Solution Manual for Algebra and Trigonometry

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Solution Manual for Algebra and Trigonometry 10th Edition

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Test Bank for Algebra and Trigonometry 10th Edition

Sullivan 0321998596 9780321998590

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trigonometry-10th-edition-sullivan-0321998596-9780321998590/

Solution Manual for College Algebra 10th Edition Larson

ISBN 1337282294 9781337282291

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Solution Manual for Algebra and Trigonometry 6th Edition

Blitzer 0134463218 9780134463216

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trigonometry-6th-edition-blitzer-0134463218-9780134463216/
Solution Manual for Algebra and Trigonometry 8th Edition
Aufmann Nation 1285449428 9781285449425

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Solution Manual for Algebra and Trigonometry 4th Edition

Stewart Redlin Watson 1305071743 9781305071742

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watson-1305071743-9781305071742/

Solution Manual for College Algebra and Trigonometry 3rd

Edition by Ratti McWaters ISBN 0321867416 9780321867414

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isbn-0321867416-9780321867414/

Solution Manual for Algebra and Trigonometry Graphs and

Models 6th Edition Bittinger Beecher Ellenbogen Penna
0134179048 9780134179049
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Solution Manual for Algebra and Trigonometry Graphs and

Models 5th Edition Bittinger Beecher Ellenbogen Penna
9780321783974 0321783972
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trigonometry-graphs-and-models-5th-edition-bittinger-beecher-
ellenbogen-penna-9780321783974-0321783972/
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 Solutions Manual for Algebra and Trigonometry
10th Edition by Ron Larson

CHAPTER2
Functions and Their Graphs
Section 2.1 Linear Equations in Two Variables ................................................... 165
Section 2.2 Functions ............................................................................................. 178
Section 2.3 Analyzing Graphs of Functions ......................................................... 187
Section 2.4 A Library of Parent Functions ........................................................... 197
Section 2.5 Transformations of Functions ............................................................ 202
Section 2.6 Combinations of Functions: Composite Functions ........................... 212
Section 2.7 Inverse Functions ................................................................................ 221
Review Exercises
...................................................................................................... 234

Problem Solving ......................................................................................................

243 Practice Test

............................................................................................................. 248

C H A P T E R 2 Functions
and Their Graphs
Section 2.1 Linear Equations in Two Variables
1. linear 14. The line appears to go through (0, 7) and (7, 0 .)

0
2. slope Slope = y2 − y1 = − 7 = −1
x2 − x1 7−0
3. point-slope

15. y = 5x + 3

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4. parallel
Slope: m = 5
5. perpendicular
y-intercept: (0, 3)
6. rate or rate of change y

5
7. linear extrapolation
4
3 (0, 3)
8. general

9. (a) m = . Because the slope is positive, the line rises. −4 −3 −2 −1 1 2 3

x

Matches L2.
(b) m is undefined. The line is vertical. Matches L3.

(c) m = −2. The line falls. Matches L1.

16. Slope: m = −1

10. (a) m = 0. The line is horizontal. Matches L2. y-intercept: 0,( −10)

(b) m

−
.

B
e
c
a
u
s
e

t
h
e

s
l
o
p
e

is negative, the line y falls. Matches L1.

(c) m = 1. Because the slope is positive, the line rises. x

Matches L3.

m=0

17. y = − x − 1

Slope: m = −

y-intercept: 0,( −1)

 166 Chapter 2 Functions and Their Graphs

13. Two points on the line: (0, 0) and (4, 6)

Slope = y2 −y1 = 6 = 3
x2 − x1 4 2

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part. 165

18. y = x + 2
y

Slope: m = 4

y-intercept: 0,( 2)
2

y x
−6 −2 2
−2
6

4 −4

(0, 2)

21. 5x − =2 0
x
−6 −2 2 4
x = , vertical line
−2
Slope: undefined
−4
y-intercept: none

19. y − 5 = 0 y

y =5 2

Slope: m = 0 1

x
y-intercept: 0,( 5)
−1 1 2 3
−1

y −2

8
6
(0, 5)
4
22. 3y + 5 = 0 3y = −5 y = −

2 Slope: m = 0

)
x

(
−4 −2 2 4
−
−2 y-intercept: 0,

20. x + 4 = 0
x
−2 −1
x = −4
1 2

−1

Slope: undefined vertical line( ) (0, − 53)

y-intercept: none −3

−2

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23. 7x − 6y = 30
−6y = −7x + 30

y = x−5

Slope: m =

y-intercept: 0,( −5)

1
x
−1 1 2 3 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5 (0, −5)

−7
 168 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 168

24. 2x + 3y = 9 1 −−( 1) 2 1
28. m = = =− =

−4 2
3y = −2x + 9
y =
y =− x+3 5
4

Slope: m = − 3 0
2
(−2, 1) 1

y-intercept: (0, 3)
x
−5 −4 −3 −2 −1 3 4 5

y −2 (2, −1) =
−3
5 −4
−5
4 0
(0, 3) 8
2
5
1 29. m

−1 1 2 3 4

25. m = 0 − 9 = −9 = −
3
6−0 6 2

26. m = −5 − 0 = −5
= 1 0 − 10
−10 2
y 3

6
4
2
(10, 0)
x
−2 2 4 6 8 10 12
−2
−4

(0, −5)
−8

−2 − 2

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 169 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 169

=3

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 170 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 170

6 6 0

m is undefined.
y

8 6
27. m == = 2
(−6, 4) 4
1 3 4

y 2

6 (1, 6) x
−8 −2
5 (−6, −1)
4 −2

2
1

−5 −4 −3 −1 1 2 3

(−3, −2) x
 171 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 171

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 170 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 170

(−3, 8 ,) and (−2,10 .)

5
32. m = =−
4 0 2 38. Point: (0, −9), Slope: m =
−2

Because m = −2, y decreases

by 2 for every one unit
increase in x. Three

other points are (− −2,

5),

(1, −11), and 3,( −15 .)

39. Point: (4, 5 ,) Slope: m =

−

Because m = − , y decreases by 1 unit for e

unit increase in x.
Three additional
points are (−2, 7 ,

0,
)
( − ), and

1, 6 .( )

40. Point: (3, −4), Slope: m =

m
Because = , y increases by 1 unit for e
increase in x. Three
additional points are

(− −1, 5) (, 1, −11), and

)
35. Point:(5, 7 , Slope: ) m=0 3,( −15 .

Because m = 0, y does not change. Three other points are (−1, 7 , 0, 7 , and 4, ) ( ) ( 7 .) 41. Point: (−4, 3 ,) Slope is
undefined.
36. Point: (3, −2), Slope: m = 0 Because m is undefined, x
does not change. Three
Because m = 0, y does not change. Three other points are (1, −2) (, 10, −2), and (−6, −2 .) points are (−4, 0 , ) (−4,
37. Point: (−5, 4 ,) Slope: m = 2 5 , and ) (−4, 2 .)

Because m = =2
42. Point: (2, 14 ,) Slope is
, y increases by 2 for every one

unit increase in x. Three additional points are (−4, 6 ,) undefined.

