Endless Ebook, One Click Away – Start Downloading at ebookname.

com

The Story of Mathematics Anne Rooney

https://ebookname.com/product/the-story-of-mathematics-anne-
rooney/

OR CLICK HERE

DOWLOAD EBOOK

Browse and Get More Ebook Downloads Instantly at https://ebookname.com

Click here to visit ebookname.com and download ebook now
Instant digital products (PDF, ePub, MOBI) available
Download now and explore formats that suit you...

Rooney A Sporting Life First Edition Rob Ruck

https://ebookname.com/product/rooney-a-sporting-life-first-
edition-rob-ruck/

e The Story of a Number The Story of a Number Eli Maor

https://ebookname.com/product/e-the-story-of-a-number-the-story-
of-a-number-eli-maor/

The Thiri Rama Finding Ramayana in Myanmar 1st Edition

Dawn F. Rooney (Editor)

https://ebookname.com/product/the-thiri-rama-finding-ramayana-in-
myanmar-1st-edition-dawn-f-rooney-editor/

The Lennon Companion Elizabeth Thomson

https://ebookname.com/product/the-lennon-companion-elizabeth-
thomson/
Wiley not for profit GAAP 2013 interpretation and
application of generally accepted accounting principles
for not for profit organizations 11th Edition Larkin

https://ebookname.com/product/wiley-not-for-profit-
gaap-2013-interpretation-and-application-of-generally-accepted-
accounting-principles-for-not-for-profit-organizations-11th-
edition-larkin/

Canon EOS Digital Rebel XTi 400D For Dummies 1st

Edition King

https://ebookname.com/product/canon-eos-digital-rebel-
xti-400d-for-dummies-1st-edition-king/

Imperial Politics and Symbolics in Ancient Japan The

Tenmu Dynasty 650 800 1 Edition Herman Ooms

https://ebookname.com/product/imperial-politics-and-symbolics-in-
ancient-japan-the-tenmu-dynasty-650-800-1-edition-herman-ooms/

Bio MEMS Technologies and Applications 1st Edition

Wanjun Wang

https://ebookname.com/product/bio-mems-technologies-and-
applications-1st-edition-wanjun-wang/

Living Beings Perspectives on Interspecies Engagements

Penny Dransart

https://ebookname.com/product/living-beings-perspectives-on-
interspecies-engagements-penny-dransart/
Introduction to research methods in psychology 2nd
Edition Dennis Howitt

https://ebookname.com/product/introduction-to-research-methods-
in-psychology-2nd-edition-dennis-howitt-2/
 STORY OF
EMATICS
 .......... STORY OF
EMATICS
From creating the pyramids to exploring infinity

Anne Rooney

fIl
ARCTURUS
Aclmowledgements
Wim thllnk, rv th= of my Flluhook f.und!;rho hllre htlped in
i'llriOU! "".ry<, parriro/Ilriy .\fi,hlltl A ,ui {ZiJIlO Jilltd (lIllrrllrd
FaCIIlrylCllmbridj(e FIlCIIlry/BMron lItA), Gordon Joly (London),
John Nllllj(hrvll (Camhridge Aillm '68, The Open Univ/'rriry
FIl,ulry),Jlldi SchofteM (London/GlIllrdilln Nru'!llnd .Iledill) Ilnd
Bill Tb01f'P50n (LonJonlCllmhridge Fllro/rylCiry UK Fllmlfy).

ftl'*
ARCTURUS

Arcturus Publishin g Limited

26/ 27 Bickels Yard
151-153 Bermondsey Su'eet
London SE 1 3HA

Published in association with

foulsham
w, Foulsham & Co , Ltd,
Th e Publi shing House, Benne tL.. Close, Cippen ham ,
Slough, Berkshire SLl 5AP, England

ISBN: 9i8-0-5i2-O:l41:1-9

This edition primed in 2008

Cop)Tight © 2008 Ar(!urus Puhlishing limited /Anne Rooney
(http://l-mw.annerooney.(o,uk)

All right~ rese rved

Covcr design and al't dirc(tion: Heatriz Waller

Design: Zoe Mellors

The Copyright A(! prohibits (sul~e( t to «:rtain \'Cry limited

excc ptions) the making of (opies of any ropyriglll \\'ork o r of a
su bstantial part ofsu(h a \\'ork, induding tllC making of (opies by
photo(opying or similar pro«:ss. Written pe rmission to make a (OpY
or (opics must therefore normaU)' be obtained from the publishe r in
fl(km(e, It is advisable also to (ons.uh the publishe r if in any doubt
as to the le~rality of any (opying which is to be ullt!t;rtaken.

British Library Cataloguing-in-Publi<:ation Data: a (ataloguc

re(ord for tllis book is available from tlH~ British LiIH'fII')'

I'rimed in China
 Contents
Introduction: The Magic of Numbers 6

Chapter 1 Starting with numbers 8

" ' here do numbers come from? • Numbers and bases • More numbers, big and small

Chapter 2 Numbers putto work 34

Putting two and twO tO~,'ether • Special numbers and sequences · Unspeakable numheN

Chapter 3 The shape ofthings 60

The measure of everything • Early breometry • Trigonometry

Chapter 4 In the round 92

Curves, circles and conics • Solid geometry • Seeing the world · Other worlds

Chapter 5 The magic formula 120

Algebra in the ancient world · The birth of albrebra • \Vriting equations
• Algebra comes into its own • The world is 1l(.'Vcr enough

Chapter 6 Grasping the infinite 144

Coming to terms with infinity . The emeq,rence of calculus • Calculus and beyond

Chapter 7 Numbers at work and play 166

Cheer up, it may never happen · Samples and statistics · Statistical mathematics

Chapter 8 The death of numbers 186

Set theory • Getting fuzzy

Cha pter 9 Provi ng it 194

Problems and proofs • Being logical • Mat were we talking about?

Glossary 204

Index 206
 I NTR O D UCTIO N

THE MAGIC OF NUMBERS

Think of 111111111herfrom 1 to 9. everything from th e hehaviour of sub-

Multiply it by 9. atomic particles to the expansion of the
If y ou have a two-digit 1lI1111ber, add the universe i~ Lased on mathematics.
digits together.
Take away 5. MATHS FROM THE START
Multiply the 111tl1lber by itself The earliest records of mathematical
activity - beyond counting - date from
The allswt!r is 16. How do es it- work ? 2,000 years ago. They come from the ferti le
It all depelUls 011 a crucial bit of 1l11mher ddtas of the Nile (Egypt) amI the pbins
'IIIagic: adding tog ether the digits of between the nVQ river:;:, the Tigris ~nd
1111tltiples of 9 always gives 9: Euphrates (Mesopotamia, now lraq). \Ve
9: 0+9=9 know little of the individual m:lthematicians
18: 1+8=9 of these l"arly l"Ulrures.
27: 2 + 7 = 9 a.lld so 011. Around 400sc the Ancient Greeks
developed an interest in mathematics. They
Th erellfter, it's all pltlin stliling: went heyond their predecessors in that they
9- 5 = 4,4 X 4=16. were interested in finding I"Ules that could
he applied to any problem of a similar type.
ThL')' worked on concepts in mathematics
here is plenty more magic in which und~rlie all th:!.t has come since.

T numbers. Long ago, some of Some of the greatest mathcmaticI:!.IlS of :!.Il

the earliest human ci~i l izations time lived in Greece and the Hell enic
discovered the strange and fascinating centre of Alexandria in Egypt.
quality of some numbers and wo\'t~ them A~ the Greek civi lization came ro an end,
into their superstitions and religions. mathematics in the \Vcst entered a dead
Numbers have entr:mced people ever since. zone. Several hundred years btcr, lslamic
and still hold the pOwer to unlock the scholars in th(· Nliddle East picked up the
universe for us, by providing a key to thr hOlton. Baghdad, built around 750, became a
secrets of science. Our understanding of dazzling intellectual centre where Arab

6
 I NT ftOD UcnON

Europe was struck by th e cataclysm of th e

Black Death (1347-50). Between a quarter
and a half of the populat ion died in many
European countrics. l t was the 16th cenOiry
before much new progress was made, bur
then there was a flurry of intellectual
acrh~ry, in mathematic~ as in science, art,
philosophy and music. The invention in
Europe of the printing prcss accelerated the
spread of new learning. European
Toledo ill Spaill htYonn rhe jfareilwy rbroujfh which mathematicians and scientistS began to
"Iff
Arah leamiT/jf fIIte11'd Europe ill rh,' J Irh cmmr)'- shape modern mathematics and to find
myriad applications for it.
i\-luslim scholars pulled tOgether the legacy \Vhile this has been the path of
of both Greek and Indian mathematicians development of present-day mathematics,
and forged something new and dynamic. many cultures have developed in parallel,
Their progress was b'l"eatly aided by their often making identical or comparable
adoption of the Hindu-Arabic number discoveries but nOt feeding into the main
system which we now use, and given .~tory centred on North Africa, the Middl e
impetus by their interests in astronomy and East and Europe. China kept itSelf separate
optics, as well as the requirementS of the from the rest of the world for thousands of
Islamic calendar and thl! need to find the years, and Chin(;!Se mathematics flouri shl!d
din'eoon of A-tecca. Howl-'Ver, the demands independently. Th e meso-American societies
of Islam wh ich were once a spur to in South America developed their own
dl!velopment eventually stifled further mathematical :.-yStems tOO, but they were
growth. Jv[uslim theol o~,'y ruled against wiped out by European invaders and
intellectual activity that was considered colonists who arrived in the 16th century.
spiritually dangerous - in that it might Early Ll(lian mathematics did feed into th e
uncover truths that should stay hidden, or Arab tl-adition from arowld the 9th centul1',
challenge the central mysteries of religion. and in recent years India has bt'comc a rich
Luckily, the Arab presence in Spain source of world-class mathematicians.
!lude the transfer of mathematical At the very end of our story, a single
knowlt'dgc to Europt' quite straightforward. number l>ystcm and mathematical ethos
From the late 11 th ct'nrury, Arab and Greek has sprL'ad around t he globL', and
texIS were translated into Latin and spread mathematicians from all culmrcs including
rapidly around Europe . Japan, [ndia, Russia and the US work
There was little new development in alongside those of Europe and thL' Middle
mathematics in Europe during the M:iddle East towards similar goals. Though
Ages. At the point where a few people were mathematics is now a global enterprise, it
equipped to carry mathematics forward, has only recently become so.

7
CHAPTER 1

STARTING
with numbers

Before we could have mathematics, we needed

numbers. Philosophers have argued for years
about the status of numbers, about whether
they have any real existence outside human
culture, just as they argue about whether
mathematics is invented or discovered. For
example, is there a sense in which the area
of a rectangle 'is' the multiple of two sides,
which is true independent of the activity of
mathematicians? Or is the whole a construct,
useful in making sense of the world as we
experience it, but not ' true' in any wider sense?
The German mathematician Leopold
Kronecker (1823-91) made many enemies when
he wrote, 'God made the integers; all else is
the work of man.' \Vhichever op.inion we incline
towards individually, it is with the positive
integers - the whole numbers above zero - that
humankind's mathematical journey began.

III tb~ b~gillllillg .. CIW~II/m C01i1d pllillt, bllt colild tbey COli lit?
~ ....n", wn" ""M""

CAN AN IMALS COUNT?

