练习试卷 3

一、填空题

1 0  1 
 
1. 已知 A  2 t 1 ， B 是秩为 2 的三阶方阵，且 R ( AB )  1 ，则 t  .
 
 1 2 1
 

 1 1 1 
 
2. 设  为 3 维列向量，  是  的转置，若   1 1 1 ,则   
T T T
.
 
 1 1 1 
 

3. 当向量  = (1, k ,5) 可由向量   (1, 3, 2) ，   (2, 1,1) 线性表示时， k  .

4. 设 A 是三阶矩阵，已知 A  iE  0 (i  1, 2,3) ，则 A  4 E  .

5. 已 知 实 二 次 型 f ( x1 , x2 , x3 )  a( x1  x2  x3 )  4 x1 x2  4 x1 x3  4 x2 x3 经 正 交 变 换
2 2 2

x  Py 可化成标准形 f  6 y12 , 则 a  .

二、选择题

1. 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价,则必有( )

(A) 当 A  a (a  0) 时， B  a ； (B) 当 A  a (a  0) 时， B   a ；

(C) 当 A  0 时， B  0 ； (D) 当 A  0 时， B  0 .

2. 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B ，再把 B 的第 2 列加到第 3

0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
       
(A)  1 0 0  ； (B)  1 0 0  ； (C)  1 0 0  ； (D)  1 0 1  .
1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
       

1
3. 设三阶行列式 D  aij  0 ，则( )

(A) D 中至少有一个行向量是其余行向量的线性组合；

(B) D 中每一个行向量都是其余行向量的线性组合；

(C) D 中至少有两个行向量线性相关；

(D) D 中每一个行向量都线性相关.
1
4. M 为正交矩阵， A 为对角矩阵，矩阵 M AM 为( )

(A) 正交矩阵； (B) 对称矩阵； (C) 不一定为对称矩阵； (D) 以上都不对.

5. 设是 4 阶实对称矩阵，且 A2  A  O ，若 R( A)  3 ，则 A 相似于( )

1  1 
   
 1   1 
(A)  ； (B)  ；
 1   1 
 0   0 
 

 1  1 
   
 1   1 
(C)  ； (D)  .
 1   1 
 0   0 
  

三、计算题

x2 2 2 2
2 x2 2 2
1. 求 .
2 2 x2 2
2 2 2 x2

2
 3 0 0  3 6 
   
2. 设矩阵方程 AX  B  2 X ，且 A  0 1 1 ， B  1 1  ，求矩阵 X .
 
0 1 4   
   2 3 

0 0 1
 
3. 已知矩阵 A 相似于矩阵 B  0 1 0 ，求 R ( A  2 E )  R ( A  E ) .
 
1 0 0
 

3
 2 1 8 3 7 
 
2 3 0 7 5 
四、设 A   ，求矩阵 A 的秩以及 A 的一个最高阶非零子式.
 3 2 5 8 0 
 
1 0 3 2 0 

五、已知向量组

1  (1, 1, 2, 4)T ， 2  (0,3,1, 2)T ， 3  (1, 1, 2, 0)T ， 4  (2,1,5, 6)T ，
求向量组的秩及一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.

4
六、对于线性方程组
 x1  x2  x3    3,

 x1   x2  x3  2,
 x  x   x  2.
 1 2 3

讨论  取何值时，方程组无解，有唯一解和无穷多解. 在方程组有无穷多解时，试
用其导出组的基础解系表示全部解.

1 1 a
 
七、已知三阶矩阵 A  1 a 1 的迹 tr( A)  0 .
 
a 1 1
 
T
求：(1) a 的值；(2)正交矩阵 Q ，使 Q AQ 为对角矩阵.

5
八、设  * 是非齐次线性方程组 Ax  b 的一个解， ξ1 , ξ 2 , , ξ n  r 是对应的齐次线性

方程组的一个基础解系，证明：  *, *  ξ1 , , *  ξ n  r 线性无关.

6
答案：

一、填空题
1、 3 ；2、3；3、 8 ；4、 6 ；5、 2 .
二、选择题
1、D；2、B；3、A；4、B；5、A.
三、计算题

1 2 2 2
1 x2 2 2
1、解：原式= ( x  8)
1 2 x2 2
1 2 2 x2

1 2 2 2
0 x 0 0
= ( x  8)  ( x  8) x3 .
0 0 x 0
0 0 0 x

2、 解：由题意得 ( A  2 E ) X  B ，则 X  ( A  2 E )1 B .