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 171 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 171

Because m is undefined, x does not change. Three other points are (2, −3) (, 2, 0 , and 2, ) ( 4 .) 45. Point: (−3, 6 ;) m = −2

(−3, 6) 6

4
x
−6 −4 −2 2 4 6
−2

−4

−6

43. Point: (0, −2); m = 3 y − = −6 2(x +

y + 2 = 3(x − 0) y = 3x − 2 3) y = −2x

1
(4, 0)
x
−1 1 2 3 4
−1

−2
y

46. Point: (0, 0 ;) m = 4

2

y − =0 4(x − 0)
x
−2 −1 1 2 3 4
−1

−2
(0, −2) y = 4x
y

44. Point: (0,10 ;) m = −1

y − 10 = −1(x − 0) y − 10 = −x y = − +x 10

y
47. Point: (4, 0 ;) m = −

10 (0, 10) y− = −0
8
(x −
6
2
4 4) y = −
x
−2 2 4 6 8 10 +13x

43

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(0, 0)
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 173 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 173

in whole−3or−2in −1
part. x
1 2 3
 172 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 172

48. Point: (8, 2 ;) m = y

8
y−2= (x − 8) y − y− = 0 (x − 4 )
6

2= x−2 y− =0y=
4
(8, 2)
2

y= x x
246810 y
−2
−4 5
−6 4

3
)4, 52 )

49. Point: (2, −3); m = − y y 4 − −( 3) = − (x − 2) −1 1 2 3 4 5

x

−1
3
2

y+3=− x+1 1
x

−5 −4 −1 123
−1
y=− x−2
(2, −3)
−3
−4

50. Point: (− −2, 5); m =

y +5= (x + 2)
4y + 20 = 3x + 6

4y = 3x − 14 y = 34x − 72
y

x
−2 2

−2

(−2, −5)

51. Point: 4, ( ); m = 0
y

52. Point: 2, ( ); m = 6 55. (5, −1) (, −5, 5) 8

(−5, 5)
− 5) 6

y− = 6 (x − 2 ) y+1= (x 4

y− = 6x − 12 −1 x
−6 −4 −2 2 6

(x − 5)
−2 (5, −1)
y = 6x − y=−
−4

4 y
y y= − x + 2
2
2, 23
( 6

−4 −2 2 4 6
x − 4) 56. (4, 3 ,)4 (− −4,4)

(4, 3)
−2 2

−4 −6 −4 y−
−2 = 2y 4 (6x x

8 3
−4
=7 −1
 173 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 173

(−5(−.14,
.84))
,1−
(−7, 5) 2
6
−7 −6 1

4−4 −
−−2
x
11
yned,xcopied or duplicated, or posted to a publicly accessible website,
3

y − 1.8 = 5(x − (5.1))

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8 2 (−7, 2) 2 −2
−3
x
y = 5x + 27.3 −8 −6 −4 −2 −4
57. (−7, 2 , ) (−7, 5) −2 −5
 173 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 173

y−3= (x − 4)

53. Point: (−5.1, 1.8); m = 5 y − 3 = 78x − 72

5 2
m= = 3
7 7 0

m is undefined.

54. Point: (−2.5, 3.25 ; ) m = 0 y − 3.25 = 0(x − −( 2.5)) y − 3.25 = 0

y = 3.25
58. (− −6, 3) (, 2, −3)
yy − 4 =(x + 6)
8

6 y + 3 = 0(x + 6)
(−2.5, 3.25) 4
2 y+3=0
x
−4 −2 2 4 y = −3

x
−6 −4 −2 2 4
−2

(−6, −3) −4 (2, −3)

−6

−8
−2

59. 2, 1 , 1 5, y 63. (2, −1), 1,

3 3

−1 y 2

(2 , 4( 1
2
1
1 5 (2, 1 )
2
2 24 3 −1 1 2 3 4 5

1 −1 1 2 3
−2
)13, −1) (2, −1)
−1 )
2 −1 − −( 1 ( ) −3

1 y + 1 =x − 2

y − =(x − 2)2
2x x y+1=0

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 174 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 174

y =−
1
(x − 2) +y = −1
2
The line is horizontal.
1 3

y=− x+

2 2 64. 7, −8 ,7,1

3 3

60. (1,1 , 6,) − −( )

3
−2 m= =
4
y
3
and is undefined.
2
2 (1, 1)
− −1 1

y −1= −1
1 2 3 4
3
(x − 1)
6, − 32
−2
( ) 6 − 1x

= y − 1 = −(x − 1)x
The line is vertical.
1 1 yy −1=− x+
3 3 2 )73 , 1)
1

−1
y = −1x + 4x 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
3 3 −3
−4
−5
61. (1, 0.6 , ) (−2, −0.6) −6

−7
)73 , −8)
y − 0.6 = y .61 (x − 1) −8

=
0.4(x − 1) + 0.6
y =
0.4x + 0.2 65. L1: y = −x − 3
−0.6−2 −−
0
=−

2 y m1
(1, 0.6)
1
L2: y = −x − 1
−3 1 2 3
− −

m2 = −
( 2, 0.6)
−2

−3
x

The slopes are equal, so the lines are parallel.

66. L1: y =x − 1 m1 =

62. (−8, 0.6 , 2,) ( −2.4)

L2: y = 4x + 7
y

6
4
(−8, 0.6) 2

−10 −8 −6 (2, −2.4)

175 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 175

−4ights Reserved. May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website,
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−6
−8
 Section 2.1 Linear Equations in Two Variables
175

m2 = 4

y − 0.6 =( +
x 8
) The lines are neither parallel nor perpendicular.

y − 0.6 = −(x + 8)x 67. L1: y =x − 3

10y − 6 = −3(x + 8)m1 =

10y − 6 = −3x − 24 L2: y = − +x 1

10y = −3x − 18 m2 = −

3 9
y=− x− or y = −0.3x − 1.8 The lines are neither parallel nor perpendicular.
10 5

68. L1: y = − x − 5 m1 = − 2 68
L2: y = x + 1 m2 =
The slopes are negative reciprocals, so the lines are ( ) ( )
L2: 3 , − 12 , 6, − 12
perpendicular.
0
m2 = = =0
69. L1: 0( , −1) (, 5, 9) 6 3 3
L1 and L2 are both horizontal lines, so they are parallel.
m1 = =2

L2: 0( , 3 , 4,) ( 1) 72. L1: 4( , 8 ,) (−4, 2)

1
m2 = 1 3=− =
m1
4 0 2
The slopes are negative reciprocals, so the lines are 2
perpendicular.
−
70. L1:(−2, −1) (, 1, 5)
8
6
m1 = = =2 =
1 2 3
−
L2: 1( , 3 , 5,) ( −5) 6

m2 = −5 − 3 = −8 = −2
=
5−1 4
The lines are neither parallel nor perpendicular. 3

−
71. L1: (−6, −3) (, 2, −3) 4
0
m1 = = =0 −

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 176 Chapter 2 Functions and Their Graphs

( ( 2 ))
4 −8 4
y − 78 = 43 x − −
3

y = 43x + 12772
L2: 3( , −5),
1
−1,
3
1 16
76. 5x + 3y = 0 3y = −5x y =
)
− −( 5 − x
2 3=3=−4m=
Slope: m = −
− −1 3 −4 3

(7, 3)
The slopes are negative reciprocals, so the lines are
perpendicular. (a) m = −53 8 4,

73. 4x − 2y = 3 y = 2x −

Slope: m = 2 (a) (2,1 ,) m = 2

y − 34 = − 53 x − 78( )
y − =1 2(x − 2) y = 2x − 3 24y − 18 = −40 x − ( )
24y − 18 = −40x + 35 24y =
(b) (2,1 ,) m = − −40x + 53

y − 1 = − (x − 2) y = − x + 2 y = − 53x + 5324

74. x+y=7
y = −x + 7
(b) m = 5 8 43, (7, 3)
Slope: m = −1 (a) m = − −1, ( 3, 2)
y − 34
=
5
3
(x − 87)
y − = −2 1(x + 3) y − = − −2

x 3 y = − −x 1
40y − 30 = 24 x − ( )
40y − 30 = 24x − 21
(b) m = −1, ( 3, 2) 40y = 24x + 9

y − =2 1(x + 3) y = +x 5 y = 53x + 409

75. 3x + 4y = 7 77. y + 5 = 0 y = −5

y = − 34x + 74 Slope: m = 0

(a) (−2, 4 , ) m = 0 y = 4
Slope: m = −

(b) (−2, 4 ,) m is undefined. x =

(a) (−23 8, 7), m = −34
−2

(
y − 78 = − 34 x − − ( )) y = − 34x + 83
2
3 78. x−4=0x=4
Slope: m is undefined.