Could the mammoths count thei r
attackers? Some animals can apparently
count small numbers. Pigeons, magpies,
rats and monkeys have all been shown to
be able to count small quantities and
distinguish approximately between larger
quantities. Many animals can recognize if
one of their young is missin ~ too.

FOUR M AM MOTH S OR
M O RE MA MMOTHS?
Imagine an early human looking at a herd of
potcntiallullch - buffalo, perhaps, or woolly
mammoths. There arc a lot; the hunter has
no number system and can't count them. He
or she has a sense of whether it is a laq,rc
IV/" ngll"lte fill a~cts of0111' lift by III/mbns. bllt (bat herd or a small herd, recognizt!S that a
bas I/Of ak,ays hem rbe crISe. Tbe w;'lIIfe halld <1}flS
added ro clixJ:s ill 1-1-7'), tbe Sl'Colld halld arOlllld 1560.

Where do numbers
come from?
Numbers are so much a part of our
everyday lives that we take them for
granted. They're probably the first thing
you see in the mor ning as you glance at the
clock, and we all face a barrage of numbcrs
throughout the day. But there was a rime
before number systems and counting. The
discovery - or invention - of numbers was
one of the crucial stcps in the cultural and
civil development of humankind. It enahled
ownership, trade, science and art, as well as
the dL'vclopmellt of social Structures and
hierarchies - and, of course, brames, puzzles, Mlllly agaillst ollr is ilion likdy ro mSiIIl' a safr
sports, gambling, insurance and even OlltrOlllf alld a mM! for blllltrrs t''lllippt'd ollly
birthday parries! with prilllitive WMpollS.

10
 W HER£ 00 NUMB ERS COME FROM?

HOW TO COUNT SHEEP WITHOUT

COUNTING
As each sheep leaves the pen, make a notch
on a bone or put a pebble in a pile.
When it's sheep bedtime, cherk a notch or
a pebble for each sheep that comes in.
• If there are pebbles or notches
unaccounted for, go and look for the
lost sheep.
• If a sheep dies, lose a pebble or scratch
out a notch.
• If a sheep gives birth, add a pebble or
a notch.

single mammoth makes easier prey, and It isn't nec~sary to count to know
knows that if there arc morc hunters the whether ~ set of objects is complete.
task of hunting is hath easier and safer. \Ve c~n glance at a tahle with 100 places
There is a clear difference between one and set and see instantly whether there ~re
'more-than-one', and between many and any places without diners. One-to-one
few. But this is not counting. correspondence I S learned early by
At some point, it becom~ useful to children, who play games matching pegs to
quantify thc extra mammoths in some way - holes, toy Dears to beds, and so on, and was
or the extra people needed to hunt them. learned earlr br humankind. This is the
Precise numbers are still not absolutely basis of set tht..'Ory - th~t one group of
essential, unless the hunters want to objects can be compared with anothcr. We
compare their prowess. can deal simply with sets like this without a
concept of number. So the early farmer can
TAllY-HO! move pebbles from o ne pile to another
Moving on, and the mammoth hwlters without counting them.
settle to herdin g their own animals. As soon The Ilecd to record numbers of objects
as people star ted to keep animals, they led to thc first mark-m~king, the precursor
needed a way to keep track of them, to of writing. A wolf hone found in the
cht..'Ck whether all the sheep/goatslyaks/pigs Czech Repub lic carved with notches
were safely in the pen. The easiest way to do more than 30,000 years ago apparently
this is to match each animal to a mark or a rcprt..'Senrs a tally and is the oldest known
stone, using a tal/y. mathematical object.

11
 STARTIN G WITH NUMBlRS

FROM TWO TO
TWO·NESS ONE, TWO, A LOT
A tally stick (or pile of A tribe in Brazil, the Piraha, have words for only 'one', 'two'
pebbles) that h as been and 'many'. Scientists have found that not having words
developed for counting for numbers limits the tribe's concept of numbers. In an
sheep can bi.' pur to other experiment, they discovered that the Pirah;i could copy
uscs. If there arc thirty patterns of one, two or three objects, but made mistakes
sheep-rokens, they can also when asked to deal with four or more objects. Some
be used for tallying thirty philosophers consider it the strongest evidence yet fo r
gOatS or thirty fish or linguistic determinism - the theory that understanding is
thirty days. It's likely that ring.fenced by language and that, in some areas at least,
tallies were used early on to we can't think about things we don't have words for.
count time - moons or days
until the birth of a baby, for
example, or from planting to cropping. The concrete objects counted heralds a concept
realization that 'thirty' is a transferable idea of numher. Besides seeing: that four apples
and has some kind of independence of the can be shared out as two apples for each
of two people, pL'ople discovered that
four of anything can always be divided
into two b'TOUPS of two and, indeed, four
'is' twO twos.
Ar this point, counting became mort:
than mllying: and numbers nl.:!eded names.

BODY COUNTING
Many cultures developed methods of
counting: by using parts of the body. They
indicated different numbers by pointing at
body parts or distances on the body
following an established sequence .
Eventually, th!;' names of the body p:lrts
probably came to stand for the numbers and
'from nose to big toe' would mean (say) 34.
The body part could be used to d!;'note 34
sheep, or 34 trees, or 34 of allY thing else.

TOWARDS A NUMBER SYSTEM

How nllllly hln~ 71'e gotl A Porrugllese villryrmi Makin g a single mark for a .single counted
work" lIotcbes II Ulllystick ro "ecord Mcb bnrkt1 of object on a stick, slate or cave wall is all very
grllpn rhllr passer by. well for a small number of objects, but it

12
 WHER£ DO NUMBERS {OM£ FROM?

quickly becomes unmanagl.!able. BeJore In l\Jlesopotamia (current-day [raq), a

humankind ("(mid use numbers in any more simibr system existed from at least 3000Be.
complex way than simply tallying or A still-familiar simple grouping syStem
counting, we needed methods of recording is Roman numerals. Numbers 1 to 4 are
them that were easier to apprehend at a represented by vertica l str okes :
glance than a row of strokes or dotS. \Vhile
we tan only surmise from observing non- I, II, III, 1111
industrialized people as to how verba l
counting systems may have developed, The Romans gave up at Ill, switching
there is physical evidence in the form of to a symbol for five, V. Later, they
artefactS and records for tht:' development of sometimes used rv for illl. [n this case the
written number ~yswms. position of tbe vertit':!l stroke determines its
The earliest number systems were meaning - five minus one. In the same way,
related to tallies in that they began with a lX is used for nine (ten minus one).
series of marks corresponding one-tn-one Different symbols are used to denote
to counted objects, so 'lIT' or ' .. .' might multiples of five and ten:
represent 3. By HOOne, the Ancient
V 5 L 50 D 500
Egyptians had developed a system of
X", 10 C:: 100 M '" 1,000
symbols (or hieroglyphs) for powers of ten,
so that they used a stroke for each unit
and a symhol for 10, then a different symbol Numbers are llUilt up hy grouping unilS,
for 100, another for 1,000 and so on up to tens and so on. So 2008 is represented by
1,000,000. \Vithin t':!ch group, the symbol MMVlll. The characters for 5, 50 and 500
was repeated up to nine times, grouped in can't be lL~ed more than once in a number,
a consistent pattern to make the number since VV is represented by X, anrl so on.
easy to recognize. Some numbers are quite laborious
to write. For example. 38
is written XXA'VU]. The

~:~
system doesn't allow

1111' I!! '

subtraction from :Inything
I, II, III, II· 1111, III' 1111111, except the next symbol in the
numeric:!] sequence, so 4Y

I u ,. ~
can't be written IL (50 minus
I); it has to be written XLLX
(50 minus 10; \0 minus 1).
The next Step is a system
1,000 10,00() 100,000 1,000,000
which instead of repeating
the :.ymbols for a number
Em'~Y Egl'ptiml hhroglypbs repn!Si'lIIt d IlIIlIIbl'rs I~illg POW"" of tw, (A..,"\.,"'( for 30, for instance)
(lml cOllid sb{J'J) JIIlmben lip to 9.999,999. uses a ~ymbo l for each of the

"
'{.sl ",n,", W'ffi "'M" "

digits 1 to 9, and thell this is used with the shown by three digits. Roman llullu;,rals, on
symbols for 10, 100 and so un to show how the other hand, need between ant' :lIld four
many lOs, IOOs and 1,000s arc intended. digits for the numbers 1 to 10 and hetwc(;!11
Th e current Chinese system \rnrks on this one and eight digits for numbers up to 100.
principle . So:
CIPHERED SYSTEMS
11]-r- 4 x 10",40 The hicroglnJhic ..,ystem described above
(see page 13) was only one ofrh ree systems
but;-G: 10+4",14 uscd in Ancient Egypt. There were twO
cip hered systems, demotic and hi erati c. A
andlZll-rlZ!l 4 X 10+4 = 44 ciphered system nOt on ly has different
symho ls for the numerals I to 9, but
This is kn()wn as a multiplicative grouping distinct symbols for each of the. multiples of
system. The number of characters needed 10, 100 anti 1,000. H.ieratic is th e old est
to represent numbers is more regular with known ciphered system . It could e..'\: pre.~s
this typl! of ~ys [em. Numbers 1 to 10 are numhers in a very eompact form, hut ro use
shown by one digit; numbers 11 to 20 are it people mU St learn a large number of
shown by twO digit~; thereaher, multiples of different symbols. This may have served a
10 up to 90 :lrc shown by two digits (:20, 30 soeia J purpose, keeping numbers 'specia l'
ctc.) :md the orn er numbers up to 99 are and so endowing those wl1l) knew them

HOW OLD 15 THE COW AND HAVE YOU BEEN PAID?

In Babylon (from southern Iraq to the Persi an Gulf) two systems of writing numbers were
used. One, cuneiform, consists of wedge.shaped marks made by a stylus in damp clay
which was then baked. A different system, curvilinear, was made using the other end of
the stylus, which was round. The two scripts were used to represent numbers for different
purposes. Cuneiform was used to show the number of the year, the age of an animal and
wages dUE. Curvilinear was used to show wages that had already been paid.

