still qualified as Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) hardware [1], with
several physical constraints. For example, for superconducting devices, which we
target in this chapter, connections are only allowed between two neighbouring
qubits. Besides, the gate operations of NISQ devices are noisy and have unavoidable
error rates. As we do not have enough number of qubits to realize Quantum Error
Correction [2], only small circuits with limited depths can obtain reliable results
when executed on quantum hardware, which leads to a waste of hardware resources.
With the growing demand to access quantum hardware, several companies such
as IBM, Rigetti, and IonQ provide cloud quantum computing systems enabling
users to execute their jobs on a quantum machine remotely. However, the cloud
quantum computing systems have an limitation, where latency exists between the
job submission and execution. Since there are a large number of jobs pending on the
quantum device in general, users need to spend a long time waiting in the queue to
execute the jobs. For example, it takes several days to get the result if we submit a
circuit to IBM public quantum chips.
The low hardware usage and long waiting time lead to a timely issue: how do
we use quantum hardware more efficiently while maintaining the circuit output
fidelity? As the growing of hardware qubit number and the improvement of qubit

S. Niu (O)
LIRMM, University of Montpellier, Montpellier, France
e-mail: siyuan.niu@lirmm.fr
A. Todri-Sanial
Eindhoven University of Technology, Eindhoven, Netherlands
e-mail: a.todri.sanial@tue.nl

© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024 19

H. Thapliyal, T. Humble (eds.), Quantum Computing,
https://doi.org/10.1007/978-3-031-37966-6_2
20 S. Niu and A. Todri-Sanial

error rates, the multi-programming mechanism was introduced by Das et al. [3] and
Liu and Dou [4] to address this issue, also is referred as parallel circuit execution.
The utilization (usage/throughput) of NISQ hardware can be enhanced by executing
several circuits at the same time. However, results show that the activity of one
circuit can negatively impact the fidelity of others when executing several circuits
simultaneously, due to the difficulty of allocating reliable regions to each circuit,
higher chance of crosstalk error, etc. Previous works [3, 4] have left these issues
largely unexplored and have not addressed the problem holistically such that the
circuit fidelity reduction cannot be ignored for multi-programming mechanism.
Crosstalk is a non-negligible error source in NISQ hardware. It can corrupt the
qubit state when multiple quantum operations are executed in parallel. Detrimental
crosstalk impact on parallel instructions has been reported in [5–7] by using
Simultaneous Randomized Benchmarking (SRB) [8]. In the presence of crosstalk,
gate error can be increased by an order of magnitude. Ash-Saki et al. [6] proposed a
fault-attack model using crosstalk in a multi-programming environment. Moreover,
the impact of crosstalk is considered in the multi-programming framework [9].
Multi-programming, if done in an ad-hoc way would be detrimental to fidelity,
but if done carefully, it can be a very powerful technique to enable parallel
execution for important quantum algorithms such as Variational Quantum Algo-
rithms (VQAs) [10]. For example, the multi-programming mechanism can enable
to execute several ansatz states in parallel in one quantum processor, such as
in Variational Quantum Eigensolver (VQE) [11, 12], Variational Quantum Linear
Solver (VQLS) [13], or Variational Quantum Classifier (VQC) [14] with reliability.
It is also general enough to be applied to other quantum circuits regardless of
applications or algorithms. More importantly, it can build the bridge between NISQ
devices and large-scale fault-tolerant devices.
In this work, we evaluate the influence of crosstalk on NISQ devices and then
present two quantum multi-programming compilers, taking the impact of hardware
topology, calibration data, and crosstalk into consideration. We also investigate
how multi-programming mechanism can be useful for NISQ computing. Our major
contributions can be listed as follows:
• We perform crosstalk injection experiment on IBM quantum devices to analyze
its impact on circuit fidelity and evaluate the crosstalk mitigation methods to
demonstrate the fidelity improvement.
• We propose a Quantum Multi-programming Compiler (QuMC), including two
different qubit partition algorithms with consideration of crosstalk, and an
improved mapping transition algorithm.
• We improve our QuMC algorithm and introduce a Quantum Crosstalk-aware
Parallel Circuit execution method (QuCP) without the overhead of crosstalk
characterization.
• We apply multi-programming mechanism to variational quantum eigensolver
(VQE) and zero noise extrapolation (ZNE) to demonstrate its applications on
NISQ algorithm and error mitigation technique.
Multi-Programming Mechanism on Near-Term Quantum Computing 21

The rest of the chapter is organized as follows. First, we introduce the background
of multi-programming mechanism and its state of the art in Sect. 2. Second, we
analyze the crosstalk error in NISQ computing, including characterization and
error mitigation in Sect. 3. Third, we present our proposed QuMC algorithm
in Sect. 4. Fourth, we explain our QuCP method in Sect. 5. Fifth, we demonstrate the
applications of applying multi-programming to NISQ computing in Sect. 6. Finally,
we discuss the future works and conclude the chapter in Sects. 7 and 8.

2 Background

2.1 Multi-Programming Mechanism

The idea of the multi-programming mechanism is quite simple: executing several

quantum circuits in parallel on the same quantum hardware. An example is shown
in Fig. 1. Note that, the simultaneous circuits can always be scheduled using As Late
As Possible (ALAP) method, allowing qubits to remain in the ground state as long
as possible to avoid additional decoherence error caused by circuits with different
depths. Since the waiting time is usually much longer than the circuit execution
time, the difference between execution time for circuits with different depths can
be ignored. By executing two circuits at the same time, the hardware throughput
doubles and the total runtime (waiting time + execution time) is reduced twice. It
is not trivial to design a multi-programming compiler. Even though it is possible
to simply combine several programs to one large circuit and compile it directly,
it has been shown in [4] that the circuit fidelity is decreased significantly due to
the unfair allocation of partitions, unawareness of increased crosstalk, inflexibility
of reverting back to independent executions for the case of serious fidelity drop,
etc. The main concern is how to trade-off between the circuit output fidelity and
the hardware throughput (also indicates the reduction of total runtime). A new
compilation technique for the multi-programming mechanism is required. Several

Fig. 1 An example of the QC1 QC2

multi-programming
mechanism. (a) A four-qubit
circuit is executed on a
10-qubit device. The
hardware throughput is 40%.
(b) Two four-qubit circuits (a)
are executed on the same
device in parallel. The
hardware throughput
becomes 80%.

(b)
22 S. Niu and A. Todri-Sanial

problems need to be addressed to enable the multi-programming mechanism: (1)

Find an appropriate number of circuits to be executed simultaneously such that
the hardware throughput is improved without losing fidelity. (2) Allocate reliable
partitions of the hardware to all the simultaneous circuits to make them execute
with high fidelity. (3) Transform multiple circuits to make them executable on the
hardware. (4) Reduce the interference between simultaneous circuit executions to
lower the impact of crosstalk.

2.2 State of the Art

The multi-programming mechanism was first proposed in [3] by developing a

Fair and Reliable Partitioning (FRP) method. Liu et al. improved this mechanism
and introduced QuCloud [4]. There are some limitations for the two works: (1)
Hardware topology and calibration data are not fully analyzed, such that allocation
is sometimes done on unreliable or sparse-connected partitions ignoring the robust
qubits and links. (2) These works use only SWAP gate for the mapping transition
process and the modified circuits always have a large number of additional gates. (3)
Crosstalk is not considered when allocating partitions to the circuits. For example,
the X-SWAP scheme [4] can only be performed when circuits are allocated to
neighbouring partitions, which is the case of more crosstalk. Ohkura et al. designed
palloq [9], a crosstalk detection protocol that reveals the crosstalk impact on multi-
programming. The concept of multi-programming was also explored in quantum
annealers on DWAVE systems to solve several QUBO instances in parallel [15].

3 Crosstalk Analysis on IBM Quantum Computer

Crosstalk is one of the major noise sources in near-term quantum devices. There
are two types of crosstalk. The first one is quantum crosstalk, which is caused by
the always-on-ZZ interaction [16, 17]. The second one is classical crosstalk caused
by the incorrect control of the qubits. The calibration data provided by IBM do
not include the crosstalk error. Different protocols were proposed in [8, 18, 19]
to detect and characterize crosstalk in quantum devices. After assessing crosstalk,
there are two types of methods to mitigating it. The first one is based on hardware
strategies, such as tunable coupling [16], or frequency allocation [20]. The second
method is from the software perspective, where crosstalk can be mitigated by
making simultaneous CNOT operations with high crosstalk execute sequentially
while trading off the increase of the decoherence error [5].
In this section, we first introduce how to characterize the crosstalk properties
of a quantum device using protocol Simultaneous Randomized Benchmarking
(SRB) [8]. Second, we present various state-of-the-art crosstalk mitigation meth-
ods. Third, we inject crosstalk on IBM quantum devices to show its impact on
Multi-Programming Mechanism on Near-Term Quantum Computing 23

output fidelity. Finally, we evaluate the crosstalk mitigation method using several
benchmarks to demonstrate the fidelity improvement.

3.1 Crosstalk Characterization Using SRB

To characterize the crosstalk effect of a quantum device, we choose the most

commonly used protocol—Simultaneous Randomized Benchmarking (SRB) [8]
based on its ability to quantify the impact of parallel instructions, i.e., the crosstalk
effect of one quantum gate to another when they are executed at the same time.
Suppose that we need to characterize the crosstalk effect between gate .gi and .gj , we
first perform Randomized Benchmarking (RB) on both gates separately and obtain
their independent error rate .E(gi ) and .E(gj ). Then, applying SRB on both gates
yields the correlated error rate .E(gi |gj ) and .E(gj |gi ) for simultaneous executions.
If there exists crosstalk between the two gates, the relation between independent
and correlated errors should comply with .E(gi |gj ) > E(gi ) or .E(gj |gi ) > E(gj ).
Previous work [5] has demonstrated that crosstalk is significant for simultaneous
CNOT executions, hence, we only focus on characterizing the crosstalk effect
between CNOT pairs.
We use the ratio of correlated error to independent error .r(gi |gj ) =
E(gi |gj )/E(gi ) as the indicator of the crosstalk effect on the CNOT pairs. We
choose IBM Q 7 Casablanca as an example to show its crosstalk properties. As
CNOT errors vary across each calibration, we characterize the crosstalk effect twice
on each possible simultaneous CNOT pair of IBM Q Casablanca.
The results of average crosstalk data are presented in Fig. 2. The crosstalk effect
remains stable regardless of the variation of gate errors across days. For each
experiment, there are 150 Cliffords in the sequence and each sequence is repeated
five times due to the expensive runtime cost. The crosstalk effect is not as severe

Fig. 2 The SRB result of

IBM Q 7 Casablanca. The
number represents the ratio of
correlated error to
independent error. Note that
the SRB experiment is
performed on CNOTs that
can be executed in parallel,
which means they do not
share the same qubits. There
are no SRB experiments on
blank spots due to the sharing
qubits
24 S. Niu and A. Todri-Sanial

in this device as in other devices such as IBM Q 20 Poughkeepsie, where the gate
error grows up to 11 times caused by crosstalk [5]. However, the error rate is still
amplified up to 3 times in IBM Q Casablanca. Sometimes the ratios are less than
one, which is probably due to the limits of crosstalk metric in SRB protocol [21].

3.2 Crosstalk Mitigation

After characterizing the crosstalk effect, the next challenge is how to mitigate it. The
hardware-oriented crosstalk mitigation strategies have several physical constraints.
For example, the tunable coupling [16] is only applicable for tunable coupling
superconducting devices, whereas the frequency allocation [20] is mainly designed
for fixed-frequency transmon qubit devices. Despite hardware-oriented approaches
to reduce crosstalk, there are also software methods to address crosstalk. Here, we
report on hardware-agnostic software crosstalk mitigation approaches.
An intuitive approach for software crosstalk mitigation is to make simultane-
ous CNOTs execute serially to avoid crosstalk occurring on parallel operations.
However, serial instructions can increase the circuit depth and introduce deco-
herence errors. Murali et al. [5] proposes a crosstalk-adaptive scheduler (labeled
as XtalkSched) that inserts barriers between the simultaneous CNOTs with a
significant crosstalk effect to avoid parallel instructions while considering the
decoherence error.