(a) (3, −2), m is undefined. x =

(b) (−23 8, 7), m = 43 3

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 Section 2.1 Linear Equations in Two Variables
177

(b) (3, −2), m = 0 y = −2 6x + y = −1

12x + 3y + 2 = 0
79. x−y=4y=x−4

Slope:
m
=
1 2 ( −2)

(a) (2.5, 6.8), m = 1 84. , 0 , 0,

y − 6.8 = 1(x − 2.5) y = x + 4.3

3

(b) (2.5, 6.8), m = −1

y − 6.8 = (−1)(x − 2.5) y = −x + 9.3

80. 6x + 2y = 9 2y = −6x + 9 y = −3x + x+y=d

Slope: m = −3

(a) (−3.9, −1.4), m = −3 y − −( 1.4) = −3(x − −( 3.9)) y

+ 1.4 = −3x − 11.7 y = −3x − 13.1 (b) (−3.9, −1.4), m

= y − −( 1.4) = (x − −( 3.9)) y + 1.4 = x + 1.3 y

= x − 0.1

y
81. x+ =1
3 5

( )15 x+y 115( )

3 5
5x + 3y − 15 = 0

82. (−3, 0 , 0,) ( 4)

86. (d, 0 , 0,) (d) (, −3, 4)

x y
y
83. x + =1
−1 6 −2 3
+ =1
d d

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 (14,182.20 , ) (15,233.72)
x

+ =1 1 == 51.52
2 m
3
−
2
3x y
−

1
2
2
3x − − =y 2 0

x y
85. + = 1, c
≠0c
cx
+
y
=
c
1
+
2
=
c
3
=
c
x
+
y
=
3
x
+
y
−
3
=
0

88. (a) greatest increase =

largest slope

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 So, the sales increased the greatest between the years
−3 + 4 = d
2014 and 2015.
1 =17d8 Chapter 2 Functions and Their Graphs
least increase = smallest slope
x+y=1x+
y−1=0 (13,170.91 , ) (14,182.20)

m == 11.29
87. (a) m = 135. The sales are increasing 135 units per 2
year. So, the sales increased the least between the years
2013 and 2014.
(b) m = 0. There is no change in sales during the year.

(c) m = −40. The sales are decreasing 40 units per (b) (9,42.91 , )

(15,233.72) year.

m
The slope of the line is about 31.8.
(c) The sales increased an average of about $31.8 billion
each year between the years 2009 and 2015.

89. y = xy= (200) = 12 feet

90. (a) and (b)

x 300 600 900 1500 1800 2100

1200
y –25 –50 –75 –125 –150 –175
–100
(c)
Ve

rti 600 1200 18002400

x
cal
me −
50
as
ur −100
em Horizontal measurements
ent −150
s
−200
(d) Because m = − , for every change in the horizontal measurement of 12
y feet, the vertical measurement decreases by 1 foot.

0.0838.3% grade

91. (16, 3000 , ) m = −150 93. The C-intercept measures the fixed costs of

V − 3000 = −150(t − 16) manufacturing when zero bags are produced.

V − 3000 = −150t + 2400 The slope measures the cost to produce one laptop bag.

V = −150t + 5400, 16 ≤ t ≤ 21 94. Monthly wages = 7% of the Sales plus the Monthly
Salary

92. (16, 200 , ) m = 6.50 = 0.07S + 5000 W

V − 200 = 6.50(t − 16)
V − 200 = 6.50t + 104

V = 6.5t + 96, 16 ≤ t ≤ 21 95. Using the points (0, 875) and (5, 0 ,) where the first coordinate
represents the year t and the second coordinate represents the value V, you
have

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m
V = −175t + 875, 0 ≤ t ≤ 5.

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 179 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 179

96. Using the points (0, 24,000 and 10, 2000 ,) () (e) Answers will vary. Sample answer: No. The brain
where the
stops growing after reaching a certain age.
first coordinate represents the year t and the second 99. (a) Total Cost = cost for cost purchase fuel and +
coordinate represents the value V, you have
for + cost maintainance operator

m C = 9.5t + 11.5t + 42,000 C

= 21t + 42,000
Since the point (0, 24,000) is the
V-intercept, b = 24,000, the equation is (b) Revenue = Rate per hour ⋅ Hours

V = −2200t + 24,000, 0 ≤ t ≤ 10.

R = 45t (c)

P=R−C
97. Using the points (0, 32 and 100, 212 , ) ( ) where the first
coordinate represents a temperature in degrees Celsius and P = 45t − (21t + 42,000)
the second coordinate represents a temperature in degrees
Fahrenheit, you have P = 24t − 42,000

(d) Let P = 0, and solve for t.

m = 212 32 = 180 = 9. 100 0
0 = 24t − 42,000
100 5
42,000 = 24t
Since the point (0, 32) is the F- intercept, b = 32, the 1750 = t

5 160 The equipment must be used 1750 hours to yield a

equation is F = 1.8C + 32 or C = F − .
profit of 0 dollars.
9 9
100. (a)

98. (a) Using the points (1, 970 and 3,1270 ,) ( ) 10 m

you have
x
m = 1270 970 = 300 = 150. 15 m x
3 1 2

The average brain weight at age 2 is 1120 grams.

Using the point-slope form with m = 150 and the
(d) Answers will vary.
point (1, 970 ,) you have

y − y1 = m t( − t1) y

− 970 = 150(t − 1)
y − 970 = 150t − 150
y = 150t + 820.

(b) The slope is m = 150. The slope tells

you the amount of increase in the
weight of an average male child’s
brain each year.

(c) Let t = 2: y = 150 2( ) + 820

y = 300 + 820 y
= 1120

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 180 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 180

(b) y = 2 15( + 2x) + 2 10( + 2x) = 8x + 50

(c) 150

0
10 0

(d) Because m = 8, each 1-meter increase in x will

increase y by 8 meters.

101. False. The slope with the greatest magnitude

corresponds to the steepest
line.

102. (−8, 2) and (−1, 4 :) m1 =

4 2 2
=
1 8 7

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 181 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 181

(0, −4) and (−7, 7 :) m2 = 7 − (−4) = 11 Since the slopes are negative reciprocals, the line
segments are perpendicular and therefore intersect to
−7 − 0 −7 form a right angle. So, the triangle is a right triangle.
False. The lines are not parallel. 104. On a vertical line, all the points have the same x-value,

y2 y1
so when you evaluate m = − , you would
103. Find the slope of the line segments between the points have x2 − x1
A and B, and B and C. a zero in the denominator, and division by zero is
y
undefined.
8 B(3, 7)
7
6

A(−1, 5)
3
2 C(5, 3)
1
x
−2 −1 1 2 3 4 5 6

mAB = 7 5= 2 = 1
3 1 4 2
mBC = 3 − 7 = −4 = −2
5−3 2

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 182 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 182

105. Since the scales for the y-axis on each graph is unknown, the slopes of the lines cannot be determined.
y y

x x
1 2 3 4 1 2 3 4

106. d = (x − x )2 + ( y − y )2 d = (x − x )2 + ( y − y )2
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

2
= (1 − 0)2 + (m1 − 0)2 = (1 − 0)2 + (m − 0)2

= 1 + (m1 ) = 1 + (m 2 )
2 2

Using the Pythagorean Theorem:

( )d1 2 + (d2)2= (distance between 1,( m1), and 1,(

m2))2

1 + (m1)2 + 1 + (m2)2 = (m2 − m1)2

(m1)2 + (m2)2 + 2 = (m2)2 − 2m m1 2 + (m1)2

2 = −2m m1 2
− 1 = m1 m2
108. Because −
5,
107. No, the slopes of two perpendicular lines have opposite signs. (Assume that the steeper line is
neither line is vertical or horizontal.) >4 the one with a 2

slope of – 4. The slope with the

greatest magnitude corresponds to
the steepest line.

1 + (m1)2 2 1 + (m2)2 2 (1 − 1)2 + (m2 − m1)2 2

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 183 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 183

(0, 200 ,) which represents the original amount of

109. The line y = 4x rises most quickly. the loan.
y = 2x y = 0.5x
4 (b) Matches graph (iii).
The slope is 2, which represents the increase in the
−6 6 hourly wage for each unit produced. The y-intercept
is (0,12.5 ,) which represents the hourly rate if the
−4

y=x y = 4x employee produces no units.

(c) Matches graph (i).