(SO . 1) (60) 40 · 2 ~

(60)] .. 11 (60)'+ 47(60)+111 _ 2S11.~

 Another Random Document on
Scribd Without Any Related Topics
werden, dass A P . C P = λ ist d. h. also die Theorie der
BP . DP
Involution, welche er wie wir mittelst der Theorie des Kreisbüschels
und der Zentrale des Büschels gelöst hat; und er hat sie benutzt um
den Schnitt einer Geraden mit einem durch 5 Punkte gegebenen
Kegelschnitt zu bestimmen. Die Halley'schen und die Simson'sche
Bearbeitungen sind frei wiedergegeben von A d . D i e s t e r w e g,
ganz besonders lesenswert ist das Programm des um die
Elementarmathematik hochverdienten v . L ü h m a n n, weiland
Subrektor zu Königsberg in der Neumark, von 1882: die Sectio
rationis, sectio spatii und sectio determinata des Apollonios.
Es geht aus diesen Schriften hervor, Taktionsproblem.
dass Apollonios die Erzeugung der
Kegelschnitte als Enveloppe der Verbindungsgeraden zweier
projektiven Punktreihen kannte, die sich erst wieder findet in
N e w t o n s principien lib. I L. 25. Die Brennpunktseigenschaften und
die Konstruktionen bei gegebenem Brennpunkt haben dann, wie
Zeuthen hervorhebt, Apollonios auf die Beschäftigung mit dem nach
ihm genannten Taktionsproblem geführt. Ist doch schon die
Aufgabe, den Schnitt einer Geraden mit einer durch Leitlinie und
Brennpunkt gegebenen Parabel zu bestimmen identisch mit der
Aufgabe, einen Kreis zu konstruieren, der durch zwei gegebene
Punkte geht und eine gegebene Gerade berührt, also zwei 0-Kreise
und einen unendlich grossen. Nach P a p p o s, Hultsch S. 848 hat
Apollonios die Lösung auf den Spezialfall des C a s t i l l o n ' s c h e n
Problemes zurückgeführt, in dem alle 3 gegebenen Punkte auf
derselben Graden liegen. Die Geschichte des Taktionsproblems siehe
S i m o n, Entwicklung der Elem. Geom. Das Problem selbst gehört
heute zur eisernen Ration der Gymnasiasten, mit den Lösungen aus
F r. V i e t a s Apollonius Gallus, und zugleich hat Apollonios sich in
der Schrift περι πυριου über Brennspiegel, der
Brennpunktseigenschaften der Umdrehungsflächen 2. Grades
bedient. Zeuthen vermutet, und ich glaube mit Recht, dass der
Parabolische Spiegel, der praktisch wichtigste, schon von
A r c h i m e d e s erfunden sei und dass die Sage, er habe mit
Brennspiegeln die Römische Flotte verbrannt, hier ihren Ursprung
habe.
Ausserdem hat Apollonios auch eine Schrift geschrieben περι
νευσεων. »Über Einschiebungen auf mechanischem Wege«, dadurch
dass ein Lineal oder ein Streifen meist von gegebener Strecke so
bewegt wird — häufig durch Drehung der zu ihr gehörigen Geraden
um einen festen Punkt — dass sie zwischen zwei gegebene Linien
fällt. Die Neusis galt sowohl den ältern Mathematikern als auch dem
Archimedes, der sich ihrer bei der Arbeit über die Spirale wie
überhaupt zur Winkeldrittelung bedient hat, als auch dem Apollonios
und überhaupt den angewandten Mathematikern für ein durchaus
erlaubtes Hilfsmittel, wie sie ja auch N e w t o n gebilligt hat, erst die
Neuplatoniker strikter Observanz wie Pappos missbilligten sie und
ersetzten sie durch Kegelschnitte, was stets möglich, sobald die
gegebenen Linien den zweiten Grad nicht übersteigen. Die Schrift
des Apollonios ist nach Pappos wiederhergestellt von dem
Ragusischen Patrizier Marino Ghetaldi 1607.
Sie enthielt vielleicht die von Würfelverdoppelung.
Eutokios l. c. mitgeteilte
Würfelverdoppelung auf welche Pappus I p. 56 hingewiesen hat
(Heiberg 3, p. 78.) Es sei aus den beiden gegebenen Strecken ΑΒ
und ΑΓ das Rechteck ΑΒΘΓ konstruiert, dann ist die Gleichung des
ihm umgeschriebenen Kreises wenn ΑΓ = a und ΑΒ = b gesetzt wird
x2 - ax + y2 - by = 0, oder (x - a) : (b - y) = y : x. Die Gleichung
einer Hyperbel, welche durch Θ geht und ΑΒ und ΑΓ zu Asymptoten
hat, ist aber xy = ab also haben wir für den zweiten Schnittpunkt M
nach leichter Rechnung a : x = x : y = y : b. Zur Konstruktion des
Schnittpunkts M benutzt Apollonios den Umstand, dass die
Abschnitte einer Hyperbelsehne zwischen Asymptote und Kurve
gleich sind, und dass die Kreissehne vom Mittelpunktslote halbiert
wird. Es braucht also nur ein Lineal so um Θ gedreht werden, dass
die Punkte Δ und Ε in denen es die Axen schneidet vom Zentrum des
Rechtecks gleich weit entfernt sind. S. Fig. unten.
In einer verlorenen Schrift περι κοχλιου hat Apollonios sich mit
der Schraubenlinie auf dem Cylinder beschäftigt.
 Der »grosse Geometer« hat sich aber auch mit den einfachsten
Elementen der Geometrie beschäftigt, wie wir schon bei Euklid
erwähnt haben, u. a. danken wir ihm die Halbierung der Strecke mit
den beiden gleichen Kreisen um die Endpunkte, Proklos Friedl.
S. 276: »Απολλωνιος δε ὁ Περγαιος τεμνει την δοθεισαν ευθειαν
πεπερασμενην διχα τουτον τον τροπον.«

Auch auf arithmetischem Gebiete hat Apollonios, Arithmetische

der Pergaier Grosses geleistet. Eutokios Schriften.
erzählt Heib. 3 S. 300: Man soll auch wissen,
dass Apollonios der Pergaier in seinem Okytokion (Schnellgeburt,
Schnellrechner) dasselbe durch andere Zahlen gezeigt hat, die
einander noch näher kommen, d. h. er hat die Zahl π in noch engere
Grenzen als Archimedes eingeschlossen. Ob der Okytokion dieselbe
Schrift war, von der Pappos im 2. Buch grosse Stücke uns
aufbewahrt hat, wird von den besten Kennern, von Nesselmann und
Hultsch stark bezweifelt, doch spricht der Titel eigentlich dafür. Auch
jene zweite Schrift hat im wesentlichen die Abkürzung des
Algorithmus insbesondere der Multiplikation zum Gegenstande. Die
Schrift schloss an den Sandzähler des Archimedes an, nur dass
Apollonios statt der Oktaden die den Griechen geläufigen Tetraden,
die Myriaden, setzte, die er als erste, zweite, dritte u. s. w.
bezeichnete, die er durch Μβ, Μγ etc. bezeichnet und deren
Ordnungsziffer er durch Division mit 4 bestimmte. So ist z. B,
4444444444444 = 4 . 1012 + 4 . 1011 + .. = Μγ υμδ και Μβδ1 υμδ
και Μαδ1 υμδ. Auf Grund seiner Ordnungszahlen lieferte er dann ein
Verfahren zur Multiplikation, das im Grunde das unsrige ist; die
Ordnungszahlen werden addiert und die Πυθμενες, d. h. unsere
Einerziffer, die aber hier aus dem Tableau von α bis ϡ genommen
werden konnten, multipliziert. Auch Apollonios, und er fast noch
mehr als Archimedes, hat die Grundgedanken des Positionssystemes,
und wie R . B a l t z e r in seinem Brief an H u l t s c h auf den ich
noch zurückkommen werde, sehr richtig bemerkt, sind beide an
Buchstabenrechnung und Dezimalrechnung nur dadurch gehindert
worden, dass die Hellenen von den Kanaanäern die Buchstaben als
Zahlzeichen übernommen hatten. Die aller Wahrscheinlichkeit nach
bedeutendste Leistung des Apollonios auf arithmetischem Gebiete ist
leider bis dato nur ganz fragmentarisch erhalten, sie war vermutlich
Pappos entweder selbst zu schwierig oder schien ihm auf einen zu
geringen Interessenkreis rechnen zu können. Die Schrift war eine
Weiterführung der Theorie der Irrationalzahlen, wie sie für
quadratische und biquadratische durch das X. Buch des Euklid
gegeben war. Aus einem Kommentar zum X. Buch, von dem
F. W o e p c k e eine Arabische Übersetzung durch Abu Ottmân den
Damascener aufgefunden hat und von dem er die auf Apollonios
bezüglichen Stellen Arabisch und Französisch herausgegeben hat,
geht hervor, dass dieser in die Theorie der algebraischen Zahlen,
soweit sie durch Radicale darstellbar sind, sehr tief eingedrungen
war. Den Kommentar selbst vindiziert Woepcke dem Griechisch
schreibenden Römer V e t t i u s V a l e n s (5. Jh. n. Chr.) und die
Übersetzung würde etwa ins 9. Jh. fallen.
Ob Apollonius mit dem unter dem Apollonios als Astronom.
Namen Epsilon berühmten zeitgenössischen
Astronomen, der sich besonders mit der Mondtheorie beschäftigt
hat, identisch ist, ist nicht unwahrscheinlich, aber steht nicht fest.
Dass der grosse Geometer ein hervorragender Astronom war, wissen
wir aus Ptolemaios megale syntaxis XII, 1, wo er den Stillstand und
die Rückläufigkeit der Planeten mit der Theorie der Epizyklen
mathematisch ableitet und dabei eine Maximumsaufgabe löst,
welche den grossen Leistungen des 5. Buches der Konika nicht
nachsteht.
Noch ist für seine Leistungen auf dem Elementarmathematik.
Gebiete der Elementarmathematik
nachzuholen, dass der Satz X des sogen. 14. Buches der Elemente
des Euklid: »Die Volumina des derselben Kugel eingeschriebenen
regulären Ikosaëders und Dodekaëders verhalten sich wie die
Oberflächen,« von ihm herrührt, laut der Vorrede des Verfassers des
14. Buches, des H y p s i k l e s. Hypsikles knüpfte daran die
Folgerung, dass die Umkreise der Seitenflächen beider Körper gleich
sind.
Mit Eudoxos, Archimedes und Apollonios hat die reine
Mathematik der Griechen ihren Höhepunkt erreicht, die Theorie des
Irrationalen und des Kontinuums, die Prinzipien der
Infinitesimalrechnung, die analytische Geometrie, die rechnende und
projektive Geometrie, sind geschaffen und neue Methoden, die auf
allgemeine Problemklassen anwendbar sind, treten nicht mehr auf.
Der eben erwähnte H y p s i k l e s schliesst sich wohl unmittelbar an
Apollonios an, M. Cantor setzt das 14. Buch um 180 an, er war ein
tüchtiger Mathematiker, der auch noch eine uns erhaltene Schrift
über die Aufgänge der Gestirne, im Anschluss an A u t o l y k o s und
E u k l i d geschrieben hat. Sie ist vergl. M . C a n t o r I p. 344
dadurch merkwürdig, dass sich in ihr zum e r s t e n Male auf
Hellenischem Boden die b a b y l o n i s c h e Te i l u n g des
K r e i s e s i n d r e i h u n d e r t s e c h z i g G r a d e findet. Auch auf
arithmetischem Gebiete haben wir Hypsikles als Vorgänger des
N i k o m a c h o s (s. u.) für die Theorie der figurierten Zahlen zu
erwähnen.
Die theoretische Mathematik sinkt nun im 2. Jahrh. langsam von
ihrer Höhe oder richtiger das Interesse der bedeutenden Geister
wendet sich den angewandten Disziplinen zu; Astronomie und in
ihrem Gefolge die Trigonometrie, Mechanik, Medizin etc. nehmen
ihre Stelle ein. Dazu kam für Hellas das Anwachsen der
bildungsfeindlichen römischen Macht und für Alexandrien das
mörderische Regiment des Ptolemaios VII. Physcōn (Schmerbauch,
auch Euergetes II.) 141–116, der nach Ermordung seines Neffen
Eupator sich des Thrones bemächtigt hatte und die bedeutendsten
Gelehrten und Künstler von Alexandria vertrieb. Da nun der
Unterricht im wesentlichen auf dem Vortrag im Kolleg beruhte —
Archimedes und Apollonios hatten gewissermassen nur zufällig an
ihre auswärtigen Freunde Schriftstücke gerichtet — so machte sich
jetzt der Mangel an Büchern und damit an einer festen
Formelsprache geltend und man kann annehmen, dass schon im
Laufe des Jahrhunderts manches von den Leistungen der Heroen
verloren ging. Das Entscheidende sind wohl die Brände der
Alexandrinischen Bibliothek unter Cäsar und vor allem in den wüsten
Emeuten des fanatischen Mönchpöbels und seiner würdigen
Patriarchen. Die Sage von der Vernichtung der grossen Bibliothek
durch O m a r gehört zu den böswilligsten Fälschungen der
Weltgeschichte. Auch die grosse Bibliothek von P e r g a m o n, das
sich zur Konkurrenzstadt Alexandriens unter Attalos und Eumenes
entwickelt hatte, ging verloren, nachdem sie Antonius an Kleopatra
geschenkt hatte.
Dort in Pergamon war vermutlich wenn Nikomedes.
nicht die Wiege, so doch das D o m i z i l des
Nikomedes, den M. Cantor vorsichtig ins 2. Die Konchoide.
Jahrh. verweist, während P. Tannery ihn
nicht ohne triftigen Grund zwischen Eratosthenes und Apollonios
einschiebt. Dass er der Erfinder der K o n c h o i d e, der Muschellinie
gewesen, unterliegt keinem Zweifel, P r o k l o s sagt Friedlein S. 272
im Anschluss an die Winkelhalbierung bei Euklid: N i k o m e d e s
drittelte mit der Konchoide, deren Erzeugung, Gestalt und
Eigenschaften er überlieferte, jeden geradlinigen Winkel, und er
selbst war es der ihre Eigenart gefunden hat. P a p p o s und
E u t o k i o s haben ihre Anwendung zur Lösung des (ersten)
Delischen Problemes durch Nikomedes ausdrücklich bezeugt, und da
sie genau übereinstimmen, so ist es sicher, dass die Lösung sowohl
wie ihr Beweis ganz auf das Konto des Nikomedes zu setzen ist. In
der Stelle Hultsch 246 oben nimmt Pappos die Winkeldrittelung
durch die Konchoide nicht für sich in Anspruch, er sagt nur, dass er
die Kurve dabei gebraucht habe, dagegen sagt er 246 unten (§ 42)
ganz bestimmt er habe zur Konstruktion des Nikomedes für die
Würfelverdoppelung den Beweis geliefert, was der Angabe des
Eutokios widerspricht. Dass Nikomedes sich des Zusammenhangs
beider Probleme, die er mit der einen Kurve löste, klar bewusst war,
scheint mir völlig sicher, es entspricht das dem ganzen historischen
Gange der Griechischen Mathematik. Nikomedes kannte die
Winkeldrittelung des Archimedes durch die Neusis, die Einschiebung,
und wie dem Archimedes der Zusammenhang zwischen der
Kugeldrittelung und der Winkeldrittelung nicht hat entgehen können,
so hat auch Nikomedes gesehen, dass es sich bei
Würfelverdoppelung und Trisektion um Probleme 3. Grades handelte.