由于
1 0 0 3 6 1 0 0 3 6
   
( A  2 E , B)   0 1 1 1 1   0 1 0 4 1 ,
   
0 1 2 2 3   0 0 1 3 2 

 3 6
 
故 X   4 1  .
 3 2 
 

0 0 1
 
3、解：由矩阵 A 相似于矩阵 B   0 1 0  ，可得
1 0 0
 

( A  2E) (B + 2E ) ， ( A  E ) (B  E ) .

故 R( A  2 E )  R( A  E )  R( B + 2 E )  R( B  E ) .

7
  3  2  5.
四、解：对 A 作初等行变换化成行阶梯形矩阵
2 1 8 3 7  1 0 3 2 0
   
2 3 0 7 5   2 3 0 7 5 
A 
 3 2 5 8 0   3 2 5 8 0
   
1 0 3 2 0  2 1 8 3 7 
1 0 3 2 0  1 0 3 2 0
   
 0 3 6 3 5   0 1 2 1 7 
 
 0 2 4 2 0   0 2 4 2 0
   
0 1 2 1 7   0 3 6 3 5 
1 0 3 0 1
2 0 3 0
2
   
0 1 2 1 7  0 1 2 1 7 
  ，
0 0 0 0 14  0 0 0 0 1
   
0 0 0 0 16  0 0 0 0 0
（阶梯型矩阵不唯一）
故 R( A)  3.
2 3 5
A 的一个最高阶非零子式为 3 2 0  10  0 .
1 0 0

1 0 2 1
1 0 12
   
1 3 1 1   0 3 0 3
五、 解： 1 ,  2 ,  3 ,  4    
2 1 2 5 0 1 0 1
   
4 2 0 6 0 2 4 2 

1 0 1 2 1 0 0 1
   
0 1 0 1 0 1 0 1
  ,
0 0 0 0 0 0 1 1
   
0 0 1 1 0 0 0 0

所以秩为 3； 1 ,  2 ,  3 为一个最大无关组；

且  4  1   2   3 .

8
  1 1   3 1 1  2 
   
六、解： A1  1 2    1  1 2 
1 1  2    1 1   3 


1 1  2 
 
  0  1 1  0 
0 (1   )(2   ) 3(  1) 
 0

(1)当   2 时， R( A)  2  R( A)  3 ，方程组无解；
(2)   1 且   2 ，方程组有唯一解；
(3)当   1 时，方程组有无穷多解.
1 1 1 2 
由 A   0 0 0 
r
0  ，得 x1   x2  x3  2
0 0 0 0 

 2   1  1
     
通解 x   0   k1  1   k2  0  , 其中 k1 , k2 为任意常数.
 0 0 1
     

七、 解 (1) tr( A)  1  a  1  0  a  2 .

(2) A   E   (3   )(3   ) ，特征值 1  0, 2  3, 3  3 .

1 1 1 T
属于特征值 1  0 的正交单位化的特征向量 p1  ( , , ) ；
3 3 3

1 2 1 T
属于特征值 2  3 的正交单位化的特征向量 p2  ( , , ) ；
6 6 6

1 1 T
属于特征值 3  3 的正交单位化的特征向量 p3  ( , 0,  ) .
2 2

9
  1 1 1 
 
 3 6 2 
令   ，且 Q AQ    diag (0, 3,3) .
T
1 2
Q  ( p1 , p2 , p3 )    0 
 3 6 
 1 1 1 
  
 3 6 2

八、证明: 设 k * k1 ( * 1 )   kn r ( *  n r )  0 ,即

(k  k1   kn r ) *  k11   kn  r n  r  0

等式两边左乘 A ,得
A *b  0
(k  k1   kn r ) A*  0  k  k1   kn  r  0 ,

则 k11   kn  r  n  r  0 .

由 ξ1 , ξ 2 , , ξ n  r 线性无关,得 k1   kn  r  0  k  0 ,

所以  *, *  ξ , , *  ξ 线性无关.
1 nr

10