The line y = −4x falls most quickly. The slope is 0.32, which represents the increase in
travel cost for each mile driven. The y-intercept is
y = −x y = −4x
4 (0, 32 ,) which represents the fixed cost of $30 per
day for meals. This amount does not depend on the
−6 6
number of miles driven.
(d) Matches graph (iv).
−4
The slope is –100, which represents the amount by

y = −0.5x
y = −2x which the computer depreciates each year. The

yintercept is (0, 750 ,) which represents the original

The greater the magnitude of the slope (the absolute
value of the slope), the faster the line rises or falls. purchase price.
110. (a) Matches graph (ii).
The slope is –20, which represents the decrease in
the amount of the loan each week. The y-intercept is

111. Set the distance between (4, −1) and (x, y) equal to the distance between (−2, 3) and (x, y).

(x − 4)2 y − −( 1) 2 x − −( 2) 2+ (y − 3)2 (−2, 3) 4

y

(x − 4)2 + (y + 1)2 = (x + 2)2 + (y − 3)2 x2 − 8x + 16 + y2 + 2y + =1

(1, 1)

x2 + 4x + +4 y2 − 6y + 9 −4 −2 2 4

(4, −1)
− +8x 2y + 17 = 4x − 6y + 13x
−4
−12x + 8y + =4 0

−4 3( x − 2y − =1) 0
3x − 2y − =1 0

This line is the perpendicular bisector of the line segment connecting (4 −1) and (−2, 3 .)
,

112. Set the distance between (6, 5) and (x, y) equal to the distance between (1, −8) and (x, y).

(x − 6)2 + (y − 5)2 = (x − 1)2 + (y − −( 8))2 y

8
(x − 6)2 + (y − 5)2 = (x − 1)2 + (y + 8)2 x2 − 12x + 36 + y2 − 10y + 25 6 (6, 5)
4
2
= x2 − 2x + +1 y2 + 16y + 64
−6 −4 −2

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 184 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 184

6810 −2
x2 + y2 − 12x − 10y + 61 = x2 + y2 − 2x + 16y + 65x −4
(7 23(
2
,−
−6
−8 (1, −8)

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 183 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 183

−12x − 10y + 61 = − +2x 16y + 65

−10x − 26y − =4 0 −2 5( x + 13y + 2) = 0

5x + 13y + =2 0

( ) and (x, y) equal to the distance between (−7,1) and (x, y).
113. Set the distance between 3,

(x − 3) + (y − ) =
2 x − −( 7)
5
2 + (y − 1)
2 2 2
8
y

(−2, 47( (3, 52(

(y − )
4

(x − 3) 2+ 5
2
2= (x + 7) 2+ (y − 1) 2 (−7, 1)

−8 −6 −4 246

x2 − 6x + 9 + y2 − 5y + = x2 + 14x + 49 + y2 − 2y + 1 x

−6x − 5y + = 14x − 2y + 50 −8

−24x − 20y + 61 = 56x − 8y + 200

80x + 12y + 139 = 0

This line is the perpendicular bisector of the line segment connecting 3, ( ) and (−7,1 .)

( )
114. Set the distance between − − , 4 and (x, y) equal to the distance between ( 7
2 4,
5) and (x, y).

2
(27, 45(
1
−2 −1 1 3 4
−1 3
,−
(
11
(2 8
−2

( 12 (
− , −4

(x − −( )) + (y − −( 4)) (x − 72) + (y − 54)

=
1 2 2 2 2
2
y

(x + ) + (y + 4) = (x − ) + (y − )
1
2
2 2 7
2
2 5
4
2

x2 + x + 14 + y2 + 8y + 16 = x2 − 7x + 494 + y2 − 52 y + 1625x
x2 + y2 + x + 8y + 654 = x2 + y2 − 7x − 52 y + 22116 x + 2. independent; dependent

3. implied domain
8y + 654 = −7x − 52 y + 22116
4. difference quotient
8x + 212 y + 1639 = 0
5. Yes, the relationship is a function. Each domain value
128x + 168y + 39 = 0 is matched with exactly one range value.

6. No, the relationship is not a function. The domain

Section 2.2 Functions value of –1 is matched with two output values.
1. domain; range; function
 184 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.1 Linear Equations in Two Variables 184

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 184 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 184

7. No, it does not represent a function. The input values of 10

and 7 are each matched with two output values.

8. Yes, the table does represent a function. Each input value is

matched with exactly one output value.
Input, x 2 −24 60
Output, y 1 11 11

9. (a) Each element of A is matched with exactly one

element of B, so it does represent a function.
(b) The element 1 in A is matched with two elements, –2
and 1 of B, so it does not represent a function.
(c) Each element of A is matched with exactly one element
of B, so it does represent a function.
(d) The element 2 in A is not matched with an element of B,
so the relation does not represent a function.

10. (a) The element c in A is matched with two elements,

2 and 3 of B, so it is not a function.
(b) Each element of A is matched with exactly one element
of B, so it does represent a function.
(c) This is not a function from A to B (it represents a
function from B to A instead).
(d) Each element of A is matched with exactly one element
of B, so it does represent a function.

11. x2 + y2 = 4 y = ± 4 − x2
No, y is not a function of x.

12. x2 − y = 9 y = x2 − 9
Yes, y is a function of x.

13. y = 16 − x2
Yes, y is a function of x.

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 185 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 185

14. y=x+5 22. h t( ) = −t2 + t + 1

Yes, y is a function of x.
(a) h( )2 = −( )2 2 + ( )2 + = − + + = −1
15. y=4−x 4 2 1 1
Yes, y is a function of x.
(b) h(− = − − + − + = − − + = −1) ( 1)2
16. y = −4 x y = −4 x or ( 1) 1 1 1

y = − −(4 x)
1 1

No, y is not a function of x. (c) h x( + 2) = − +(x 1)2 + (x + +1) 1

17. y = −75 or y = −75 + 0x

Yes, y is a function of x. = −(x2 + 2x + + + +1) x
1 1
18. x−1=0x=1
= − − +x2 x 1
f ( )y = −3
No, this is not a function of x.
23. y

19. f x( ) = 3x − 5 (a) f ( )4 = −3 4=1

(a) f ( )1 = 3 1( ) − = −5 2 (b) f (0.25) = −3 0.25 = 2.5

(b) f (− = − − = −3) 3( 3)
( )
5 14
(c) f 4x2 = −3 4x2 = −3 2 x
(c) f x( + 2) = 3(x + 2) − 5
= 3x + 6 − 5 24. f x( ) = x + +8 2
(a) f (− =8) (− + + =8) 8 2
= 3x + 1
20. V r( )= 43πr3 2

(b) f ( )1 = ( )1 + + =8 2 5
(a) V( )3 = 43π( )3 3 = 43π(27) = 36π

(c) f x( − =8) (x − + + =8) 8

x+2
( )32 = 43π( )32 ( )278 = 92π
2
(b) V 3 = 43π

π
(c) V(2r) = 43π(2r)3 = 43 (8r3) = 323πr3 25. q x( ) = x2 1− 9

21. g t( ) = 4t2 − 3t + 5
(a) q( )0 = 02 1− 9 = −19
(a) g( )2 = 4 2( )2− 3 2( ) + 5 = 15
(b) q( )3 =
(b) g t( − 2) = 4(t − 2)2 − 3(t − +2)
is undefined.
5
= 4t2 − 19t + 27
(c) q y( + 3) = (y + 31)2 − 9 = y2 +1 6y
(c) g t( ) − g( )2 = 4t2 − 3t + 5 − 15
= 4t2 − 3t − 10

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 186 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 186

26. q t( )= 2t2 2+ 3

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 187 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 187

(a) f (−1) = 2(−1) + 1 = −1

t

(b) f ( )0 = 2 0( ) +2=2
(a) q( )2 =
=8+3 (c) f ( )2 = 2 2( ) +2=6
= 11
4 4
30. f x( )= −3x − 3, x < −1

2 x + 2x − 1, x ≥ −1
(b) q( )0 =
Division by zero is undefined. (a) f (−2) = −3(−2) − 3 = 3

(b) f (− = − + − − = −1) ( 1)2 2( 1)

(c) q(−x) =
1 2

= (c) f ( )1 = ( )1 2 + 2 1( ) − =1 2
2x2

2+
3 31. f x( ) = −x2 + 5 f (−2) = − −( 2)2 + 5 = 1 f
x
(−1) = − −( 1)2 + 5 = 4 f ( )0 = −( )0 2 + 5 =
x 5 f ( )1 = −( )1 2 + 5 = 4 f ( )2 = −( )2 2 + 5 =
27. f x( )=
x 1

2
(a) f ( )2 == 1 x –2 0 1 2
−1
1 5 –4 1
4
−2

)
2 (b) f (− =2

−2 = −1
x−1
(c) f x 1
x−1 1, 32. h t(
) = 12 t + 3 h(−5) = 12 −5 + 3 = 1
if x > 1
h(−4) = 12 −4 + 3 = 12 h(−3) = 12 −3 + 3 = 0
<
( − ) == −1, if x 1
h(−2) = 12 −2 + 3 = 12 h(−1) = 12 −1 + 3 = 1
t –5 –3 –2 –1
–4

f x( ) =x+4
1 0 1
28.