Die Kurve selbst ist eine ebene Kurve, Trisektion.

sie wird erzeugt durch Drehung einer
Geraden um einen festen Punkt, so dass sie eine gegebene Leitlinie
schneidet und beschrieben durch einen Punkt Κ der sich drehenden
Geraden, der von dem Schnittpunkt Ε einen unveränderlichen
Abstand hat. Nikomedes hat das a b g e b i l d e t e einfache
Instrument zur mechanischen Erzeugung angegeben, es besteht aus
einem Richtscheit, in dessen horizontalem Lineal ein Schlitz in der
Mitte ist, während das vertikale den Pol durch einen Nagel angibt.
Ein drittes Lineal ist fest mit den beiden verbunden und hat in Ε
einen Zapfen der in dem Schlitz des zweiten Lineals gleitet, während
ΕΚ der gegebene Abstand ist. Legt man die x-Axe durch den Pol Δ
nennt den Abstand b und den Abstand des Pols vom horizontalen
Lineal a so ist die Gleichung der Kurve r : b = y : (y - a), also
quadriert und multipliziert (x2 + y2)(y - a)2 = b2y2. Die Kurve ist also
vom 4. Grade, geht durch die imaginären Kreispunkte im
Unendlichen, und hat in Δ einen Doppelpunkt. Die vollständige
Kurve, welche Nikomedes auch betrachtet zu haben scheint, da er
die hier konstruierte als erste Konchoide bezeichnete, besteht aus
der oberhalb der Axe und der unterhalb der Axe beschriebenen.
Ausser den in W ö l f f i n g s so höchst dankenswerter Bibliographie
angegebenen Monographien verweise ich auf
G . d e L o n g c h a m p s cours de Math. spec. und auf das Journal
von B o u r g e t.
Nikomedes hat gezeigt, dass ΑΒ eine Asymptote ist, und dass
jede Gerade zwischen ΑΒ und der Kurve diese schneidet,
E u t o k i o s, Heiberg Archim. 3 S. 118 und 120 findet sich der
Beweis, während Pappos l. c. nur die Tatsache angibt.

Die Anwendung zur Winkeldrittelung ist Trisektionen bei Montucla.

uns von Pappos p. 275 überliefert, sie ist,
wie M o n t u c l a in der noch heute lesenswerten Histoire des
recherches sur la quadrature du cercle Nouv. Edition (par L a c r o i x)
1831 p. 240 sagt, fast selbstverständlich, und stimmt im Prinzip mit
der des Archimedes überein.
Ist αβγ (s. Figur) der gegebene Winkel, so ist nur nötig, von β
als Pol aus eine Strecke δε zwischen αγ und der verlängerte ζα so
einzuschieben, dass δε gleich 2αβ ist, dann ist εβγ = 1/3αβγ. Man
findet also ε durch den Schnitt von ζα mit der Konchoide, deren Pol
β, deren Axe αγ und deren Abstand 2αβ ist.
M o n t u c l a gibt l. c. 243 an, dass auch die Konstruktion des
Archimedes mittelst der Konchoide gelöst werden kann, nur muss ihr
Zweig unter der Axe benutzt werden. Ist ABC der gegebene Winkel,
(Figur) so beschreibt man mit C als Pol, BA als Axe und BC als
Abstand die 2 (untere) Konchoide, welche den Kreis um B mit BC in
D schneidet, so ist DBE = 1/3 CBA.

