一、填空题

1、排列 54132678 的逆序数为_________.

2、设 4 维向量   (3,0, 2, 1)T ,   (3, 2, 1,1)T ,   (1, 2, 1,0)T ，向量  满足

  2  2    0 ，则   ________________.

3、设 A 为 3 阶方阵，且 A  1， A* 是 A 的伴随矩阵，则 A1  2 A*  ______.

4、设 A 为 n 阶方阵，3 是 A 的一个特征值，则 A2  5 A 必有一个特征值是______.

二、单项选择题
0 0 0 1
0 0 2 0
1、 n 阶行列式 ( )．

n 0 0 0
n ( n 1)
A． n ! B． (1) 2
n! C． 2! D． 2n !

2、设齐次线性方程组 Ax  0 的基础解系为 1 ,  2 ,…, nr ，则 Ax  0 的解集合 S 的

极大无关组所含解向量的个数为( )．
A． r B． n C． n  r D． r  n
3、设 A, B 是 n 阶方阵，下列选项中符号均有意义，则选项中不成立的是( )．
A．   A    1 A1 B．  AB   A1 B 1
1 1

C．  AT    A1 
1 T 1
D． A1  A
4、已知 1  (1,3,6,2)T ,2  (2,1,2, 1)T ,3  (1, 1, a, 2)T 线性相关，则 a 应满足( )．
A． a  2 B． a  2 C． a  2 D． a  2
5 7 2 3
4 3 2 1
5、若 D  ，则 D 中第一行元素的代数余子式之和为( ).
1 1 1 1
2 3 6 5
A．  1 B．  2 C．  3 D． 0
 x1  x2  x3  0

6、已知齐次线性方程组  x1   x2  x3  0 有非零解，则  的值为( )．
 3x  x  x  0
 1 2 3
A． 3 B． 3 C． 1 D． 1
7、矩阵 A 的列向量组的秩为 r ，则下列命题成立的是( )．
A． A 中所有子式都不为零 B． A 中所有的 r 阶子式都不为零
C． A 中存在不等于零的 r  1 阶子式 D． A 中存在不等于零的 r 阶子式
 2 1 1 1 0 0
   
8、设 A   1 2 1  与 B   0 a 0  相似，则 a 的值为( )．
1 1 2 0 0 4
   
A． 1 B． 2 C． 1 D． 4
9、设 n 元齐次线性方程组 Ax  0 的系数矩阵的秩为 r ，则 Ax  0 有非零解的充
分必要条件是( )．
A． r  n B． r  n C． r  n D． r  n
10、下列矩阵中，不是二次型矩阵的是( )．
0 0 0  1 0 0  3 0 2   1 2 3
       
A．  0 0 0  B．  0 1 0  C．  0 4 6  D．  4 5 6 
 0 0 1 0 0 2  2 6 7 8 9
     5   

三、计算题
1 2 2 2
2 2 2 2
1、 计算行列式 D  .
2 2 3 2
2 2 2 4

 0 3 3
 
2、 设 A   1 1 0  , AB  A  2 B ,求 B .
 1 2 3 
 
3、化二次型 f  x12  3x22  5 x32  2 x1 x2  2 x1 x3  6 x2 x3 为标准形，写出所作的线

性变换，并且判定二次型的正定性．
4、求向量组 1  (1,2, 1, 3)T ,2  (1,0,0,0)T ,3  (1,1,0,0)T ,4  (2, 5,2,6)T 的秩和一

个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示出来．

1 2 1
5、设 A    ，求正交矩阵 P ，使得 P AP 为对角矩阵．
2 1

 x1  x2  x3  x4  x5  1

6、求线性方程组  x2  2 x3  2 x4  6 x5  3 的通解.
3 x  2 x  x  x  3 x  0
 1 2 3 4 5

四、证明题
1 、 设 x  ( x1 , x2 , , xn )T 是 n 维 列 向 量 满 足 x T x  1 ， E 为 n 阶 单 位 矩 阵 ，

A=E  2 xx T ，求证： A 是对称阵，且 AAT  E .