(a) f ( )2 =2+4=6
2

(b) f (−2) = −2 + 4 = 6 (x − 2) , x>0

f f
(c) f x ( 2) = x2 + =4 x2 + 4
29. f x( ) 2x + 1, x<0

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 188 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 188

22, 0

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 189 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 189

f( ) f( 40. f x( ) = x2 − 6x − 16 x2 − 6x − 16 = 0

)1 = (1 − 2)2 = 1
(x − 8)(x + 2) = 0
f ( )2 = (2 − 2)2 = 0 x −8=0 x=8

x+2=0 x = −2
x –2 0 1 2
–1
5 4 1 0
41. x3 − x = 0 x x ( 2 − 1) = 0 x x( + 1)(x
34. f x( ) 9− x2, x<3
− 1) = 0 x = 0, x = −1,
x − 3, x≥3
or x = 1

f ( )1 = 9 − ( )1 2 = 8 f (
42. f x( )=x − x − 3x + 3
)2 = 9 − ( )2 2 = 5 f ( )3 = ( )3
3 2

− 3 = 0 f ( )4 = ( )4 − 3 = 1 f x3 − x2 − 3x + 3 = 0 x2(x −

( )5 = ( )5 − 3 = 2 1) − 3(x − 1) = 0 (x − 1)(x2

− 3) = 0
x 1 3 4 5
2
8 0 1 2
5 x − 1 = 0 x = 1

35. 15 − 3x = 0 3x = 15 x2 − 3 = 0 x=± 3

x=5 43. f ( )x = g x( ) x2 = x + 2
x2 − x − 2 = 0
36. f x( ) = 4x + 6 4x + =6 0
x − 2)(x + 1) = 0
4x = −6 x =
x−2=0 x+1=0
− x=2 x =
−1
37. =0
44. f x( ) = g x( )
3x − =4 0 x = x2 + 2x + 1 = 5x + 19

x2 − 3x − 18 = 0 (x
( ) = 12 −x2
38. fx − 6)(x + 3) = 0
8 x −6=0 x + 3 =

12 − x2 = 0 0
8 x=6 x = −3
x2 = 12
45. f ( )x = g x( )
x=± 12 = ±2 3

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 190 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 190

39. f x( ) = x2 − 81 x2 − 81 = 0 x2 = 81 x = ±9

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 191 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 191

x4 − 2x2 = 2x2 x4 − x + 2 = 0 x = −2
x−2=0 x=2

46. f ( )x= g x( )
x −4 =2 −x
x + x −6 = 0
( x +3 )( x −2 =0 )
x +=3 0 x =− 3, which is a contradiction, since

x −=2 0 x =2 x =4
x represents the principal square root.

(
4x2 = 0 x2 x2 − 4 ) = 0 x2(x

+ 2)(x − 2) = 0
x2 = 0 x = 0

47. f x( ) = 5x2 + 2x − 1 Because f ( )t is a cube root, the domain is all real

Because f ( )x is a polynomial, the domain is all real numbers t.

g x( ) =1−3xx+2
numbers x.
51.
The domain is all real numbers x except x =
48. f ( )x = 1 − 2x2
0, x = −2.

Because f ( )x is a polynomial, the domain is all real

h x( )= 6
52. 2 x − 4x
numbers x.
x2 − 4x ≠ 0

49. g y( )= y+6 x x( − 4) ≠
0x≠0
Domain: y + 6 ≥ 0 y ≥ −6
x−4≠0 x≠4
The domain is all real numbers y such that y ≥ −6.
The domain is all real numbers x except x = 0, x = 4.
50. f t( ) = 3t + 4

s −1
53. fs() =
s −4

58. (a) The maximum profit is $3375. 3400

3350

Pr 3300
(b) ofi 3250
3200
Domain: s − 1 ≥ 0 s ≥ 1 and s ≠ 4 3150
3100
The domain consists of all real numbers s, such that s ≥ 1 and s ≠ 4.

54. f x( )= x+6
6 + xx
110 130 150 170

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 190 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 190

Domain: x + 6 ≥ 0 x ≥ −6 and x ≠ −6 Order size

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 189 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 189

(−6, ∞). (c) Profit = Revenue − Cost

price number
55. f x( )=x x −4 (cost) number

The domain is all real numbers x such that x > 0 or (0, ∞).
per unit of units of units

90 − (x − 100 0.15)() x − 60x x,> 100

56. f x( )= x+2
= (90 − 0.15x + 15)x − 60x
x − 10
x − 10 > 0 = (105 − 0.15x x) − 60x
x > 10 = 105x − 0.15x2 − 60x

The domain is all real numbers x such that x > 10. = 45x − 0.15x2, x > 100

P
59. A = s2 and P = 4s =s
4
2
P P2
The domain is all real numbers x such that x > −6 or Yes, P is a function of x.

57. (a) = Volume, V

Height, x
484
1 A
800 4 16
2 C

972 2π
3 60. A = πr2, C = 2πr r = 2
C C2
1024 =
4

980
5 A=π 2π π 4
864
6
61. y = −101 x2 + 3x + 6

The volume is maximum when x = 4 and y(25) = − (25)2 + 3 25() + 6 = 18.5 feet
 191 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 191

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 190 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 190

V
= 1024 cubic centimeters. If the child holds a glove at a height of 5 feet, then the
(b) V ball will be over the child's head because it will be at a
1200 height of 18.5 feet.
1000
Vo
lu 800 62. (a) V = l ⋅ w ⋅ h = x ⋅ y ⋅ x = x y2 where

me 600
400
4x + y = 108. So, y = 108 − 4x and
200
V = x2(108 − 4x) = 108x2 − 4x3.
1 2 3 4 5 6
x Domain: 0 < <x 27
Height
(b) 12,000

V is a function of x.

(c) V = x(24 − 2x)2

Domain: 0 < <x 12 0

0
30

(c) The dimensions that will maximize the volume of the equal.
package are 18 × ×18 36. From the graph, 64. A = l ⋅ w = (2x y) = 2xy
the maximum volume occurs when x = 18. To find
the dimension for y, use the equation y = 108 − 4 .x But y = 36 − x2, so A = 2x 36 − x2. The

y = 108 − 4x = 108 − 4 18( ) = 108 − 72 = 36 domain is 0 < <x 6.

65. For 2008 through 2011, use

63. A = 1bh = 1xy
p t( ) = 2.77t + 45.2.
2 2
2008: p( )8= 2.77 8( ) + 45.2 = 67.36%
Because (0, y) (, 2,1 ,) and (x, 0) all lie on the same
line, 2009: p( )9 = 2.77 9( ) + 45.2 = 70.13%

1 − y = 0 −1 the
y 2010: p( )10= 2.77 10( ) + 45.2 = 72.90%
2 −0 x −2 slope
1−y −1 4 (0, y) s
2011: p( )11 = 2.77 11( ) + 45.2 = 75.67%
= betw
2 x −2 3
een For 2011 through 2014, use
2
(2, 1)
2 +
y = 1 1 any
x −2 (x, 0)
pair
x 1 2 3 4
y = x
are
x −2
p t( ) = 1.95t + 55.9.
1 x = x2
So, A = x
2(x − 2)
.
−2 2012: p( )12 = 1.95 12( ) + 55.9 = 79.30%

2013: p( )13 = 1.95 13( ) + 55.9 = 81.25%

2014: p( )14 = 1.95 14( ) + 55.9 = 83.20%

2 x
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 191 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 191

The domain of A includes x-values such that

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 192 Chapter 2 Functions and Their Graphs Section 2.2 Functions 192

x2 2(x − 2) > 0. By solving this inequality,

the
domain is x > 2.