Montucla gibt auch den Hinweis auf den Appendix N e w t o n s

zur Arithmetica universalis, der so recht deutlich zeigt, wie innig
Newton mit der hellenischen Geometrie vertraut war. Nachdem
V i e t a (Oper. ed. van Schooten 1615) gezeigt hatte, dass die
Gleichung dritten Grades sich auf die Würfelvervielfältigung und die
Trisektionsgleichung zurückführen lasse, hat Newton l. c. für alle
Arten gemischter kubischer Gleichungen den zu trisezierenden
Winkel und die Lage des Pols und die Grösse des Abstands
angegeben (berechnet). Er hat ausgesprochen, dass zur Lösung von
Gleichungen dritten Grades die Konchoide des Nikomedes das
bequemste Mittel ist; dass dieser sich des Vorzugs seiner leicht
konstruierbaren Kurve vor der Probiermethode des Eratosthenes voll
bewusst war, kann man bei Eutokios nachlesen.
 Schwieriger gestaltet sich die Würfelverdopplung nach
Anwendung der Kurve für die Nikomedes.
Würfelverdoppelung, die Lösung der reinen
kubischen Gleichung oder die Auffindung der beiden Mittleren.
Eutokios beginnt den Bericht also:
Nachdem dies bewiesen (nämlich dass ΑΒ Asymptote, das Wort
fehlt, was auch für höheres Alter als Apollonios spricht, etc.) seien
die gegebenen Strecken ΑΔ und ΓΛ senkrecht aufeinander, zu denen
es den beiden kontinuierlich proportionalen (δυο μεσας αναλογον
κατα το συνεχες) zu finden gilt. Mache das Rechteck ΑΒΓΔ fertig,
halbiere ΑΒ in Δ und ΒΓ in Ε. Verlängere ΛΔ und ΓΒ bis sie sich in Η
schneiden, errichte in Ε auf ΒΓ die senkrechte ΕΖ, mache ΓΖ gleich
ΑΔ und verbinde Ζ mit Η und ziehe zu ihr parallel ΓΘ. Und nun
konstruiere man die Konchoide von Ζ als Pol, ΓΘ als Leitlinie und ΔΑ
= ΓΖ als Abstand, welche ΗΓ in Κ schneidet, ziehe ΚΛ, schneidet ΒΑ
in Μ so behaupte ich, dass ΓΛ : ΚΓ = ΚΓ : ΜΑ = ΜΑ : ΑΛ ist.
 Die Pointe ist, dass ΘΖ gleich ΜΑ ist. Sei ΜΑ = x und ΚΓ = y, ΑΛ
= a und ΓΛ = b so ist x : a = b : y, und ΖΘ : (1/2 b) = 2a : y also
ΖΘ : a = b : y also ΖΘ = x, ferner weil ΖΕΓ und ΖΕΚ rechtwinklige
Dreiecke mit der gemeinsamen Kathete ΕΖ, so ist (x + 1/2 b)2 -
(y + 1/2 a)2 = ( b2 )2 - ( 2a )2 oder x(x + b) = y(y + a), yx = xy ++ ba = ΜΒ ΚΒ =
ΓΚ
ΓΔ
. Die Lösung des Nikomedes ist von Newton l. c. wesentlich
vereinfacht worden. Die Konchoide auf zirkulärer Basis ist von
R o b e r v a l Limaçon de Pascal, Pascalsche Schnecke, genannt
worden, sie ist vielfach im Journ. élém. (v. B o u r g e t) behandelt
worden.
Mit Nikomedes wird stets, infolge des Kommentars des Eutokios,
D i o k l e s genannt, von dessen Lebensführung uns zwar so gut wie
nichts bekannt ist, der aber nach seiner Kugelteilung welche
Eutokios, Heib. 3, S. 188 ff. mitteilt, und ebenfalls nach seiner
Lösung der Würfelverdoppelung, ib. S. 78, Diokles: Kissoide.
ein sehr achtbarer Geometer gewesen ist.
Nach dem gedanklichen Inhalt der beiden Würfelverdopplung mit
Fragmente aus seiner Schrift περι πυρ(ε)ιων Kissoide.
halte ich ihn für ziemlich gleichzeitig mit
Nikomedes und für nur wenig jünger als Apollonios. Das Fragment
über die Kugelteilung enthält zwar schon die Apollonischen
Benennungen Ellipse, Hyperbel, Asymptote, aber es ist sicher von
E u t o k i o s überarbeitet, der wie H e i b e r g S. 207 anmerkt, die
Konstruktion der Hyperbel, wenn die Asymptoten und ein Punkt
gegeben worden sind »de suo« hinzufügte. Das Problem der
Würfelverdoppelung löste Diokles mittelst der K i s s o i d e, die er wie
folgt konstruierte. Man zeichne einen Kreis um M, den Leitkreis, mit
Radius r, ziehe darin den Durchmesser SS' gleich d. Ziehe BC und
B'C' senkrecht zu SS' und symmetrisch zu M. Ziehe SB' welche BC in
P schneidet, so ist die Kurve der Ort des Punktes P wenn B'C' sich
von S' nach S bewegt (die allgemeine Kurve entsteht: wenn man A'B'
sich unbegrenzt in der Richtung S'S und daher AB von S nach S' zu
bewegen lässt). Nimmt man als 0-Punkt S und als + x-Axe den
Strahl SS', zieht AC und nennt es z, so ergeben die elementarsten
Sätze die Proportion (d - x) : z = z : x = x : y d. h. x und z sind
zwischen d - x und y die Mesoteten. Will man nun zwischen a und b
die mittleren einschalten, so braucht man der Symmetrie wegen nur
auf dem zu SS' senkrechten Durchmesser einen Punkt K so zu
bestimmen, dass S'M : MK = a : b ist und S'K auszuziehen, bis es die
Kissoide in P schneidet, so ist nur noch d - x und y proportional in a
und b zu verwandeln.
 Da aus dem grundlegenden Streifensatz folgt, dass SP = B'D' ist
(entsprechende Querstrecken), so lässt sich die Kurve auch
bequemer so erzeugen, dass man von S aus nach allen Punkten des
Leitkreises die Strahlen zieht und das Stück zwischen der festen
Tangente in S' und dem Kreise von S aus auf den Leitstrahlen bis P
abträgt.
 Aus der ersten Erzeugung durch Diokles Newton'sche Erzeugung.
lässt sich ebenso elementar (vgl. a. Samml.
Göschen 65 p. 148) die mechanische Herstellung der Kurve von
Newton (l. c.) ableiten, welche Montucla l. c. S. 139 beschreibt. Er
bedarf dazu nur noch eines Richtscheites, dessen einer Schenkel d
ist, Endpunkt B″, und der in der Mitte einen Stift P hat. Dreht man
das Richtscheit um den Pol M', so auf SS' gewählt, dass M'S = r ist,
so dass B″ auf dem konjugierten Durchmesser zu SS' gleitet, so
beschreibt P die Kissoide.
Die Kurve hat die Gleichung (x2 + y2)x = Diokles.
dy2, ist also eine Kurve 3. Grades, geht auch
durch die beiden unendlich fernen Zenodoros.
imaginären Kreispunkte, hat die
Kreistangenten S' zur Asymptote, ist Isoperimetrie.
Fusspunktenkurve, Rollkurve, durch
reciproke Radien transformierte der Parabel. Sie ist elementar
behandelt l. c., auch vielfach im Journal de Math. spec. Dass die
Kurve in S eine Spitze hat wusste schon Proklos, der die Kurve viel
erwähnt, Friedl. S. 126 sagt: »ὁταν δε αι κισσοειδεις γραμμαι
συννευουσαι προς ἑν σημειον, ὡσπερ τα του κισσου φυλλα — και
γαρ την επωνυμιαν εκειθεν εσχον — ποιωσιν γωνιαν«. Wenn die
Kissoidenlinien sich nach einem Punkt zu neigen, wie die Blätter des
E f e u — und sie hat ja davon ihren Namen — so bilden sie einen
Winkel. Sehr auffallend ist, dass Proklos trotz der häufigen
Erwähnung der Kurve den D i o k l e s nicht nennt, so wenig wie
Pappos, der ihrer zweimal gedenkt. Aber wenigstens bei Proklos ist
im Zusammenhang des Textes die Auslassung des Autornamens
ganz sachgemäss, S. 111, 6 z. B. wird von der Einteilung der Kurven
durch Gemīnos geredet, wobei die Kissoide (Kittoide) nur als Beispiel
einer Figur bildenden Kurve erwähnt wird, woraus übrigens
hervorgeht, dass Gemīnos schon die Asymptote der Kurve kannte.
So liegt kein Grund vor, dass zuverlässige Zeugnis des Eutokios zu
bezweifeln. Und dies um so weniger als Pappos auch den Namen des
dritten hervorragenden Mathematikers verschweigt, der um 200
anzusetzen ist, den des Z ē n o d o r o s, von dessen
Lebensumständen nichts weiter feststeht, als dass er nach
Archimedes und vor Quintilian gelebt hat, also ein Spielraum von fast
400 Jahren. Aber H u l t s c h und C a n t o r setzen ihn auf Grund
seiner Sprache und seines engen Anschluss an den Gedankenkreis
des Euklid und Archimedes gewiss mit Recht in die Nähe des
Archimedes, vergl. dazu noch W. S c h m i d t Enestr. 1901 S. 8. Und
man kann wohl hinzusetzen, dass der Gegenstand, den er sich zum
Vorwurf nahm, auch auf Vorangang des Apollonios schliessen lässt.
Mit dem Namen des Z e n o d o r o s sind die Probleme, welche wir
heute als pars pro toto, isoperimetrische nennen, für immer
verknüpft. Er selbst hat zwar seine Schrift, wie H u l t s c h, Papp. III,
1189 hervorgehoben über Inhalte von gleichen Massen, περι
ισομετρων σχηματων genannt, aber man versteht heute unter
Isoperimetrie sowohl Untersuchungen über Konfigurationen, die bei
gleichen Massen der Begrenzung den grössten Inhalt haben, als
diejenigen, welche bei gleichem Inhalte grösste Begrenzung bieten.
Es ist jene hochwichtige Problemklasse aus der sich im 18. Jahrh. die
V a r i a t i o n s r e c h n u n g entwickelte. Die Notiz des S i m p l i c i u s
welche W. Schmidt, Eneström 1901 S. 5 anführt, bezieht sich m. E.
nur auf die Kreis- und Kugelmessung durch A r c h i m e d e s, welcher
ja de facto in sehr vielen Fällen den Beweis für die Isoperimetrie des
Kreises und der Kugel liefert. Die Schrift selbst ist uns inhaltlich auf
dreierlei Art erhalten, a) sowie es scheint, wörtlich, durch den
Kommentar des T h e o n von Alexandrien zum Almagest (Pariser
Ausgabe 1821 H a l m a, 33 ff.), b) freier aber völlig zu a) stimmend
durch Pappos, Buch V, S. 308 ff.) c) Abhandlung eines Anonymos
über die isoperimetrischen Figuren, welche H u l t s c h, Papp. III
1138–1165 herausgegeben hat, ebenfalls vielfach wörtlich zu Theons
Mitteilung stimmend.
Die Arbeit zerfällt in einen planimetrischen und einen
stereometrischen Teil, sie gipfelt in den Sätzen, dass unter allen
ebenen Figuren von gleichem Umfange der Kreis den grössten Inhalt
hat und unter allen räumlichen Gebilden von gleicher Oberfläche die
Kugel das grösste Volumen hat. Dass beide Sätze nicht streng
bewiesen sind, braucht kaum bemerkt zu werden, hat doch J a c o b
S t e i n e r nicht vermocht, den planimetrischen Satz streng zu
beweisen, und der Satz über die Isoperimetrie der Kugel ist erst
1884 von H . A . S c h w a r z mit den Mitteln der höchsten Analysis
bewiesen worden.
Der ebene Teil des Werkes ist deutsch bearbeitet von
A . N o k k, Programm Freiburg 1860. Nokk hat dort
Zenodoros, der bis dahin als Zeitgenosse des Oinopides
also auf 500 v. Chr. geschätzt war, als Epigonen des
Archimedes erwiesen, auch auf die Bestätigung der
Authentizität von T h e o n s Wiedergabe durch P r o k l o s
hingewiesen; Friedlein S. 165 Z. 24: εστι γαρ τριγονα τετραπλευρα,
καλουμενα παρ' αυτοις ακιδοειδη παρα δε τω Ζηνοδωρω κοιλογωνια.
»Es gibt eine dreiwinklige (Figur) mit vier Seiten, von Jenen
(Theudios und Euklid?) [Lanzen] spitzenförmig geheissen, vom
Zenodoros aber h o h l w i n k l i g. Und dieser Ausdruck kommt bei
Theon vor. Zu bemerken ist, dass die Winkel auf solche, welche
kleiner als der gestreckte, beschränkt waren, d. h. auf solche die im
Dreiseit vorkommen konnten und dies noch bei Proklos, der
allerdings wie die Neuplatoniker überhaupt, archaistisch ist. Die Figur
galt also dem Euklid und Proklos als dreiwinklig, trotz ihrer 4 Ecken
und 4 Seiten. Der Ausdruck h o h l w i n k l i g ist sehr auffallend, es
scheint aus ihm hervorzugehen, dass Z e n o d o r o s die Figur schon
für vierwinklig ansah und seine Lebenszeit würde dadurch noch
herabgedrückt werden, wenn es nicht wahrscheinlicher wäre, dass
ein literarisch so gebildeter Autor wie Proklos den Ausdruck eben aus
T h e o n s Kommentar entlehnt hat; wodurch dann wieder sein
Zeugnis für die Echtheit von Theons Wiedergabe entkräftet würde.
 Als Probe gebe ich Ihnen den Beweis Zenodoros' Satz: Der Kreis
des zweiten Satzes nach N o k k. Wenn ein ist grösser als das