3.3 Evaluation of Crosstalk Injection and Crosstalk Mitigation

Benchmarks First, We use a 3-qubit CSWAP gate circuit and inject a different
number of simultaneous CNOTs to show the impact of crosstalk on the output
fidelity of a quantum circuit. An example of demonstrating crosstalk injection
by enabling two simultaneous CNOTs is shown in Fig. 3. Then, we examine

q0 X T
q1 X T† T T† T
q2 H T T† H
q3
q4

Fig. 3 Crosstalk injection of CSWAP circuit. We introduce two other qubits (q3 , q4 ) and
apply CNOT operations on them. Barriers are inserted to make sure the CNOTs are executed
simultaneously. Note that, crosstalk injection are performed on CNOT pairs with strong crossalk
error
Multi-Programming Mechanism on Near-Term Quantum Computing 25

Fig. 4 The output state probability distribution of CSWAP gate circuit. The right output state
should be “101”. We inject a different number of simultaneous CNOTs to this circuit. The baseline
circuit has zero simultaneous CNOT

benchmarks collected from the previous works [5, 22], including SWAP circuits,
Bell state circuit, etc., to show the performance of XtalkSched. For each benchmark,
we set its mapping carefully to ensure it includes at least one pair of CNOTs with a
high crosstalk effect.
Algorithm Configuration For crosstalk characterization of IBM Q Casablanca,
we set the crosstalk threshold to 2, and w used in XtalkSched is set to 0.5 to trade-
off circuit depth and crosstalk mitigation. The Qiskit version is 0.23.6.
Comparison We compare XtalkSched [5] with ParSched, which is the default
scheduler used in Qiskit [23] to make instructions execute in parallel without
considering crosstalk.
The experimental results of crosstalk injection are shown in Fig. 4. The probabil-
ity of obtaining the right output state is reduced with the increase of simultaneous
CNOTs due to the injected crosstalk error. In the worst case, the fidelity is decreased
by 33.3% compared to the non-crosstalk case.
The comparison between XtalkSched with ParSched in terms of output fidelity
and circuit depth is shown in Fig. 5. The fidelity is improved by 9.4%, whereas the
circuit depth increased by 39.1%. Although XtalkSched enhances the circuit output
fidelity, the circuit depth increase is not negligible. Moreover, since XtalkSched is
based on SMT solver, it is not scalable for large quantum circuit. This raises the
need for more effective and practical crosstalk mitigation methods.
26 S. Niu and A. Todri-Sanial

XtalkSched ParSched XtalkSched ParSched

1
40
0.8
Circuit Depth

Fidelity
0.6
20 0.4

0.2

0 0
4)

)
n4

n4

n4

n4
4
ll n

ll n
(1,

(1,
der

hs

der

hs
be

be
ad

ad
Benchmarks Benchmarks
(a) (b)

Fig. 5 (a) Fidelity. (b) Circuit depth. Note that (1,4) represents the SWAP circuit which aims to
realize a connection between q0 and q4 through SWAP operations

4 Quantum Multi-Programming Compiler (QuMC)

In this section, we present our proposed QuMC to realize multi-programming

mechanism that takes the hardware topology, calibration data, and crosstalk into
account. Due to the limitations of gate-level software crosstalk mitigation method
(XtalkSched) as explained in Sect. 3.2, we mitigate crosstalk at the partition level.

4.1 Overview of QuMC Framework

Our proposed QuMC workflow is schematically shown in Fig. 6, which includes the
following steps:
• Input layer. It contains a list of small quantum circuits written in OpenQASM
language [24], and the quantum hardware information, including the hardware
topology, calibration data, and crosstalk effect.
• Parallelism manager. It can determine whether executing circuits concurrently or
separately. If the simultaneous execution is allowed, it can further decide the
number of circuits to be executed on the hardware at the same time without
losing fidelity based on the fidelity metric included in the hardware-aware multi-
programming compiler.
Multi-Programming Mechanism on Near-Term Quantum Computing 27

Selected shared
workloads
Hardware-aware
Quantum circuit
Multi-programming
workloads Compiler
Quantum
hardware
Reduce the number of
Parallelism shared workloads Output
Scheduler
Quantum hardware Manager Circuits
information Independent
workloads

Fig. 6 Overview of our proposed QuMC framework. The input layer includes the quantum
hardware information and multiple quantum circuit workloads. The parallelism manager decides
whether to execute circuits simultaneously or independently. For simultaneous executions, it works
with the hardware-aware multi-programming compiler to select an optimal number of shared
workloads to be executed in parallel. These circuits are allocated to reliable partitions and then
passed to the scheduler. It makes all the circuits executable on the quantum hardware and we can
obtain the results of the output circuits

• Hardware-aware multi-programming compiler. Qubits are partitioned to several

reliable regions and allocated to different quantum circuits using qubit partition
algorithms. Then, the partition fidelity is evaluated by the post qubit partition
process. We introduce a fidelity metric here, which helps to decide whether this
number of circuits can be executed simultaneously or the number needs to be
reduced.
• Scheduler. The mapping transition algorithm is applied and circuits are transpiled
to be executable on quantum hardware.
• Output layer. Output circuits are executed on the quantum hardware simulta-
neously or independently according to the previous steps and the experimental
results are obtained.
In this chapter, we only focus on IBM quantum architecture. Our QuMC method
can be generally adapted to quantum hardware with nearest-neighbor connectivity
and also allows parallel operations if applied to different qubits. The source code
of our QuMC method is publicly available on the Github repository https://github.
com/peachnuts/Multiprogramming.

4.2 Parallel Manager

In order to determine the optimal number of circuits that can be executed on the
hardware in parallel without losing fidelity, here, we introduce the parallelism
manager, shown in Fig. 7a.
Suppose we have a list of n circuit workloads with .ni qubits for each of
them, that are expected to be executed on N -qubit hardware. We define the circuit
density metric as the number of CNOTs divided by the qubit number of the circuit,
.#CN OT s/ni , and the circuit with higher density is considered to be more subject to
28 S. Niu and A. Todri-Sanial

Fig. 7 Process flow of each block that constitutes our QuMC approach. (a) The parallelism
manager selects K circuits according to their densities and passes them to the hardware-aware
multi-programming compiler. (b) The qubit partition algorithms allocate reliable regions to
multiple circuits. .AS is the difference between partition scores when partitioning independently
and simultaneously, which is the fidelity metric. .δ is the threshold set by the user. The fidelity
metric helps to select the optimal number of simultaneous circuits to be executed. (c) The scheduler
performs mapping transition algorithm and makes quantum circuits executable on real quantum
hardware

errors. Firstly, the circuits are ordered by their “density” metric. Note that, the users
can also customize the order of circuits if certain circuits are preferred to have higher
fidelities. Then, we pick K circuits as the maximum
E number of circuits that can be
executed on the hardware at the same time, . K n=1 i ≤ N. If K is equal to one,
n
then all the circuits should be executed independently. Otherwise, these circuits are
passed to the hardware-aware multi-programming compiler. It works together with
the parallelism manager to decide an optimal number of simultaneous circuits to be
executed.

4.3 Hardware-Aware Multi-Programming Compiler

The hardware-aware multi-programming compiler contains two steps: (1) Perform

qubit partitioning algorithm to allocate reliable partitions to multiple circuits. (2)
Compute the fidelity metric during post qubit partition process and work with
parallelism manager to determine the number of simultaneous circuits. We develop
two qubit partition algorithms by accounting for the crosstalk, hardware topology,
and calibration data. In this section, we first introduce a motivational example for
qubit partition. Then, we present two qubit partition algorithms, one greedy and one
heuristic. Finally, we explain the post qubit partition process.

4.3.1 Motivational Example

We consider two constraints when executing multiple circuits concurrently. First,

each circuit should be allocated to a partition containing reliable physical qubits.
Allocated physical qubits (qubits used in hardware) can not be shared among
Multi-Programming Mechanism on Near-Term Quantum Computing 29

P1 P3
6 17
1.9 1.2
0.7 1.6 1.4 1.0 0.8 1.1 1.9 1.0 1.5
0 1 4 7 10 12 15 18 21 23
0.8 2.4 2.3

2 13 24
1.2 1.1 0.7
1.4 0.7 0.8 0.9 0.7 0.7 0.9 1.1 1.0
3 5 8 11 14 16 19 22 25 26
1.0 1.1

9 20

(a)
P2 P3
6 17
1.9 1.2
0.7 1.6 1.4 1.0 0.8 1.1 1.9 1.0 1.5
0 1 4 7 10 12 15 18 21 23
0.8 2.4 2.3

2 13 24
1.2 1.1 0.7
1.4 0.7 0.8 0.9 0.7 0.7 0.9 1.1 1.0
3 5 8 11 14 16 19 22 25 26
1.0 1.1

9 20

(b)

Fig. 8 A motivational example of qubit partition problem. (a) No crosstalk between partition P1
and partition P2. (b) Crosstalk exists between partition P2 and partition P3

quantum circuits. Second, qubits can be moved only inside of their circuit partition
during the routing process, in other words, qubits can be swapped within the same
partition only. Note that, in this work, we performed routing inside of the reliable
partition but other approaches can be applied as well such as to route to other
neighboring qubits that are outside of the reliable partition.
Finding reliable partitions for multiple circuits is an important step in the multi-
programming problem. We choose IBM Q 27 Toronto to demonstrate an example.
The CNOT error rate of each link is shown in Fig. 8 and the unreliable links with
high CNOT error rates and qubits with high readout error rates are highlighted in
red. In order to illustrate the impact of partitions with different operational errors
(including CNOT error and readout error) on the output fidelity, first, we execute a
small circuit alu-v0_27 (the information of this circuit can be found in Table 2)
on three different partitions independently: (1) Partition P1 with reliable qubits
and links. (2) Partition P2 with unreliable links. (3) Partition P3 with unreliable
links and qubits with high readout error rate. Second, we execute two of the same
circuits simultaneously to show the crosstalk effect: (1) P1 and P3 without crosstalk
(Fig. 8a). (2) P2 and P3 with crosstalk (Fig. 8b). For the sake of fairness, each
partition has the same topology. It is important to note that if we have different
30 S. Niu and A. Todri-Sanial

Fig. 9 Results of the motivational example. (a) No crosstalk corresponds to Fig. 8a where no
crosstalk exists between P1 and P3. (b) Crosstalk corresponds to Fig. 8b where crosstalk exists
between P2 and P3. Note that “only P1” means the fidelity of the circuit when it is executed
independently on P1, whereas “P1|P3” means the fidelity of circuit on P1 when two circuits are
executed on P1 and P3 simultaneously

topologies, the circuit output fidelity will also be different since the number of
additional gates is strongly related to the hardware topology.
The result of the motivational example is shown in Fig. 9. The fidelity is
calculated using PST metric explained in Sect. 4.5.1 and higher is better. For
independent execution, we have P1 > P2 > P3 in terms of fidelity, which shows
the influence of operational error on output fidelity. For simultaneous execution,
the circuit fidelities are approximately the same for the two partitions P1 and P3
compared with the independent execution in the case of no crosstalk. Whereas, the
fidelities are decreased by 36.8 and 23.1% respectively for P2 and P3 when the two
circuits are executed simultaneously due to crosstalk.
We validate the crosstalk impact on the motivational example by performing SRB
on the target quantum device. However, performing SRB requires a large overhead
of circuit executions. Hence, we characterize crosstalk properties of IBM Q 27
Toronto followed by the optimization methods presented in [5]. On IBM quantum
devices, the crosstalk effect is significant only at one hop distance between CNOT
pairs [5], such as (.CX0,1 |CX2,3 ) shown in Fig. 10a, when the control pulse of one
qubit propagates an unwanted drive to the nearby qubits that have similar resonate
frequencies. Therefore, we perform SRB only on CNOT pairs that are separated
by one-hop distance. For those pairs whose distance is greater than one hop, the
crosstalk effects are very weak and we ignore them. It allows us to parallelize SRB
experiments of multiple CNOT pairs when they are separated by two or more hops.
For example, in IBM Q 27 Toronto, the pairs (.CX0,1 |CX4,7 ), (.CX12,15 |CX17,18 ),
(.CX5,8 |CX11,14 ) can be characterized in parallel. As demonstrated in some previous
works [5, 6, 25] that, although the absolute gate errors vary every day, the pairs
that have strong crosstalk effect remain the same across days. We confirm that
observation by performing the crosstalk characterization on IBM Q 27 Toronto
Multi-Programming Mechanism on Near-Term Quantum Computing 31

6 17

0 1 4 7 10 12 15 18 21 23

2 13 24
0 1 2 3 4

(a) 3 5 8 11 14 16 19 22 25 26

9 20

(b)

Fig. 10 Characterization of crosstalk effect. (a) Crosstalk pairs separated by one-hop distance.
The crosstalk pairs should be able to be executed at the same time. Therefore, they cannot share the
same qubit. One-hop is the minimum distance between crosstalk pairs. (b) Crosstalk effect results
of IBM Q 27 Toronto using SRB. The arrow of the red dash line points to the CNOT pair that
is affected significantly by crosstalk effect, e.g., .CX7,10 and .CX12,15 affect each other when they
are executed simultaneously. In our experiments, .E (CX10,12 |CX4,7 ) > 3 × E (CX10,12 ), whereas
.E (CX4,7 |CX10,12 ) ≈ 1.5 × E (CX4,7 ). As we choose 3 as the factor to pick up pairs with strong
crosstalk effect, there is no arrow at pair .CX4,7

twice and we get the similar behavior. The crosstalk effect characterization is
expensive and time costly. Some of the pairs do not have crosstalk effect whereas
others are strongly influenced by crosstalk. Therefore, we extract the pairs with
significant crosstalk effect, i.e., .E(gi |gj ) > 3 × E(gi ) and only characterize
these pairs when crosstalk properties are needed. We choose the same factor 3 to
quantify the pairs with strong crosstalk error like [5]. The result of crosstalk effect
characterization on IBM Q 27 Toronto is shown in Fig. 10b. Since pair .CX7,10
(included in P2) and .CX12,15 (included in P3) have significant crosstalk impact
on each other, we confirm that the fidelity lose of the simultaneous execution in the
motivational example is caused by additional crosstalk.