66. For 2000 through 2006, use p t( ) = −0.757t2 + 20.80t + 127.2.

2

2002: p( )2= −0.757 2( ) + 20.80 2( ) + 127.2 = $165,722

2003: p( )3= −0.757 3( )2 + 20.80 3( ) + 127.2 = $182,787
2004: p( )4 = −0.757 4( )2 + 20.80 4( ) + 127.2 =
$198,288 2005: p( )5 = −0.757 5( )2 + 20.80 5( ) + 127.2
= $212,275

2006: p( )6= −0.757 6( )2 + 20.80 6( ) + 127.2 = $224,748

For 2007 through 2011, use p t( ) = 3.879t2 −
82.50t + 605.8.

2007: p( )7= 3.879 7( )2 − 82.50 7( ) + 605.8 = $218,371

2008: p( )8= 3.879 8( )2 − 82.50 8( ) + 605.8 = $194,056

2009: p( )9= 3.879 9( )2 − 82.50 9( ) + 605.8 = $177,499

2010: p( )10= 3.879 10( )2 − 82.50 10( ) + 605.8 = $168,700
2011: p( )11 = 3.879 11( )2 − 82.50 11( ) + 605.8 = $167,659
For 2012 through 2014, use

p t( ) = −4.171t2 + 124.34t − 714.2

2012: p( )12= −4.17112( )2 + 124.34 12( ) − 714.2 = $177,256
2013: p( )13 = −4.17113( )2 + 124.34 13( ) − 714.2 = $197,321

2014: p( )14 = −4.17114( )2 + 124.34 14( ) − 714.2 = $209,044

67. (a) Cost = variable costs + fixed costs 68. (a) Model:

C = 12.30x + 98,000 (Total cost) = (Fixed costs) + (Variable costs)

(b) Revenue = price per unit × number of units Labels: Total cost = C

R = 17.98x Fixed cost = 6000

(c) Profit = Revenue − Cost Variable costs = 0.95x

P = 17.98x − (12.30x + 98,000) Equation: C = 6000 + 0.95x

P = 5.68x − 98,000

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 33.
Ein Festungs-Aufzug mit Kraftbetrieb.
Als auch selbst die kleinen Städte im Mittelalter ihre eigene
Herrschaft führten, waren Überfälle aus der Nachbarschaft täglich zu
erwarten. Die Ingenieure trachteten deshalb danach, die wehrhaften
Bürger möglichst schnell auf die Verteidigungstürme der Festung
hinauf zu bringen. Das beste Mittel hierzu blieb der Aufzug.
Wir wissen heute, daß man schon im alten Rom den Aufzug
kannte, und dazu benutzte, um ohne lange Zwischenpausen die
Kämpfer und die wilden Tiere im großen Zirkus in die Arena fahren
zu lassen.
 Aufzug mit Windradbetrieb, 1405.

Kyeser zeichnet hier einen Aufzug, und wenn wir von der etwas
wunderlichen Zeichnungsart absehen, ist die Darstellung ohne
weiteres verständlich. Wir erkennen die senkrecht stehenden
Fahrschienen, zwischen denen der Fahrkorb auf- und abgleitet. Nun
ist aber noch eine Maschinerie vorhanden, bestehend aus zwei ein
wenig rückwärts gelagerten Achsen, die an jedem Ende ein großes
Windrad tragen. Um die Achsen schlingt sich das Förderseil, und
zieht, vorausgesetzt, daß Wind geht, den Fahrkorb in die Höhe. Die
Einzelheiten der Maschinerie, besonders die Ausrückvorrichtung, die
Bremse usw. läßt Kyeser in seiner Skizze weg. Erklärend sagt er:
„Die durch Wind arbeitende hölzerne Maschine wird auf diese Weise
gebaut: in dem in der Mitte befindlichen Kasten sitzt der Mann, der
sich durch Straffziehen des Seiles emporhebt, durch Nachlassen
herabläßt. Manche bringen unten noch zwei Windräder an, dann ist
der Gang sicherer, kräftiger und schneller.“
 34.
Spiegelnde Schilde.

Der Spiegel als Waffe, 1405.

Spaßig wirkt die Kyesersche Erklärung zu einer Malerei, die zwei

geharnischte Ritter im Dolchkampf zeigt. Oben links scheint die
Sonne in glühender Fülle: „Wenn der Kämpfende seinen Schild nach
der Sonne richtet, verrichtet er mit Hülfe der Sonne Mannes-Taten;
denn flimmernde Strahlen entsendet die Leuchte des Himmels und
blendet das Auge des anderen Mannes, der so besiegt werden muß.
Denn der Schild spiegelt das Bild der Sonne wieder.“
 35.
Erschröckliche Kriegsmaschinen.
Erinnern wir uns, daß Kyeser in der Zeit lebte, da Geschütze und
Gewehre noch neu waren, und die Kriegsweise des Altertums noch
nicht verdrängt hatten. So wundert es uns nicht, in seinem Werk
eine Reihe von Kriegsmaschinen zu finden, denen auch er keine
Bedeutung mehr beimessen konnte, die er aber erwähnen mußte,
um zu zeigen, daß er das durch die Länge der Zeit Geheiligte kannte
und anscheinend schätzte.

Das „Martiale“, 1405.

Da sehen wir denn z. B. wie zwei Krieger einen riesigen eisernen

Kopf auf einem Rädergestell einen Hügel hinanschieben: „Dieses
bewaffnete Haupt, das auf zwei Rädern geschoben wird, und
beiderseits mit den Ohren schneidet, tötet, was es mit seiner Zunge
und dem Horn sticht, und wird Martiale genannt. Innen von Holz, ist
es von außen mit starkem Eisen gerüstet, damit es nicht mit
zweischneidigen Hämmern oder anderen Werkzeugen zerstört
werden kann. Der indische König Porus führte dieses Kriegsgerät,
durch das er die Feinde besiegte, indem er viele damit tötete.“
Es ist also einer der in der Kriegsführung des Altertums beliebten
Sichelwagen, zu seiner Wirkung jedoch auch auf das Grauenerregen
berechnet.
 36.
Luftkissen im Mittelalter.

Luftkissen mit Blasebalg, 1405.

Hier zeichnet uns Kyeser ein aus Leder zusammengenähtes

Luftkissen. Rechts oben erkennen wir einen kleinen Blasbalg, durch
den man es füllen kann. Mit den beiden Riemen bindet man die
Füllöffnung fest zu: „Das aufblähbare Ruhekissen wird auf allen vier
Seiten mit starker Naht versehen, sodann ein Blasbalg in dasselbe
eingeführt, dadurch mit Luft gefüllt und dann mit Schnüren
unterbunden.“
 37.
Schneeschuhe.

Schneeschuh, Holzschnitt von 1645.

Daß Schneeschuhe, Schlittschuhe und andere meist nur zu

lustigem Sport dienende Geräte in einem Feldzug eine hohe
Bedeutung haben, hat der vergangene Winter uns gelehrt. Der
heute so beliebte Schneeschuh, auf dem man schnell über losen
Schnee dahingleiten kann, hat seinen Vorläufer in dem Schneeschuh,
der nur das tiefe Einsinken in den Schnee zu verhindern hat, in dem
sogenannten Schneereifen. Schon Xenophon berichtet uns ums Jahr
350 vor Chr., daß die Armenier zur Winterzeit ihren Pferden Säcke
um die Füße binden, um die Sohlenfläche des Tieres zu vergrößern
und so das Einbrechen zu verhindern. Fast 400 Jahre später erzählt
Strabon, das man im Kaukasus ungegerbte Ochsenfelle unter die
Füße befestigte, um im Schnee nicht einzubrechen. In Norwegen
war der Schneeschuh im 10. Jahrhundert schon bekannt. Die
altnordische Mythologie hat eine besondere Schneeschuhgöttin. Das
Schiff wird dort auch „Schneeschuh des Meeres“ genannt, woraus
man schließen kann, daß der Schneeschuh im Norden älter ist, als
die Seeschiffahrt. Das um das Jahr 1265 verfaßte Buch „Konungs
skuggsjá“, d. h. Königsspiegel, eine zusammenfassende
Beschreibung von Grönland sagt: „Die Vögel im Fluge oder die
schnellsten Windhunde oder Rennntiere überholt der Läufer mit
Schneeschuhen an den Füßen.“

Schneereifen, 1405.