reguläres Polygon mit einem Kreise gleichen isoperimetrische
regelmässige Vieleck.
Umfang hat, so hat der Kreis den grösseren
Flächeninhalt.
 Der Kreis sei ABG, das reguläre Polygon von gleichem Umfange
DEZ. Das Zentrum des Kreises sei H, das des Polygons sei T, man
beschreibe um den Kreis H das dem Polygon DEZ ähnliche, (Fig.).
Verbinde H mit B, fälle von T auf EZ das Lot TN und ziehe HL und
TE. »Da nun der Umfang des Vielecks KLM grösser ist als der
Umfang des Kreises ABG, w i e e s v o m A r c h i m e d e s i n
seiner Schrift über Kugel und Cylinder
u n t e r s t e l l t w i r d, der Umfang des Kreises ABG aber, dem des
Vielecks DEZ gleich ist, so ist auch der Umfang des Vielecks KLM
grösser als der von DEZ. Allein die Vielecke sind ähnlich, mithin BL
grösser als NE und HB > NT. Also das Rechteck aus dem Umfang
des Kreises und HB > als das Rechteck aus dem Umfang des
Vielecks und NT. Allein das erste Rechteck ist »w i e
A r c h i m e d e s gezeigt hat« das doppelte der Kreisfläche und das
zweite das doppelte der Fläche des Polygon und somit der Satz
bewiesen (allerdings mit Hilfe des Axiom: Archimedes Kugel und
Cylinder Annahme 2).
In diese Epoche der durch Archimedes, Hipparch von Rhodos.
Eratosthenes und Apollonios herbeigeführten
Erweiterung des mathematisch-physikalischen Gesichtskreises der
Hellenen, fällt auch der grösste Beobachter des Himmels unter den
Hellenen, H i p p a r c h von N i c a e a oder auch von R h o d o s.
Hipparch ist allerdings beim geozentrischen Weltsystem stehen
geblieben, obwohl kurz vorher S e l e u k o s, der Kopernikus des
Altertums wie ihn S u s e m i h l nennt, das Weltsystem des
A r i s t a r c h von S a m o s, dessen wir beim Psammites gedachten,
auf wirkliche Beweise stützte. S e l e u k o s hat auch als der erste auf
den Einfluss des Mondes für Ebbe und Flut hingewiesen und als
Grund für die Annahme der Rotation der Erde darauf, dass die Flut
am Äquator am stärksten ist. H i p p a r c h o s muss etwa um 190
geboren sein, seine Beobachtungen von 161 bis 126 sind uns durch
Ptolemaios erhalten, seine letzten Beobachtungen,
Mondbestimmungen, sind vom Juni 126 aus Rhodos. Ptolemaios
nennt ihn Almagest III, 2 p. 140, einen Mann von Arbeits- und
Wissenstrieb. Von seinen Schriften ist uns nur eine einzige erhalten,
eine Exegese zu den Phainomena des Eudoxos (und Aratos) in 3
Büchern, von V e t t o r i, Florenz 1567 Folio, herausgegeben, kritisch
und mit deutscher Übersetzung 1894 Leipz. von M a n u t i u s. Es war
vermutlich eine Jugendarbeit, weil er darin noch nicht die vielen
Abweichungen der Beobachtungen des Eudoxos von den seinen auf
die Präzession zurückgeführt hat, die er später genau feststellte und
damit die Dauer des Jahres von 365,25 Tagen um 5′ reduzierte. Er
berechnete ferner die Exzentrizität der Sonnenbahn, wenn auch
etwas zu gross, desgleichen die der Mondbahn, legte sowohl die
Sonnenbahn als die Mondbahn durch Beobachtung der Fixsterne,
welche ihre obere Kulmination hatten wenn jene ihre untere, genau
fest, gab die Entfernungen der Sonne und des Mondes weit genauer,
(namentlich letztere) an, als seine Vorgänger, kritisierte die
bisherigen Planetentheorien, und erklärte die Ungleichheit der
Jahreszeiten durch die Annahme der e x z e n t r i s c h e n
K r e i s b a h n, welche K e p l e r vielleicht die Anregung zur
Auffindung seines ersten Gesetzes gab. Hipparchs Methode die
Sonnendistanz (Parallaxe, d. h. der Winkel unter dem der Erdradius
von der Sonne aus gesehen erscheint) mittelst der Mondparallaxe zu
bestimmen durch den von ihm gegebenen Satz: »Die Summe der
Parallaxen von Sonne und Mond ist gleich der Summe der
scheinbaren Halbmesser der Sonne und des Schattenkegels der
Erde«, ist theoretisch richtig. — Das Auftreten eines neuen
Fixsternes im Jahre 134 brachte ihn auf den Gedanken einer
möglichen Eigenbewegung derselben, und er soll (vgl. G a r t z und
S c h a u b a c h) mittelst von ihm erfundener Instrumente,
Astrolabien, und verbessertem Visierrohr oder D i o p t e r
(Archimedes im Psammites) die Position und scheinbare Grösse des
Sternes genau festgestellt haben. Jedenfalls nahm er hier
Veranlassung einen S t e r n k a t a l o g anzulegen und verzeichnete
Ptolemaios zufolge selbst 1080 Fixsterne. Aus der Arbeit von F r z .
B o l l 1901 in München entnehme ich, dass der Sternkatalog des
Hipparch zufolge des Fundes von A. Olivieris 1898 höchstens 850
Sterne umfasste, so dass die Meinung Ta n n e r y s und
D e l a m b r e s der Ptolomäische Katalog sei der des Hipparch
gewesen, hinfällig wird.
Sein Beweggrund war, späteren Astronomen die Erkenntnis zu
ermöglichen, nicht nur ob Sterne verschwänden und neue
entständen, sondern auch, ob sich die Lage der Fixsterne gegen
einander nicht ändere und ob ihre scheinbare Grösse nicht zu- oder
abnähme. Diese Beobachtungen führten ihn eben zur Auffindung der
Präzession; denn als er die seinigen mit etwa 100 Jahre älteren
verglich, fand er, dass sich zwar die Breiten, die sphärischen
Abstände von der Ekliptik oder Sonnenbahn, nicht geändert, wohl
aber die Längen um den konstanten Betrag von 11/3° vergrössert
hatten, d. h. also, dass die Äquinoktialpunkte auf der Ekliptik gegen
die Bewegung der Sonne hin fortrückten. Wir verdanken auch diese
Kunde dem Almagest, die theoretische Erklärung der Präzession
durch die Rotation der Erdaxe um die Axe der Ekliptik aus der
Anziehung von Sonne, Mond, Jupiter etc. auf dem Wulst des
Äquators gab erst D'Alembert.
H i p p a r c h wird aber auch als der Heron von Alexandria.
Begründer der Tr i g o n o m e t r i e
angesehen, wenn überhaupt von einem solchen (vgl. Ägypten) die
Rede sein kann. T h e o n teilt uns in dem schon erwähnten
Kommentar zum Almagest mit, dass jener in einem grösseren Werke
περι της πραγματειας των εν τω κυκλω ευθειων eine Sehnentafel
gegeben. Siehe hierzu die Bestätigung bei H e r o n in der Metrik
S. 58, 3. 19, wo der Titel (s. u. Heron) angegeben ist. Es steht jetzt
so ziemlich fest, dass die ganze Sexagesimalbruchrechnung inkl.
Wurzelausziehung Eigentum des H i p p a r c h war (cf. H u l t s c h, die
Sexagesimalrechnungen in den Scholien zu Euklids Elementen,
Biblioth. Math. 5, 1904, 225).
Nach arabischen Nachrichten hat er auch über quadratische
Gleichungen geschrieben und durch Strabon sind wir über seine
Schrift προς Ερατοσθενην gut unterrichtet. In den beiden ersten
Büchern gab er eine scharfe und nicht immer gerechte Kritik, denn
genaue Längen- und Breitebestimmungen waren dem Eratosthenes
nicht möglich, im dritten die Begründung seines eigenen Systems
und die Tabellen der Breiten von 12 Städten und Bestimmung der
Finsternisse. Wenn man von Eratosthenes Sphragides absieht, ist
Hipparch auch als Begründer des sphärischen
K o o r d i n a t e n s y s t e m s anzusehen.
An Hipparch, den Astronomen, schliessen wir Heron, den
Mechaniker an; ὁ μηχανικος nennt ihn P r o k l o s, Fried. 305, 24;
346, 13, und in der Tat ist er in Mechanik und Technik geradeso der
Lehrer der Welt gewesen wie Euklid für Geometrie. Ob Heron
Nachfolger oder Vorläufer des Hipparch gewesen ist, steht nicht
einmal absolut fest. Doch wird in der Metrik die von Theon erwähnte
Schrift unter dem Titel περι των εν κυκλω ευθειωνπερι των εν κυκλω
ευθειων als vollkommen bekannt zitiert.
Die sogen. H e r o n i s c h e F r a g e ist Lebenszeit.
eine der diffizilsten, die Ansichten der
berühmtesten Historiker schwanken zwischen dem 3. Jahrh. v. Chr.
und dem zweiten Jahrh. n. Chr. Ein Forscher von dem Range D i e l s
setzt ihn um 100 n. Chr., D e V a u x und P a u l Ta n n e r y sogar
um 200, der Herausgeber der neuesten Gesamtausgabe
W. S c h m i d t setzt ihn etwa auf 56 v. Chr. Dem gegenüber stehen
S u s e m i h l, der genaue Kenner der Hellenistik, der ihn um 200 v.
Chr. ansetzt und M . C a n t o r, der ihn um 100 v. Chr. setzt. Ich
glaube, dass Cantor im ganzen das Richtige getroffen und neige
dazu Herons Geburt etwa um 150 zu setzen und stimme der
Beweisführung E d m u n d H o p p e s im Programm des Hamburger
Wilhelm-Gymnasiums von 1902 bei, welche ich noch bekräftigt finde
durch die von H . S c h o e n e 1903 zum ersten Mal herausgegebene
»Metrika«, deren Handschrift R . S c h o e n e 1896 im Codex
Constantinopolitanus aufgefunden hatte. Da Programme
bekanntermassen wenig bekannt zu werden pflegen, so setze ich
den Schluss der H o p p e'schen Arbeit hierher, und um so lieber, als
ich bedauerlicherweise vergessen habe, diese tüchtige Arbeit in der
2. Aufl. meiner Methodik von 1907 unter den historischen
Programmen anzuführen, obwohl sie mir seit 1903 bekannt war.
Hoppe schliesst: Wenn er den älteren Poseidōnios zitiert hat, rückt
Heron gänzlich in das zweite Sec. v. Chr. »Dahin passt er auch
seinem ganzen Inhalte nach durchaus. Heron steht ausschliesslich
auf den Schultern des Archimedes und Ktesibios in seiner Mechanik
und Pneumatik, in der Philosophie und Mathematik ist er abhängig
von Aristoteles, Platon, Pythagoras und Euklid, welche er alle zitiert.
Alles Spätere ist für Heron nicht vorhanden. Heron aber geht über
seine Quellen weit hinaus. Die physikalischen Anschauungen, welche
er in der Einleitung zur Pneumatik darlegt, hat vor ihm keiner und
auch nach ihm keiner. Wohl in Einzelheiten finden sich bei früheren
Anklänge, aber ein solch umfassendes Wissen von der Mechanik der
Gase, von der Elastizität etc. hat keiner seiner Vorgänger. Nach ihm
hat man dies alles nicht mehr verstanden, die römischen Epigonen
griechischer Kulturwelt konnten wohl Automaten und Wasserorgeln
nachmachen, aber seine physikalischen Gedanken begriffen sie
nicht. Das charakterisiert Heron als den letzten einer untergehenden
Schule. Darum muss man Heron ansetzen zu einer Zeit, wo Ägypten
vor einer Katastrophe stand, nach einer Periode der Blüte. Diese
Blüte war unter den Ptolemäern, die Katastrophe war das Einsetzen
der Römerherrschaft. Somit spricht alles für den Ausgang des
zweiten sec. a. Chr. Macht man, wie Schmidt es will, Philon von
Byzanz und Ktesibios zu Zeitgenossen des Archimedes, so wäre
möglich für Heron die Zeit am Anfang des zweiten sec. anzunehmen.
Setzt man Ktesibios an das Ende des zweiten sec., so bleibt für
Heron die Zeit um 100 n. Chr., wie Cantor annimmt, bestehen; ein
weiterer Spielraum scheint ausgeschlossen.«
 Zu den von Heron benutzten Autoren kommt nach Metrik S. 58
Z. 19 noch H i p p a r c h hinzu und A p o l l o n i o s de sectione spatii
(ἡ του χωριου αποτομη) Schöne S. 162, sowie D i o n y s o d o r o s
dessen Kugelteilung Eutokios gegeben. Auch die Heronische
Würfelverdoppelung zeigt den Einfluss des Apollonios. Ungelöst ist
auch noch die Frage inwiefern Heron für seine Geschützlehre und
seine Lehre vom Luftdruck aus P h i l o n von B y z a n z (Φιλων ὁ