4.3.2 Greedy Sub-Graph Partition Algorithm

We develop a Greedy Sub-graph Partition algorithm (GSP) for qubit partition

process which is able to provide the optimal partitions for different quantum circuits.
The first step of the GSP algorithm is to traverse the overall hardware to find all the
possible partitions for a given circuit. For example, suppose we have a five-qubit
circuit, we find all the subgraphs of the hardware topology (also called coupling
graph) containing five qubits as the partition candidates. Each candidate has a score
to represent its fidelity depending on the topology and calibration data. The partition
with the best fidelity is selected and all the qubits inside of the partition are marked
as used qubits so they cannot be assigned to other circuits. For the next circuit, a
subgraph with the required number of qubits is assigned and we check if there is
an overlap on this partition to partitions of previous circuits. If not, the subgraph is
a partition candidate for the given circuit and the same process is applied to each
32 S. Niu and A. Todri-Sanial

Algorithm 1: GSP algorithm

input : Quantum circuit QC, Coupling graph G, Calibration data C, Crosstalk properties
crosstalk_props, Used_qubits qused
output: A list of candidate partitions sub_graph_list
1 begin
2 qubit_num ← QC.qubit_num;
3 Set sub_graph_list to empty list;
4 for sub_graph ∈ combinations (G, qubit_num) do
5 if sub_graph is connected then
6 if qused is empty then
7 sub_graph.Set_Partition_Score (G, C, QC);
8 sub_graph_list.append (sub_graph);
9 end
10 if no qubit in sub_graph is in qused then
11 crosstalk_pairs ← Find_Crosstalk_pairs (sub_graph,
crosstalk_props, qused );
12 sub_graph.Set_Partition_Score (G, C, QC, crosstalk_pairs);
13 sub_graph_list.append (sub_graph);
14 end
15 end
16 end
17 return sub_graph_list;
18 end

subsequent circuit. To account for crosstalk, we check if any pairs in a subgraph

have strong crosstalk effect caused by the allocated partitions of other circuits. If so,
the score of the subgraph is adjusted to take crosstalk error into account.
In order to evaluate the reliability of a partition, three factors need to be
considered: partition topology, error rates of two-qubit links, and readout error of
each qubit. One-qubit gates are ignored for simplicity and because of their relatively
low error rates compared to the other quantum operations. If there is a qubit pair in
a partition that has strong crosstalk affected by other partitions, the CNOT error
of this pair is replaced by the correlated CNOT error which takes crosstalk into
account. Note that the most recent calibration data should be retrieved through
the IBM Quantum Experience before each usage to ensure that the algorithm has
access to the most accurate and up-to-date information. To evaluate the partition
topology, we determine the longest shortest path (also called graph diameter) of the
partition, denoted L. The smaller the longest shortest path is, the better the partition
is connected. Eventually, fewer additional gates would be needed to connect two
qubits in a well-connected partition.
We devise a fidelity score metric for a partition that is the sum of the graph
diameter L, average CNOT error rate of the links times the number of CNOTs of
the circuit, and the sum of the readout error rate of each qubit in a partition (shown
in (1)). Note that the CNOT error rate includes the crosstalk effect if it exists.
Multi-Programming Mechanism on Near-Term Quantum Computing 33

E
Scoreg = L + AvgCN OT × #CNOT s +
. RQi (1)
Qi ∈P

The graph diameter L is always prioritized in this equation, since it is more than
one order of magnitude larger than the other two factors. The partition with the
smallest fidelity score is selected. It is supposed to have the best connectivity and the
lowest error rate. Moreover, the partition algorithm prioritizes the quantum circuit
with a large density because the input circuits are ordered by their densities during
the parallelism manager process. The partition algorithm is then called for each
circuit in order. However, GSP algorithm is expensive and time costly. For small
circuits, GSP algorithm gives the best choice of partition. It is also useful to use it
as a baseline to compare with other partition algorithms. For beyond NISQ, a better
approach should be explored to overcome the complexity overhead.

4.3.3 Qubit Fidelity Degree-Based Heuristic Sub-Graph Partition

Algorithm

In order to reduce the overhead of GSP, we propose a Qubit fidelity degree-based

Heuristic Sub-graph Partition algorithm (QHSP). It performs as well as GSP but
without the large runtime overhead.
In QHSP, when allocating partitions, we favor qubits with high fidelity. We define
the fidelity degree of a qubit based on the CNOT and readout fidelities of this qubit
as in (2).
E
F _DegreeQi =
. λ × (1 − E(Qi , Qj )) + (1 − RQi ) (2)
Qj ∈N (Qi )

Qj are the neighbour qubits connected to .Qi , E is the CNOT error matrix which
.

is constructed by applying the Floyd-Warshall algorithm to the hardware coupling

graph with CNOT error rate as edge weights, and R is the readout error rate. .λ is
a user defined parameter to weight between the CNOT error rate and readout error
rate. Such parameter is useful for two reasons: (1) Typically, in a quantum circuit,
the number of CNOT operations is different from the number of measurement
operations. Hence, the user can decide .λ based on the relative number of operations.
(2) For some qubits, the readout error rate is one or more orders of magnitude larger
than the CNOT error rate. Thus, it is reasonable to add a weight parameter.
The fidelity degree metric reveals two aspects of a qubit. The first one is the
connectivity of the qubit. The more neighbours a qubit has, the larger its fidelity
degree is. The second one is the reliability of the qubit accounting CNOT and
readout error rates. Thus, the metric allows us to select a reliable qubit with good
connectivity. Instead of trying all the possible subgraph combinations (as in GSP
algorithm), we propose a QHSP algorithm to build partitions that contain qubits
with high fidelity degree while significantly reducing runtime.
34 S. Niu and A. Todri-Sanial

To further improve the algorithm, we construct a list of qubits with good

connectivity as starting points. We sort all physical qubits by their physical node
degree, which is defined as the number of links in a physical qubit. Note that, the
physical node degree is different from the fidelity degree. Similarly, we also obtain
the largest logical node degree of the logical qubit (qubits used in the quantum
circuit) by checking the number of different qubits that are connected to a qubit
through CNOT operations. Next, we compare these two metrics.
Suppose the largest physical node degree is less than the largest logical node
degree. In that case, it means that we cannot find a suitable physical qubit to map the
logical qubit with the largest logical node degree that satisfies all the connections. In
this case, we only collect the physical qubits with the largest physical node degree.
Otherwise, the physical qubits whose physical node degree is greater than or equal
to the largest logical node degree are collected as starting points. By limiting the
starting points, this heuristic partition algorithm becomes even faster.
For each qubit in the starting points list, the algorithm explores its neighbours
and finds the neighbour qubit with the highest fidelity degree calculated in (2), and
merges it into the sub-partition. Then, the qubit inside of the sub-partition with the
highest fidelity degree explores its neighbour qubits and merges the best one. The
process is repeated until the number of qubits inside of the sub-partition is equal to
the number of qubits needed. This sub-partition is considered as a subgraph and is
added to the partition candidates.
After obtaining all the partition candidates, we compute the fidelity score for each
of them. As we start from a qubit with a high physical node degree and merge to
neighbour qubits with a high fidelity degree, the constructed partition is supposed to
be well-connected, hence, we do not need to check the connectivity of the partition
using the longest shortest path L as in (1), GSP algorithm. We can only compare
the error rates. The fidelity score metric is simplified by only calculating the CNOT
and readout error rates as in (3) (crosstalk is included if it exists). It is calculated for
each partition candidate and the best one is selected.
E
Scoreh = AvgCN OT × #CN OT s +
. RQi (3)
Qi ∈P

Figure 11 shows an example of applying QHSP on IBM Q 5 Valencia

(ibmq_valencia) for a four-qubit circuit. The calibration data of IBM Q 5 Valencia,
including readout error rate and CNOT error rate are shown in Fig. 11a. We set
.λ to two and the physical node degree and the fidelity degree of qubit calculated

by (2) are shown in Table 1. Suppose the largest logical node degree is three.
Therefore, .Q1 is selected as the starting point since it is the only physical qubit that
has the same physical node degree as the largest logical node degree. It has three
neighbour qubits: .Q0 , .Q2 , and .Q3 . .Q3 is merged into the sub-partition because it
has the highest fidelity degree among neighbour qubits. The sub-partition becomes
.{Q1 , Q3 }. As the fidelity degree of .Q1 is larger than .Q3 , the algorithm will again

select the left neighbour qubit with the largest fidelity degree of .Q1 , which is .Q0 .
The sub-partition becomes .{Q1 , Q3 , Q0 }. .Q1 is still the qubit with the largest
Multi-Programming Mechanism on Near-Term Quantum Computing 35

Algorithm 2: QHSP algorithm

input : Quantum circuit QC, Coupling graph G, Calibration data C, Crosstalk properties
crosstalk_props, Used_qubits qused , Starting points starting_points
output: A list of candidate partitions sub_graph_list
1 begin
2 circ_qubit_num ← QC.qubit_num;
3 Set sub_graph_list to empty list;
4 for i ∈ starting_points do
5 Set sub_graph to empty list;
6 qubit_num ← 0;
7 while qubit_num < circ_qubit_num do
8 if sub_graph is empty then
9 sub_graph.append (i);
10 qubit_num ← qubit_num + 1 ;
11 continue;
12 end
13 best_qubit ← find_best_qubit (sub_graph, G, C);
14 if best_qubit /= None then
15 sub_graph.append (best_qubit);
16 qubit_num ← qubit_num + 1 ;
17 continue;
18 end
19 end
20 if len (sub_graph) = circ_qubit_num then
21 if qused is empty then
22 sub_graph.Set_Partition_Score (G, C, QC,);
23 sub_graph_list.append (sub_graph);
24 end
25 if no qubit in sub_graph is in qused then
26 crosstalk_pairs ← Find_Crosstalk_pairs (sub_graph,
crosstalk_props, qused );
27 sub_graph.Set_Partition_Score (G, C, QC, crosstalk_pairs);
28 sub_graph_list.append (sub_graph);
29 end
30 end
31 end
32 return sub_graph_list;
33 end

fidelity degree in the current sub-partition, its neighbour qubit – .Q2 is merged.
The final sub-partition is .{Q1 , Q3 , Q0 , Q2 } and it can be considered as a partition
candidate. The merging process is shown in Fig. 11b.

4.3.4 Runtime Analysis

Let n be the number of hardware qubits (physical qubits) and k the number of
circuit qubits (logical qubits) to be allocated a partition. GSP algorithm selects
36 S. Niu and A. Todri-Sanial

{Q1 }
Q0 Q1 Q2
0.85 1.25
3.5 3.4 3.3
1.59
{Q1 , Q3 }

Q3 3.3
{Q1 , Q3 , Q0 }
1.54

Q4 1.5
{Q1 , Q3 , Q0 , Q2 }
(a)
(b)

Fig. 11 Example of qubit partition on IBM Q 5 Valencia for a four-qubit circuit using QHSP.
Suppose the largest logical node degree of the target circuit is three. (a) The topology and
calibration data of IBM Q 5 Valencia. The value inside of the node represents the readout error
rate (in%), and the value above the link represents the CNOT error rate (in%). (b) Process of
constructing a partition candidate using QHSP

Table 1 The physical node Qubit .Q0 .Q1 .Q2 .Q3 .Q4
degree and the fidelity degree
of each qubit on IBM Q 5 Fidelity degree .1.96 .3.93 .1.95 .2.94 .1.97

Valencia Physical node degree 1 3 1 2 1

all the combinations of k subgraphs from n-qubit hardware and takes .O(C(n, k))
time, which is .O(n choose k). For each subgraph, it computes its fidelity score
including calculating the longest shortest path, which scales at .O(k 3 ). It ends up
being equivalent to .O(k 3 min(nk , nn−k )). In most cases, the number of circuit qubits
is less than the number of hardware qubits, thus the time complexity becomes
3 k
.O(k n ). It increases exponentially as the number of circuit qubits augments.

QHSP algorithm starts by collecting a list of m starting points where .m ≤ n.

To get the starting points, we sort the n physical qubits by their physical node
degree, which takes .O(nlog(n)). Then, we iterate over all the gates of the circuit
(e.g., circuit has g gates) and sort the k logical qubits according to the logical node
degree, which takes .O(g + klog(k)). Next, for each starting point, it iteratively
merges the best neighbour qubit until each sub-partition contains k qubits. To
find the best neighbour qubit, the algorithm finds the best qubit in a sub-partition
and traverses all its neighbours to select the one with the highest fidelity degree.
Finding the best qubit in the sub-partition is .O(p) where p is the number of qubits
in a sub-partition. The average number of qubits p is .k/2, so this process takes
.O(k) time on average. Finding the best neighbour qubit is .O(1) because of the

nearest-neighbor connectivity of superconducting devices. Overall, the QHSP takes

.O(mk +nlog(n)+g+klog(k)) time, and it can be truncated to .O(mk +nlog(n)+
2 2

g), which is polynomial.

