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 Lunar and
Interplanetary
Trajectories

Robin Biesbroek
Springer Praxis Books

Astronautical Engineering
More information about this series at http://www.springer.com/series/5495
Robin Biesbroek

Lunar and Interplanetary

Trajectories

123
Robin Biesbroek
ESTEC/TEC-SYE
Noordwijk
The Netherlands

Published in association with Praxis Publishing, Chichester, UK

ISSN 2365-9599 ISSN 2365-9602 (electronic)

Springer Praxis Books
ISBN 978-3-319-26981-8 ISBN 978-3-319-26983-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-319-26983-2

Library of Congress Control Number: 2015956370

© Springer International Publishing Switzerland 2016

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Printed on acid-free paper

This Springer imprint is published by SpringerNature

The registered company is Springer International Publishing AG Switzerland
Dedicated to my grandparents Gijsbert and Hendrika,
who supported me no matter what I did
Preface

Since the early years of the twentieth century, many books have been published about
planetary and/or interplanetary trajectory design of space missions. A substantial amount
of these books are of either Soviet Union or American origin. Almost all of these books focus
on the, often complicated, mathematics involved with mission design.
Not everybody has the same background in mathematics and not everybody has the same
interest in the actual techniques behind trajectory design. For spacecraft system engineers, the
results of the trajectories, their properties (propellant required, duration, etc.), and their impact
on other systems, such as which launcher is applicable with that trajectory, are of more
importance.
It is with this in mind that the report is written: it aims at providing the reader an intro-
duction to both lunar and interplanetary trajectory design using a system engineering
approach. Complex mathematics is avoided. Instead, the books serve as a reference for tra-
jectories, providing lookup tables and figures from which any engineer can derive
trajectory-related parameters such as propellant mass, transfer time, departure dates, and
launcher performance. Finally, the impact of trajectories on the spacecraft system design is
discussed and highlighted with several examples throughout the book.

vii
Contents

1 Launching to Interplanetary Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Launchers Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Launch Energy and Declination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Performance Estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 LEO Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Ariane 5 LEO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Soyuz LEO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 VEGA LEO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.4 Proton LEO Performance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.5 Falcon LEO Performance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.6 Atlas V LEO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 GTO Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Ariane 5 GTO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.2 Soyuz GTO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.3 PSLV-XL GTO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.4 Proton GTO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.5 Falcon 9 GTO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.6 Atlas V GTO Performance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Lunar Transfer Orbit Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1 Ariane 5 LTO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.2 Soyuz LTO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.3 Proton LTO Performance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.4 Falcon 9 LTO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.5 Atlas V LTO Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Interplanetary Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7.1 Ariane 5 Escape Performance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7.2 Soyuz Escape Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7.3 Proton Escape Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7.4 Falcon 9 Escape Performance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7.5 Atlas V Escape Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Performance Summary Table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 The Rocket Equation and Engine Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.10 Parking Orbit Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.11 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.11.1 Lunar Mission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.11.2 Mission to Mars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.11.3 Mission to Neptune. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Transfer to a Planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Positions of the Planets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Devising Trajectories to Other Planets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

ix
x Contents

2.3 Launch Windows and C3 Values for Direct Transfers to the Planets . . . . . 21
2.3.1 Direct Transfer to Mercury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Direct Transfer to Venus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3 Direct Transfer to Mars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.4 Direct Transfer to Jupiter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.5 Direct Transfer to Saturn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.6 Direct Transfer to Uranus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.7 Direct Transfer to Neptune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.8 Direct Transfer to Pluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Avoiding Mars Dust Storms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Return Missions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.1 Mission to Mars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.2 Mission to Neptune. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Gravity Assist Maneuvers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1 The Principle Behind Gravity Assists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Tisserand Graphs and Typical Gravity Assist Sequences . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Gravity Assist Transfers to Mercury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Positions of the Outer Planets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Missions to the Outer Planets Using Gravity Assist Maneuvers . . . . . . . . 50
3.5.1 Gravity Assist Transfers to Saturn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5.2 Gravity Assist Transfers to Uranus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.3 Gravity Assist Transfers to Neptune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.4 Gravity Assist Transfers to Pluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6 Recurring Gravity Assist Maneuvers Using Resonant Orbits . . . . . . . . . . 55
3.7 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7.1 Mission to Saturn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7.2 Mission to Neptune. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Deep-Space Maneuvers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 High-Thrust Transfers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.1 Mission to Mercury Using DSM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.2 Mission to Venus Using DSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.3 Mission to Mars Using DSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.4 Mission to the Outer Planets Using DSM . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Low-Thrust Transfers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Powering Low-Thrust Engines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2 Reducing Low-Thrust Transfer Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.3 Low-Thrust Transfers to the Inner Planets . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.4 Low-Thrust Transfers to the Outer Planets . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.1 Mission to Saturn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.2 Mission to Neptune. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Lunar Transfers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1 Characteristics of the Moon’s Orbit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Direct Transfers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.1 Transfer Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.2 Direct Transfers from an Ariane 5 Launch . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.3 Direct Transfers from a Soyuz Launch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.4 Direct Transfers from a Proton Launch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Contents xi

5.2.5 Direct Transfers from a Cape Canaveral Launch . . . . . . . . . . . . . 77

5.2.6 Direct Transfers from LEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.7 Direct Transfers from GTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Free-Return Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 Bi-Elliptic Transfers from GTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 Weak Stability Boundary Transfers from GTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.6 Low-Thrust Transfers to the Moon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.6.1 Low-Thrust Transfers from LEO to the Moon . . . . . . . . . . . . . . 96
5.6.2 Low-Thrust Transfers from GTO to the Moon . . . . . . . . . . . . . . 97
5.7 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7.1 Low-Thrust Using Falcon-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7.2 Lunar Transfer with Shared Ariane 5 Launch . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7.3 Human Mission to the Moon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6 Arrival Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.1 The B-Plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 How the Operational Orbit Is Constrained by the Arrival Conditions. . . . . 105
6.3 Orbit Insertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3.1 Gravity Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3.2 High-Thrust Insertion at the Inner Planets . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3.3 Low-Thrust Insertion at the Inner Planets . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3.4 High-Thrust Insertion at the Outer Planets . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3.5 Low-Thrust Insertion at the Outer Planets . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.6 Lunar Orbit Insertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4 Atmospheric Entry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.4.1 Aspects of Atmospheric Entry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4.2 The Design of an Entry Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4.3 Entry at the Inner Planets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.4.4 Entry at the Outer Planets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4.5 Entry at the Moons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4.6 Phases of Atmospheric Entry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.5 Powered Descent During Entry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.6 Powered Descent Without Atmosphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.6.1 Descent Orbit Insertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.6.2 Powered Descent Initiation or Braking Phase . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.6.3 Approach or Final Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.6.4 Hovering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.6.5 Terminal Descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.6.6 Descent ΔV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.7 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.7.1 Moon Orbiter Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.7.2 Moon Lander Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.7.3 Neptune Probe Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7 Planetary Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . 165

7.1 General Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . 165
7.1.1 Kepler Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . 165
7.1.2 How Kepler Parameters Influence System Design . . . . . . . . . . . . 166
7.1.3 Orbit Perturbations and Maintenance. . . . ...... . . . . . . . . . . . 176
7.2 Sun-Synchronous Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . 177
xii Contents

7.3 Frozen Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.4 Repeating Ground Track and Synchronous Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.5 Stationary Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.6 Critically Inclined and Molniya Orbits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.7 Highly Elliptic Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.8 Multi-synch Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.9 Libration Point Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.10 End of Life Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.11 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.11.1 Moon Orbiter Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.11.2 Neptune Orbiter Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8 Auxiliary Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.1 Eclipse Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2 Earth Ground-Station Visibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.3 Surface Elements Visibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.4 ΔV Budgets and Margin Philosophies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.5 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.5.1 Moon Orbiter Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.5.2 Neptune Mission Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Appendix A: Supporting Data for the Plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Abbreviations

AER Azimuth, Elevation, Range

AOCS Attitude and Orbit Control System
ARD Atmospheric Reentry Demonstrator
AU Astronomical Unit
DOI Descent Orbit Insertion
DSM Deep Space Maneuver
DSN Deep Space Network
ECA Etage Cryotechnique A
EDL Entry, Descent and Land
EIP Entry Interface Point
ERC Earth Return Capsule
ESA European Space Agency
EVEEJ Earth is often used in an Earth–Venus–Earth–Earth–Jupiter
FPA Flight Path Sngle
GAM Gravity Assist Maneuver
GTO Geostationary Transfer Orbit
HET Hall-effect Thruster
ICRF International Celestial Reference Frame
JPL Jet Propulsion Laboratory
LCROSS Lunar Crater Observation and Sensing Satellite
LEO Low Earth Orbit
LLO Low Lunar Orbit
LOI Lunar Orbit Insertion
LTO Lunar Transfer Orbit
MCM Mid-Course Maneuvers
MOI Mars Orbit Insertion
MSL Mars Science Laboratory
ODM Orbit Deflection Maneuver
PDI Powered Descent Initiation
PSLV Polar Satellite Launch Vehicle
RAAN Right Ascension of Ascending Node
RTG Radioisotope Thermoelectric Generators
SSO Sun-Synchronous Orbits
TLI Trans-Lunar Injection
TPS Thermal Protection System
UHF Ultra-High Frequency
WSB Weak Stability Boundary

xiii
Introduction

This book takes the reader through a journey starting from the launch of an interplanetary or
lunar spacecraft, to the final orbit around a planet or moon.
It starts with ‘Launching to Interplanetary Orbits’ (Chap. 1) where some launcher perfor-
mance figures are shown for commonly used launchers. The next step is the ‘Transfer to a
Planet’ in Chap. 2 which describes the energy required to reach other planets. Chapter 3 deals
with ‘gravity assist maneuvers,’ often used to either decrease the transfer time or increase the
spacecraft payload mass. More and more missions nowadays use large ‘deep space maneu-
vers’ to which Chap. 4 is dedicated. Lunar transfers are shown in Chap. 5. When arrived at a
planet, the choice exists to land on it or to orbit it: Chap. 6 shows cases for both these options.
For planetary orbits, Chap. 7 shows a large number of different orbits and their impact on
satellite design. Finally, Chap. 8 shows auxiliary data such as eclipse times, ground station
coverage, and how to summarize budgets and apply margins to the design.
Throughout the book two different examples will be given for invented missions to the
Moon and to the planet Neptune. For each destination, the examples will show different
scenarios of the mission, i.e. different launchers, direct transfers, gravity assists, and deep
space maneuvers.
All 3D trajectory plots were created using the Satellite Took Kit version 9, a software
product of Analytical Graphics, Inc.

xv
 Launching to Interplanetary Orbits
1

A spacecraft’s trajectory starts with its launch. Although the version of Ariane 5, need to go directly into the escape orbit.
trajectory of the launcher is not calculated by a space sys- Sometimes a different method is used. ESA’s spacecraft
tems engineer, the trajectory in which the spacecraft is put Rosetta was launched on an Ariane G version by putting the
by the launcher is of extreme importance. Not only is it the Ariane 5 upper-stage with the spacecraft into a ballistic
starting point for the trajectory design, it also determines the trajectory. At the highest point in the ballistic flight, the
spacecraft mass which makes the launcher selection a critical upper-stage was ignited to enter the escape trajectory. If the
decision during any spacecraft design. ignition failed, both upper-stage and spacecraft would have
re-entered the Earth’s atmosphere.
Ariane 5, Atlas 5 and Proton are considered ‘heavy-class’
1.1 Launchers Overview launchers, capable of launching in the order of 20 tons to LEO
(Low-Earth Orbit), and in the order of 10 tons to GTO
At the moment there are over 30 launchers available from (Geostationary Transfer Orbit). Soyuz is considered a
Europe, the United States, USSR, China, Japan, India, Brazil middle-class launcher (5–10 tons in LEO) and VEGA a
and Israel. Many of the launchers are small and incapable of typical small launcher (1–2 tons in LEO). Many launchers
launching a spacecraft into an interplanetary trajectory. Only come in a variety of different versions, depending on what
a few launchers have that capability, of which the most used kind of upper-stage is used, how many strap-on boosters,
are the Russian Proton and Soyuz, the American Atlas and which fairing and even what kind of main stage. For Ariane 5,
Delta, and the Japanese H2. The European Ariane 5 launcher typical versions are G (Generic), E (Evolution), ES (evolution
(Fig. 1.1) has proven capability for interplanetary missions with Storable propellant upper-stage) and ECA (Evolution
by launching the ESA (European Space Agency) satellite with Cryogenic upper-stage type A). For Soyuz, typical ver-
Rosetta in 2004. sions are Soyuz-Fregat and Soyuz/ST-Fregat (used for laun-
The task of the launcher is to put the satellite into an ‘escape ches from French Guyana). For Proton we have Proton-M and
trajectory’. In order for the spacecraft to reach another planet, it Proton-K depending on the type of upper-stage and fairing.
should have a very specific velocity and direction at the time A launch typically lasts 15–100 min, depending on the
the spacecraft leaves (or ‘escapes from’) the Earth. There are launch strategy. A direct ascent uses all stages in sequence
different ways to achieve this velocity and direction. The (or simultaneous) without the use of long coast arcs, and
Russian Soyuz (Fig. 1.2) and Proton (Fig. 1.3) for example normally lasts between 15 and 30 min. This is valid for
often use a parking orbit before injecting into a hyperbolic example for Ariane 5 E and Ariane 5 ECA. Some launchers
escape trajectory. The first stages of the launcher put both the may use coast arcs or parking orbits (typically at 200 km
launcher’s upper-stage and the attached spacecraft into a altitude) before igniting the upper-stage to reach the final
200 km altitude circular orbit. At the right time, the upper-stage orbit. It could be that the upper-stage was already used to
is ignited until the proper hyperbolic escape trajectory is reach the parking orbit, or not. Due to the use of a coast arc,
reached and the spacecraft is on its way to its target planet. which may be almost a complete orbit, an additional 90 min
In order to use this parking orbit technique usually a is required for the launch duration.
restartable upper-stage is required, since the upper-stage is Sometimes the launcher’s performance for escape tra-
also used to actually reach this parking orbit. The Russian jectories is given in user manuals, sometimes it is not. Quite
Fregat, Breeze and Varyag upper-stages are good examples often only a few data-points are available. It is therefore not
of restartable upper-stages. Launchers without a restartable unusual for a space systems engineer to predict the launcher
upper-stage, such as the ECA (Etage Cryotechnique A) performance by extrapolating from only one or a few points