βυζαντιος.) geschöpft hat. Die Vorstellung, dass schwere Körper
schneller fallen müssen als leichte findet sich z. B. bei Beiden. Die
Zuverlässigkeit der Literaturangaben des E u t o k i o s ist durch die
Auffindung der Mechanik wieder bestätigt worden, Eutokios
überschreibt die Lösung mit den Worten »wie H e r o n in der
Einführung in die Mechanik und in den Belopoiika (Anfertigung von
Geschützen)« und sie hat sich auch in der Mechanik, Ausgabe von
Nix S. 24 gefunden.
Ich möchte zu den Datierungsfragen allgemein bemerken, dass
was für Indien gilt mutatis mutandis auch für alle diese Streitfragen
gilt. Der gedankliche Zusammenhang, die Darstellung, die Hilfsmittel
sind der wichtigste Anhaltepunkt, und der spricht für Heron
entschieden für engen Anschluss an Archimedes, wie es
insbesondere die Metrika zeigen und für die C a n t o r s c h e
Auffassung, welche auch von H u l t s c h geteilt wurde. Auch die sehr
sorgfältige Dissertation von R . M e i e r de Herone aetatis, Leipz.
1905 kommt zum gleichen Resultat. Wie die Heronische Frage hat
entstehen können, darüber spricht sich C a n t o r völlig zutreffend
aus. Für 11/2 Jahrtausend ist wie Euklid für Mathematik so Heron
Lehrer für Geodäsie und angewandte Mechanik. Überaus zahlreich,
griechisch, lateinisch, arabisch, sind die Codices, Excerpte,
Bearbeitungen und ebenso zahlreich sind die Entstellungen und
Zusätze, Verschlimmbesserung der Abschreiber und Ausschreiber.
Während die physikalischen Schriften Heron, Werke.
Herons ab und an ediert sind, ist die erste
kritische Ausgabe der unter seinem Namen gehenden
mathematischen Schriften von F r. H u l t s c h, der bei seiner
grossen Arbeit über die Schriftsteller der Alten, welche sich mit
Messkunst beschäftigten, sich mit Heron beschäftigen musste. Die
Hultsche Ausgabe von 1864, für ihre Zeit mustergiltig, gibt uns den
griechischen Text möglichst bereinigt, sie enthält die Heronischen
Definitionen, die jetzt noch oder wieder für teilweise echt gelten, die
Geometria und als Anhängsel einige an sich wichtige Tafeln der
Masse, die aber grösstenteils unecht sind, dann die Stereometrie, ein
Buch über Flächen- und Raummessung, dann das liber geoponicus,
das ein ziemlich dürftiges Excerpt ist, wie der 8. Abschnitt ein
ungenaues Excerpt aus der unten zu besprechenden Dioptra, und
dann vergleichende Zusätze. Aber nach etwa einem Menschenalter
machten grossartige neue Funde (s. u.) eine neue Ausgabe nötig.
Sie ist von W. S c h m i d t, einem Hultsch ebenbürtigen Kenner der
antiken math. Schriftsteller, unternommen, als Gesamtausgabe
Herons und mit d e u t s c h e r Ü b e r s e t z u n g. Erschienen sind:
Band 1, 1899 von W. S c h m i d t, die »Druckwerke« und »das
Automatentheater«, mit einem Supplementheft: die Geschichte der
Textüberlieferung und Griech. Wortregister.
Bd. II, 1900 die Mechanik und Katoptrik, erstere von L . N i x
aus dem Arabischen, letztere von W. S c h m i d t; — B. III 1903, die
Messungslehre (Metrika) und die Dioptra »Vermessungslehre« von
H . S c h ö n e. Leider ist der verhältnismässig jugendliche W.
S c h m i d t Hultsch im Tode vorausgegangen. Aber schon das jetzige
genügt um sich von Herons wirklicher Bedeutung ein Bild zu
machen, und zeigt, dass der grösste Teil der von Hultsch edierten
Schriften höchstens inhaltlich auf Heron zurückgeht. W. S c h m i d t
konnte die Ansicht Hultschs bestätigen, wonach sich Herons
Schriften vermutlich auf drei grosse Werke verteilten: 1. Über
Feldmesskunst, von denen die grosse Arbeit über die Dioptra die
wichtigste ist. 2. Über Mechanik. 3. Über Metrik, d. h. die Lehre vom
Inhalt der Flächen und Körper.
Von den Lebensumständen Herons Heron, Leben.
scheint noch festzustehen, dass er in
Alexandrien ähnlich wie Pappos einen zahlreichen Schülerkreis um
sich gesammelt hatte, sodass seine Werke als Lehrbücher für seine
Schüler vielleicht im Auftrage der Regierung entstanden sind. Es ist
nicht unwahrscheinlich, dass Heron selbst ägyptischer Nationalität
war, was auch seinen Stil erklären würde. Jedenfalls hat er auf
ägyptische Feldmesser als Leser und Hörer gerechnet, und war mit
den ägyptischen Methoden völlig vertraut. Rätselhaft war lange Zeit
die Methode mit der Heron besonders in Metrik und Dioptra die
auffallend genauen Quadratwurzeln gezogen und in der Metrik sogar
die Kubikwurzel aus 100 (S. 78). G . W e r t h e i m einer der
tüchtigsten Schüler M . C a n t o r s hat das Rätsel gelöst. Die kurze
Notiz steht Cantor-Schlömilch Hist. litt. Abt. Band 44, 1899 S. 1, es
ist so ziemlich das letzte Vermächtnis des Diophantherausgebers.
Heron will 3√100 bestimmen. Die Kuben Herons Wurzelausziehung.
zwischen denen 100 liegt sind 64 und 125,
die erstere ist um 36 zu klein, die letztere um 25 zu gross. Die 3√
sind bezw. 4 und 5. Daher wird 3√100 gleich 4 + einem Bruche sein.
Um den Zähler zu finden multipliziert er 36 mit 5, gibt 180. Der
Nenner ist 100 + 180. Der Bruch ist also 9/14 und so ergibt sich ihm
der Näherungswert 49/14.
Wertheim nimmt nun nicht wie M . C u r t z e, der Freund und
Genosse M . C a n t o r s, die 5 als √25 sondern als 3√125 und 100
sieht er nicht wie C u r t z e als den gegebenen Radikand an, sondern
als das Produkt von 4 als 3√64 mit 53 - 100.
»A u f diese Weise stellt sich Herons
Verfahren als ein dem doppelten falschen
A n s a t z a n a l o g e s d a r.«
Ich erinnere, dass schon die ältesten Ägypter die Regula falsi
benutzten. Wertheim zeigt, dass die ebenso rätselhaften
Näherungswerte des A r c h i m e d e s für die Quadratwurzeln mit der
gleichen Methode gefunden werden können und weist dies an den
Grenzwerten des der √3 aus der Kreismessung 21 65 53 und 1738501 nach.
Dieser Nachweis macht die Erklärung Wertheims wahrscheinlicher als
die sachlich einfachere der am selben Ort mitgeteilten von
A . K e r b e r sub. 9. Nov. 1897 an Curtze gesandt.
 Sei die zu kleine Wurzel a, und die um 1 grössere schon zu
grosse a1, so ist (x3 - a3) = f = (x - a)(x2 + ax + a2) annähernd
gleich (Zeichen ～ ): (x - a)3ax. Ebenso ist -f1 ～ 3a1x, und durch
f (x - a)a
Division erhält man 1 ～ 1 1 , wenn man x - a = z setzt, so ist
-f (x - a )a
fa1
x - a1 = z - 1 und z = und dies ist die Korrektion des Heron.
a1f + af1
f
Die Methode würde für die Quadratwurzel ergeben z =
a + a1
14
also für √63; z = 15
aber Heron setzt sie gleich 71/2, 1/4, 1
/8, 1/16,
(gut ägyptisch), das ist 7 11 56 , welches genauer ist als 7 11 45 und für √
67500 statt 259 den Wert 259 45 11 95 , was bedeutend genauer als
Herons Wert, der auffallend ungenau; es ist seltsam, dass Heron
nicht 260 gewählt hat. Aber auch der vierfache falsche Ansatz passt
für √63 nicht. Denkt man aber an die alte ägyptische Unterteilung
und bedenkt, dass die Näherungsformel √a2 + ε ～ a + 2 a ε+ 1
zunächst 7 11 45 gab, so liegt es nahe, dass probeweise 7 11 56 gesetzt
wurde. Übrigens findet sich bei T h e o n von Smyrna ein
Kettenbruchverfahren für √2, und dieses oder ein sehr ähnlicher
Algorithmus ist vermutlich Archimedes und Heron auch bekannt
gewesen.
Dass H e r o n nicht nach C a e s a r Heron als Schüler des
gelebt haben kann, das geht schon aus der Ktesibios.
Abhängigkeit V i t r u v s von Heron hervor,
die ich schon um deswegen nicht bezweifle, weil Vitruv den Heron
nicht erwähnt. Als sein Lehrer gilt K t e s i b i o s, weil ein Werk des
Heron die βελοποιικα, Geschützverfertigung, in einigen Handschriften
darunter die beste, überschrieben ist Ἡρωνος Κτησιβιου βελοποιικα.
W i l h e l m S c h m i d t, der verdienstvolle Neubearbeiter des Heron,
verwirft diese Begründung, und mit Recht, spricht sich aber über die
Tatsache selbst nicht weiter aus. Mir scheint das Faktum richtig.
Dass auch Heron ein Alexandriner, Αλεξανδρευς, gewesen wie
Ktesibios steht fest, und dass Ktesibios der ältere war, ebenfalls, und
gerade in den »Pneumatika« der Lehre von der mechanischen
Anwendung des Luftdrucks, schliesst sich Heron eng an Ktesibios an.
Und sehr spricht für das Schülerverhältnis die Stelle bei P r o k l o s,
Friedl. S. 41: και ἡ θαυματοποιικη τα μεν δια πνων φιλοτεχνουσα,
ὡσπερ και Κτησιβιος και Ἡρων πραγματευονται.
Nach S u s e m i h l lebte Ktesibios unter Der Dampf als Motor.
Ptolemaios Philadelphos und Euergetes I in
Alexandrien und zeichnete sich durch Erfindung schwerer Geschütze,
die er mit komprimierter Luft trieb, aus. Wohl war die Triebkraft der
gepressten Luft schon dem A r i s t o t e l e s bekannt, aber die
Windbüchse hat jener konstruiert, der nicht mit dem anderen
Ktesibios, der eine Wasserorgel konstruiert hat »dem Sohn des
Bartscherers« zu verwechseln ist. Ktesibios konstruierte auch einen
Apparat zur Mauerersteigung, sowie Automaten und schrieb eine
theoretische Mechanik. An ihn schliesst sich Heron als praktischer
Mechaniker zunächst an, in der Schrift »πνευματικα,« Druckwerke, in
2 Büchern, welche besonders den Luftdruck verwertet, allerdings
ohne die heutige Theorie. Die in der Einleitung erwähnte Schrift über
die Wasseruhren (wörtlich Stundenzeiger mittelst Wassers) in 4
Büchern ist bis auf ein ganz winziges Fragment verloren. Neben
vielen ergötzlichen Spielereien findet sich darin der Heber (Philon)
der Heronsbrunnen, der Heronsball, das Gesetz der
kommunizierenden Röhren, die Druckpumpe, die Feuerspritze, d i e
nachweislich erste Anwendung des Dampfes als
T r i e b k r a f t, ein Dampfkessel mit Innenfeuerung und
Schlangenrohr als Badeofen etc. Unter den Automaten ist die sich
selbst regulierende Lampe, das automatische Restaurant etc.
 Ich gebe hier II, VI die erste Anwendungen des
konstatierte Anwendung des Dampfes als Dampfes.
Motor, nach W. S c h m i d t s neuer Ausgabe
wieder. »Ferner Kugeln, welche sich auf Luft bewegen. Ein Kessel
mit Wasser, der an der Mündung verstopft ist, wird unterfeuert, s.
Fig. Von der Verstopfung aus erstreckt sich eine Röhre, mit welcher
oben eine hohle Halbkugel durch Bohrung in Verbindung gesetzt
worden ist. Werfen wir nun ein leichtes Kügelchen in die Halbkugel,
so wird es sich ergeben, dass der aus dem Kessel durch die Röhre
getriebene Dampf das Kügelchen in die Luft emporhebt, so dass es
darauf getragen wird.«
Ist hier der Dampf nur zur Spielerei benutzt, so leistet in II 34 in
dem Badeofen, nach seiner Form die einem römischen Meilenstein
ähnelt, Miliarion genannt, der Dampf nützliche Dienste. Die Figur
bedarf keiner Erläuterung. Wir haben hier einen D a m p f k e s s e l
mit I n n e n f e u e r u n g und den Anfang des kupfernen
Schlangenrohres, welches etwas später daraus hervorging. Der
Dampf steigt durch eine Röhre, welche in das den Deckel
durchsetzende Rohr eingeschlossen und darin drehbar ist, in den
Mund des kleinen Genius, der nur als Blasebalg für die
Kohlenfeuerung dient. Hier wird man wohl wieder sagen müssen,
dass es nichts Neues unter der Sonne gibt.