Multi-Programming Mechanism on Near-Term Quantum Computing 37

4.3.5 Post Qubit Partition

By default the multi-programming mechanism reduces circuit fidelity compared to

standalone circuit execution mode. If the fidelity reduction is significant, circuits
should be executed independently or the number of simultaneous circuits should be
reduced even though the hardware throughput can be decreased as well. Therefore,
we consistently check the circuit fidelity difference between independent versus
concurrent execution.
We start with qubit partition process for each circuit independently and obtain the
fidelity score of the partition. Next, this qubit partition process is applied to these
circuits to compute the fidelity score when executing them simultaneously. The
difference between the fidelity scores is denoted .AS, which is the fidelity metric.
If .AS is less than a specific threshold .δ, it means simultaneous circuit execution
does not significantly detriment the fidelity score, thus circuits can be executed
concurrently, otherwise, independently or reduce the number of simultaneous
circuits. The fidelity metric and the parallelism manager help determine the optimal
number of simultaneous circuits to be executed.

4.4 Scheduler: Mapping Transition Algorithm

The scheduler includes the mapping algorithm to make circuits executable on real
quantum hardware.
Two steps are needed to make circuits hardware-compliant: initial mapping and
mapping transition. The initial mapping of each circuit is created while taking
into account swap error rate and swap distance, and the initial mapping of the
simultaneous mapping transition process is obtained by merging the initial mapping
of each circuit according to its partition. We improve the mapping transition
algorithm proposed in [26] by modifying the heuristic cost function to better select
the inserted gate. We also introduce the Bridge gate to the simultaneous mapping
transition process for multi-programming.
First, each quantum circuit is transformed into a more convenient format –
Directed Acyclic Graph (DAG) circuit, which represents the operation dependencies
of the circuit without considering the connectivity constraints. Then, the compiler
traverses the DAG circuit and goes through each quantum gate sequentially. The
gate that does not depend on other gates (i.e., all the gates before execution) is
allocated to the first layer, denoted F . The compiler checks if the gates on the
first layer are hardware-compliant. The hardware-compliant gates can be executed
on the hardware directly without modification. They are added to the scheduler,
removed from the first layer and marked as executed. If the first layer is not empty,
which means some gates are non-executable on hardware, a SWAP or Bridge gate
is needed. We collect all the possible SWAPs and Bridges, and use the cost function
H (see (5)) to find the best candidate. The process is repeated until all the gates are
marked as executed.
38 S. Niu and A. Todri-Sanial

A SWAP gate requires three CNOTs and inserting a SWAP gate can change the
current mapping. Whereas a Bridge gate requires four CNOTs and inserting a Bridge
gate does not change the current mapping. It can only be used to execute a CNOT
when the distance between the control and the target qubits is exactly two. Both
gates need three supplementary CNOTs. A SWAP gate is preferred when it has a
positive impact on the following gates, allocated in the extended layer E, i.e., it
makes these gates executable or reduces the distance between control and target
qubits. Otherwise, a Bridge gate is preferred.
A cost function H is introduced to evaluate the cost of inserting a SWAP or
Bridge. We use the following distance matrix (see (4)) as in [26] to quantify the
impact of the SWAP or Bridge gate,

D = α1 × S + α2 × E
. (4)

where S is the swap distance matrix and .E is the swap error matrix. We set .α1 and
α2 to 0.5 to equally consider the swap distance and swap error rate. In [26], only
.

the impact of a SWAP and Bridge on other gates (first and extended layer) was
considered without considering their impact on the gate itself. As each of them is
composed of either three or four CNOTs, their impact cannot be ignored. Hence,
in our simultaneous mapping transition algorithm, we take self impact into account
and create a list of both SWAP and Bridge candidates, labeled as “tentative gates”.
The heuristic cost function is as:

1 E E
H = ( D[π(g.q1 )][π(g.q2 )] + D[π(g.q1 )][π(g.q2 )])
|F + NT ent |
g∈F g∈T ent

1 E
.

+W × D[π(g.q1 )][π(g.q2 )]
|E|
g∈E
(5)
where W is the parameter that weights the impact of the extended layer, .NT ent is the
number of gates of the tentative gate, T ent represents a SWAP or Bridge gate, and
.π represents the mapping. SWAP gate has three CNOTs, thus .NT ent is three and

we consider the impact of three CNOTs on the first layer. The mapping is the new
mapping after inserting a SWAP. For Bridge gate, .NT ent is four and we consider
four CNOTs on the first layer, and the mapping is the current mapping as Bridge
gate does not change the current mapping. We weight the impact on the extended
layer to prioritize the first layer. This cost function can help the compiler select the
best gate to insert between a SWAP and Bridge gate.
Our simultaneous mapping transition algorithm outperforms HA [26] thanks to
the modifications of the cost function while not changing its asymptotic complexity.
Let n be the number of hardware qubits, g the CNOT gates in the circuit.
Multi-Programming Mechanism on Near-Term Quantum Computing 39

Algorithm 3: Simultaneous mapping transition algorithm

input : Circuits DAGs, Coupling graph G, Distance matrices Ds, Initial mapping πi ,
First layers F s
output: Final schedule schedule
1 begin
2 πc ← πi ;
3 while not all gates are executed do
4 Set swap_bridge_lists to empty list;
5 for Fi in F s do
6 for gate in Fi do
7 if gate is hardware-compliant then
8 schedule.append (gate);
9 Remove gate from Fi ;
10 end
11 end
12 if Fi is not empty then
13 swap_bridge_candidate_list ← FindSwapBridgePairs (Fi , G);
14 swap_bridge_lists.append (swap_bridge_candidate_list);
15 end
16 end
17 for swap_bridge_candidate_list ∈ swap_bridge_lists do
18 for gtmp ∈ swap_bridge_candidate_list do
19 πtmp ← Map_Update (gtmp , πc );
20 Hbasic ← 0;
21 for gate ∈ Fi do
22 Hbasic ← Hbasic + Di (gate, πtmp )
23 end
24 Htentative ← gtmp .cost (G, Di , πtmp );
25 Update the extended layer E;
26 Hextend ← 0;
27 for gate ∈ E do
28 Hextend ← Hextend + Di (gate, πtmp );
29 end
30 H ← |F +N 1
tent |
(Hbasic + Htentative ) + |E|
W
Hextend
31 end
32 Choose the best gate gn ;
33 πc ← Map_Update (gn , πc );
34 end
35 Update the First layers;
36 end
37 return schedule
38 end

The simultaneous mapping transition algorithm takes .O(gn2.5 ) assuming nearest-

neighbor chip connectivity and an extended layer E with at most .O(n) CNOT gates.
The detailed explanation about the complexity can be found in [26].
Other documents randomly have
different content
 XXIII.