© Springer International Publishing Switzerland 2016 1

R. Biesbroek, Lunar and Interplanetary Trajectories, Springer Praxis Books,
DOI 10.1007/978-3-319-26983-2_1
2 1 Launching to Interplanetary Orbits

on the plot of the launcher performance. Figures 1.4, 1.5 and

1.6 show the PSLV (Polar Satellite Launch Vehicle), Falcon
and Atlas launchers.

1.2 Launch Energy and Declination

In order to reach a target planet at the right time, the

spacecraft needs a specific velocity and direction when it
leaves the Earth’s sphere of influence. The velocity vector is
dictated by three parameters: the amount of velocity (vector
magnitude), the vector’s right ascension and its declination,
see Fig. 1.7.
The velocity’s magnitude is a direct indication for the
launcher’s performance and is called the ‘infinite velocity’
(V∞) since it is regarded as the velocity of the spacecraft at
infinite distance of the Earth. Regarding the interplanetary
trajectory in heliocentric view, the infinite velocity vector is
simply the difference between the planet’s velocity and the
spacecraft’s velocity when leaving the Earth. It is traditional
to use a parameter called ‘C3’ as the performance parameter to
indicate a launcher’s performance. The C3 is the square of the
infinite velocity and is often referred to as the launch energy.
Note that the C3 can be negative; in this case the satellite does
not escape but remains in orbit around the planet.
Examples of C3 values of optimal direct (Earth-to-planet)
interplanetary missions are shown in Table 1.1.
It is clear that launches to planets such as Jupiter and
beyond have a very high C3. A launch C3 of 188 km2/s2 for
Fig. 1.1 Ariane 5 launcher. Credits ESA/CNES/CSG example to Pluto is actually higher than any modern launcher

Fig. 1.2 Lift-off by Soyuz from

French Guiana. Credits ESA/
CNES/Arianespace/Optique
Video du CSG
1.2 Launch Energy and Declination 3

Fig. 1.3 Proton-M on the launch

pad in Baikonur. Credits
ILS/ROSCOSMOS/Loral/
Orbiter.ch

Fig. 1.4 Indian PSLV-XL

launcher being prepared for its
Lunar mission. Credits ISRO

can offer. Besides, most project managers will not be in favor difference at the Earth makes a large difference when
of a 12 year cruise time. The only solution to decrease the reaching for example Mars. This difference would have to be
launch C3 and/or the cruise time is the use of gravity assists. compensated either by the launcher or by the spacecraft itself.
Because the Earth rotates, any right ascension (α) can be The declination (δ) is much more important: not every
reached. It is simply a matter of launching at the right hour. declination can be reached. We can define the inclination of
The Earth rotates 360.99° per day, or 15° per hour, or 1/4° per an orbit by the angle between the orbit plane, and the plane
minute. In other words, every hour in the day the right through the equator of the planet. If a launch is performed
ascension will increase with 15°. It can also be seen that the exactly towards the East, the inclination of the orbit is the
launch hour is quite delicate: when the launch is delayed by same as the latitude from which the launch took place. For
only 4 min, the right ascension has increased by 1°. Since 1° example, eastward launches from Baikonur (Proton) give an
4 1 Launching to Interplanetary Orbits

inclination of 51.8° whereas eastward launches from French

Guyana (Ariane 5 and VEGA) give an inclination of 6°.
The following rule of thumb applies for eastward
launches:
without performing an inclination change, a launcher can reach
any declination up to the latitude of the launch site.

Therefore, a Proton launcher for example can reach any

declination up to 51.8° if launched from Baikonur. The
following figures demonstrate this: Fig. 1.8 shows how from
a parking orbit with 51.8° inclination, a declination of 51.8°
is reached, and Fig. 1.9 shows how from exactly the same
parking orbit a declination of 0° is reached. The difference is
simply achieved by the timing of the upper-stage burn.
This timing sets the ‘argument of perigee’ for the escape
orbit. The argument of perigee is the angle of the location of
the perigee (the closes point of the orbit to the Earth, see
Fig. 1.20), measured from the equator plane. An argument of
perigee of 0° or 180° means that the perigee lies in the equator
plane; 90° means that the perigee lies in the most Northern
part of the orbit; and −90° means that the perigee lies in the
most Southern part of the orbit. For declinations close to 0°,
we need a perigee close to the equator (argument of perigee 0°
or 180°). To achieve the maximum declination, we need an
argument of perigee of 90° (maximum negative escape
declination) or -90° (maximum positive escape declination).
Most planets (and the Moon) move approximately in the
ecliptic frame which is inclined by the Earth’s equator by
about 23°. Therefore, for interplanetary trajectories the
declination of the Earth escape trajectory is quite often around
Fig. 1.5 Falcon 9 launch. Credits NASA

Fig. 1.6 Atlas V 551 lifts off to

continue its way to Pluto. Credits
NASA
1.2 Launch Energy and Declination 5

Fig. 1.7 Parameters of an escape

trajectory: escape velocity (V∞),
right ascension (α) and
declination (δ)

Table 1.1 Example C3 values for transfers to different planets 23°. This is no problem when launching from Cape Canaveral
2 2 or Baikonur but when launching from Kourou in French
Planet Launch C3 [km /s ] Transfer time
Guyana an inclination change will have to be performed
Moon a
−2.0 5 days
which goes at the expense of the Ariane’s performance since
Venus 7.2 0.36 years this requires a substantial amount of propellant. Kourou is
Mars 10.2 0.90 years therefore a competitive launch site for transfers to the Geo-
Jupiter 82.6 3.69 years stationary orbit (inclination 0°) but not for most interplanetary
Pluto 188.0 12.48 years transfers (declination usually much higher than 5°).
a
Not really an interplanetary mission, and since the Moon is bound to How exactly the required launch energy and declination
the Earth, a Lunar transfer orbit is not an escape trajectory. Therefore are calculated is shown in Chap. 2. In the next sections it will
the C3 energy is negative be shown how to estimate the launcher’s performance.

Fig. 1.8 Front and side-view of an injection from a parking orbit (inclination = 51.8°) to escape trajectory with declination 51.8°. The argument of
perigee is close to −90° (perigee in the South)
6 1 Launching to Interplanetary Orbits

Fig. 1.9 Front and side-view of an injection exactly the same parking orbit to escape trajectory with declination 0°. The argument of perigee is
close to 0° (perigee close to the Equator)

1.3 Performance Estimation latitude, since for other inclinations an inclination change
needs to be given by the launcher.
The previous section showed that the two main parameters
for performance estimation are the launch energy C3
[km2/s2] and the declination δ [°]. For launches from high 1.4.1 Ariane 5 LEO Performance
latitudes though, such as Plezetsk and Baikonur, almost
any required declination for interplanetary trajectories Ariane 5 performance to LEO is typically in the order of 20
can be reached leaving only the launch energy as tons when the ES version is used; see Fig. 1.10 for the
parameter. Ariane 5 ES performance to LEO.
Quite often the launcher’s performance can be found The Ariane 5 performance gets higher for lower inclina-
from literature or on the internet, such as Encyclopedia tions as expected; the maximum should occur for an incli-
Astronautica [1] and obviously the launcher user manuals nation of 5.2° in LEO.
themselves which can be found on the web pages of the
launch service provider. The following sections show
interplanetary and lunar trajectory performances for vari- 1.4.2 Soyuz LEO Performance
ous launchers. As LEO and GTO orbits are also used at
some occasions as parking orbits for interplanetary For Soyuz-Fregat, this performance is about 14 tons lower.
transfer, the LEO and GTO performances are shown as Unfortunately, LEO performance for Soyuz launched from
well. Kourou is unknown. Only one LEO is performance is given:

• Apogee altitude 920 km (defined at 1st apogee crossing)

1.4 LEO Performances • Perigee altitude 920 km (defined at injection)
• Inclination 52°
If a launch is performed exactly towards the East, the • The LEO performance for Soyuz is 4850 kg [3].
inclination of the orbit is the same as the latitude from which
the launch took place. For example, eastward launches from
Baikonur (Soyuz, Proton) give an inclination of 51.8° 1.4.3 VEGA LEO Performance
whereas eastward launches from French Guyana (Ariane 5)
give an inclination of 6°. Therefore, the performance is Though typically not suitable for interplanetary missions, the
maximal when the inclination is the same as the launch small launcher VEGA may be used for low-cost mini
1.4 LEO Performances 7

Fig. 1.10 Ariane 5 ES 24000

performance to LEO, based on 23000
data from [1]

Ariane 5 ES performance [kg]

22000
21000 i=48
20000
19000
18000
17000
i=60
16000
15000
14000
13000
12000 i=86
11000
10000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
Altitude [km]

2300 1.4.4 Proton LEO Performance

2200
2100
VEGA performance [kg]

2000 The Proton User Manual [5], does not give performances
1900 plots however states the following LEO performance for a
1800
1700
180 km orbit at 51.5° inclination: 23,000 kg.
1600
1500
1400
1.4.5 Falcon LEO Performance
1300
1200
1100 The small launchers Falcon 1 and Falcon 1e may provide a
1000 low-cost access for a mini satellite to the Moon, while the
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Inclination [deg] heavy-lift launcher Falcon 9 provides interplanetary access.
As a reference, we take the 185 km LEO at 30° inclination
Fig. 1.11 VEGA performance to 300 km LEO, based on data from [4] for Falcon 1e: 950 kg, from Fig. 1.12. For Falcon 9, we take
the 185 km LEO at 28.5° inclination as reference: 11,250 kg,
satellites going to the Moon. As a reference, we take the from Fig. 1.13.
performance to 300 km LEO at 30° inclination: 2200 kg, It should be noted here that the Falcon 9 data sheet
from Fig. 1.11. mentions that typical maximum payload capability of Falcon

Fig. 1.12 Falcon 1 and 1e 1100

performance to LEO, based on
1000
data from: [6]
900
Falcon performance [kg]

800
Falcon 1e
700
600
500
400
300
Falcon 1
200
100
0
0 20 40 60 80 100
Inclination [deg]
8 1 Launching to Interplanetary Orbits

12000 often shared i.e. two satellites, both in the range of 1000 kg
to 8000 kg are launched at the same time.
Falcon 9 performance [kg]

11000

10000

9000 1.5.2 Soyuz GTO Performance

8000
The GTO for Soyuz is defined as:
7000

6000 • Apogee altitude 35,950 km (defined at 1st apogee

5000
crossing)
100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 2100 • Perigee altitude 250 km (defined at injection)
Altitude [km]
• Argument of perigee: 178°
Fig. 1.13 Falcon 9 performance to LEO for 28.5° inclination, based • Inclination 6°
on data from [7]
The GTO performance for Soyuz is 3250 kg [3].
9 is 6800 kg, which may indicate that currently existing
adapters are not qualified for higher payloads.
1.5.3 PSLV-XL GTO Performance