An die Pneumatika schliesst sich das Automatentheater.

»Automatentheater« wie W. S c h m i d t
sinngemäss den eigentlichen Titel Περι αυτοματοποιητικης übersetzt;
auch hier wie Heron selbst angibt, in der Einleitung zu den
stehenden Automaten, Schmidt I, S. 404, Z. 12, stützt er sich auf
P h i l o n. Die Automaten, die heute bei uns nur noch auf den
Jahrmärkten und zu Reklamezwecken in den Schaufenstern dienen,
abgesehen von den grässlichen Musikautomaten, spielten im 17. und
18. Jahrh. eine sehr grosse Rolle in den Belustigungen auch der
Hochgestellten, — ganz wie zur Zeit des Philon und Heron. Ich gebe
hier den Bericht des Heron über die Aufführung der Pantomime
Nauplios (durch Philon). Der Sage nach war Nauplios der Vater des
Palamedes, der den Tod seines Sohnes Palamedes, an den Argivern
rächte, den Odysseus um seinen Konkurrenten in der Klugheit zu
beseitigen, verursacht hatte. Athene stand ihm bei, sie zürnte
besonders Ajax dem Lokrer, der ihr Palladion geschändet hatte. Also:
auf der Bühne war das auf Nauplios bezügliche Stück vorbereitet
(das Stück selbst: μύθος, vermutlich von Sophokles), das Einzelne
verhielt sich so: Zu Anfang öffnete sich die Bühne, dann erschienen
zwölf Figuren im Bilde, diese waren auf drei Reihen verteilt. Sie
waren als Danaer dargestellt, welche die Schiffe ausbessern und
Vorbereitungen treffen um sie ins Meer zu ziehen. Diese Figuren
bewegten sich, indem die einen sägten, die andern mit Beilen
zimmerten, andere hämmerten, wieder andere mit grossen und
kleinen Bohrern arbeiteten. Sie verursachten ein der Wirklichkeit
entsprechendes, lautes Geräusch. Nach geraumer Zeit wurden aber
die Türen geschlossen und wieder geöffnet, und es gab ein anderes
Bild. Man konnte nämlich sehen, wie die Schiffe von den Achäern ins
Meer gezogen wurden. Nachdem die Türen geschlossen und wieder
geöffnet waren, sah man nichts auf der Bühne als gemalte Luft und
Meer. Bald darauf segelten die Schiffe in Kiellinie vorbei. Während
die einen verschwanden, kamen andere zum Vorschein. Oft
schwammen auch Delphine daneben, die bald im Meere
untertauchten, bald sichtbar wurden, wie in Wirklichkeit. Allmählich
wurde das Meer stürmisch und die Schiffe segelten dicht
zusammengedrängt. Machte man wieder zu und auf, war von den
Segelnden nichts zu sehen, sondern man bemerkte Nauplios mit
erhobener Fackel und Athene, welche neben ihm stand. Dann wurde
über der Bühne Feuer angezündet, wie wenn oben die Fackel mit
ihrer Flamme leuchtete. Machte man wieder zu und auf, sah man
den Schiffbruch und wie Ajax schwamm. Athene wurde auf einer
Schwebemaschine und zwar oberhalb der Bühne emporgehoben,
Donner krachte, ein Blitzstrahl traf unmittelbar auf der Bühne den
Ajax und seine Figur verschwand. So hatte das Stück, nachdem
geschlossen war, ein Ende.
 Es folgen dann die genauen Vorschriften Heron, Euthytonos
zur Anfertigung der Automaten. (Geradspanner).
Die Pneumatik zeigt zugleich, wie falsch
die Vorstellung ist, dass das Experimentieren erst etwa durch Bacon
erfunden sei, z. B. Pneum. 28, 29, aber nicht nur Heron war ein
tüchtiger Experimentator, sondern schon D e m o k r i t hat seine
physikalischen Theorien auf Experimente gestützt, indem er z. B.
Versuche über Filtrierung von Meerwasser angestellt hat.
Es folgt die βελοποιικά, den Titel hat Geschützverfertigung.
H. Degering nicht ohne Geist erklärt als
Herons Bearbeitung von Ktesibios Geschützverfertigung; die Frage
nach den antiken Geschützen, für die bisher das grosse Werk von
K ö c h l y und M a j o r R ü s t o w ausschlaggebend war, ist durch die
Versuche von E . S c h r a m m in Metz in ein neues aber noch nicht
abgeschlossenes Stadium getreten. Dass Griechen und Römer über
ein sehr hochentwickeltes Geschützwesen verfügten und eigene
kaiserliche Waffentechniker, armamentarii imperatoris, besassen ist
bekannt; soll doch nach Athenodoros der Winkelspanner des
Archimedes einen 12elligen Balken auf die Weite eines S t a d i o n s
geworfen haben.
Die Figur S. 323 stellt den G e r a d s p a n n e r (Euthytonos) des
Heron dar.

Der Schluss des Werkes enthält die von Das Delische Problem.
Eutokios mitgeteilte Konstruktion für das
Delische Problem, welche mit der des Apollonios im Prinzip und mit
der des P h i l o n, der als 4. Buch seiner Mechanik ebenfalls über
Geschützbau ausführlich gehandelt hat, übereinstimmt. Sollte die
Kraft der Geschosse verdreifacht werden, so musste der Cylinder, der
den Spanner aufnahm, verdreifacht werden und damit war das
Delische Problem gegeben, dessen Lösung sich von der des
Apollonios und besonders der des Philon nur sehr wenig, und im
Prinzip gar nicht unterscheidet.
 Der Bericht des Eutokios ist überarbeitet, der des Pappos III p.
62 scheint fast genau mit dem Original zu stimmen, bis auf
geringfügige Zusätze, wie z. B. gleichen Umfang παραλληλογραμμον.
Das Original ist zum Schluss vollständig verworren, und ich folge der
von Köchly jedenfalls mit Benutzung von Pappos gegebenen
Sanierung und nicht der in der Mechanik S. 24 aus dem Arabischen
übertragenen. Die Konstruktion des Philon die bei Eutokios sich
anschliesst findet sich Köchly S. 238 skizziert.

Heron: Es seien αβ, βγ die gegebenen Strecken, senkrecht zu

einander, es soll das Rechteck αβγδ vollendet und δγ, δα verlängert
worden sein. Du sollst an Punkt β ein Lineal anlegen, das die
verlängerten Strecken schneidet und das besagte Lineal bewegen bis
die zwei ε mit den Schnitten verbindenden einander gleich sind. Es
habe nun das Lineal die Lage der Geraden ζβη und die beiden
andern Geraden seien εζ und εη, so behaupte ich, dass αζ, ηγ die
mittleren Proportionalen der Strecken αβ, βγ sind.
Der Beweis mittelst (a + b)(a - b) gleich a2 - b2 (oder auch mit
dem Potenzsatz) ist ohne weiteres klar.
Die Konstruktion des Philon führt die Gleichheit von ζε und ηε
auf die von ζβ und ηθ zurück, was mittelst geteilten Drehlineals
praktisch vorteilhaft ist.
 Ebenfalls experimenteller Physik gehört Katoptrik.
Herons K a t o p t r i k, die Lehre vom
reflektierten Licht an, die Lehre vom Spiegel, Winkelspiegel,
Vexierhohlspiegel, Spiegel zu Geistererscheinungen etc. Sie ist jetzt
unter den Werken Herons von W. Schmidt 1901 (Bd. II)
herausgegeben, nach einem lat. Manuskript des Wilhelm von
Mörbeck, den wir schon bei Archimedes als Übersetzer erwähnten.
Das griech. Original wird sich vermutlich im Vatikan finden, jedenfalls
hat es sich dort befunden. Die Schrift war unter dem Titel Claudii
Ptolemei de Speculis 1518 gedruckt worden. Als die weit über Heron
hinausgehende Optik des P t o l e m a i o s in einer aus dem
Arabischen übersetzten Optik des Admirals Eugenius Siculus (vgl. die
Einleitung W. Schmidts S. 303) erkannt war, bewiesen H . M a r t i n,
R o s e und S c h m i d t dass jene frühere Schrift eine verkürzte und
verstümmelte Wiedergabe der Katoptrik des Heron sei, von der
Kunde existierte.
Heron legt die Emissionstheorie Reflexionsgesetz.
zugrunde, die Sehstrahlen sind eine Art
Äthermoleküle, die vom Auge aus mit unendlicher Geschwindigkeit
gesandt werden. Seine mathematischen Ableitungen beruhen auf
dem Satz: das Licht bewegt sich auf kürzestem Wege (wie s. Z.
F r e s n e l). Ich gebe die Einleitung wörtlich und die Ableitung des
Reflexionsgesetzes aus Kp. IV und V dem Sinne nach. Einleitung:
»Da es zwei Sinne gibt, durch welche man nach Platon zur
Weisheit gelangt, nämlich das Gehör und das Gesicht, so hat man
sein Augenmerk auf beide zu richten. Von dem, was in das Gebiet
des Gehörs fällt, beruht die Musik auf der Kenntnis der
wohlklingenden Tonbildung und ist, um es kurz zu sagen, die
Theorie von dem Wesen der Melodie und den Gesetzen der
Tonlehre. Was die Möglichkeit betrifft, dass die Welt entsprechend
der musikalischen Harmonie geordnet sei, so stellt die Theorie viele
verschiedenartige Behauptungen darüber auf. Wenn man nämlich
den ganzen Himmel der Zahl nach in acht Sphären einteilt, nämlich
in die der 7 Planeten und in diejenige, welche alle (sieben) umfasst
und welche nur die Fixsterne tragt, so ist die Folge, dass bei den
Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade

Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.

Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and

personal growth!

ebookname.com