S ällan har Sverige varit så nära att försvinna ur de fria folkens

krets som i början af sommaren 1743.
Ryssarne, som tagit Finland och Åland, hotade därifrån
hufvudstaden. I flere landsorter hade uppror utbrutit. Förd af sina
rotesoldater hade dalallmogen i stora flockar tågat nedåt landet, för
att, likt sine fäder under Engelbrechts, Sturarnes och Gustaf Wasa’s
dagar råda med i riksstyrelsen. Kungen var overksam, man kunde
nästan säga liknöjd. Hufvudstadens fattigare invånare voro
uppretade mot generaler och rådsherrar och väntade endast att
dalfolket skulle intåga för att börja sköflandet af de mera
välmåendes bostäder. En stor del af ständerna var köpt med danska
ministerns korruptionspenningar. Dueller och slagsmål på källare och
kaffehus hörde till ordningen för dagen.
Folket flydde från skärgården för att undkomma ryssarne och från
staden till skärgården för att undkomma de framryckande
dalkarlarne. Men ryssarnes och dalkarlarnes framryckande väckte på
långt när icke en sådan uppmärksamhet som underrättelsen om
befrielseförsöket af general Buddenbrock. Det ena ryktet
vidunderligare än det andra spreds öfver staden. Så berättades det
att en stor sammansvärjning, utgrenad öfver hela landet, som skulle
hafva till ändamål att öfverlämna det åt ryssen, hade blifvit upptäckt.
En af de sammansvurnes ledare, visste några berätta, var redan
fängslad. Han hade likväl dött innan man hunnit föra honom till
Rosenkammaren. På den beskrifningen, som lämnades
stadsgevaldiern med mycken omständlighet, kunde man förstå att
mannen icke kunde vara någon annan än Bisot, som fått denna
spioners vanliga bane.
Under dessa oroliga dagar förelades general Buddenbrocks dom
till ständernas stadfästelse. Få voro de, som ägnade de digra
protokollen någon ingående granskning. Och när dagen kom höjde
sig därför ingen röst mot kommissionens dom. Det var nödvändigt
för hattpartiet att för egen själfbevarelses skull offra honom så att
folkets vrede därigenom måtte kunna stillas. Med de oskyldiga
generalernas blod skulle de andar besvärjas, hvilka partiets ledande
män i lättsinnigt öfvermod på sin tid framkallat utan att äga makt att
styra dem.
Det var några dagar efter sedan domen blifvit stadfäst. Generalen,
som nyss stigit upp från middagsbordet, gick åter och fram på
golfvet. Familjens öfriga medlemmar hade aflägsnat sig utom Ulrika,
som med stigande oro betraktade faderns grubblande anlete, däri
sorgen för hvarje dag tecknade nya fåror.
»Sur mon honneur», sade Meijersdorff, då han öfvertalade honom
att lämna ifrån sig sin brefväxling med Gyllenborg. »Sur mon
honneur skall icke generalen snart få röna den mest gynnsamma
verkan af dessa dokument.»
Kommissionen hade emellertid haft en annan åsikt. De rörde,
dessa bref viktiga utrikes förbindelser, hette det, hvilka borde hållas
hemliga. Icke häller ständerna kunde därför få del af dem.
Generalen hade sålunda blifvit beröfvad och undanhållen sitt enda
skyddsvapen.
Inför Sveriges samlade ridderskap hade hans maka och barn på
knä bönfallit om nåd, icke om nåd från dödsstraffet, utan om nåd för
krigaren att få dö krigarens död. Efter att hafva ägnat fyratio år af
sitt lif åt fäderneslandet, tyckte de icke utan sorg, kunde väl hans
förmenta felsteg sonas utan att han i döden skulle vanäras med
mördarens och falskmyntarens bila. Men prästerna sade tvärt nej!
De togo försteget framför de andra stånden när det gällde att neka
denna själfskrifna rätt för en gammal karolin.
 Ännu sväfvade man i ovisshet om utgången i de andra stånden.
Upptäckten af de unga männens sammansvärjning och hålet på
muren intill nästgränsande hus hade medfört en strängare
bevakning, hvarigenom underrättelserna från världen utomkring
blifvit ofullständigare.
»Henrik får icke besöka oss mer», sade Ulrika, brytande
tystnaden.
»När kom det förbudet?» frågade generalen och stannade tvärt.
»Dessa herrar Lagercrantz och hvad de heta för något», inföll
friherrinnan häftigt, som inkom i det samma, »äro i stånd till allt. – I
dag på förmiddagen, kom en af de där herrarne och tillsade Henrik
arrest för två dygn, utan att uppgifva någon orsak. Han får icke
mottaga besök och en af de där unga officerarne från landet, som
Lagercrantz dragit upp, sitter hos honom hvarje ögonblick.»
»Han har kanske varit något oförsiktig ... sagt något förfluget ord
om denna s. k. friheten.»
»Henrik har icke nämnt det minsta därom för mig», inföll Ulrika.
»Nej det skall vår Herre veta att han varit tyst som muren», sade
friherrinnan. »Under sista tiden har han icke sagt ett ord om sina
hemligheter. – Det hade dock icke varit mer än tillbörligt att inviga
oss i förtroendet om de räddningsplaner i afseende på dig, som äro
å bane.»
»Tro icke så barnsligt, Magdalena», svarade generalen bittert,
»som att någon skulle vilja våga något för en gammal giktbruten
krigare som jag.»
»Du är likväl af långt ädlare blod, min vän, än alla dessa
skräflande riddarhusmän! De afskyvärda tölparne», tillade hon,
»borde ha nog af gården och gatan, men nu taga de sig friheter
äfven i våra rum.»
»Vi måste finna oss däri», sade generalen fogligt, i det han ställde
sig framför henne, och blickade henne ömt i ögonen. – »Vi måste
ödmjuka oss, Magdalena, i vårt sinne ... Här nere är för mig allting
slut», fortfor han efter en stunds tystnad. »Det är blott tanken på
den vanära, som efter min död skall vidlåda mitt namn, som är
smärtsam.»
 »Du talar, min vän, om att ödmjuka dig för sådana odjur», svarade
friherrinnan med blixtrande ögon – »att anklaga en man för feghet
som tappert tjänat sin konung i fyrtio år! – Det är en horreur! – Må
den som vill ödmjuka sig för dessa herrar: icke Magdalena von
Buddenbrock! – Nej, ännu är striden mellan oss icke utkämpad och
till dess ... – En man bör se faran i anletet.»
»Du kan hafva rätt» svarade generalen, i det han böjde sig ned
och ömt kysste henne på pannan. »Men droppen urhålkar äfven
hälleberget. – Alla dessa nålstygn, som mina förra vänner dagligen
gifva mig, ha bragt min själ ur jämnvikten; jag är nu mera intet. –
För öfrigt» tillade han »är ju saken afgjord. – Några dagar till på
stadsgården, sandbacken vid Norrtull – och consummatum est!»
»Att icke Sinius låter höra af sig» återtog friherrinnan, efter att en
stund hafva suttit försjunken i tankar. – »Jag regalerade honom med
en så stor penningsumma att den borde hafva räckt till att värfva ett
helt kompani för vår sak.»
»Icke heller baronen har varit här» inföll Ulrika. »Men då man
kommit i olycka äro vännerna sällsynta.»
»Till och med den där unge finnen håller sig undan, som var så
stor i orden!»
»Svenske, menar mamma? Hvad kan man begära af honom? Min
mor har ju förbjudit honom vår familj.»
»Han hade likväl en bättre education än jag trodde ... Liewen har
berättat mig åtskilligt om honom som talar till hans fördel. Hon var
alldeles betagen i honom.»
»Detta har kusin Meijersdorff sagt?»
»För ingen del! Henriette har själf tillstått för mig att hon brinner
af lust att få träffa den unge mannen.»
»När jag tänker närmare efter måste det vara som jag sade, ty
kusin Meijersdorff talar alltid illa om andra och gör väl så med
Svenske också.»
»Nu är du icke snäll min flicka» inföll generalen, i det han steg
upp och strök håret ur Ulrikas rodnande anlete. »Om du håller af
unge Svenske, får du väl honom i sinom tid om han besvarar din
kärlek som ägnar en trogen kavaljer. Det skulle dock ej förvåna mig
om äfven denne kurtisören droge sig undan.»
 »Aldrig Svenske, min far», sade Ulrika i bestämd ton.
»Att Ulrika kan glömma sig så», sade friherrinnan förebrående.
»Tänk på med hvilken du konverserar.»
»Vare det nog sagdt. Jag afskyr kusin Meijersdorff, jag kommer
alltid att afsky honom.»
»Gnabbas ej så mycket mina vänner», sade generalen vänligt
förebrående. »Tänk på att det ej är många dagar kvar, som jag får
vara hos er.»
»Förlåt mig, min vördade far», sade Ulrika, i det hon föll honom
om halsen. »Det var mitt fel. Men jag tycker att om jag vore som
baronen skulle jag väl kunna lyckas att befria pappa.»
Ulrika hemtade nu den stora bibeln med guldknäppena, då tiden
var inne för aftonbönen.
»Läs det där stycket ur Uppenbarelseboken, Ulrika» sade han,
»som du vet att jag tycker så mycket om.»
Hon flyttade sig närmare fönstret och slog upp boken. I det
samma föll ett hvitt pappersark på golfvet. Tankspridd tog hon upp
det och läste med liknöjd min några rader som voro skrifna på
detsamma. Hennes blickar blefvo allt mer glänsande under det hon
läste. Hennes kinder glödde, för att återigen lämna rum åt en hemsk
blekhet. Läpparne skälfde, då hon sökte tala.
»Hvad felas dig, mon ange», sade friherrinnan förskräckt, i det
hon skyndade fram till henne.
»Hvilken usling kan vara nog låg att så håna olyckan», sade
generalen i det han räckte biljetten åt sin maka. »Se hvad här står:
»Häng upp öfversterna Herranom i solen, på det att den grymma
Herrans vrede måtte varda vänd från Israel.»
»Således är icke en gång Guds heliga ord fritaget från det där
packets gemena förföljelser» sade friherrinnan med bitter ton, i det
hon fattade ringklockan.
»Har någon främmande varit inne i detta rum på förmiddagen»
frågade hon betjänten när denne strax därpå inträdde.
»Ingen så vidt jag vet.»
»Känner du detta papper?»
»Ett dylikt såg jag flere läsa på riddarhusdörren i går morgse»,
sade betjänten.
 »Har ingen varit här inne i dag i detta rum?»
»Endast baron Meijersdorff var inne här ett ögonblick i går på
eftermiddagen, för att fråga efter hur hennes nåd mådde.»
»Hvad hatet kan förmå», sade generalen, när betjänten lämnat
rummet »jag riktigt ryser för den apellen att på detta sätt vädja till
den oupplysta menighetens dom ... En olycklig stund för ett land,
när det sker.»
»Ja, nog skulle det vara en lumpen ersättning för en comte de
Gyllenborg», sade friherrinnan, »om pöbeln en dag skulle ropa åt
honom att hvad han gjort vore rätt, när han afrättat alla sina gamla
vänner.»
»Parbleu mes amis ... så upprörde», sade Meijersdorff i det
samma han inträdde. »Hvad har väl händt», fortsatte han i det han
artigt kysste friherrinnans hand, »som kunnat fördunkla kusins eljes
så klara ögon?»
»Hvad skulle väl hända i vår ensamhet?» –
»Vet då mes amis att man har uppskjutit frågan om nåd till i
morgon – jag har de bästa förhoppningar.»
»Någon lumpen tölp af de här svenskarne», sade friherrinnan,
»har funnit det comme il faut att lägga denna kvicka biljett i min
mans bibel ... Man får snart icke vara i fred i sin egen sängkammare
för detta eländiga pack. – Ja, jag upprepar det min vän», återtog
hon med en blick på generalen, som ville lägga band på hennes
tunga; »det finnes ej sämre folk än dessa afundsjuka, storpratande
svenskar.»
»Sinnesstämningen är verkligen en smula upphetsad», sade
Meijersdorff i tvungen ton. »Om vi äfven kunde få nåd hos
ständerna, skulle det vara svårt att vinna den allmänna meningen i
landet – och så hör Majestätet nu mera, beklagligt nog, till våra
svåraste motståndare!»
»Om Magdalena icke så många gånger förolämpat kung Fredrik»,
inföll generalen tankfullt, »skulle han säkerligen gjort mera för vår
sak; ty hans hjärta är godt.»
»Jag skulle kan hända bedt att få komplimentera honom för hans
intention att vilja vanära vår dotter.»
 »Den upproriska dalallmogen, som ryckt in i hufvudstaden»,
återtog Meijersdorff, då generalen icke svarade på detta häftiga
utbrott, »hotar att ställa till en grundlig räfst med kungen och rådet,
om icke generalerna straffas. Bönderna ha redan förklarat danska
kronprinsen för successor till tronen.»
»Skratta icke däråt, min kusin», tillade han, då friherrinnan icke
kunde återhålla ett småleende vid dessa ord. »Saken är allvarlig.
Gyllenborg har redan utfört sina barn sjövägen till grefve Bonde på
Hesselby och andra fly undan så långt de komma ned åt landsorten.
Laforme har jag förgäfves sökt under flere dagar ... Efter hvad jag
hört lär äfven fröken Liewen ämna sig åt landet. Den kära Liewen
låter mycket tala om sig på sistone. Man berättar till och med att
hon blifvit förälskad i den där finske ynglingen, som var här i fjor
somras och ställde till så mycket spektakel, Svenske eller hvad han
hette.»
»Men det finnes ju soldater i staden?» sade generalen ifrigt.
»De göra sig också redo nu att skingra populacen.»
»Jag tyckte nyss att det lät som ett skott», sade Ulrika i det hon
reste sig och öppnade fönstret.
Medan hon och friherrinnan sågo ut på gatan, utan att finna
någon förklaring, tog Meijersdorff fram en bundt papper, som han
räckte generalen.
»Jag får härmed äran återställa hufvudparten af hvad jag fick
låna», sade han; »Gyllenborgs bref äro icke med. Dem ville man icke
återlämna.»
»De voro likväl de viktigaste.»
»Det var i synnerhet ett ställe i den sista försvarsskriften, som
väckte ond blod, det nämligen där herr generalen skrifvit att han
vore ej absolute förbjuden, men väl conditionaliter befalld att dela
sin styrka. – Detta uttryck ansåg man vara tvetydigt. För öfrigt
obehagligt att höra för kungen som ju påstått för rådet att han
absolute förbjudit generalen att dela sin styrka.»
Officern, som hade vakten, inkom nu efter slutad rond och
generalen drog sig tillbaka med Meijersdorff in i sitt rum.
»Men min bäste baron», sade generalen då de inkommit, i det han
skarpt betraktade honom, »jag finner visserligen, af hvad ni berättar,
att man öfverallt söker vända mina ord till det värsta – men däraf
följer ej att jag borde söka min räddning genom flykt, hvartill ni
rådde mig, då ni sista gången var här. – Man har nyss kommit en
sådan förflugen plan på spåren, om hvilken jag ej hade den ringaste
kunskap. Hvarje försök skulle för öfrigt stranda redan i början – tänk
endast på de stränga order man ansett böra utfärdas rörande
fönsterna. De fängsla och förhöra ju en hvar som ser upp mot dem
från gatan.»
»Det torde likväl ändock kunna lyckas.»
»Hvarför har man arresterat min son?»
»Man nämnde hans namn bland dem som sökt bryta sig genom
muren till generalens rum.»
»Kanhända är deras misstanke befogad. – Henrik har dock icke
nämnt något därom för mig. I hvarje fall hoppas jag att ingen af
mina unga vänner varder lidande för min skull.»
»Man talar om att de skulle underkastas förhör i
Rosenkammaren.»
»Hvilken skändlighet! Men i denna yran kan man tydligen hvarken
vänta sig förnuft eller barmhärtighet.»
»A propos Rosenkammaren. – Den styfve biskopen måste bekänna
där härom dagen sanningen om de engelska underhandlingarna.»
»Juslenius? Den ränkmakaren?»
»Han räddade med nöd lifvet och stiftet, men det tog honom så
svårt att han troligen icke kommer till sig själf mera.»
»Det var en af mina argaste motståndare i kommissionen. Han
talade jämt om mitt förräderi och sin egen kärlek till fosterlandet ...»
»Efter som jag nu ser», återtog generalen i det han stannade
framför Meijersdorff, »vill man verkligen göra med mig som med
mina gamla kamrater, som kände hemligheterna med salig kungens
död. Må det alltså fullkomnas. Ingen bör längre lida af min åsyn. Jag
har tagit mitt parti så godt som förtviflan och mitt tillstånd dikterat
det. Det är icke första gången som någon af oss måst gå bort för
deras misstros skull – men det är sannt! Det har icke alltid skett lika
öppet.»
Generalen var uppskakad. Det syntes som det ena mörka minnet
aflöste det andra i hans tankar.
 Meijersdorff förstod icke de dunkla antydningarna, men grubblade
icke heller däröfver. Inom sig var han säker på de trådar, som han
hade i sin hand och visste att de kunde vid en ryckning af honom
öppna fängelsets portar.
Han hade länge vacklat fram och åter mellan de båda
ytterligheterna om han skulle fortsätta att tjäna Lagercrantz och se
händelserna utveckla sig eller ock bryta de band, som höllo honom
fast vid denne mäktige partichef. I förra fallet lopp han ingen fara,
men vardt då också delaktig i mordet på fadern till henne som han
älskade öfver allt ting annat. I senare fallet, om han motarbetade
partiet och hjälpte generalen att fly, hade han att rädas partiets
hämnd om han skulle misslyckas.
Han ville gärna välja den sista vägen. Men Ulrikas köld hade under
stundom kommit honom att handla i motsatt riktning; ty då han var
retad kunde han vara i stånd att i första uppbrusningen bära hand
på sig själf. Sålunda hade han verkligen, trots alla förnekanden
lämnat de viktiga dokumenten till Lagercrantz, hvilka, såsom förut är
nämndt, varit afgörande för processens utgång. Det var äfven han,
som lagt papperet i bibeln för att, som han trodde, därigenom
uppmjuka Ulrikas hårda sinne. Hvad gjorde det om hon tog skada
däraf till kroppen. Äfven om hon genom dessa hopade sorger skulle
varda ett lik, ville han äga henne. Han ville kyssa dessa läppar, äfven
om de skulle stelna af dödens blekhet. Han ville omfamna denna
smärta skepnad äfven om hjärtat där inom upphört att slå.
Den till utseendet liknöjde, skeptiske kavaljeren, den stortalige
slagskämpen hade i själfva verket intet kvar af sin forna tillförsikt.
Han som för sina vänner skröt med att hafva dödat tio unge män af
familj i duell endast därför att de vågat draga hans anor i
tvifvelsmål, han darrade så snart han tänkte på denna kvinna,
hvilken sorgen gjort ännu mer intagande och hvilken ifrån att i
förstone endast föreställt för honom ett visst antal holländska
guinéer, nu uppväckte hela hans lidelse.
»Önskar ni tala med mig, kusin Meijersdorff», sade Ulrika, sorgset
leende, då baronen inträdde i matsalen.
»Ja! Jag har i sanning handlat oädelt, kusin», svarade han med
tillkämpat lugn i det han fattade hennes hand. »Men säg att äfven ni
finner er ha någon skuld. Ni förstod mig icke. – Ni har varit grym.»
»Förskona mig från ett upprepande af dessa frierier. Ni har ju fått
mitt svar. För öfrigt torde ni finna tidpunkten mindre lämplig nu –
tänk på min far.»
»Låt detta vara glömdt för en stund. Ser ni ej hur lidelsen förtär
mig – jag älskar er!»
»Lidelse och kärlek äro främmande för hvarandra. Jag delar
ingendera af dessa passioner med er, kusin.»
»Nå väl! Jag säger er då ett evigt farväl.»
»Lugna er! Hvad vill ni göra?»
»Skjuta mig en kula för pannan. Denna plåga är outhärdlig.»
»Man kan känna sig olycklig, men man dör icke af kärlek. – Än en
gång, spar edra känslor ... För att tala uppriktigt hyser jag en
motvilja för er som jag ej kan förklara; men den finnes och växer
med hvarje dag och det vore falskt att icke öppet säga er det.»
Meijersdorffs anlete förvreds, under det hon talade.
»Ert stolta, högdragna väsen skall en gång böjas i stoftet.»
»Vår Herres pröfningar är ni icke mannen att förespå; men ett vet
jag och det är att om ni vore en sann, en verklig ädling, en man af
heder, skulle ni sätta en ära i att icke längre förfölja en svag kvinna
med denna fordran på genkärlek, som ni vet att jag hvarken kan
eller vill gifva er ... Låtom oss skiljas i vänskap, kusin!»
»Vänskap? – En kvinna kan icke känna för en man annat än hat,
liknöjdhet eller kärlek. – Vänskap, hvad är väl det annat än
liknöjdhet? – Ni kan icke älska mig, säger ni. – Nåväl jag fordrar det
icke heller – en kvinna älskar aldrig någon. – Antingen beskyddar
hon honom eller får hon sin fåfänga tillfredsställd genom hans lidelse
för hennes person. Denna gör henne stor i andra kvinnors ögon. Jag
önskar endast att få äga er som min maka. –»
»Ni har hört mitt svar.»
»Jag vill icke afstå från er hand – jag kan det ej ...»
»Ack, min Gud, hör upp med detta tal, och lämna mig. Hvad jag
begär är ju en så ringa uppoffring?»
»Uppoffring? – Hvad vore lifvet sedan? – Det vore ingen dygd, det
vore feghet.»
»Att uppoffra sig för sin nästa är en kristens främsta plikt.»
 »Kristen?»
»Ni tror icke på Gud, kusin Meijersdorff. Edra blickar voro så
tviflande, när jag nämnde det heliga namnet?»
»Certainement, ma cousine! Jag svär vid hans namn
understundom. Äfven nu vill jag svära vid hans heliga namn att göra
allt hvad ni befaller mig – rädda er far – allt – blott ni lofvar ...»
»Rädda min far!» afbröt honom Ulrika med häftighet. »Skulle då
icke den, som gör anspråk på att varda min make, vilja offra sitt lif
många gånger om för att nå detta mål utan att behöfva anföra det
såsom prof på sin kärlek. Kan det vara möjligt? ... Kan ni rädda min
far. Ja, jag ser det på edra ögon!»
»Lofva; – och befall hvad ni önskar.»
»Skynda då! – Vår Herre skall löna er goda gärning.»
»Chère amie», sade Meijersdorff i det han reste sig upp och sökte
gifva sitt anlete dess vanliga liknöjdt öfverlägsna utseende, »upphör
en gång med dessa slags himmelska löften. Grace à Dieu har jag
långt ringare anspråk på vår Herres tacksamhet. – Quelle embarras
att hålla reda på alla lefvande och döda! – Men se icke så förvånad
på mig. – Ah! Sacré nom, jag kan icke annat än småle åt denna
prästernas makt att fördärfva unga sinnen. – Lifvet efter detta! – ett
skönt, ett agreabelt lif, ma foi ... Jag och min betjänt, hvarför icke
äfven min häst, min kastanjebruna Terpschichore? ... Vi skulle alla
komma att höra till samma societé des âmes? I sanning lefva vi inte
uti ett upplysningens tidehvarf!»
»Jag tycker mig förstå att detta är hedniskt», sade Ulrika, i det
hon tog ett steg tillbaka.
»Certainement jag tror som hedningarna på allt eller på ingenting,
après votre gôut.» –
»Jag förstår icke?»
»Chagrinerar mig, kusin. Några ord skola kanske förklara det. – Er
vackra törnros par exemple, som ni bär under hjärtat – har icke hon
haft lif? Lilla Ximene, som nyligen trampades till döds, hade icke
också hon en själ? ... Helt visst! ... Nå väl! allt som tillhör naturen
har en själ ... Till och med stenarne ändra ju sin form. Hvad är
människan annat än det högsta tinget inom skapelsen? Kunde
blomman tala och röra sig fritt, vore ju också hon som en
människosjäl. – I våra själar, kusin, uppnår skapelsen sin högsta
fulländning – hon är, som en af mina lärda vänner i Paris en gång
yttrade, vår Gud, vårt allt. Denna låga syndiga själ, flarnet som
prästerna kalla henne, detta ingenting, det är just allt. – Förstår
kusin mig nu?»
»Ack jag förstår blott ett enda», sade Ulrika, då ljudet i detsamma
hördes af den i korridoren utanför marscherande runden – »rädda
min far!»
»Eh bien, cousine! Ni måste då höra mig till slut. Nu kommer en
intressant sida af saken, som min vän Laforme säger. – Hvem är det
som bevisar för oss att blomman verkligen har ett lif – att hunden
kan skälla, att vi själfva hafva en själ – något utom oss? Vår religion?
... Certainement non! – Endast vår själ, vår förnimmelse, – alltså,
om vår själ ljuger, om alla våra förnimmeler endast äro inbillning, då
är ju mitt andra antagande riktigt, då är ju allt ingenting.»
»Jag fattar ej edra besynnerligheter! Ni talar om det eviga intet på
samma gång som ni säger er veta medlet, hvarmed min far kan
räddas. Nej, låt det nu vara slut. Vill ni framhålla min fars lif som en
handelsvara, hvilken köpes med min frihet, eller hvad är er mening,
med allt detta dunkla prat? Tror ni att en Ulrika von Buddenbrock
skall ingå på ett dylikt köpslagande.»
»Sacré nom de Dieu, ma cousine, så bör ni tala. – Er hy skall
väcka uppseende på hvilken assemblé som hälst. Hvilken rodnad! ...
Men spara era ögon – gråt ej så mycket. – Ni måste äga er skönhet i
behåll, då ni blir min brud.» –
»Aldrig!»
»I afton kl. 11 skall er far föras till Stadsgården; till dess får ingen
inkomma hit eller lämna huset.»
»Ack min Gud!»
»I detta rum finnes en lönntrappa ner till trädgården. Efter
aftonrunden skall jag infinna mig där. På bakgatan skall finnas
hästar. Samtycker ni?»
Ulrika svarade ingenting; hon stirrade framför sig, som hon varit ut
stånd att fatta sammanhanget.
»Det gifves intet annat medel.»
»Af nåd! Rädda min far!»
 »Ännu en gång, den sista! Ert ja-ord?»
Då Ulrika alltjämt teg, bugade han sig stolt och närmade sig
dörren.
Ulrika hade vändt sig mot fönstret och sett ner på gatan. Plötsligt
spratt hon till. Det syntes som om Meijersdorff väntat denna rörelse.
»Ni tvekar», sade han, i det han på nytt närmade sig henne. »Ah,
se där unge Svenske», utropade han, i det han lutade sig mot
fönsterkarmen. »Det är kusin Liewen han för under armen – man
påstår att det skall blifva ett par.»
Ulrika hade icke på länge hört något om Svenske, som nu gick
förbi utan att kasta en blick uppåt fönsterna medan han skämtade
med fröken Liewen. Kunde det vara möjligt?
»Se hur han ler mot henne», återtog baronen med ett ironiskt
skratt. – »Vackra Stjernnäs ... för en sådan junker, quelle fortune!»
Ulrika svarade ej. Hvarje ord var ett nålstygn. Hade hon väl rätt att
låta en böjelse, hvilken hon ej fann besvarad, hindra sig från att
lämna sig som offer, då det gällde att rädda faderns lif? I ett
ögonblick insåg hon till sin förskräckelse hvart hennes själfviskhet
varit nära att föra henne. Blott en enda tanke upptog nu hennes själ,
hon ville döda sig blott hon kunde rädda sin far.
Meijersdorff såg hennes rörelse, och anade den.
»Om åtta dagar, får jag således kalla denna hand för min?» sade
han i det han böjde sig ner och artigt kysste hennes hand.
Ett knappt hörbart »ja», ljöd från hennes läppar. Därefter föll
handen vanmäktig till sidan och hon sjönk ner på en stol vid fönstret
utan medvetande.
 XXIV.