1.4.6 Atlas V LEO Performance A cost-effective alternative for GTO launches is the Indian
PSLV-XL launcher. However the upper-stage does not have
Atlas V is currently the most powerful launcher available. a high performance and therefore for the Chandrayaan lunar
Many versions exist, since the launcher can be reconfigured mission, a lower apogee elliptic orbit was selected. This
with strap-on boosters and the addition of a STAR48 solid ‘sub-GTO’ for PSLV-XL is defined as:
upper-stage. As a reference, we take the 200 km LEO at
28.5° inclination using Atlas V version 551 (the most • Apogee altitude 22,858 km
powerful version) as reference: 18,814 kg, taken from [8]. • Perigee altitude 257 km
• Argument of perigee: unknown
• Inclination 17.9°
1.5 GTO Performances
The sub-GTO performance for PSLV-XL is 1380 kg.
The definition of ‘GTO’ is different for each launcher;
though the apogee should end up being 35,786 km, the
perigee and inclination are different for different launchers as 1.5.4 Proton GTO Performance
they are optimized for each case. Based on the same user’s
manuals used for the LEO performances, we can find the The GTO for Proton is defined as:
GTO and LTO (Lunar Transfer Orbit) performances.
• Apogee altitude 35,786 km
• Perigee altitude 2175 km
1.5.1 Ariane 5 GTO Performance • Argument of perigee: 0°
• Inclination 31.1°
The GTO for Ariane 5 ECA is defined as:
The GTO performance for Proton is 6920 kg [5].
• Apogee altitude 35,786 km (defined at 1st apogee
crossing)
• Perigee altitude 250 km (defined at injection) 1.5.5 Falcon 9 GTO Performance
• Argument of perigee: 178°
• Inclination 6° The GTO for Falcon 9 is defined as:

The GTO performance for Ariane 5 ECA is 10,050 kg • Apogee altitude 35,788 km
[2], though it must be said that Ariane 5 GTO launches are • Perigee altitude 185 km
1.5 GTO Performances 9

• Argument of perigee: 0° or 180° leads to a performance of: 2140 kg. For this value the same
• Inclination 28.5° inclination as the Lissajous orbit can be assumed (15°). To
summarize:
The GTO performance for Falcon 9 is 4540 kg [7].
• Apogee altitude 385,600 km
• Perigee altitude 250 km
1.5.6 Atlas V GTO Performance • Inclination 15°

The GTO for Atlas V is defined as: The LTO performance for Soyuz is then 2140 kg.

• Apogee altitude 35,786 km

• Perigee altitude 185 km 1.6.3 Proton LTO Performance
• Argument of perigee: 180°
• Inclination 27° Also the latest Proton User Manual does not lunar per-
formance, however a previous version (10) did give the
The GTO performance for Atlas V 551 is 8900 kg [8]. performance for a C3 of −2 km2/s2. Note that this per-
formance may be conservative. The LTO for this orbit is
defined as:
1.6 Lunar Transfer Orbit Performances
• Apogee altitude 385,664 km
Similar to GTO, also the LTO definition may be different per • Perigee altitude 180 km
launcher: this is due to the different launch latitudes and • Inclination 51.6°
corresponding inclination of the transfer orbit.
The LTO performance for Proton is 5890 kg.

1.6.1 Ariane 5 LTO Performance

1.6.4 Falcon 9 LTO Performance
The LTO for Ariane 5 ECA is defined as:
The Falcon 9 Payload User’s Guide, [7], defines the LTO
• Apogee altitude 385,600 km performance for a C3 of −2 km2/s2. The LTO for Falcon 9 is
• Perigee altitude 300 km then defined as:
• Inclination 12°
• Apogee altitude 385,660 km
The LTO performance for Ariane 5 ECA is 7000 kg [2]. • Perigee altitude 185 km
• Inclination 28.5°

1.6.2 Soyuz LTO Performance The LTO performance for Falcon 9 is 2600 kg. Note
though that this is substantially larger than a previous doc-
The user manual of Soyuz only lists a low-inclination LTO. ument, the Falcon Launch Vehicle Lunar Capability Guide
The parameters are: rev 2 where a performance of 1925 kg was predicted.

• Apogee altitude 400,000 km

• Perigee altitude 250 km 1.6.5 Atlas V LTO Performance
• Inclination 6° (declination of the apogee: 2°)
The Atlas Launch System Mission planner’s Guide, [8],
The LTO performance for Soyuz is then 2300 kg. defines the LTO performance for a C3 of −2 km2/s2.
We do have the GTO performance (corresponding to a The LTO for Atlas V is then defined as:
C3 of −16 km2/s2) and the performance of ESA’s Gaia
mission to a Lissajous orbit (9) which is 2030 kg. For the • Apogee altitude 385,660 km
Lissajous orbit a C3 of −0.3 km2/s2 can be assumed (Lis- • Perigee altitude 185 km
sajous orbits have an energy just below the energy required • Inclination 28.5°
to escape Earth). Interpolating these values to an LTO orbit
of 250 km perigee and 385,600 km apogee (C3 = −2 km2/s2) The LTO performance for Falcon 9 is 6740 kg.
10 1 Launching to Interplanetary Orbits

1.7 Interplanetary Performances 2400

Soyuz-Fregat performance [kg]

2200
1.7.1 Ariane 5 Escape Performance
2000

Figure 1.14 shows the performance for Ariane 5 ECA as 1800

function of the escape energy C3 (see Table 1.1 for example
1600
C3 values). Note that this performance plot is based on an
older copy of the Ariane 5 User’s Manual [2] as the most 1400

recent [11] only gives the reference for one point 1200
(C3 = 12.5 km2/s2 and declination = −2°). Furthermore the
1000
declination related to this plot is unknown, however it can be 0 5 10 15 20 25
assumed that the optimal escape declination (−5° for Ariane C3 [km2/s2]
5) is used. The values in the figure are decreased by 1900 kg
to match the current performance for a C3 of 12.6 km2/s2) as Fig. 1.15 Soyuz-Fregat performance for zero degrees declination,
based on data from [3]
the older user manual was predicting a performance of
1900 kg higher than the most recent version.
1700
1600

Soyuz-Fregat performance [kg]

1500
1.7.2 Soyuz Escape Performance 1400
1300
1200
Figure 1.15 gives the Soyuz escape performance mentioned 1100
in the User’s Manual. Unfortunately this is given only for 0° 1000
900
declination. Performances for other declinations are missing. 800
In order to estimate escape performances for other 700
600
declinations, we look at previous users manuals. Figure 1.16 500
gives the Soyuz escape performance mentioned in the User’s 400
Manual of 2001 [12]. It should be noted that also here the 300
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46
performance seems incorrect as it is the same performance as C3 [km2/s2]
the Soyuz achieves when launched from Baikonur instead of
Kourou. One could expect a higher performance when Fig. 1.16 Soyuz-Fregat performance, based on data from [12]
launched from the equator, as the contribution of the Earth’s
rotation is larger from the equator (which is confirmed in declination. For the sake of compliance to the User’s Man-
Fig. 1.15). On the other hand, launches to different decli- ual, and to be on the conservative side, the performance of
nations should lead to lower performances than 0° Baikonur is taken as a reference for a launch from Kourou
assuming that the adapted mass has already been subtracted,
5300 and that for this performance declinations of −5° to +30° are
Ariane 5 ECA performance [kg]

possible.
4900

4500
1.7.3 Proton Escape Performance
4100

Figure 1.17 shows the Proton M with a Breeze M

3700
upper-stage performance. Again, the latest User’s Manual
3300 does not indicate escape performance; the data is taken from
the 2004 User’s Manual [10].
2900
5 10 15 20 25
C3 [km2/s2]
1.7.4 Falcon 9 Escape Performance
Fig. 1.14 Ariane 5 ECA performance, based on data from [2] scaled
down by 1900 kg to match the performance mentioned in the most
recent User’s Manual. Launch from Kourou (latitude 5.2°). The Figure 1.18 gives the performance of Falcon 9 (Block 2) to
declination of the launch asymptote assumed is −5° escape trajectories.
1.7 Interplanetary Performances 11

7000 12000
6500

Atlas 551 performance [kg]

6000
Proton M performance [kg]

10000
5500
5000
8000
4500
4000
3500 6000
3000
2500 4000
2000
1500
2000
1000
500
0 0

C3 [km2/s2] C3 [km2/s2]

Fig. 1.17 Proton M performance, based on data from [10]. Launch Fig. 1.19 Atlas V 551 escape performance, based on data from [8]
from Baikonur. Applicable to declinations from −51.6° to +51.6°

4500

4000 1.8 Performance Summary Table

Falcon 9 performance [kg]

3500

3000 Table 1.2 gives a summary for different performance for all
2500 launchers mentioned.
2000

1500

1000
1.9 The Rocket Equation and Engine
500
Performance
0
-20 -10 0 10 20 30 40 50 The Rocket Equation will be the only equation given in this
C3 [km2/s2] book, as it is a highly important equation for any space
systems engineer to estimate satellite masses. Derived by the
Fig. 1.18 Falcon 9 Block 2 escape performance, based on data from [7]
imperial Russian school teacher and scientist (in fact, the
first ‘rocket scientist’) Konstantin Tsiolkovski in 1903, the
1.7.5 Atlas V Escape Performance Rocket Equation links the satellite mass to the engine effi-
ciency and the change in velocity:
Figure 1.19 gives the performance of Atlas V 551 to escape
DV
Ispg
trajectories. Note that an extra upper-stage is used for C3 mf ¼ mi  e 0

values of 20 km2/s2 and higher: a STAR48V. Maximum

declination is 28.6°. where:

Table 1.2 Performance (in kg) for different mission types and different launchers. See text for constraints on inclination and escape declination
Type LEO GTO Moon Venus Mars
C3 [km2/s2] −60 −16 −2 7 10
Falcon-1e 950 – – – –
VEGA 2200 – – – –
PSLV-XL 1380 – – –
Soyuz 5050 3060 2140 1350 1230
Falcon-9 11,250 4545 2600 2023 1850
Ariane 5 21,000 10,050 7000 4600 4500
Proton M 23,000 6920 5890 4890 4580
Atlas V 18,814 8900 6740 5720 5420
12 1 Launching to Interplanetary Orbits

• mf is the final mass of the spacecraft, in [kg] (after giving

the velocity change)
• mi is the initial mass of the spacecraft, in [kg] (before
giving the velocity change) Apogee Perigee
Earth
• e is the base of the natural logarithm = 2.71828183
• ΔV is the velocity change given by the rocket engine, in
[m/s]
• Isp is the specific impulse of the rocket engine, in [s]
• g0 is the gravity constant in [m/s2]. This is equal to Fig. 1.20 Definitions of Apogee and Perigee
9.80665 m/s2

The engine’s specific impulse is basically an indication of 1.10 Parking Orbit Optimization
how efficient the engine is. After all, a higher Isp in the
Rocket Equation leads to a smaller difference between the In some cases it is advantageous to use the main engine of
initial and final mass, i.e. a smaller fuel consumption. the spacecraft to reach the transfer orbit (for example, to
Table 1.3 gives an overview of different engines, their escape from the Earth) instead of just using the launcher to
specific impulse Isp and their applications. directly inject the spacecraft into the transfer orbit. This is in
One could think ‘why not always use an ion engine’ as particular true for launchers that have an upper-stage with an
this engine seems to be the most efficient; the problem engine that is less efficient, i.e. have a lower Isp, than the
however is that typically, the higher the specific impulse, the engine of the spacecraft. For these cases, the launcher should
lower the thrust level. A minimum amount of thrust is typ- inject the spacecraft into a parking orbit, after which the
ically needed to move a mass mi, so that often limits the spacecraft ignites its own engine to leave that parking orbit
engine choice: it is impossible to launch a 100 ton launcher and injects itself into the transfer orbit.
with an ion thruster, since the thrust is so low the launcher The question is: which parking orbit should be used? This
would never lift off. On the other hand, some solid motors is subject to optimization. When we define the parking orbit
have such a high thrust that if attached to a non-agile as an elliptic orbit around the Earth as shown in Fig. 1.20,
spacecraft it may break apart when the thrust is started. with its closest distance to the Earth called the perigee alti-
See [13] for an explanation of rocket engines. Table 1.3 tude, and it is furthest distance to the Earth called the apogee
will be used in this book as an Isp reference for calculating altitude, we can fix the perigee altitude to 200 km and try to
satellite masses using the Rocket Equation. find the optimal apogee altitude that maximizes the space-
craft mass into the escape orbit. This will be different though
for different launchers (as different launchers have different
performance) and different satellite engines (as different
Table 1.3 Overview of engine types and typical values for the specific engines have different specific impulses and therefore dif-
impulse ferent propellant consumption).
Engine type Typical Applications Let’s first have a look at the ΔV required to reach a C3
specific from a parking orbit. In Fig. 1.21 we fixed the perigee
impulse
Isp [s] altitude to 200 km and let the apogee altitude range from
200 km (i.e. circular orbit) to 400,000 km (i.e. LTO). The
Cold-gas 50 Spacecraft attitude control
plot gives the ΔVs required to reach a range of C3 values
Mono-propellant 220 Attitude control or spacecraft
(from −2 to 100 km2/s2). The ΔVs have been scaled up by
main engine for all orbit transfers
10 % to compensate for gravity losses (the fact that a ΔV
Solid 250 Launchers and rocket stages
cannot always be given at the optimal location due to the
Bi-propellant 320 Larger attitude control or
duration of the burn, which leads to losses in the efficiency
spacecraft main engine for all
orbit transfers. More effective of the burn; see also section 6.3.1).
than mono-propellant, but more We see from Fig. 1.21 that the higher the escape energy,
complex too the higher the required ΔV; and the higher the parking orbit
Cryogenic 450 Launchers (cryogenic engines apogee, the lower the required ΔV. Both observations are
can only be used until a few days quite logical however we also notice that the curve flattens at
after launch)
high parking orbit apogees, which means that in the end
Hall-effect (HET) 1650 Deep-space maneuvers/spiraling choosing a parking orbit of 300,000 km apogee or
out to the Moon
1,000,000 km apogee will not have a large impact on the
Ion 3000 Deep-space maneuvers
ΔV. The optimal parking orbit apogee is subject to
1.10 Parking Orbit Optimization 13

