Z transfo rm
The 2 -tronsform dirret time
powen Seros
dyied Hhe
Comple vareau
where 2
XC.
The z tronsform
nd hene
an iepower aerag
haye
t will eist ooly fo
for which the power Serey coNuors es. The
set al he valueg -for which the power
Sere Conuerge +he Region t
COhvergene (Ro).
Broper lig
Linely
X, Cz)
+hen
Preg
Time Shifting
-k
put n k= m
-Cm +k)
Saling o don ain
If
a'a c ’ X Cas
prog
anc^)
aa h
Time Rouers al
-h m
Differentiation i
dxce) d
dz dz
n
-n
Lo_x(2) ncco.z
2 de
dz
Integratien im 2 dosnn
1f ccn)
Sxc dz
z
n= )
-n
dz- fh-lj
D
confrn
J dz
-n-17
CHz
dz
n
-f X (Ddz
Covoltion fopestg
X cDX2(2
Lhen
Now
x 2 Cn -k)
n
M8
X2 (z. X(2)
The initial Value theorem
>(0) X(2D
md
Casua
proy
for n <o
in
The final hale theorero
X(z)
Ce Cagual.
i 0-z) xcz)
Procf
Cagual
lx2 --
Subtrat fcm
n o
(I-)x
C(-)xcT
li
Z)
nd
Coo
becaye JC Ch)-o for n2o
Soraly
2 trons foon ote Duratin
Cn)-dn)
= 1
Roc entire
plo
Realz.
no
entire 2 plae ept 2=0
Roc
XC2)=z2
Roc entire plome ecapt
Xc)- )+ 34:
Roc
XC2)- 2 + 3 2 + 4
ROC
2) 3,
4 2
- Z + 2 4 32
ROC
re c
lonclugjon finle cluratoh
the of
entire z plane exapt2z
eol cept z ao
(asual
) RHS Z plone
Roc y entire
i) Hs omticafuat
expt
led
2 Aransform of nfini te DaratiónSgnals
- n
XCD- 2 n ) 2
<1
|zl21
RoC
121:
uch=
-ul--D
J )z)4)
-)
vi)
vi).
J
za
an (a) anh
n
(-n)
Icn-au)
Lz|< |az<)
2
J2)>I
Jca
(=)
-(E) |zl>1
2-|
X2): J an
|az'<
fa
az]z)b
na
nz
0-2) (2-)2
melkod 2
|z) >
z-.
Z-)
d2
-Z.
(z)
|21>1
Cnnucn)
Znuc
(2-)2
ae (z -1) 2
-2 (z-) R (2 - . z
(2 -)3
-z2 7 - 2 2 + 2 2 ) z
=z (21) 2(ztD(eA)
2Cz+)
C2-)3
X) xcn naucn
X(2-nah
Sna)
(1- baz'² lazll<1
|z]>a .
(2-a)2
.Jnah a n h
oazD Jcay
(l-az)2.
2
a2+Z az
(224
(2-a)2 (z-aj
Xii) n .uln)
nahn
)
(l-ozl)
a2 az (az-) +2
(2-)2. (az-)
aucn zl>a
an shyting feees y
Z-a
7nanucn- -z d
-2
(2-a)o
(2
XiiiJ Tcn) naucn -)
a.nn
-N(az)"
Znauch) 2anauch)
aZ
(2
-n
no
l az
2 3
2 )
az
laz| <|
|zla
n
(x)
2-2
&2
32
32-)
6222+62.
,22 -32 )
)2-52
62252+|
lL) n
2)- 4(]un
3 a 4 Jszy
(2)
-4 |2)>3
I-37) Roc & l2)23
CCn- Cas us n uc o Son Un ucn
Sely
uln
Jate
2-(casW) Soo )
2(2- Cape
(2-cosus)t ps Siuo
z(ason) 2 cogu
2222 Cogut)
Conclusion
Casual .
anticauas
outaiclad
1 cn>= (n+) ucn
Jn
(l-)2
(2-)2 Z-)
(zl )
22
(2)2 (2-)2
ych)
n-)
+IC1)
laking 2 lan
Y - y(2) - X(2).
Yc (1-7)-xc2)
Show hat I-2logot2
Roc |2|>1
on-j won
) -))
-jwo jwo
|- e +|-e
I e
1- 2 og
Deteronine 2-rom Sforso sgral
OSnN-J
2
olkaa wie
Solutio
XCH, ucn- uCn -
shyting
wsing Linearity && time
XCz):2ucnd- 2u Cn -n)
|2)>I
X(2) 2 N. z
I2
Cogirm
finle duratien sitnal
Sin e
is
ccept
entre 2 plone
ROC
a o s ca,n ucd
olelinne Jka z trorn s forg
) zluasoo
2
2 2
I-aal2) ootaz)
bxample
Sho that 2| log (i+az]. Roc l2l> lal
(-) aucn -
Roc
XC2) log C1+az')
dxcz)
dz I+a
-2d xc2) az
Now
4(n-1).
-Caz)
-2 dx(2ncoal-a)n=ucna)
uCn )
n
n+)
an uCn-)
Compute the co velutio he foll wm
6S4.
&t2-32 2
X}(2
X2lz): I + 2 3 4
Example
Show that
2'log (itaz)]. Roc 12l> lal
an
u Cn)
XC2)- loq C1+a~') Roc lzl>la)
dxcz)
- - a22
dz |+az
-2d Xc2) az'
Now
-2dx
dX(2)n c al -a)ucn ).
C)-l an
n
n+)
uCnI)
Compute the Com vewutio y the
fo}lum
Sigoaly
X1 C2) &42372
X(D, X(2) X2(2)
(2,.3, o, o,0, -2, -3)
Correlati'on two sepueneg
then
Deterine the auto correl atlon the Si&oay
xcH)= a'ucn
Solution
Koc l l > 4
-az!
XC7)- J Roc Izl<a.
Rxxc 2). |-az
)-a~' Jal <i2)2 Ja).
Apply inad ale theren to pet
for the Sifnay
n e
20 olkeuie
X(2).
2 )
Determine 2 transform ucn)
X(2)
.
-5-)
Now
dz
n0 2
22
r2.|2sdz
no
2
S 2C2
dz
F2 Jog 2
XC= z log 2 Roc lzl>|