I nedra våningen af det hus, där general Buddenbrock hade sin

bostad, var ett rum vid stora inkörsporten inredt till vaktrum.
Dörren till det samma vette åt en hvälfd korridor, hvilken, som
nämndt, utmynnade i portgången efter att hafva följt hela baksidan
af huset. Icke mindre än tre poster gingo här åter och fram och på
det myckna trampet i den öfra korridoren kunde man förstå att
antalet poster, som där var utställdt, icke kunde vara mindre.
Sedan hålet i muren upptäckts hade nämligen vaktens styrka
tredubblats. Ingen fick längre utan kommissionens speciella
tillståndsbevis uppgå i öfre våningen. Fåfängt hade därför Svenske
sökt underrätta Henrik om den nya plan han uppgjort till generalens
befrielse. Det var likväl nödvändigt att Henrik i tid vardt underrättad
därom – i annat fall kunde företaget stranda i sista ögonblicket. Alla
förberedelser kunde hafva lyckats, man kunde redan måhända hafva
inträngt i generalens rum, då denne, oförberedd på allt, skulle i det
afgörande ögonblicket kanske vägra att följa sina okände räddare.
I vaktrummet sutto, vid ett stort, klumpigt träbord, några soldater
i hvita peruker med bly vid öronen och blå rockar med citrongula,
öppna fällkragar. De samtalade om striden några dagar förut på
Norrmalmstorg mot dalkarlarne.
»Raggen må ta’ mig, om han icke sprang mot dem med spänd
studsare och sköt minst tio, för jag såg öppningen», sade den af
dem, som satt vid öfra ändan på bordet, i det han stödde
armbågarne mot bordskanten och vårdslöst förde en af
tennmuggarne mot läpparne. –
»Fy, för djäfvuln, sådana snålvargar», afbröt han sig i det han
slängde muggen utefter golfvet. »Bara svagdricka. Inte något
därborta heller?»
»Nej, nådig fältväbel.»
»Hvad kan klockan vara?»
»De tutade nyss åtta från berget.»[10]
»Ännu två timmar till aflösning.»
»Hur var det på torget?» inföll en af de yngre soldaterna, i det
han nyfiket sträckte fram hufvudet öfver bordet.
»Det uttrummades som jag sa’», återtog fältväbeln, »att alla af
dalflocken, efter som de lofvat godt och hållit tunnt, skulle innan
klockan fem lägga ned bössorna och bedja riksens höglofliga
ständer, Kongl. Maj:t samt kronan om pardon och icke till dess gå
utom stadens staket.»
»Och det gjorde de?»
»Jo vackert! Det är konstiga hästar de gröna!»
»Ts! gossar! ... Så samlades dalmasarne på torget och ropade att
de ville sätta af kungen och sätta till en ny efter sin egen lagbok
eller, om de icke fingo det, inte skona lindebarnet i vaggan ... och
därefter skulle de tända eld, skreko de, på hela sta’n ... Men då
vardt annat ljud i skällan, ska ni tro. Då sprang han fram, öfversten
vet jag, och sköt neder många tjog. Elfsborgarne började också till
att fräsa. En del masar sprang nedanför torstensonska huset i
Norrström, andra vräkte sig öfver ledstängerna på bron – men
största delen fångade vi och förde till deras egen arsenalsgård vid
Bjelkes hus på Norr.»
»De sa’ ju också att de skulle ta banken och aflifva alla herremän,
som hade peruker?»
»Ja, sex bödelsyxor hade de med sig, som de skulle nyttja, sade
de, till att hugga hufvudet af på alla generaler, till och med
öfverstarne.»
»Jag såg Belter Windgalen», inföll piparen, »och han var svart i
syna som en ankarstock och vred i ögonen som en hängd ryss. Han
skrek vid bron att han skulle döma generalerna från både lif, ära och
gods.»
»Det går väl hans nåd förutan, sa’ kaptenen miste trumslagarn»,
skrattade fältväbeln, »men så sannt jag heter Reiter», afbröt han
sig, »är det icke något satty på färde igen! – Hvad är det som rör sig
där borta vid dörren ... Någon vill in där borta?»
»Hvad är din ätt och ditt ärende?» frågade han den inträdande,
som ändtligen lyckats få upp dörrklinkan och klifva öfver den höga
tröskeln.

”Tända krut
dra wärjan ut.
Supa slut
förutan prut”,

hördes en hes basröst svara ur skumrasket.