Fig. 1.21 ΔV to reach an escape 8

orbit with energy C3, as function C3 = 100 km2/s2
of parking orbit apogee altitude 7 C3 = 90 km2/s2
(perigee altitude fixed at 200 km). C3 = 80 km2/s2
X-axis is in logarithmic scale 6
C3 = 70 km2/s2
5 C3 = 60 km2/s2

ΔV [km/s]
C3 = 50 km2/s2
4 C3 = 40 km2/s2
C3 = 30 km2/s2
3 C3 = 20 km2/s2
C3 = 10 km2/s2
2
C3 = 5 km2/s2
1 C3 = 0 km2/s2
C3 = -2 km2/s2
0
100 1000 10000 100000 1000000
Parking Orbit Apogee Altitude [km]

Fig. 1.22 Satellite mass in 350

escape orbit when launched with
Falcon 1e, for LEO parking orbit 300
and various engines, and escape
declinations up to ±30°
Satellite Mass [kg]

250

200 LEO, mono-prop

LEO, solid
150 LEO, bi-prop

100

50

0
-20 0 20 40 60 80 100 120
Escape C3 [km2/s2]

optimization, however often this optimum lies closely to the (Proton-M) and Fig. 1.29 (Atlas V). The most common
GTO orbit (apogee 35,876 km altitude) and sometimes engine types are used: mono-propellant, solid, and
closely to the LTO orbit (apogee 400,000 km altitude). bi-propellant engines, in order of efficiency (and therefore
A satellite would typically have propellant worth to up to a final satellite mass).
few km/s of ΔV. For example, most communication satellites We can immediately see that using a parking orbit could
have a maximum ΔV of roughly 1.5 km/s. Already with this give advantages in mass: in Fig. 1.25 above we see that the
number, using for example a bi-propellant engine, 40 % of the LTO performance of Soyuz (direct insertion) is 2140 kg.
spacecraft consists of propellant. It is therefore very difficult to However if a GTO parking orbit is used and a bi-propellant
reach a C3 of 100 km2/s2 from a parking orbit as the ΔV even engine of the satellite gives the ΔV to get from GTO into
from a parking orbit with 400,000 km altitude, is at least LTO, the satellite mass is 2410 kg: 300 kg more than the
4.3 km/s. Using the Rocket Formula we see (taking again a direct case.
bi-propellant engine with Isp 320 s) that a ΔV of 4.3 km/s The downfall is an increased mission risk (the satellite
(4300 m/s) leads to a satellite consisting for 75 % of propellant. needs to perform extra, large, burns) and increased com-
For the different launchers mentioned in this chapter, and plexity (as it obliges to implement a large propellant system)
using the performances of Table 1.2, we can now calculate which typically goes hand in hand with increased cost. For
the satellite mass in escape orbit starting from LEO, the this reason, often propulsion stages with solid motors such as
GTO or the LTO orbit, using the ΔV figures of the previous the American STAR motors, are used, despite the lower
plot. The results are shown in Fig. 1.22 (Falcon 1e), efficiency than bi-propellant engines. The solid motors are
Fig. 1.23 (VEGA), Fig. 1.24 (PSLV-XL), Fig. 1.25 (Soyuz), relatively simple in design, available off-the-shelf at rela-
Fig. 1.26 (Falcon-9), Fig. 1.27 (Ariane 5), Fig. 1.28 tively low cost, and have high thrust which means that one
14 1 Launching to Interplanetary Orbits

Fig. 1.23 Satellite mass in 800

escape orbit when launched with
VEGA, for LEO parking orbit 700
and various engines, for escape
declinations up to ±30° 600

Satellite Mass [kg]

500
LEO, mono-prop
400 LEO, solid
LEO, bi-prop
300

200

100

0
-20 0 20 40 60 80 100 120
Escape C3 [km2/s2]

Fig. 1.24 Satellite mass in 1200

escape orbit when launched with
PSLV-XL, for GTO parking orbit
1000
and various engines, for escape
declinations up to ±17.9°
Satellite Mass [kg]

800
LEO, mono-prop
600 LEO, solid
LEO, bi-prop

400

200

0
-20 0 20 40 60 80 100 120
Escape C3 [km2/s2]

Fig. 1.25 Satellite mass in 3000

escape orbit when launched with
Soyuz, for various parking orbits
2500
and engines, and maximum GTO, bi-prop, i=7 deg
escape declinations (‘i’) given in
Satellite Mass [kg]

LTO, bi-prop, i=12 deg

the legend. The mass is 2000 LEO, bi-prop, i=48 deg
maximized by using a GTO GTO, solid, i=7 deg
parking orbit
1500 LTO, solid, i=12 deg
LEO, solid, i=48 deg
GTO, mono-prop, i=7 deg
1000
LTO, mono-prop, i=12 deg
LEO, mono-prop, i=48 deg
500

0
-20 0 20 40 60 80 100 120
Escape C3 [km2/s2]

burn is necessary (and possible) to reach the desired escape An extra aspect to be taken into account is that when using
C3. Engines with chemical propulsion have lower thrust and the GTO as a parking orbit, this GTO is typically designed
typically divide the escape ΔV over at least 3 burns (in some such that the apogee lies in the Earth equator (argument of
cases even 10 burns) in order to keep the gravity loss to perigee 0° or 180°). This also means though, that when a burn
under 10 %. is given at perigee to reach an escape orbit, the infinite velocity
1.10 Parking Orbit Optimization 15

Fig. 1.26 Satellite mass in 4000

escape orbit when launched with
Falcon 9, for various parking 3500
orbits and engines, and escape GTO, bi-prop, i=7 deg
declinations up to ±28.5°. The 3000

Satellite Mass [kg]

LTO, bi-prop, i=12 deg
mass is maximized by using a LEO, bi-prop, i=48 deg
LEO parking orbit however the 2500
GTO, solid, i=7 deg
large LEO payload requires
2000 LTO, solid, i=12 deg
qualification of a new adapter
LEO, solid, i=48 deg
1500 GTO, mono-prop, i=7 deg
LTO, mono-prop, i=12 deg
1000
LEO, mono-prop, i=48 deg

500

0
-20 0 20 40 60 80 100 120
Escape C3 [km2/s2]

Fig. 1.27 Satellite mass in 9000

escape orbit when launched with
Ariane 5, for various parking 8000
orbits and engines, and maximum GTO, bi-prop, i=7 deg
7000
escape declinations (‘i’) given in
Satellite Mass [kg]

LTO, bi-prop, i=12 deg

the legend. The mass is 6000 LEO, bi-prop, i=48 deg
maximized by using a GTO
5000 GTO, solid, i=7 deg
parking orbit
LTO, solid, i=12 deg
4000 LEO, solid, i=48 deg
GTO, mono-prop, i=7 deg
3000
LTO, mono-prop, i=12 deg
2000 LEO, mono-prop, i=48 deg

1000

0
-20 0 20 40 60 80 100 120
Escape C3 [km2/s2]

Fig. 1.28 Satellite mass in 9000

escape orbit when launched with
Proton-M, for various parking 8000
GTO, bi-prop, i = 31.1 deg
orbits and engines, and maximum 7000 LTO, bi-prop, i = 51.6 deg
Satellite Mass [kg]

escape declinations (‘i’) given in

6000 LEO, bi-prop, i = 51.5 deg
the legend. The mass is
maximized by using a LEO GTO, solid, i = 31.1 deg
5000
parking orbit or LTO parking LTO, solid, i = 51.6 deg
orbit, depending on the engine 4000 LEO, solid, i = 51.5 deg
type GTO, mono-prop, i = 31.1 deg
3000
LTO, mono-prop, i = 51.6 deg
2000 LEO, mono-prop, i = 51.5 deg

1000

0
-20 0 20 40 60 80 100 120
Escape C3 [km2/s2]

is typically almost parallel to the equator. So even if the GTO advantageous as often interplanetary trajectories have higher
has an inclination of 28.5°, the escape declination is close to 0° declinations. To solve this, an inclination change (which is
(as shown in Fig. 1.9). As mentioned in Sect. 1.2, this is not often costly in terms of propellant) needs to be given.
16 1 Launching to Interplanetary Orbits

Fig. 1.29 Satellite mass in 8000

escape orbit when launched with
Atlas V, for various parking 7000
GTO, bi-prop, i = 27 deg
orbits and engines, and maximum
6000 LTO, bi-prop

Satellite Mass [kg]

escape declinations (‘i’) given in
the legend. The mass is LEO, bi-prop
5000
maximized by using a GTO GTO, solid, i = 27 deg
parking orbit or LTO parking 4000 LTO, solid
orbit, depending on the engine LEO, solid
type 3000 GTO, mono-prop, i = 27 deg
LTO, mono-prop
2000
LEO, mono-prop

1000

0
-20 0 20 40 60 80 100 120
Escape C3 [km2/s2]

1.11 Examples For option 3, the mass in LTO can also be found in
Fig. 1.26: for a C3 of −2 km2/s2 and a bi-propellant stage
Throughout this book we’ll focus on two example missions: the mass is 3750 kg when using LEO as a parking orbit, or
a mission to the Moon and to the outer planet Neptune. 3580 kg when using GTO as a parking orbit. This leads to
Typically we also give another example depending on the 7500 kg propellant used for LEO and 965 kg of propellant
subject of the chapter. used for GTO. 7500 kg is still too much for a propulsion
stage. So despite the fact that the GTO performance is
larger, we’ll take the GTO as a parking orbit. The system
1.11.1 Lunar Mission engineer should then find a solid motor that has 965 kg of
propellant.
Exercise: Evaluate three different system options for a After the TLI the propulsion stage is ejected. Therefore
mission to the Moon using a Falcon 9 launcher, in terms of the final mass in LTO for Option 3 is 3580–190 = 3390 kg.
mass in LTO. Option 1 is a direct injection. Option 2 uses a Which option is preferred, is a trade-off involving more
propulsion stage with a solid motor that is ejected after the than just the mass in LTO. In terms of cost, option 1 is most
Trans-Lunar Injection (TLI). The ejected dry mass of the likely the cheapest, as no stage needs to be bought or
solid stage is 150 kg. Option 3 uses a propulsion stage with a developed (and no interfaces to the stage developed). Option
bi-propellant engine that is ejected after the TLI. The ejected 3 is most likely the most expensive, as bi-propellant systems
dry mass of the bi-propellant stage is 190 kg. Assume a C3 are complex. Option 2 should lie in the middle.
of −2 km2/s2. In terms of risk, option 1 most likely has the highest
Result: For option 1 we refer to Table 1.2: 2600 kg in reliability; the responsibility lies with the launcher provider
LTO. to deliver the satellite in LTO. Option 2 has one extra burn,
The mass in LTO for Option 2 can be found in Fig. 1.26: given by the satellite, and a separation system involving
for a C3 of −2 km2/s2 and a solid stage the mass is 2750 kg mechanisms. All of this decreases mission reliability. Option
when using LEO as a parking orbit, or 3350 kg when using 3 most likely has several engine burns by a complex engine,
GTO as a parking orbit. Since we know that Falcon 9’s LEO has a separation system, and therefore probably has the
performance is 11,250 kg and its GTO performance is lowest reliability.
4545 kg, this means that 8500 kg for LEO and 1195 kg for It is a common exercise to trade payload mass against
GTO of propellant is used respectively. 8500 kg is too much cost and mission reliability.
for a propulsion stage: a STAR 63 engine, for example, has
about 3250 kg of propellant. Since also the GTO perfor-
mance is larger, we’ll take the GTO as a parking orbit. The 1.11.2 Mission to Mars
system engineer should find a solid motor that has 1195 kg
of propellant, since solids cannot be switched off and Exercise: in this second example we examine a large Mars
therefore burn the total propellant in one go. lander. Launch should be in 2020. Maximize the launcher
After the TLI the propulsion stage is ejected. Therefore performance. Consider also a propulsion stage based on
the final mass in LTO for Option 2 is 3350–150 = 3200 kg. cryogenic propellant. A set of trajectories is found:
1.11 Examples 17