Kyeser sagt, man soll sich aus Stroh Ringe flechten und diese mit
Strohbändern unter die Füße der Menschen und Pferde binden; dann
werde man nicht im Schnee versinken. Jetzt besteht der Schneereif
aus einem hölzernen Ring, der mit Seilen durchflochten ist. Auf
diesen liegt ein Stück Leder, das man unter den Fuß bindet.
 38.
Seilschwebebahnen im Krieg.
Die niedliche Malerei einer Seilschwebebahn, die wir hier sehen,
stammt aus einer technischen Handschrift, die sich in der
Hofbibliothek in Wien befindet. Die Zeichnung ist in ihren
Einzelheiten zwar nicht sehr genau, doch erkennen wir deutlich, wie
der Mann einen Korb zu der Burg hinüberkurbelt. Seit jener Zeit
findet man in kriegstechnischen Handschriften Seilschwebebahnen
häufig dargestellt, um Geschütze oder Menschen über Flüsse oder
Täler zu befördern. Auch zum Festungsbau wird die
Seilschwebebahn schon im Jahre 1592 verwendet, um die Erde auf
größere Entfernungen wegzuschaffen.
 Seilschwebebahn, Malerei von 1411.

Die erste Seilschwebebahn, von deren Ausführung wir wissen,

wurde im Jahre 1644 in Danzig erbaut, als man innerhalb der
Festung eine Bastei anlegte. Die nötige Erdmasse mußte vom
außerhalb der Festung liegenden Bischhofsberg herangeschafft
werden. Um die Anlage einer guten Fahrstraße und einer starken
Brücke über den Festungsgraben zu ersparen, baute der leitende
Ingenieur eine Seilbahn, die bei den Zeitgenossen großes Aufsehen
erregte. Ein langes Seil „mit etlich hundert angehängten kleinen
Eymerlein“ wurde auf Pfosten von der Bastei zum Bischofsberg hin-
und hergeleitet. An den beiden Enden ging das Seil über große
Scheiben, die von Pferden getrieben wurden. „Wie nun drei Männer
bestellt waren, welche die Erdschollen auf dem Berge nach und nach
in die Eimer füllten, so waren auch etliche andere in der Stadt, die
solche im Laufe umstürzten und ausleerten, und so wurde der Berg
oder dessen Erde ohne Wunderwerk versetzt.“ Man verkaufte
damals in Danzig sogar einen großen Kupferstich, der diese Anlage
in allen Einzelheiten zeigte. In der Danziger Stadtbibliothek wird
noch heute ein langes Lobgedicht auf diese Bahn aufbewahrt.
Die Erfindung von D r a h t s e i l-Schwebebahnen gebührt dem
Bergassessor von Dücker. Die erste große Ausführung wurde
dadurch wenig bekannt, daß sie im Auftrag des Staates nach dem
deutsch-französischen Krieg zu den Festungsbauten bei Metz erbaut
wurde. Erst vor einigen Jahren konnte ich die Erfindung aus den
Akten der Fortifikation zu Metz veröffentlichen.
 39.
Wie man einer Wache den Teufel an
die Wand malte.
Die Münchner Hof- und Staatsbibliothek besitzt unter ihren reichen
Schätzen an Handschriften auch ein überaus merkwürdiges
Geheimbuch eines Kriegsingenieurs, namens Joannes Fontana, das
ums Jahr 1420 verfaßt sein mag. Nach einer neueren Forschung war
dieser Fontana in den Jahren 1418 bis 1419 Rektor der artistischen
Fakultät der Universität Padua.
 Der Projektionsapparat im Krieg, um 1420.

Um seine Geheimnisse nicht zu verraten, schreibt Fontana

sämtliche Aufzeichnungen in einer Geheimschrift. Wir erkennen
diese in den letzten drei Zeilen auf unserm Bild. Weit später hat
jemand diese Geheimschrift entziffert und den lateinischen Text in
lesbarer Schrift über die Geheimschrift geschrieben.
In dieser Handschrift werden alle möglichen geheimen Mitteln
angegeben, deren man sich besonders im Kriege bedienen soll.
Eines unter ihnen ist eine Zauberlaterne um bei Nacht den Feind zu
erschrecken. Wir sehen in der linken unteren Ecke des Bildes einen
orientalisch gekleideten Menschen, der eine runde Laterne in der
Hand hält. Auf der gewölbten Scheibe der Laterne ist, wie man
deutlich zu erkennen vermag, ein grausiger Teufel mit Flügeln,
Hörnern und Krallen gemalt, der einen gefährlichen Spieß schwingt.
Wir bemerken auch den kegelförmig aufgerollten Wachsstock auf
dem Boden der Laterne, der dieses Teufelsbild von innen her
beleuchtet. Den übrigen Teil der Laternenscheibe müssen wir uns
durch Blech, oder durch schwarze Farbe abgeblendet denken. Nähert
man sich mit einer solchen Laterne einer weißen Wand, so wird dort
die Teufelsfigur vergrößert — natürlich aber auch verschwommen —
sichtbar werden. So zeigt denn Fontanas Zeichnung auch, wie der
Teufel recht groß und greulich auf der Wand erscheinen soll.
Über zweihundert Jahre später findet sich die Zauberlaterne
wieder, nachdem man sie mit geschliffenen Gläsern der inzwischen
erfundenen Fernrohre versehen hatte. Heute feiert diese Laterne
magica im Kinematographen ihre höchsten Triumphe.
 40.
Der erste Torpedo — Anno 1420.
Fontana ist auch der erste, der uns die heute so gefürchtete
Torpedowaffe im Bilde zeigt. Wir erkennen ein kleines, spitziges
Fahrzeug, ringsherum geschlossen und mit zwei, nach hinten
hinausragenden Seitensteuern versehen. Zwischen diesen sitzt eine
Öse, an die ein Seil mit einem nachschwimmenden Mittelsteuer
geknüpft wird. Das Fahrzeug ist vorn mit einem langen, spitzen
Widerhaken versehen, und in seinem Innern mit Schießpulver
gefüllt.
 Selbstfahrender Torpedo, 1420.
Oben: von oben gesehen. Unten: von der Seite gesehen.