»Å, kors är det du, gamle Lunta», sade Reiter och blef helt fryntlig
till humöret. »Det var icke i brådkastet som jag såg till en sådan karl.
Hvad kan en tocken ha för ärende?»
»Just ingenting», sade Lars småleende, i det hans anlete antog ett
mycket oskyldigt uttryck. »Det var så ruskigt i luften och så tänkte
jag, när jag gick förbi, att jag skulle titta in och se om det var någon
bekanting här som kunde vilja skänka i ett stop öl åt en gammal
krigskamrat.»
»Skänka i? Tror du att vi ligga i Krakau nu i själfva välmågan? –
Nej, trå ta mig, om det finns här så mycket som en droppe öl en
gång; endast litet brännvin för natten.»
»Då får ni nog en lång natt», sade Lars liknöjdt. »Annat slag var
det i gamle kungens tid.»
»Som mycket annat.»
»Tänk då om fattig man själf kunde bjuda på kalas?» sade Lars
plirande med ögonen, i det han satte ett par buteljer på bordet.
»Nej, tack ska du ha, gamle Lunta, men vi få inte smaka sån’t i
vakten.»
»Strunt i sådana knektar! Jag kan trolla er alldeles nyktra i en
handvändning.»
 »Skratta måttligt du, Kalle», varnade fältväbeln i myndig ton
piparen, »finngubbarne veta mycket som inte andra människor veta,
och den som mycket vet, ser du, har mycket vett.»
»Ska’ han trolla?» frågade piparen, som nu började ta saken på
allvar.
»Ja, kom hit bara med kopparkitteln, ska’ du få se på en lustig
komedia», svarade Lars.
»Är han en riktig finngubbe?» frågade piparen, i det han räckte
Lars kitteln.
»Kom hit bussar», sade Lars, utan att låtsa om piparen, hvarefter
han rörde om några hvarf i kitteln. »Här ska ni få känna på en
bönsoppa, som, skam ta mig, är bättre än själfva kungens
pärlevatten.»
Alla berömde den starka drycken. Den brände, tyckte de, alldeles
som eld i halsen och Lars vardt så firad, som om han varit
fanjunkaren på likvidationsdagen.
»En strunt i dryckjom är du emellertid själf, finngubbe», skreko ett
par af de yngre soldaterna, som nyss aflösts från sina postställen
och därför icke hunnit få sitt lystmäte.
»Man tar så mycket man tål, resten är fans skål», svarade Lars.
»Sen likbärare-ämbetet är inrättadt, gör det inte mycket om, man
skulle taga ändå något mer för sig. Man kommer på hederligt sätt till
Johannes i allt fall, utan att kamraterna ha något omak för ens
skull.»
»Skål, finngubbe», afbröt fältväbeln talaren, »alltsen svarte juden
döptes i Jakob, har det icke varit så lustigt.»
»Generalen där uppe har väl så lagom muntert», sade Lars liksom
för sig själf, då det åter vardt tyst.
»Det är snart slut på den leken», sade Reiter med hemlighetsfull
min.
»Hvart ska’ han ta vägen?»
»Till Stadsgården, förstås. Den svarta vagnen skall ut och åka, rätt
hvad det lider.»
»Inte ska’ de väl taga lifvet af honom, innan han är dömd», sade
Lars i tvehågsen ton.
 »Nej, nu hörs då att du är från landet, finngubbe», skreko de
yngre med försmädliga grin. »Han dömdes, vet jag, i dag af de
höglofliga ständerna och i afton klockan elfva skall han föras till
Stadsgården.»
»Vill du hålla tyst din sakramenskade spottfoling», skrek Reiter
upprusande, i det han kastade en mugg efter piparepojken. – »Sade
jag inte, att du skulle hålla tyst med hvad löjtnanten sade.»
»Nå nå, kamrat», sade Lars lugnande, i det han klappade Reiter
på axeln. »Jag är väl ingen opartisk häller – och inte tror ni väl,
bussar, att jag kan hjälpa honom på flykta.»
Lars, som var långt ifrån så säker på sin sak som han låtsade vara,
bytte nu om samtalsämne och berättade den ena historien efter den
andra, innan tillfälle erbjöd sig att göra en ny fråga om den höge
fången.
»Han har nog många ögon som se efter sig, kan jag tro», sade
Lars nyfiket, då Reiter beklagade sig öfver den stränga vaktgöringen.
»Fast nog skulle väl du och jag, gamle Reiter, om det varit i vår
ungdom, kunnat hjälpa honom lös.»
»Åtta man af lifdragonerna rår jag ännu på», sade Reiter, i det han
strök upp sina grå knäfvelbårar. »Men gif akt! Murarna i det här
huset ha öron, ska’ I veta, och det är bäst att hålla tyst med slikt.» –
En timme senare på kvällen smög sig Lars ut på gården, försiktigt
seende sig om, huruvida någon skulle följa efter. Därefter tog han
vägen utefter stenfoten, tills han kom till en hög häck, hvilken aftog
vinkelrätt från hörnet och som med ett smalt dike var skild från den
mur, som gränsade till åldermannen Flåbergs tomt.
Två skiltvakter gingo åter och fram i trädgården, hvilken, som
förut nämndt, upptog större delen af tomtens baksida. Det kräfde
därför stor fintlighet, om man skulle kunna smyga sig fram osedd af
dem långs diket. Men det var tydligt att Lars var inne i sin rol, ty han
afpassade så väl sina rörelser, att han alltjämt befann sig i skuggan.
Nästan midt emellan de båda skiltvakterna sträckte en alm sin
lummiga krona öfver planket. Hit styrde Lars sina steg. När kan
kommit inom hennes skugga, smög han sig försiktigt intill planket.
En sakta knackning hördes.
 »Du kommer sent», hördes Svenskes röst från andra sidan
staketet. »Redan halfgången tio.»
»De ville icke släppa mig förr, ers nåd – men ännu är tid. – Mera
åt sidan, hans nåd, posten kunde eljest höra oss.»
»När skola de hämta honom?»
»Klockan elfva. – Fyra dragoner af lifregementet skola rida framför
vagnen och fyra efter.»
»Hur många man har vakten?»
»Väl sina femtio med alla posterna.»
»Och officern?»
»Hans nåd känner honom inte. – Det är en af Lagercrantz’
västgötar.»
»Och posten vid dörren?»
»Sofver redan som en käring i julottan.»
»Står någon innanför i salen?»
»Nej.»
»Vänta mig i porten – men gif tecknet i tid, om något skulle vara å
färde. Är båten färdig?»
»På vanliga stället, hans nåd vet; vid nya bron.»
Lars lyssnade en stund, om några ytterligare frågor skulle följa,
hvarefter han, då detta icke blef fallet, smög sig försiktigt tillbaka
utefter häcken och inträdde i vaktrummet.
En stund senare rullade en svartmålad vagn med nedfällda
gardiner för fönstren uppför Regeringsgatan. Efter honom följde fyra
ryttare i lifregementets uniform. De få vandrare, som voro ute denna
tid på dygnet, vände sig om och kastade nyfikna blickar efter
honom, då han passerat.
Den svarta vagnen stannade utanför general Buddenbrocks hus,
där ryttarne ställde upp sig, en i hvartdera gathörnet, för att afhålla
de få nyfikna, som kunde vilja samla sig. Knappt var detta skedt,
förrän kusken med ett raskt språng hoppade ned från kuskbocken
och öppnade vagnsdörren.
»Det lyckades bra», hviskade han i örat på den utträdande
officern. – »Måtte de nu blott icke märka något.»
»Ja, låt oss skynda!»
 Porten öppnade sig och den nämnde officern, åtföljd af en soldat,
som haft sin plats på kuskbocken, ingick i huset.
Underrättelsen att vagnen, som skulle afhämta generalen, stod
utanför, hade fallit ned som en bomb inuti vaktstugan, där
soldaterna ännu voro sysselsatta att lyssna till Lars’ historier. Med
afvigvända peruker och utan hattar hade de rusat till sina gevär.
Reiter själf hade i första häpenheten icke funnit reda på sin värja,
hvarför han glömt bort att ordna manskapet, då officern inträdde.
»Hvad vill detta säga?» frågade denne i sträng ton. »Jag ser kort
och tärningar! Äro icke allt spel och dryckenskap förbjudna på vakt?»
»Nådig herr kapten», stammade Reiter.
»Och hvad är detta för en gynnare?» fortfor han, då han i det
samma såg Lars, som smugit sig undan till ett hörn af rummet.
»Ja, det var så ...»
»Tag befälhafvaren i förvar, Flinta», sade han till den soldat som
följde honom, »och följ sedan själf efter. – Håll er nu vackert i
ordning, när jag kommer ner, så att icke generalen får se, hur dåliga
soldater ni äro.»
Med dessa ord lämnade officern rummet och uppsteg för trappan
till öfre våningen.
»Hvilket rum var det?» frågade han Lars i hviskande ton, i det han
villrådig stannade i förstugan.
»Rakt fram, nådig herre.»
»Vänta här utanför.»
Då Svenske, ty officern var ingen annan än han, inkom i
generalens yttersta rum, den för läsaren bekanta matsalen, rådde
där fullt mörker. Ulrika, som lutat sig ut genom fönstret, tydligen för
att efterse hvad vagnen skulle betyda, rusade häftigt upp, då hon
hörde någon inträda.
»Skynda, Ulrika!» sade Svenske ifrigt, då han kände igen henne.
»Du måste genast väcka din far.»
Men hon rörde sig ej ur stället.
»Hör du, älskade! Ingen minut att förlora.»
Ännu dröjde hon, synbart villrådig.
»Hvarför tvekar du? Hör hvad jag säger: Ingen tid är att förlora.»
 »Var det inte du, Carl, som nyss där nere på gatan talade vid
Liewen?»
»Vi ha ej tid att vara svartsjuka på hvarandra! Säg till generalen!»
Ett drag af bitterhet lade sig öfver hennes anlete. Hon visste
uppenbarligen icke hvad hon talade, så förvirrad såg hon ut.
»Hvad är det för buller här ute?» hördes nu generalens stämma
från dörren.
»Kom ut, herr löjtnant», fortsatte han, i det han vände sig om,
»saken tyckes gälla oss båda.»
»Jag har i uppdrag», sade Svenske, då generalen, åtföljd af
vaktofficern, trädde ut i salen, »att föra herr generalen till
Stadsgården. – Här äro mina order.»
»Allt är i ordning, ser jag», sade vaktofficern, efter att hafva
granskat papperen, »herr generalen torde behaga att göra sig i
ordning.»
»Det måtte väl unnas mig att i enrum taga afsked af min familj?»
»Min instruktion förbjuder det», sade Svenske barskt. »Fatta er
fort.»
»Ulrika, säg åt din mor att komma ut», sade generalen i
resignerad ton.
Men Ulrika stod som förstenad. Skulle Svenske hafva bedragit
henne? En stämma i hennes inre hviskade att det ej kunde vara så,
men hans öga blickade så kallt och stelt. Hon förmådde knappt taga
ett steg. –
»Hvad vill du, min vän?» frågade friherrinnan i detsamma från
dörren till nästa rum. Men en blick på de innevarande satte henne
genast in i situationen och besparade henne att göra vidare frågor.
Hvilken oförskämdhet att tränga in till dem vid denna sena timme!
»Man väljer i sanning högst besynnerliga tider för sina
vaktombyten», sade hon med skärpa i rösten.
»Det är sista gången du blir störd, kära», sade generalen, i det
han slöt henne i sin famn. – »Farväl Magdalena ... och du, Ulrika,
gråt icke, kära barn! Hälsa Henrik! Hälsa den käre gossen!»
»Skynda, general», sade Svenske, ur stånd att dölja sin ifver, »vi
komma efter tiden.»
 »Skall det ske i natt?» frågade generalen med en förvånad blick
på officern; »så sade ni ej nyss.»
Nu tycktes Ulrika plötsligt åter få lif:
 »Nej, låt honom stanna!» sade hon och grep Svenskes hand som
hon höll krampaktigt i sin. »Ack, hör mig! – Blott en dag.»
Svenskes oro växte med hvarje ögonblick. Skulle hon utsäga hans
namn, vore allt förloradt, då vaktofficern, hvilken redan tycktes vara
tvehågsen, kunde finna stöd för sina möjliga misstankar.
»Herr general», sade Svenske med fast stämma, i det han artigt
förde Ulrika åt sidan, »jag måste lyda mina order. I fall ni vägrar att
följa mig, måste jag ropa på mitt folk. – Hör hit, bussar», skrek han
ut genom dörren.
Under sådana förhållanden fanns ingenting annat för generalen än
att lyda. Det var en uppskakande scen som följde och Svenske led
inom sig af den dubbla rol, han måste spela.
»Behagar herr generalen följa mig?» sade han slutligen, i det han
tog ett steg mot dörren.
En djup tystnad följde på denna fråga. Det var ett ögonblick fullt
af oro. Månskenet bredde sig, mildt och sällsamt, öfver det stora
rummet, i hvilket de nämnda personerna stodo, med ängslan
lyssnande till de ljud af steg och röster som hördes på gården.
Den på hvilket uppträdet tycktes utöfva sitt största inflytande var
Lars. Allt sedan han inkommit, hade han oupphörligt haft sina blickar
fästa på den stora venetianska spegeln, i hvilken månskenet på ett
fantastiskt, oregelbundet sätt återgaf de närvarandes åtbörder. Man
kunde förstå på hans minspel att det ej stod rätt till med honom.
Huru hans grå ögon än irrade kring rummets väggar och tak,
stannade de alltid till sist vid spegeln.
Plötsligt rusade han med af vrede färgadt anlete fram mot
generalen.
»Ah – nu har jag dig ändtligen», hväste han, och hans grå ögon
flammade till, i det han knöt sin senfulla arm mot generalens anlete.
»Minns du här för tjugu år sedan? Minns du här, när du tvang mig
att vara mästerman? – Men ser du, där borta vinkar min hvita flicka!
Ha, ha! ...» skrattade han, i det han pekade på spegeln – »hon
vinkar dig äfven ... Hör hur hon kommer emot oss. Hör på, du Belials
och Belzebubs förste! ... Men nu skall du icke längre gäckas med
mig.»
Han drog sin långa huggvärja och rusade mot generalen.
 Stum af förvåning stod denne inför anklagelsen. Visserligen hade
han i sin ungdom varit delaktig i blodiga dåd, men om den
anklagelse, som den rusige soldaten nu riktade mot honom, kände
han intet.
Svenske och vaktofficern hade emellertid afväpnat Lars och
Svenske gaf befallning på nytt att man skulle bege sig af, då till
allmän förvåning spegeln ljudlöst vände sig utåt rummet. Den var
tydligen en löndörr, genom hvilken någon höll på att inträda.
Då vaktofficern blef varse denne sistnämnde, släppte han genast
sitt tag i Lars’ rockärm och gaf signal åt vakten att fara var å färde.
Lars åter kände sig icke väl fri, förrän han grep korsgeväret från en
soldat och rusade mot gestalten, hvilken, innan han hann taga ett
steg fram ur öppningen, tumlade tillbaka träffad midt i bröstet af
Lars’ gevär. Stöten var så våldsam, att äfven Lars följde med efter
ner i det mörka hålet.
De närvarande stodo slagna af häpnad och det dröjde en stund,
innan Svenske kom sig för att springa fram till den hemlighetsfulla
öppningen, ur hvilken en fuktig, kall luftström fläktade honom till
mötes.
 XXV.