1. A launch in July 2020 with a launch C3 of 14 km2/s2 and and Atlas V are candidates. Figures 1.14, 1.17 and 1.19 give
declination 26° the performance of these three launchers. From Fig. 1.14 we
2. A launch in July 2020 with a launch C3 of 18 km2/s2 and can estimate the Ariane 5 performance to reach a C3 of
declination −5° 15.4 km2/s2: 3300 + 700 kg = 4000 kg. However Ariane 5 is
limited to the −5° declination (in terms of performance
As we need to maximize the launcher performance, we availability) and therefore not a candidate for such a high
focus on two heavy-lift launchers Proton M and Ariane 5. declination.
Proton M can handle high escape declinations so both From Fig. 1.17 we see that Proton M can deliver slightly
trajectories are applicable; we take the one with the lowest more than 4000 kg. The declination fits within the possible
C3 (trajectory 1). From Fig. 1.17 we find a performance of range of declinations that Proton M can launch to.
about 4100 kg for a C3 of 14 km2/s2. From Fig. 1.19 we see that Atlas V can deliver 5000 kg.
For the Ariane 5 case we can look at both trajectories. The declination related to this performance is maximum
Figure 1.14 gives the performance for a −5° escape decli- 28.6° however this does not mean that the higher declination
nation and using trajectory 2 we find a performance of cannot be reached, in particular as Atlas V uses a circular
3300 kg for a C3 of 18 km2/s2, 800 kg lower than Proton. parking orbit: all it needs to do is use a parking orbit at
Let’s look at trajectory 1 for Ariane 5. In Fig. 1.27 we see inclination 42.7° instead of 28.6°. In order to get a very
the performance from LEO, which fits with the escape rough order of magnitude we can look at the performance
declination. When using a bi-propellant propulsion stage, the decrease as function of inclination shown in Fig. 1.13. While
performance is 5350 kg. an inclination of 42.7° is not shown in that graph, we can
Propulsion stages based on cryogenic propellant are not interpolate between the graph of 28.6° and 60°, for a 100-km
shown in Fig. 1.27, so we need to calculate this ourselves. In altitude, and find that the performance decrease for 42.7°
Fig. 1.20 we find that the ΔV to reach a C3 of 14 km2/s2 is should be around 15 % (±10,700 kg instead of 12,500 kg).
about 4.2 km/s (or 4200 m/s). Using the Rocket Equation This would give 5000–15 % = 4250 kg. We do not need to
with an Isp of 450 s (Table 1.3) we get the following final calculate the precise performance; all we need to prove is
mass: that the performance is higher than 2000 kg. This first
DV
indication confirms this.
Ispg 4200
mf ¼ mi  e 0 ¼ 20500  e4509:80665 ¼ 7914 To conclude, we can conclude that Proton M and Atlas V
are launchers compatible with the required C3 and
To account for inaccuracies in reading the ΔV plot we declination.
round this down to 7900 kg.
To summarize, we found the following performances:

• Ariane 5: 3300 kg for trajectory 2 References

• Proton M: 4100 kg for trajectory 1
• Ariane 5: 5350 kg for trajectory 1 using bi-propellant 1. “Encyclopedia Astronautica”, www.astronautics.com
stage 2. “Ariane 5 User’s Manual”, Issue 3 Revision 0, Arianespace, March
2000
• Ariane 5: 7900 kg for trajectory 1 using cryogenic stage
3. “Soyuz User’s Manual”, Issue 2 Revision 1, Arianespace, March
2012
4. “VEGA user manual”, issue 2 Revision 0, Arianespace, September
2004
1.11.3 Mission to Neptune 5. “Proton Launch System Mission Planner’s Guide”, Revision 7,
International Launch Services, July 2009
6. “Falcon 1 LV Payload User’s Guide”, Revision 7, SpaceX, May
Exercise: this last example is mission to Neptune, using a 2008
sequence of many swing-bys to reduce the launch C3 to 7. “Falcon 9 LV Payload User’s Guide”, Revision 1, SpaceX, 2009
15.4 km2/s2 and declination 42.7°. 8. “Atlas Launch System Mission Planner’s Guide”, Revision 9,
International Launch Services, September 2001
Find a set of launchers giving an escape performance 9. “GAIA Spacecraft”, http://sci.esa.int/gaia/40128-overview/
higher than 2000 kg. 10. “Proton Launch System Mission Planner’s Guide”, Revision 6,
Result: Looking at Table 1.2 we can tell from the Mars International Launch Services, December 2004
performance (which is even lower than the 15.4 km2/s2 11. “Ariane 5 User’s Manual”, Issue 5 Revision 1, Arianespace, July
2011
performance) that Falcon-1e, VEGA, PLSV-XL, Soyuz and 12. “Soyuz User’s Manual”, Issue 3 Revision 0, Starsem, April 2001
Falcon-9 cannot deliver 2000 kg to Mars, and therefore also 13. “Rocket Engine”, Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Rocket_
not to the 15.4 km2/s2 trajectory. Only Ariane 5, Proton M engine
 Transfer to a Planet
2

In the previous chapter the importance of the escape energy, the ecliptic plane with the Earth equator plane, and the Z-axis
C3, was highlighted and how it was used to calculate perpendicular to the ecliptic plane. The Y-axis makes up for a
launcher performance. In this chapter we take a closer look right-handed axes system (Figs. 2.1 and 2.2).
at C3 values for transfers to different planets. We’ll limit this Even though a coordinate system based on the ecliptic
to a 10-year period of 2020–2030 however the values of this plane seems the obvious choice as a reference system for
range should be a good indication of other periods as well. planet positions, often the ICRF is used. This frame uses the
Solar System barycenter as origin, and the Earth’s equator as
reference plane. The X and Y-axis lie within the equator plane
2.1 Positions of the Planets with the X-axis pointing towards the vernal equinox on Jan-
uary 1st 2000, and the Z-axis points perpendicular to the
Without knowing where planets are located in space, it will be Earth’s equator plane on January 1st 2000 (i.e. towards the
impossible to create a trajectory between them. Mathematical North Pole). The Y-axis makes up for a right-handed axes
formulas exist, which can be used to determine the position of system.
a planet as function of the date. The Horizon program of JPL One advantage of using the ICRF frame to calculate
(Jet Propulsion Laboratory, see [1]) is a useful tool to give the planet positions, is that we can then calculate the trajectories
most accurate positions of celestial bodies currently available. within this frame, and immediately know the declination of
This ephemeris module is also implemented in the Satellite the escape vector, as the declination is also defined with
Tool Kit software (download from [2]). However when respect to the equator plane.
positions are given, they relate to a certain coordinate system The average distance from the Sun to the Earth is called
consisting of an origin and three axes. As origin, typical Astronomical Unit (AU), and is equal to 149,597,870 km,
choices are the Sun, the barycenter of the Solar System (which almost 150 million km. Table 2.1 gives an overview of the
is actually situated inside the Sun), or the Earth. average distances from all planets to the Sun, measured in
In terms of axes two systems are mostly used for planet AU. Pluto, which was considered a planet until recently, is
positions: the ecliptic plane and the ICRF (International included as well, along with the asteroid Apophis.
Celestial Reference Frame) system. The ecliptic plane is Note that most planet orbits are slightly elliptical.
simply the plane of the Earth’s orbit around the Sun. It was Therefore the actual distance to the Sun for a specific point
named ecliptic because a solar eclipse can only occur when in time may be quite different from the average distance.
the Moon crosses this plane. The plane moves over time so it Celestial bodies like Apophis and Pluto are more elliptical
should be accompanied by an epoch and typically the first of than the planets: the shortest distance from the Sun to
January of the year 2000 is used. While the Earth moves Apophis (or ‘Perihelion’) is 0.75 AU and the largest distance
within the ecliptic frame, the other planes are located near this (‘Aphelion’) is 1.1 AU.
plane: the orbits of the other planes are not largely inclined Planetary trajectories are only feasible if the planets that
with respect to the ecliptic plane. The ecliptic plane intersects are touching the trajectory (like the departure planet and the
the Earth’s equator plane by a line between two imaginary arrival planet) are correctly aligned. Figure 2.3 shows the
points: the vernal equinox and the autumn equinox. This positions of Earth and Mars at time of launch in July 2020.
allows for a definition of axes based on the ecliptic plane: the At this time, Earth and Mars are correctly aligned for a
X and Y axes are located within the ecliptic plane with the transfer. If this launch window is missed, we need to wait for
X-axis pointed to the vernal equinox along the intersection of the next time that the planets have a similar alignment (due

© Springer International Publishing Switzerland 2016 19

R. Biesbroek, Lunar and Interplanetary Trajectories, Springer Praxis Books,
DOI 10.1007/978-3-319-26983-2_2
20 2 Transfer to a Planet

Equator plane

Ecliptic plane

Vernal equinox

Fig. 2.1 Definition of axes based on the ecliptic plane

Equator plane
Ecliptic plane

Vernal equinox Fig. 2.3 Earth and Mars positions at time of launch in July 2020. The
trajectory is shown as an ellipse connecting the two near-circular planet
Fig. 2.2 Definition of ICRF axes based on the equator plane orbits

Table 2.1 Average distances to the Sun and synodic period for all planets. This means that every year there is a launch
planets, Pluto and Apophis
opportunity for Jupiter and all planets beyond Jupiter, while
Planet or celestial body Average distance Synodic period missions to Mars are possible only once every two years.
to Sun [AU] [year]
Mercury 0.4 0.32
Venus 0.7 1.6 2.2 Devising Trajectories to Other Planets
Apophis (Asteroid) 0.9 7.8
Earth 1 – So how do we calculate a trajectory from one planet to the
Mars 1.5 2.1 other? The easiest solution to this is to follow this sequence:
Jupiter 5 1.1
1. Determine the position of the departure planet at time T1.
Saturn 10 1.0
We call this position R1.
Uranus 20 1.0
2. Determine the position of the arrival planet at time T2.
Neptune 30 1.0 We call this position R2.
Pluto 40 1.0 3. Find a trajectory starting at position R1 at time T1 and
ending at position R2 at time T2. In other words: the
travel time is: (T2–T1).
to the fact that the planet orbits are elliptical the new
alignment will not be completely the same). The time it takes The first two actions can be determined as discussed the
to be aligned again depends on the relative velocity between previous chapter: using JPL’s Horizon program we can get
the planets. the position vector within a Sun-centered ICRF frame for
The time it takes for a celestial body to reappear at the any planet at any time.
same point in relation to two other objects (of which one is The third action is more difficult and can only be found
usually the Sun) is called the Synodic Period. Table 2.1 by solving what is called Lambert’s problem, see Fig. 2.4.
shows the Synodic Period between Earth and the other This ‘Lambert solver’ basically does three steps:
celestial bodies of the table. We see periods higher than one
year for planets that are relatively close to the Earth (and 1. It is assumed that the connecting trajectory lies in a plane
therefore have a small relative velocity), like Mars and defined by three points: R1, R2 and the center of
Venus, and a Synodic Period of about 1 year for all outer attraction (in this case, the Sun).
2.2 Devising Trajectories to Other Planets 21

R2 R1 For a direct transfer, we would try to minimize the infinite

velocity, which is the square root of the escape C3, plus the
planet orbit insertion ΔV, which is a function of the arrival
Semi-major axis Perihelion C3. This leads to the core of interplanetary trajectory design:
Aphelion
Sun Find the trajectory that gives a minimal total ΔV.

How? We repeat the inputs of Lambert’s problem: time T1

Alternative trajectory and time T2. So finding the optimal transfer means finding the
touching R1 and R2 optimal departure time T1 and the optimal arrival time T2!
Fig. 2.4 Devising a trajectory between two points An optimization sequence could look like this:

Perform a loop in time T1 for all dates in selected launch

2. It then determines an elliptic trajectory that touches both year
R1 and R2, based on an assumed semi-major axis of this • For this time T1, determine the position of the departure
trajectory. planet: R1
3. Since this assumed semi-major axis does not give exactly • Perform a loop in time T2 for all dates in selected arrival
a transfer time from R1 to R2 equal to (T2–T1), an year
iteration on the semi-major axis is performed until the – For this time T2, determine the position of the arrival
transfer time is exactly (T2–T1). planet: R2
– Using a Lambert solver, calculate a trajectory
The semi-major axis is the distance between the center of between R1 and R2 for which the transfer time is
the trajectory ellipse and the edge of the ellipse. Usually two (T2–T1)
solutions exist: a prograde (in this case, anti-clockwise) and – Based on the departure and arrival infinite velocities,
a retrograde (clockwise) solution. Since all planets move in calculate the departure and arrival C3
an anti-clockwise direction, almost all transfers are – From the departure and arrival C3, calculate the total
prograde/anti-clockwise. The mathematical foundations of ΔV
Lambert’s problem can be found in literature. In this book, it – If the ΔV of this solution is lower than any previously
is important to know the main implication of this problem: found solution, remember the times T1 and T2
• End loop in time T2
A trajectory is only found based on a given transfer time using End loop in time T1
the Lambert solver.
The solution is the combination T1, T2 that lead to the
So does this mean that for any departure date at one lowest ΔV
planet and arrival date at the other planet, we can find a
trajectory? In principle, yes. However, the output of the The next chapter shows the results of an optimization as
Lambert solver is: stated above, for all planets.