Um es bei seiner geheimnisvollen Annäherung dem überraschten

Feind möglichst gefährlich erscheinen zu lassen, sind ihm zwei
Augen so aufgemalt, daß es — aus dem angegriffenen Schiff von
oben her gesehen — wie der Kopf eines heranschwimmenden
Ungeheuers aussieht.
Seinen Antrieb erhält dieser Torpedo durch zwei aus seinem
Deckel nach hinten hinausragenden Raketen. Ihre Brandsätze
werden vor dem Abfahren angezündet. Sie sind in ihrer Brenndauer
so berechnet, daß der Torpedo sein Ziel erreicht hat, ehe die
Raketen ausgebrannt sind. Ihre Endladung wird also, sobald sich die
gefährliche Waffe mit ihrer Spitze in die Holzwand des feindlichen
Schiffes eingebohrt hat, die ganze Pulvermasse im Torpedo
entzünden, sodaß das getroffene Schiff durch die gewaltige
Explosion ein Leck bekommt.
 Der Fontanasche Torpedo geht in seiner Konstruktion auf kleinere
Fahrzeuge zurück, die den Arabern schon ums Jahr 1258 bekannt
waren.
In den späteren Jahrhunderten hört man nichts mehr vom
selbstfahrenden Torpedo. Man beschränkte sich darauf, den Torpedo
entweder durch schwimmende Mannschaft heimlich an den Feind zu
bringen, oder ihn beim Nahkampf mittels Stangen von Schiff zu
Schiff zu lanzieren. Man hatte nämlich erkannt, daß das Schießen
unter Wasser keine einfache Sache ist.
Erst seit Beginn des vergangenen Jahrhunderts beschäftigt man
sich mit Torpedokonstruktionen. Damals erhielt die Waffe auch den
heutigen Namen, und zwar nach dem „Torpedo“, einem Fisch, der
aus besonderen Organen gefährliche elektrische Schläge auszuteilen
vermag.
 41.
Wie sahen die ältesten Geschütze
aus?
Über das Vorkommen und Aussehen der Schießpulverwaffen
herrscht noch in den weitesten Kreisen Unklarheit, sodaß es sich
wohl lohnt, einmal einen kurzen Überblick über die Geschichte des
Schießpulvers, der Gewehre und der Geschütze zu geben.
Höchstwahrscheinlich sind die Chinesen ums Jahr 1175 im Besitz
einer Mischung von Salpeter, Schwefel und Kohle gewesen, die sie
als S p r e n g-Mittel in eisernen Bomben verwendeten. Die
Sprengwirkung eines solchen Schießpulvers beschreibt in Europa im
Jahre 1242 der von der Kirche wegen seiner naturwissenschaftlichen
Forschungen später heftig verfolgte Roger Baco. Wenige Jahre
hernach berichtet ein Grieche, namens Marchos, über dieses
sprengsame Schießpulver und im Jahre 1265 macht der vielgelesene
Albertus Magnus weitere Kreise hierauf aufmerksam.
Wer dieses Schießpulver in seinem Mischungsverhältnis so
verändert, daß es in einem eisernen Rohr t r e i b e n d wirken konnte,
ist gänzlich unbekannt. Den Vater der bedeutsamsten Erfindung aller
Zeiten kennen wir nicht!
Wir wissen nur, daß zwischen 1325 und 1350 Schießpulver und
Geschütze in verschiedenen Urkunden erwähnt, bezw. primitiv
abgebildet werden. Die älteste Darstellung eines solchen Geschützes
findet sich als dekorative Zugabe in einer Randleiste eines in Oxford
aufbewahrten lateinischen Manuskriptes „Über das Amt der Könige“.
Die Malerei verrät, daß der Künstler ein Geschütz nur von
Hörensagen kannte. Auf einer viel zu schwach gezeichneten
Holzbank liegt ein an der Pulverkammer übertrieben verstärktes
Rohr. Aus seiner Mündung schießt ein Kugelpfeil gegen das Tor eines
Turmes, weil ein hinter dem Geschütz stehender Ritter im Augenblick
ein glühendes Eisen an die kleine Pulverpfanne hält.
Die Ungeschicklichkeit des Malers kann gerade uns heute nicht
wundern. Erleben wir es doch, daß niemand von uns etwas sicheres
über die neuen Waffen der Gegenwart weiß, obwohl wir mehrere
Male am Tage aus den Berichten unserer Zeitungen die
erstaunlichsten Leistungen dieser neuen Waffen erfahren. Wie
anders erst vor 600 Jahren, wo die Geheimniskrämerei, verbunden
mit einer starken Dosis Aberglauben, und unterstützt durch die
langsame Berichterstattung, fast in jedem Beruf zu finden ist. Im
Beruf der Kriegstechniker ist das Geheimnis noch Jahrhunderte lang
möglichst in allen Dingen gepflegt worden. Ihre Handschriften,
deren wir trotz aller Kriegswirren vergangener Zeiten noch einige
hundert Stück besitzen, sind entweder ganz ohne Text, oder in
Geheimschrift, oder in einer unverständlichen, phantastischen
Sprache geschrieben, und immer wieder begegnet man, wenn der
Verfasser kaum begonnen hat, eine Neuerung zu erklären, den
eiligen Schlußworten „so fortfahrend kannst du dies machen, wenn
du die Kunst kannst“.
Weil wir in der Technik überall zuerst das Grobe, und erst später
als Verbesserung das Feine finden, können wir annehmen, daß das
schwere Geschütz älter ist, als die Handfeuerwaffe. Die Urkunden
bieten zwar wenig Anhalt für diese Annahme, weil eine feststehende
Bezeichnung in keiner Sprache zu finden ist. Die Franzosen nennen
ihre ersten Geschütze Eisenköpfe, wir bezeichnen große und kleine
Rohre zunächst als Büchsen. Chronisten, die später ältere Urkunden
abschrieben oder übersetzten, haben viele Verwirrung angerichtet,
weil sie nach Gutdünken solch unklare Ausdrücke präzisierten. So
entstanden denn dort, wo höchstens eine Wurfmaschine oder ein
Rohr zum Schleudern einfacher Brandsätze erwähnt wird, willkürlich
eine „Kanone“ oder ein „Gewehr“. Das ist z. B. in vielen spanischen
und orientalischen Urkunden der Fall. Ebenso in einer Genter
Urkunde von 1313 bezw. 1393 und einer Metzer Urkunde von 1324.
Ließt man die Urtexte, so steht vom Schießpulvergeschütz nicht das
geringste darin.
Die ersten Geschütze wurden bald aus Eisen, bald aus Bronze
angefertigt. Sie hatten eine Rohrlänge von sechs Kalibern, d. h. das
Rohr war sechs Mal so lang als die dazu gehörige Kugel. Kugeln
waren bald aus Eisen, bald aus Stein gefertigt. Bemerkenswert bei
den ältesten Rohren ist die innere Konstruktion. Fast alle Rohre
haben nämlich, wenn man etwa bis zu ⅝ in ihre Rohrlänge
eingedrungen ist eine scharfe Verengung. Hinter diese Verengung
schüttet man das Schießpulver, dann trieb man einen Holzklotz in
das Rohr, der sich gegen die Verengung stemmen mußte und
alsdann lud man die Kugel vor den Holzklotz und befestigte sie durch
kleine Holzteile. Zwischen dem Schießpulver und dem Holzklotz blieb
ein Luftraum, sodaß ein allzu starkes Eintreiben des Klotzes das
Schießpulver nicht zur Entzündung bringen konnte. Zum
Schießpulver führt eine Bohrung, die mit Pulver gefüllt und mit dem
glühenden Geschützhaken (Abb. Seite 39) erst später mit der Lunte,
entzündet wurde. Neben einem jeden Geschütz brannte ein kleines
Feuer, oder ein kleiner Ofen, um den eisernen Geschützhaken an der
Spitze glühend zu machen. Das Geschützrohr hatte keinerlei Zapfen.
Es wurde auf eine Balkenunterlage gelegt und dort stark verkeilt.
Infolgedessen hatte das Geschütz nur eine einzige Schußrichtung.
Das Laden und Abfeuern eines Geschützes nahm eine viertel bis eine
volle Stunde Zeit in Anspruch. Was wir heute als Geschützlafette
bezeichnen, ist uns aus dem ersten Jahrhundert der Geschütze so
unbekannt, daß noch keine Zeughausverwaltung bis heute für ihre
ältesten Rohre eine glaubwürdige Lafette konstruieren konnte. Noch
zur Zeit Kaiser Maximilians finden wir zu Anfang des 16.
Jahrhunderts schwere Geschützrohre in den einfachsten
unbeweglichen Balkenbettungen liegen.
 42.
Wie ich das älteste datierte Gewehr
fand.
Die ältesten Gewehre waren sogenannte „Stangenbüchsen“, das
heißt einfache Schießrohre, die auf einer Stange von etwa
anderthalb bis zwei Meter Länge saßen. Man lud sie vorn mit Pulver,
Pfropfen und Kugel, und feuerte sie gegen den Feind ab, indem man
einen glühenden Haken oder eine brennende Lunte an die
Pulverpfanne hielt. Die Pulverpfanne war manchmal durch einen
Deckel gegen Wind und Wetter geschützt.
Diese Gewehre waren also verkleinerte Kanonen auf Stangen,
sodaß sie sich bequem tragen ließen. Wann und wo die
Handfeuerwaffen aufkamen, weiß kein Mensch; um’s Jahr 1340
finden sie sich plötzlich an verschiedenen Orten.
Das älteste mit einer Jahreszahl versehene Gewehr entdeckte ich
vor einigen Jahren auf sonderbare Weise im Museum für
Völkerkunde in Berlin. Es lag dort in einem Schrank der chinesischen
Abteilung und war als „Wallpistole“ bezeichnet. Das aus Bronze
gegossene Rohr mißt 35 cm in der Länge und trägt in chinesischen
Zeichen die Aufschrift „Kaiser Yunglo, im 19. Jahr, 7. Monat“.
Außerdem sind noch Inventarnummern auf dem Rohr zu lesen. Das
19. Jahr der Regierung jenes chinesischen Kaisers war unser Jahr
1421.
Als ich mir diese chinesische Inschrift hatte erklären lassen, war
ich nicht wenig erstaunt, eine Wallpistole in der Hand zu halten, die
120 Jahre älter sein mußte, als die früheste Nachricht von Pistolen
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