D et torde vara nödvändigt att, innan vi gå vidare, förklara för

läsaren åtskilligt af hvad som i föregående kapitel berättats. När
Svenske tidigt samma dag på morgonen återkommit till sitt
kvarter, hade han ej fått någon ro. Han hade därför tagit på sig
sjömansdräkten och begifvit sig ut på vandring. Striden med de
oroliga dalkarlarne var nyss slutad på Norrmalmstorg. Här och hvar
påträffade han blodpölar mellan den ojämna stenläggningen.
Sönderbrutna vapen lågo kringspridda öfver hela torget.
I porten till Kastenhof observerade han några adelsmän och
igenkände i den ene af dem Schulenberg.
»Potz donner, skall jag icke föra honom till Stadsgården, utan att
en katt skall komma i vägen», skräflade denne, i det han vred upp
sina svarta knäfvelbårar.
»Men äro åtta man nog, om någon af dessa våghalsar vill befria
honom.»
»Gott bevare! – Jag tager dem mans äfven med – om det skulle
knipa.»
»Godt – jag litar då på er – tiden får ni veta sedan. – Jag skall
skicka en stafett till löjtnant Dentelen, som har vakten, om rätta
tiden.»
»Allt skall vara i ordning till klockan tio.»
Hvad Schulenberg yttrat om Stadsgården, hade genast ådragit sig
Svenskes uppmärksamhet. Han låtsade betrakta ett gevär, som låg i
rännstenen, medan han sökte uppfånga så många ord af samtalet
som möjligt. Men mera än hvad ofvan är anfördt fick han just icke
höra. Det hade emellertid varit tillräckligt. Han visste nämligen att
domen öfver generalen var fälld, fast den ännu hölls hemlig, och
hvad de talade om kunde därför icke gärna afse någon annan än
denne, hvarför han slöt sig till att man samma afton ärnade föra
generalen till Stadsgården. Som en blixt rann idén upp för honom att
han själf skulle åtaga sig Schulenbergs uppgift. Han beslöt därför att
till en början göra sig närmare underrättad om dennes rol. Inne på
gården såg han en stalldräng sysselsatt med att skölja hjulen på en
stor resvagn. Han beslöt pröfva sin lycka på honom.
»En stor vagn» – sade han liknöjdt, i det han betraktade vagnen
från alla sidor och lyfte i bakaxeln.
»Jo, jo men, din sjöbjörn, men så är det också annat don att ta i
än din skuta.»
»Hvem ska’ åka i den?»
»Ja, tänk om du finge veta det!»
»Hör på, kamrat, jag frågade dig hvem som ska’ åka i den här
kaleschen.»
»Ja, inte var det jag som frågade därom?»
»Stå inte och åbäka dig så där för främmande folk», hördes i
detsamma en hvass, kvinnlig stämma inifrån ett af uthusen. – »Du
vet lika väl som du lefver att du ska’ köra generalen till
stupstocken.»
»Hvilken general?» sade Svenske med den enfaldigaste min i
världen.
»Kors, ett sånt kräk! Honom, förstås, som ska’ halshuggas för
förräderi», fortfor rösten.
»Akta sig hon, Bergströmskan, att prata om mer än hon vet»,
sade stalldrängen, i det han satte ämbaret från sig och såg sig
förskräckt omkring – »löjtnanten sitter där inne i källarsalen och
finge han höra hvad hon pjollrade, kom hin att rida henne.»
Nu hade Svenske fått veta så mycket han på det hållet kunde
hoppas få veta. Och hans plan var redan uppgjord. Han visste hvar
Strussenfelt och de öfriga vännerna, höllo sig dolda. Innanför
källarsalen var ett mindre rum, där han senare på aftonen stämt
möte med dem. Schulenberg borde under någon förevändning
narras bort och orderna om generalens förflyttning fråntagas honom.
En vagn skulle under tiden hållas tillreds. Under det att
vederbörande skulle leta efter Schulenberg, skulle generalen redan
vara ett godt stycke utom staden. Ännu visste han dock icke timmen
som var bestämd för afhämtningen, men före klockan tio på aftonen
var det icke troligt att den skulle äga rum efter hvad han nyss hört.
Allt gick efter uträkning. – Schulenberg fick en biljett, skrifven med
fruntimmersstil, hvari han togs till rådgifvare i en politisk intrig och
sattes i utsikt att komma i åtnjutande af sin hessiska pension, om
han efterkom uppmaningen, och han infann sig också punktligt på
mötesplatsen.
Här väntade honom en svartklädd, tätbeslöjad dam i en hög
phaëton, som tecknade åt honom med handen att taga plats bredvid
sig. Han tvekade ett ögonblick, men litet glad efter den mängd
Rotenbleicher han druckit till middagen, tog nyfikenheten och
lättsinnet ut sin rätt. Att fara ett stycke utom tullen i detta mystiska
sällskap innebar en viss retelse och på den ljusa
sommareftermiddagen kunde ju intet ondt hända honom.
Vagnen körde först några famnar utåt den smala gatan, men
därefter vände den tvärt af inåt en gränd. Schulenberg märkte det
ej, sysselsatt som han var att genom slöjan söka uppfatta sin tysta
grannes anletsdrag, förrän vagnen redan var inne i ett mörkt
porthvalf. Hvad som sedan följde kunde han aldrig riktigt få klart för
sig. Han mindes blott att han plötsligt kände sig fasthållen af ett par
starka armar, att en rullad tygbit stacks i munnen på honom samt att
han, innan han hunnit hämta sig ur sin förvåning, fann sig bunden
till händer och fötter, hvarefter han inbars i ett rum på sidan af
portgången.
Här undersöktes hans fickor af den beslöjade damen. Oaktadt sitt
raseri kunde han inte låta bli att skratta i mjugg vid tanken på den
snopna min, hon skulle göra, när hon skulle finna hans börs tom.
Men hans förvåning vardt i stället så mycket större, då hon, utan att
fästa sig vid de få skramlande plåtar som densamma innehöll, lade
den åter på sin plats och i stället framtog det hopvikna papper som
han bar innanför rocken och som var ordern om generalens
bortförande. Nu förstod han hvarom saken handlade och svor inom
sig en ed öfver sin dumhet att låta locka sig som en riktig
dummerjöns i fällan.
»Ni får icke släppa honom ut», sade den förmenta damen med
djup basröst, i det hon skrattande lämnade brefvet åt kusken.
»Nej, ers högvälborenhet! – inte på åtta dagar», sade denne, i det
han bugande lämnade henne plats i dörren.
Schulenberg hörde huru dörren låstes igen med dubbla slag. Det
var öfverdrifven försiktighet, tänkte han, ty så fast bunden, som han
var, kunde han i allt fall icke röra sig af stället, äfven om dörren stått
på vid gafvel.
Det djärfva vågstycket hade sålunda till en del lyckats. Ingen
människa hade funnits i gränden, som kunnat draga misstankar af
det buller, som gjordes då Schulenberg infördes i huset. De fångna
dalkarlarne utgjorde nämligen ett alltför starkt dragningsmedel för
de nyfikna, för att de sysslolöst skulle drifva omkring på gatorna i
det inre af staden.
Hvad som sedan hände är i få ord omtaladt.
När Svenske – ty det var han som utfört damens rol – kom tillbaka
ut i gränden, lät han slå upp phaëtonen, så att den liknade en
täckvagn, hvarefter fönstergardinerna fälldes ner. Inom en
handvändning var på samma gång den svartklädda damen förbytt till
en ung officer i lifregementets uniform. Kusken satte sig åter upp på
kuskbocken. Åtta ryttare, som väntat i en gränd bredvid, redo fram,
hvarefter vagnen satte sig i rörelse nedåt Regeringsgatan.
Ännu återstodo likväl de farligaste ögonblicken. Att vagnen icke
var den vanliga gjorde mindre, sedan Lars dragit försorg om att
vaktfolket icke var alltför noga i sina granskningar. Men officern
skulle möjligen draga några misstankar däraf att befälhafvaren för
eskorten icke var Schulenberg, utan en främmande officer som han
icke kände. Så blef emellertid icke händelsen. Posterna gjorde i
vederbörlig ordning honnör och så snart vaktofficern fick se orderna,
gjorde han, såsom redan är omtaladt, icke den ringaste svårighet att
utlämna sin fånge. Hade icke Lars kommit emellan, skulle troligtvis
den djärfva planen allt igenom lyckats.
 När Lars försvann genom öppningen till löngången, hade Svenske,
såsom nämndes i förra kapitlet, sprungit efter honom. Men han
hejdade sig. Han hörde hur soldaterna stötte korsgevären i
stenläggningen, under det de ordnade sig utanför i korridoren.
Spelet var förloradt. Skulle han skynda efter Lars för att själf på
detta sätt undkomma? Men detta hade varit detsamma som att
lämna sina vänner i sticket. Han skyndade till fönstret. Vagnen var
borta och han såg en stark kedja af soldater utställd kring kvarteret.
Hans oro undgick icke generalens uppmärksamhet, men han
förstod ingenting af hvad som passerade. För öfrigt var han fullt
upptagen af att trösta sin dotter, som slagit sina armar kring hans
hals och smekte, under krampaktig gråt, hans grå hufvud.
Den enda som bibehöll fattningen var friherrinnan.
»Hur länge skall detta gyckelspel vara?» frågade hon slutligen, ur
stånd att längre kunna behärska sin vrede. – »Ni ser att min dotter
ligger vanmäktig. Vill ni mörda oss, så gör det fort – men vanhedra
oss icke längre med er närvaro.»
»Hör mig med lugn!» sade Svenske, i det han vinkade åt sin
kamrat att regla dörren. »Gud skall veta att ingen velat mindre
vanhedra er än jag. – Jag kunde hafva räddat generalen, om han
velat följa mig genast, men nu är det tyvärr för sent.»
Några kraftiga kolfslag på dörren till korridoren förtogo i
detsamma ljudet af hans stämma.
»De äro utanför, skall jag öppna?» frågade hans kamrat, den
hederlige Strussenfelt, generalens forna adjutant.
»Nej, låt dem själfva försöka. – Se här, herr general, tag denna
värja. Vi kunna slå oss igenom.»
Men Buddenbrock lät handen vanmäktigt falla till sidan.
»Rädda er själf, unge man», sade han i liknöjd ton, »och lämna
mig åt mitt öde.»
Dörren syntes nu färdig att gifva vika för de upprepade kolfslagen,
medan nere på gatan folkhopen ökade sig för hvarje ögonblick.
»Ack ja, kusin! Fly!» ropade Ulrika, som nu förstod hela
sammanhanget och som denna tanke tycktes återgifva fattningen, i
det hon grep Svenskes hand och sökte föra honom åt sidan. – »För
min skull!»
 »Skynda, herre», hördes i detsamma en hes, rosslande stämma
från löntrappan – »vägen är fri.» Han kände igen Lars’ röst.
Hvad tjänade det till att längre strida för ett mål, som var
förloradt. Han grep Strussenfelt i armen och tecknade åt honom att
följa sig, hvarefter de skyndade sin väg, följda af de öfriga vännerna.
När de nerkommit för den branta trappan, som ledde ner till
källarvåningen och mynnade ut i en mörk gränd på baksidan af
huset, kunde Svenske af braket, som han hörde uppifrån, förstå att
dörren till salen gaf vika för de påträngande soldaterna.
Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade

Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.

Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and

personal growth!

ebooknice.com