1. Which velocity you need at position R1 at time T1 to

reach position R2 at time T2 (called the departure ‘in- 2.3 Launch Windows and C3 Values
finite velocity’) for Direct Transfers to the Planets
2. With which velocity do you arrive at R2 (called the
arrival ‘infinite velocity’) For the celestial bodies shown in Table 2.1, an optimization
as shown in the previous section was performed using the
We know from Sect. 1.2 that C3 is the square of the following rules:
infinite velocity, so the Lambert solver gives us the departing
C3 and the arrival C3. We also know that the lower the • The Earth escape infinite velocity plus orbit insertion ΔV
departure C3, the more mass we can launch. So we clearly was minimized
want to have low C3’s in order for our trajectory to be • For inner planets, a final orbit altitude of 500 km was
physically feasible (a solution to Lambert’s problem that used
leads to a departure C3 of 500 km2/s2 is beyond the reach of • For outer planets, a final orbit altitude equal to planet
any launcher, for example). radius was used
In practice, what we want to minimize is the velocity • A maximum transfer time of 10 years was applied
change, or ΔV. Often mission analysts minimize the escape (longer transfer times are unlikely to be accepted by
infinite velocity and the total ΔV required for orbit changes. project managers)
22 2 Transfer to a Planet

Table 2.2 Solutions for a direct transfer from Earth to Mercury

Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2020 6-Nov-20 7-Mar-21 47.7 142.7 4.6 0.33
2021 31-Oct-21 21-Feb-22 43.5 146.2 −8.1 0.31
2022 13-Oct-22 5-Feb-23 44.0 162.6 −22.1 0.31
2023 27-Sep-23 21-Jan-24 48.6 171.8 −26.8 0.32
2024 8-Sep-24 3-Jan-25 55.8 173.3 −31.9 0.32
2025 21-Aug-25 17-Dec-25 65.5 169.3 −33.7 0.32
2026 9-Nov-26 17-Mar-27 54.1 143.3 11.7 0.35
2027 6-Nov-27 1-Mar-28 44.9 140.8 0.7 0.32
2028 24-Oct-28 14-Feb-29 43.1 153.4 −15.0 0.31
2029 5-Oct-29 29-Jan-30 46.1 166.8 −25.3 0.32
2030 18-Sep-30 13-Jan-31 51.6 172.4 −30.3 0.32

Table 2.3 Solutions for a direct transfer from Earth to Mercury, constrained to 28.5° launch declination
Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2024 12-Sep-24 5-Jan-25 54.7 180.7 −28.5 0.31
2025 30-Aug-25 21-Dec-25 62.1 191.5 −27.8 0.31
2030 20-Sep-30 14-Jan-31 51.2 174.4 −28.4 0.32

• A maximum absolute launch declination of 51.8° was We also see that there are three years: 2024, 2025 and
applied (higher declinations are not achievable by any of 2030 where the launch declination is higher than 28.5°. This
the launchers mentioned in Sect. 1.6.4). means that this launch would be incompatible with a launch
from Cape Canaveral without performing an expensive
The following sections give the optimal solutions for each inclination change during the launch. We can constrain the
year in the 2020–2030 timeframe. The solutions contain declination and re-optimize for these cases: the results are
launch date and C3, arrival date and C3, launch declination shown in Table 2.3; the constraint leads different dates and a
and transfer time. higher arrival C3.
A ‘launch window’ is often defined taking a three-week Figure 2.5 shows the departure and arrival C3 in graph-
period surrounding the optimal launch date found. This ical form.
means that the C3 value changes depending on the day in the Note how high the arrival C3 is. This would lead to huge
launch window, and therefore the allowable launch mass. insertion ΔVs. The arrival C3 can only be minimized by
Often a launch occurs on the first or second day in the implementing swing-bys and/or Deep-Space Maneuvers
window, which is typically a worse solution than the optimal within the trajectory. Figure 2.6 shows a typical
solution that probably lies somewhere in the middle of the Earth-Mercury trajectory.
launch window. A mission analyst would need to calculate a
trajectory for each day in the launch window, and a system
engineer would need to assume the worst-case scenario 2.3.2 Direct Transfer to Venus
within that launch window. An alternative is to use the
optimal solution only and apply a margin. For example, a Table 2.4 shows the results for transfers to Venus. Since we
1.5 % margin can be put on the launch mass of the optimal know from Table 2.1 that the Synodic Period is 1.6 years,
solution to account for the other dates in the launch window. there are years where there is no short-transfer solution for a
transfer to Venus. A long transfer is then the result (>1 year),
which allows the spacecraft to ‘wait in orbit’ for the next
2.3.1 Direct Transfer to Mercury arrival possibility. In 2025 no solution was found.
We also see that there are two years: 2020 and 2028
Table 2.2 shows the results for transfers to Mercury. Note where the launch declination is higher than 28.5°. Again, we
that according to Table 2.1 we should have multiple possi- constrained the declination and re-optimized for these cases:
bilities per year. The table shows only 1 solution per year; the results are shown in Table 2.5; the constraint leads dif-
the one leading to the lowest ΔV. ferent dates and a higher arrival C3.
2.3 Launch Windows and C3 Values for Direct Transfers to the Planets 23

Fig. 2.5 Departure and arrival 200

C3 for a direct transfer from Earth
180
to Mercury
160

140

C3 [km2/s2]
120

100

80

60

40

20

0
2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030 2032
Launch year

C3 launch C3 arrival

Figure 2.7 shows the departure and arrival C3 in graph- provided for 800 W of power at Earth. Figure 2.10 shows an
ical form. artist’s overview of Venus Express.
Figure 2.8 shows a typical Earth-Venus trajectory.
ESA’s Venus Express mission was launched on 9
November 2005 from Baikonur using a Soyuz-Fregat 2.3.3 Direct Transfer to Mars
launcher and arrived at Venus on 11 April 2006 after a
153-day direct transfer (see Fig. 2.9). Table 2.6 shows the results for transfers to Mars. We know
Based on ESA’s Mars Express platform, launched five from Table 2.1 that the Synodic Period is 2 years, so every
years earlier, the 1270 kg Venus Express spacecraft carried other year there is no solution for a transfer to Mars.
570 kg of propellant for Venus orbit insertion applied using Figure 2.11 shows the departure and arrival C3 in
a bi-propellant 400 N engine, and orbit maintenance, applied graphical form.
using small thrusters on the corners of the spacecraft. Figure 2.12 shows a typical Earth-Mars trajectory.
Communication to Earth was done using a high-gain 1.3 m Practically every mission to Mars uses a direct transfer.
antenna. Two solar panels covering a total area of 5.8 m2 NASA’s Mars Science Laboratory (MSL) mission is no

Fig. 2.6 Earth-Mercury trajectory seen from a 3D perspective. Planet positions are shown at time of arrival
24 2 Transfer to a Planet

Table 2.4 Solutions for a direct transfer from Earth to Venus

Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2020 14-Mar-20 5-Sep-20 9.6 28.1 46.6 0.48
2021 2-Nov-21 19-Feb-22 14.9 16.1 13.3 0.30
2022 7-Dec-22 14-Feb-24 7.0 8.8 6.2 1.20
2023 21-May-23 26-Oct-23 6.3 14.4 9.8 0.43
2024 21-Dec-24 7-May-25 7.2 13.3 6.5 0.38
2025
2026 31-Jul-26 1-Dec-26 7.3 23.6 2.0 0.34
2027 20-Oct-27 9-Jan-29 8.2 25.9 −28.3 1.20
2028 13-Mar-28 3-Sep-28 9.7 28.4 47.9 0.48
2029 26-Oct-29 4-Apr-30 7.9 23.4 −27.8 0.44
2030 5-Dec-30 13-Feb-32 6.7 10.2 −0.7 1.2

Table 2.5 Solutions for a direct transfer from Earth to Venus, constrained to 28.5° launch declination
Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2020 1-Apr-20 21-Sep-20 9.2 36.6 28.4 0.47
2028 31-Mar-28 20-Sep-28 9.4 37.6 28.5 0.47

Fig. 2.7 Departure and arrival 30

C3 for a direct transfer from Earth
to Venus
25

20
C3 [km2/s2]

15

10

0
2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030 2032
Launch year

C3 launch C3 arrival

exception. Launched on 26 November 2011 by the Atlas V constrained the declination and re-optimized for this case:
launcher, MSL arrived at Mars on 6 August 2012 when its the results are shown in Table 2.8; the constraint leads dif-
rover ‘Curiosity’ landed on the surface of Mars, inside the ferent dates and a higher arrival C3 but lower launch C3.
Gale crater. Figure 2.13 shows the trajectory. Figure 2.14 shows the departure and arrival C3 in
graphical form.
Note that the launch C3 is already higher than any
2.3.4 Direct Transfer to Jupiter launcher can give using a direct injection. Figure 2.15 shows
a typical Earth-Jupiter trajectory.
Table 2.7 shows the results for transfers to Jupiter. We know
from Table 2.1 that the Synodic Period for all outer planets is
about 1 year, so we find a solution for every year. 2.3.5 Direct Transfer to Saturn
We also see that there is one year (2024) where the
launch declination is higher than 28.5°. Again, we Table 2.9 shows the results for transfers to Saturn.
2.3 Launch Windows and C3 Values for Direct Transfers to the Planets 25

Fig. 2.8 Earth-Venus trajectory seen from a 3D perspective. Planet positions are shown at time of arrival

Fig. 2.9 Venus express trajectory. Credits ESA

26 2 Transfer to a Planet

Fig. 2.10 Venus express overview. Credits ESA

Table 2.6 Solutions for a direct transfer from Earth to Mars

Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2020 21-Jul-20 8-Feb-21 13.3 7.2 25.9 0.55
2021
2022 4-Sep-22 27-Aug-23 14.4 7.3 6.6 0.98
2023
2024 3-Oct-24 4-Sep-25 11.2 6.1 16.8 0.92
2025
2026 31-Oct-26 3-Sep-27 9.2 6.6 28.3 0.84
2027
2028 23-Nov-28 21-Sep-29 9.1 8.8 28.4 0.83
2029
2030 31-Dec-30 14-Oct-31 10.1 12.8 16.6 0.79

We see that the first five years the launch declination is optimized results led to a transfer time of 10 years, equal to
higher than 28.5°. Again, we constrained the declination and the maximum forced transfer time. Since that transfer time
re-optimized for these cases: the results are shown in would be too long for Saturn (compared to the
Table 2.10; the constraint led to different dates and a much non-constrained transfers) and it was found that the total ΔV
higher departure C3. Another outcome was that the did not change much when decreasing the transfer time from
2.3 Launch Windows and C3 Values for Direct Transfers to the Planets 27

Fig. 2.11 Departure and arrival 16

C3 for a direct transfer from Earth
to Mars 14

12

10

C3 [km 2/s2]
8

0
2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030 2032
Launch year

C3 launch C3 arrival

10 to 7 year, a maximum transfer time of 7 years was Figure 2.18 shows the departure and arrival C3 in
enforced for these particular cases. graphical form.
Figure 2.16 shows the departure and arrival C3 in Figure 2.19 shows a typical Earth-Uranus trajectory,
graphical form. constrained to 10 years transfer time.
Figure 2.17 shows a typical Earth-Saturn trajectory.

2.3.6 Direct Transfer to Uranus 2.3.7 Direct Transfer to Neptune

Table 2.11 shows the results for transfers to Uranus. Table 2.12 shows the results for transfers to Neptune.
For these cases the maximum transfer constraint of There is a similar behavior to the Uranus cases here: same
10 years is clearly active: all cases converged to this maxi- launch period, same transfer time (10 years) and same C3
mum transfer time. All transfers are therefore relatively values over the decennium.
similar; all launching in the June-August timeframe, and all Figure 2.20 shows the departure and arrival C3 in
departure and arrival C3’s are of the same magnitude. graphical form.

