d i δ

i= , d= , d=iv , d=1−v ,id =i−v ,1+i=e

1−d 1+i
a ¿¿
s¿ ¿
s¿ ¿
ä ¿¿
s̈¿ ¿
ä ¿¿
a ¿¿
s¿ ¿

( Ia )¿ ¿
( Is )¿¿
( Da )¿¿
( Ds )¿¿
( Ia )¿ ¿
( I ä )¿¿
( I s̈ )¿ ¿
( D ä )¿ ¿
( D s̈ )¿¿
Payment varying in Geometric progression:

( )
n
1+k
1−
2 3 2 n n−1 1+ i
v+ v (1+ k ) +v ( 1+k ) +…+ v ( 1+ i ) =
i−k
t
n
−∫ δ t dr
Continuous Varying Annuities: PV =∫ f (t ) e 0
dt
0

( I a )¿¿
( I s )¿¿
( D a )¿ ¿
Continuously Payable Varying Annuities

I (a)¿¿
I (s )¿¿
D(a)¿ ¿
D(s)¿¿
Deferred Annuities

a ¿¿
s¿ ¿

q =F ( x ) =P( X ≤ x)
x 0

Πιθ. Νεογνό να αποβιώσει μεταξύ [a,b]: P ( a< X ≤ b )=bq 0−aq 0

F ( x +t )−F( x)
Πιθ. άτομο (x) να πεθάνει σε t έτη: P ( x< X ≤ x +t| X > x )=
1−F ( x )
s (x +t)
Πιθ. άτομο (x) να επιβιώσει t έτη: P ( X > x +t| X > x )=
s(x )

s ( x ) η πιθ. νεογνο να επιβιώσει ως την ηλικία x . x p0 =s ( x ) =P ( X > x )

d −d
f ( x )= F ( x) = s (x )
dx dx
f (x ) −s' ( x ) −d
Force of mortality: μ ( x )= = = [lns ( x ) ]
s (x ) s ( x ) dx

Constant Force: x exp ( μ )=¿ Τ ( x ) exp ( μ )=¿ μ ( x )=μ

 x
Αθροιστική Συνάρτηση Έντασης Θνησιμότητας: Λ ( x )=∫ μ ( s ) ds
0

∞ ∞
Πλήρη Αναμενόμενη Ζωή: e 0=E ( x )=∫ xf ( x ) dx=∫ s (x )dx
0

0 0

∞ ∞
E ( x )=∫ x f ( x ) dx =2∫ xs (x )dx
2 2

0 0

1
Διάμεσος: P ( X ≤ m ) =P ( X ≥ m )=
2

s (x +t)
p x =ST ( x ) ( t )=P ( X > x +t )=P ( T ( x ) >t )=
t s(x )

s ( x+ t ) F ( x+ t ) −F(x )
t q x =P ( T ( x ) ≤ t )=1− =
s(x) 1−F (x )

Uniform/De Moivre ¿> x U [a , b]

x−a 1 b−x 1
F ( x )= , f ( x )= , s ( x )= , μ ( x )=
b−a b−a b−a b−x
Αν x U [0 ,ω ]

x 1 ω−x 1 0 ω
F ( x )= , f ( x )= , s ( x )= , μ ( x) = ,e 0=
ω ω ω ω−x 2
Αν x U [0 ,ω ] τότε T ( x )= X−x U [0 , ω−x ]

t ω−x−t 1 1
F T ( x ) ( t )= , s ( t )= =t p x , f T (x ) ( t )= , μ (t)=
ω−x T (x ) ω−x ω−x T ( x ) ω−x−t

Constant Force Model/Exponential Model x exp ( μ ) και λόγω έλλειψης μνήμης T (x) exp ( μ )

−μx − μx −μx 0 1 1
s ( x )=x p0 =e , F ( x )= x q 0=1−e , f ( x )=μ e , μ ( x )=μ , e 0= , Var ( x )= 2 ,
μ μ
−tμ
t p x =e

Gompertz Model: μ ( x )=ΒC x , B> 0 ,C >1 , x ≥ 0

 x t
B x −B C (C −1 ) B x
(1−C ) (1−C )
s ( x )=e lnC
, s ( x+ t )= t p x =e lnC
, f ( x )=B C x e lnC

Makeham Model: μ ( x )= A+ Β C x , B>0 , A ≥−B ,C >1 , x ≥ 0

x
B BC
− Ax− (C x −1) −At − (C t −1)
s ( x )=e lnC
, s ( x +t )=t p x =e lnC

Κίνδυνος Ατυχήματος = Α

Κίνδυνος Γήρατος = ΒC x

Weibull Model: μ ( x )=k x n

n +1 n
−k x x +1
−k
n
s ( x )=e n+1
, f ( x )=k x e n+ 1

m +n p x =m p x + n p x +m n p x =p x p x+ 1 p x+2 … p x+n−1 t ∨u q x =t +uq x −t q x =t p x −t +u p x

f ( x +t)
t ∨u q x =t p x uq x+t f T ( x) ( t ) =
s (x )

Σελ 193