Fig. 2.12 Earth-Mars trajectory seen from a 3D perspective. Planet positions are shown at time of arrival
28 2 Transfer to a Planet

Fig. 2.13 Mars science

Laboratory trajectory. Credits
NASA

Table 2.7 Solutions for a direct transfer from Earth to Jupiter

Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2020 15-Apr-20 28-Nov-23 85.3 52.0 −3.6 3.62
2021 17-May-21 28-Sep-24 83.0 45.0 1.2 3.37
2022 21-Jun-22 28-Jul-25 80.0 37.0 4.0 3.10
2023 17-Jul-23 6-Dec-25 80.6 32.7 13.2 2.39
2024 22-Aug-24 24-Nov-26 87.0 36.3 30.6 2.26
2025 1-Oct-25 30-May-29 89.7 35.5 5.0 3.66
2026 1-Nov-26 31-May-30 85.4 34.8 1.1 3.58
2027 2-Dec-27 29-May-31 79.3 35.5 −1.0 3.49
2028 25-Dec-28 18-Dec-31 75.0 32.4 −3.7 2.98
2029 1-Jan-29 6-Jan-32 77.5 32.8 −1.1 3.01
2030 22-Jan-30 4-Jun-32 77.0 38.6 −18.1 2.37

Table 2.8 Solution for a direct transfer from Earth to Jupiter, constrained to 28.5° launch declination
Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2024 22-Aug-24 31-Oct-26 68.9 38.4 28.5 2.19
2.3 Launch Windows and C3 Values for Direct Transfers to the Planets 29

Fig. 2.14 Departure and arrival 100

C3 for a direct transfer from Earth
90
to Jupiter
80

70

C3 [km2/s2]
60

50

40

30

20

10

0
2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030 2032
Launch year

C3 launch C3 arrival

Figure 2.21 shows a typical Earth-Neptune transfer, constraining the escape declination to 28.5° declination
constrained to 10 years transfer time. would lead to departure C3’s of over 600 km2/s2.
Figure 2.22 shows the departure and arrival C3 in
graphical form.
2.3.8 Direct Transfer to Pluto Figure 2.23 shows a typical Earth-Pluto trajectory, con-
strained to a transfer time of 10 years.
Table 2.13 shows the results for transfers to Pluto.
All transfers lead to extremely high C3’s and high
declinations. In fact, for launches in 2023–2030 all opti- 2.4 Avoiding Mars Dust Storms
mization results were not only constrained by the maximum
transfer time of 10 years, but also the maximum escape In important aspect of missions to Mars is highlighted here:
declination of 51.8°. This constraint has a strong impact: the the fact that every two years a global dust storm appears on
departure C3 is increasing rapidly. It is of little use Mars. Typically the global dust storm season occurs for a
re-optimizing these transfers for lower declination: solar longitude (the Mars-Sun angle, measured from the

Fig. 2.15 Earth-Jupiter trajectory seen from a 3D perspective. Planet positions are shown at time of arrival
30 2 Transfer to a Planet

Table 2.9 Solutions for a direct transfer from Earth to Saturn

Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2020 27-Mar-20 19-Oct-24 125.3 44.2 −44.6 4.56
2021 9-Apr-21 8-Oct-25 128.4 44.9 −46.3 4.50
2022 2-Apr-22 23-Oct-26 131.4 43.9 −46.0 4.56
2023 7-May-23 18-Nov-27 133.4 42.3 −44.3 4.53
2024 19-May-24 23-Nov-28 132.9 41.8 −40.9 4.51
2025 24-May-25 31-Oct-31 127.7 34.9 16.3 6.44
2026 10-Jun-26 31-Oct-32 119.1 34.9 16.9 6.39
2027 7-Jul-27 25-Apr-34 107.3 36.5 9.1 6.80
2028 14-Jul-28 22-Jun-34 106.5 33.1 8.2 5.94
2029 20-Jul-29 7-Jul-34 107.1 34.1 12.4 4.96
2030 4-Aug-30 7-Feb-35 110.0 37.9 22.0 4.51

Table 2.10 Solution for a direct transfer from Earth to Saturn, constrained to 28.5° launch declination and 7 years transfer time
Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2020 18-Mar-20 18-Mar-27 145.0 32.6 4.9 7.00
2021 1-Apr-21 31-Mar-28 144.4 33.7 7.7 7.00
2022 15-Apr-22 14-Apr-29 141.1 34.9 9.5 7.00
2023 30-Apr-23 29-Apr-30 135.6 35.9 11.4 7.00
2024 15-May-24 15-May-31 128.4 36.7 13.1 7.00

Fig. 2.16 Departure and arrival 160

C3 for a direct transfer from Earth
to Saturn 140

120
C3 [km2/s 2]

100

80

60

40

20

0
2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030 2032
Launch year

C3 launch C3 arrival

Northern hemisphere spring equinox) from 180° to 340°. • Enter Mars orbit and wait in orbit until the storm is over
Table 2.14 gives an overview of when the typical dust storm • Use an interplanetary trajectory that arrives after the
seasons are in the 2020–2030 timeframe. storm
The year 2031 is also included since a launch in 2030
applies arriving in 2031. Typically one would not want to Often Mars landers are entering the Martian atmosphere
land a rover or take high resolution pictures of the surface immediately, without going into orbit first, so often the
when a dust storm is covering Mars, therefore these seasons second approach is taken. It should be noted though that the
are usually avoided. There are two ways to avoid this: dates in Table 2.14 are just predictions based on historical
2.4 Avoiding Mars Dust Storms 31

Fig. 2.17 Earth-Saturn trajectory seen from a 3D perspective. Planet positions are shown at time of arrival

Table 2.11 Solutions for a direct transfer from Earth to Uranus

Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2020 22-Jun-20 22-Jun-30 135.2 42.6 1.4 10.00
2021 27-Jun-21 27-Jun-31 135.7 42.2 3.8 10.00
2022 1-Jul-22 30-Jun-32 135.2 41.9 6.5 10.00
2023 7-Jul-23 6-Jul-33 135.6 41.6 8.4 10.00
2024 10-Jul-24 10-Jul-34 135.3 41.4 11.3 10.00
2025 15-Jul-25 15-Jul-35 135.7 41.1 13.7 10.00
2026 20-Jul-26 19-Jul-36 135.6 40.9 15.9 10.00
2027 25-Jul-27 24-Jul-37 135.9 40.7 18.3 10.00
2028 29-Jul-28 29-Jul-38 136.0 40.4 20.5 10.00
2029 4-Aug-29 4-Aug-39 136.1 40.0 21.9 10.00
2030 8-Aug-30 7-Aug-40 136.5 39.7 24.8 10.00

Fig. 2.18 Departure and arrival 160

C3 for a direct transfer from Earth
to Uranus 140

120

100
C3 [km2/s2]

80

60

40

20

0
2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030 2032

Launch year

C3 launch C3 arrival
32 2 Transfer to a Planet

Fig. 2.19 Earth-Uranus trajectory, constrained to 10 years transfer time, seen from a 3D perspective. Planet positions are shown at time of arrival

Table 2.12 Solutions for a direct transfer from Earth to Neptune

Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2020 2-May-20 2-May-30 177.20 140.00 −26.30 10.00
2021 6-May-21 6-May-31 177.20 140.00 −25.70 10.00
2022 7-May-22 6-May-32 177.50 139.80 −25.30 10.00
2023 11-May-23 10-May-33 177.90 139.70 −24.70 10.00
2024 12-May-24 12-May-34 177.80 139.90 −24.20 10.00
2025 15-May-25 15-May-35 178.50 139.90 −23.60 10.00
2026 17-May-26 16-May-36 178.10 139.90 −23.00 10.00
2027 20-May-27 19-May-37 179.00 139.80 −22.30 10.00
2028 21-May-28 21-May-38 178.50 139.70 −21.60 10.00
2029 23-May-29 23-May-39 179.20 139.50 −20.90 10.00
2030 27-May-30 26-May-40 178.90 139.20 −20.20 10.00

Fig. 2.20 Departure and arrival 190

C3 for a direct transfer from Earth
to Neptune 180

170

160
C3 [km2/s 2]

150

140

130

120

110

100
2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030 2032
Launch year

C3 launch C3 arrival
2.4 Avoiding Mars Dust Storms 33

Fig. 2.21 Earth-Neptune trajectory, constrained to 10 years transfer time, seen from a 3D perspective. Planet positions are shown at time of arrival

Table 2.13 Solutions for a direct transfer from Earth to Pluto

Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2020 14-Mar-20 14-Mar-30 235.70 201.00 −47.20 10.00
2021 16-Mar-21 16-Mar-31 241.20 204.80 −49.00 10.00
2022 19-Mar-22 18-Mar-32 247.80 208.60 −50.20 10.00
2023 21-Mar-23 20-Mar-33 253.10 212.60 −51.80 10.00
2024 25-Mar-24 25-Mar-34 261.10 216.30 −51.50 10.00
2025 29-Mar-25 29-Mar-35 268.30 220.00 −51.70 10.00
2026 2-Apr-26 1-Apr-36 278.00 223.60 −51.70 10.00
2027 6-Apr-27 5-Apr-37 287.20 227.20 −51.70 10.00
2028 9-Apr-28 9-Apr-38 298.90 230.80 −51.60 10.00
2029 13-Apr-29 13-Apr-39 310.40 234.40 −51.40 10.00
2030 16-Apr-30 15-Apr-40 320.50 238.30 −51.70 10.00

data. The dust storm could easily start a month later. How- Table 2.15 gives an overview of transfers for 2026, 2028
ever the dates contain margins so we take them as a and 2030 with the constraint to arrive after the dust storm
reference. season.
Looking at Table 2.6, we see that there are transfers Figure 2.24 shows a typical Earth-Mars transfer with an
with arrivals in or just before the dust storm season. The arrival date after the dust storm.
2026 transfer is an example: the arrival time is 3 September The USA launched the Mariner 9 mission (see Fig. 2.25)
2027 and the dust storm season starts in 18 October 2027. on 30 May 1970 by an Atlas rocket. It arrived at Mars on 14
The same applies to the 2028 and 2030 launches. For these November in the same year. It became the first spacecraft to
transfers, we would prefer to arrive after the dust storm orbit another planet however after it entered Mars orbit,
season (5 July 2028, 23 May 2030 and 9 April 2032 Mars was covered with clouds and the pictures did not reveal
respectively). Typically this is done by following a full any feature of the surface. After months of waiting, the storm
orbit around the Sun at least once before arriving at Mars. finally disappeared and the 560 kg spacecraft started the first
34 2 Transfer to a Planet

Fig. 2.22 Departure and arrival 350

C3 for a direct transfer from Earth
to Pluto
300

C3 [km2/s2]
250

200

150

100
2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030 2032

Launch year

C3 launch C3 arrival

Table 2.14 Overview of Mars global dust storm seasons

global mapping of Mars, revealing many features such as
details on the largest volcano in the Solar System: Olympus Dust storm season start Dust storm season ends
[Ls = 180°] [Ls = 340°]
Mons (see Fig. 2.26).
9 April 2020 26 December 2020
25 February 2022 13 November 2022
2.5 Return Missions 13 January 2024 30 September 2024
30 November 2025 18 August 2026
Sometimes a return leg from the planet back to Earth is 18 October 2027 5 July 2028
required. This is the case for example for sample return 4 September 2029 23 May 2030
missions. These missions are extremely complex and require
23 July 2031 9 April 2032
a very large launch mass since an entire launcher needs to be

Fig. 2.23 Earth-Pluto trajectory, constrained to 10 years transfer time, seen from a 3D perspective. Planet positions are shown at time of arrival
2.5 Return Missions 35

Table 2.15 Solutions for a direct transfer from Earth to Mars, arriving after dust storms
Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Declination [°] Transfer time [yr]
2026 5-Jul-26 5-Jul-28 11.5 8.2 10.5 2.00
2028 12-Sep-28 24-Mar-31 13.4 7.1 10.3 2.53
2030 28-Sep-30 5-Mar-33 11.6 6.1 14.7 2.43

Fig. 2.24 Earth-Mars trajectory using one complete heliocentric orbit, constrained to arrive after a dust storm, seen from a 3D perspective. Planet
positions are shown at time of arrival

Fig. 2.25 Mariner 9 spacecraft overview. Credits NASA

36 2 Transfer to a Planet

Fig. 2.26 Mariner 9 picture of

Olympus Mons, sticking out
above the dust storms. Credits
NASA

Table 2.16 Solutions for a return transfer from Venus to Earth

Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Transfer time [yr]
2020 3-Jun-21 8-Sep-22 28.8 9.9 1.26
2021 2-Dec-21 22-Mar-22 24.6 9.2 0.30
2023 24-Jan-25 4-Jun-25 8.2 9.0 0.36
2024 27-Jul-26 24-Dec-26 17.8 9.0 0.41
2026 6-Mar-28 2-Sep-28 26.1 9.6 0.49
2028 27-Nov-29 21-Mar-30 24.1 9.7 0.31

put on the other planet. Studies have been performed for could leave Venus in June 2021 (and only arrive at Earth in
Venus Sample Return and Mars Sample Return missions, so September 2022) or wait a bit and leave in December 2021,
this section will show return legs for these two planets. and arrive earlier (March 2022). Figure 2.27 shows a typical
A constraint is that the return leg should start after the Venus-Earth transfer.
Earth-to-planet arrival date. Another constraint often applied Table 2.17 shows an overview of possible Mars-Earth
is the arrival infinite velocity (and therefore the Earth arrival return legs for launches (from Earth) in the 2020–2030
C3). This has to do with the maximum heat flux that the timeframe.
Thermal Protection System can handle. Often the arrival C3 And Fig. 2.28 shows a typical Mars-Earth transfer.
is constrained to be below 10 km2/s2. Also, there is no final The Russian Federal Space Agency launched the
orbit; a direct entry into the Earth’s atmosphere is assumed. Phobos-Grunt spacecraft on 9 November 2011 using a
Table 2.16 gives an overview of possible Venus-Earth return Zenith launcher, to become the first interplanetary sample
legs for launches (from Earth) in the 2020–2030 timeframe. return mission. Its objective was to capture a sample from
The first return leg (2020 launch) follows a complete Mars’ moon Phobos, and return it to Earth. Figure 2.29
heliocentric orbit around the Sun before returning to Earth, shows the mission profile.
and actually arrives later than the return leg shown for the Phobos-Grunt was one of the most complex robotic
2021 launch. The first row is therefore to highlight possible mission designs ever, with the spacecraft consisting of four
transfers. If the satellite is launched to Venus in 2020, it stages as shown in Fig. 2.30. First, a bi-propellant propulsion
2.5 Return Missions 37

Fig. 2.27 Venus-Earth trajectory, seen from a 3D perspective. Planet positions are shown at time of arrival

Table 2.17 Solutions for a return transfer from Mars to Earth

Year Launch date Arrival date C3 launch [km2/s2] C3 arrival [km2/s2] Transfer time [yr]
2020 18-Jul-22 17-Apr-23 11.4 9.8 0.75
2022 27-Jul-24 12-May-25 8.6 7.9 0.79
2024 31-Jul-26 17-Jun-27 7.2 9.4 0.88
2026 17-Mar-30 10-May-32 8.6 7.8 2.15
2028 3-Mar-32 27-May-34 7.5 8.6 2.23
2030 23-Feb-34 21-Jun-36 7.0 9.9 2.32

Fig. 2.28 Mars-Earth trajectory, seen from a 3D perspective. Planet positions are shown at time of arrival
38 2 Transfer to a Planet

Fig. 2.29 Phobos-Grunt return trajectory overview. Credits Roscosmos

Fig. 2.30 Phobos-Grunt in

launch configuration showing,
from top to bottom, the descent
capsule (4th stage), the ERC (3rd
stage), the lander/cruise stage
(2nd stage) and the propulsion
module (1st stage) with its extra
toroid-shaped external tank.
Credits Roscosmos
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Les bourreaux, déshabillèrent Huss et lui attachèrent les mains
derrière le dos au poteau; ses pieds se trouvaient sur un banc. On
mit du bois et de la paille autour de lui. Le bois et la paille lui
venaient jusqu'au menton. Le chef impérial s'approcha alors de Huss
et lui annonça qu'il serait pardonné s'il se rétractait.
«Non, dit Huss, je ne me connais aucune faute.»
Les bourreaux allumèrent alors le bûcher, et Huss se mit à chanter la
prière: «Jésus, Fils du Dieu vivant, aie pitié de moi.»
Le feu monta, très haut, et bientôt Huss se tut.
C'est ainsi que les gens qui se qualifiaient de chrétiens, défendaient
leur croyance.
N'est-il pas évident que ce n'était pas une religion, mais la
superstition la plus grossière?
3
Les gens ne commettent jamais de mauvaises actions avec plus de
sang-froid et d'assurance en leur justice, que lorsqu'ils le font en
vertu d'une fausse croyance.
PASCAL.

VI.—En quoi consiste la vraie religion?

1
«Ne vous faites point appeler maître; car vous n'avez qu'un maître—
le Christ; et vous, vous êtes tous frères. Et n'appelez personne sur la
terre votre père; car vous n'avez qu'un seul Père, Celui qui est dans
les cieux; et ne vous faites point appeler docteur, car vous n'avez
qu'un seul Docteur—le Christ.» MATTH., XXIII, 8-10.
C'est ainsi qu'enseignait le Christ. Et il enseignait ainsi parce qu'il
savait que, de même qu'en son temps il y avait des gens qui
prêchaient une fausse loi de Dieu, il y en aurait aussi dans l'avenir. Il
le savait et disait qu'il ne fallait pas écouter ceux qui s'intitulaient
maîtres parce que leur enseignement obscurcit la doctrine simple et
claire qui est révélée à tous et qui vit dans le cœur de chaque
homme.
Cette doctrine consiste à aimer Dieu, comme le suprême bien et la
suprême vérité, à aimer son prochain comme soi-même et à faire
aux autres ce qu'on veut qu'ils vous fassent.
2
La religion ne consiste pas à savoir ce qui a été et ce qui sera, ni
même ce qui est actuellement, mais elle consiste à savoir ce que
chaque homme doit faire.
3
«Si donc tu apportes ton offrande à l'autel, et que là tu te
souviennes que ton frère a quelque chose contre loi, laisse-là ton
offrande devant l'autel, et va-t-en premièrement te réconcilier avec
ton frère; et après cela viens, et présente ton offrande».
MATT., V. 23.
Voilà où est la vraie religion: ni dans la cérémonie, ni dans l'offrande,
mais dans l'union des hommes.
4
La doctrine chrétienne est tellement claire que les tout petits enfants
la comprennent dans son sens exact. Seuls ceux qui ne veulent pas
vivre comme des chrétiens ne la comprennent pas.
Pour comprendre le vrai christianisme, il faut tout d'abord renoncer
au faux christianisme.
5
Le vrai culte de Dieu est exempt de superstitions; lorsque la
superstition y pénètre, le culte même s'écroule. Le Christ nous a
montré en quoi consistait le vrai culte de Dieu. Il nous enseignait
que de tout ce que nous faisons dans le monde, il n'y a qu'une
lumière et qu'un seul bonheur pour les hommes,—c'est notre amour
des uns pour les autres; Il nous disait que nous ne pourrons
atteindre notre bonheur qu'en servant les autres, et non pas nous-
mêmes.
6
Si ce qui est présenté comme loi de Dieu ne demande pas d'amour,
ce ne sont que des inventions des gens, et non pas la loi de Dieu.
D'après SKOWORODA.
7
On ne peut pas apprendre à connaître Dieu d'après ce que l'on
raconte de Lui. On ne peut le connaître qu'en accomplissant Sa loi,
la loi que le cœur de chaque homme connaît.
8
Le sens de la doctrine du Christ est dans l'indication de la perfection
divine vers laquelle les hommes doivent tendre. Mais les hommes qui
ne veulent pas suivre la doctrine du Christ, comprennent
volontairement ou non, la doctrine du Christ non pas comme il l'a
prêchée—rapprochement continu vers la perfection—mais comme
une règle conformément à laquelle le Christ exigerait des hommes la
perfection divine. Et en interprétant aussi faussement la doctrine du
Christ, ceux qui ne veulent pas la suivre adoptent l'une de ces deux
attitudes: ou bien, considérant la perfection comme inaccessible (ce
qui est parfaitement juste), ils rejettent toute la doctrine comme un
rêve irréalisable, ou bien, attitude la plus nuisible et la plus générale,
tout en reconnaissant la perfection comme inaccessible, ils corrigent
c'est-à-dire, dénaturent la doctrine et observent des règles que l'on
appelle chrétiennes, mais qui sont, pour la plupart, contraires, au
christianisme.
9
L'idée de l'union des chrétiens, comme une réunion des élus, des
meilleurs, est une idée anti-chrétienne présomptueuse et fausse.
Quel est le meilleur, quel est le plus mauvais? Pierre était le meilleur
avant que le coq chantât, et le brigand était le plus méchant avant la
croix. Ne connaissons-nous pas en nous-mêmes tantôt l'ange, tantôt
le diable, qui se mêlent si bien à notre vie, qu'il n'y a pas d'homme
qui aurait complètement chassé l'ange, ni qui aurait laissé apparaître
le diable derrière l'ange. Comment pouvons-nous, nous qui sommes
des êtres si complexes, former la réunion des élus, des justes?
Il y a une lumière de vérité, et il y a ceux qui s'approchent d'elle de
tous côtés; d'autant de côté qu'il y a de rayons dans un cercle, c'est-
à-dire par des routes infiniment variées. Tâchons de toutes nos
forces d'arriver à la lumière de la vérité qui nous unit tous, et ce
n'est pas à nous de juger si nous sommes près d'elle et unis à elle.

VII—La seule religion, vraie unit les hommes de plus en

plus.
1
Voyez le mécontentement profond de la forme actuelle du
christianisme, qui se répand dans la société et s'exprime par le
murmure, parfois, par l'irritation, la tristesse. Tous attendent
l'avènement du Royaume de Dieu. Et il approche.
Le pur christianisme, bien que lentement, mais toujours de plus en
plus, prend la place de celui qui porte ce nom.
CHANNING.
2
Depuis Moïse à Jésus, il s'est opéré chez les individus et les peuples
un grand développement mental et religieux. Les anciennes erreurs
sont abandonnées, de nouvelles vérités ont pénétré dans la
conscience de l'humanité. Un seul homme ne peut être aussi grand
que l'humanité. Si un grand homme est tellement en avance sur ses
frères qu'ils ne le comprennent pas,—il arrive un temps où ils le
rejoignent d'abord, puis le devancent et s'en vont si loin qu'ils
deviennent, à leur tour, incompréhensibles pour ceux qui se trouvent
à l'endroit où était l'ancien grand homme. Chaque grand génie
religieux explique de plus en plus les vérités de la religion et
contribue ainsi à l'union, de plus en plus grande, des hommes.
 PARKER.
4
Chaque homme séparément, de même que toute l'humanité dans
son ensemble doit se transformer, passer de l'état inférieur à l'état
supérieur, sans s'arrêter dans sa croissance dont la limite est en Dieu
lui-même. Tout état est la conséquence de l'état précédent. La
croissance s'effectue continuellement et imperceptiblement et,
pareille à la croissance de l'embryon, elle a lieu de façon à ce que
rien ne détruit le but des situations successives de ce
développement continu. Mais s'il est donné à l'homme et à tout le
genre humain de se transformer, cette transformation, tant pour
l'individu que pour tout le genre humain, doit s'effectuer dans le
travail et les souffrances.
Avant de se parer de grandeur, avant d'apparaître à la lumière, on
doit se mouvoir dans les ténèbres, supporter les persécutions,
sacrifier son corps pour sauver son âme; il faut mourir pour
ressusciter à la vie plus puissante, plus parfaite. Et après dix-huit
siècles, ayant accompli un des cycles de son développement,
l'humanité tend de nouveau à se transformer. Les anciens systèmes,
les anciennes sociétés, tout ce qui composait l'ancien monde
s'écroule déjà, et les peuples vivent maintenant au milieu de
décombres, dans l'effroi et la souffrance. C'est pourquoi on ne doit
pas perdre courage à la vue de ces ruines, de ces morts qui se sont
déjà accomplies et qui s'accompliront encore, mais, au contraire,
prendre courage. L'union des hommes est proche.
LAMENNAIS.

CHAPITRE XVIII

DE LA FAUSSE SCIENCE
La superstition de la science se révèle par la croyance en ce fait que
le vrai savoir nécessaire à la vie de tous les hommes est contenu
dans les seules connaissances prises au hasard dans le domaine
illimité du savoir qui, à un moment donné, ont attiré l'attention d'un
petit nombre d'hommes, de ceux-là même qui se sont affranchis du
travail indispensable à la vie et qui mènent, par suite, une vie
déraisonnable et dépravée.

I.—En quoi consiste la superstition de la science.

1
Quand les hommes acceptent comme vérité incontestable ce que les
autres leur présentent pour telle et qu'ils ne la vérifient point, ils
tombent dans la susperstition. Telle est, à notre époque, la
superstition de la science.
2
De même qu'il existe des hérésies pour religion, il y a une hérésie
pour la science. Cette hérésie est dans la reconnaissance comme
science unique et véritable de tout ce qui est considéré comme tel
par les gens qui se sont, à un certain moment, arrogé le droit de
déterminer la vraie science. Et aussitôt qu'on considère comme
science non pas ce qui est nécessaire à tous les hommes, mais ce
qui est déterminé par les gens qui, à un certain moment se voit
arrogé le droit de définir ce qu'est la science, il est forcé que cette
science soit fausse. C'est ce qui s'est produit dans notre monde.
3
La science occupe à notre époque exactement la même place que
celle qu'occupait la prêtrise il y a quelques siècles.
Les mêmes bonzes attitrés: les professeurs; les mêmes castes dans
la science; académies, universités, congrès. La même confiance et le
manque de critique de la part des croyants, les mêmes différends, et
les mêmes discussions. Les mêmes paroles incompréhensibles, la
même présomption.
—Inutile de discuter avec lui: il nie la révélation.
—Inutile de discuter avec lui: il nie la science.
4
Ce qu'il y a de plus nuisible pour la vraie science, c'est l'emploi
d'expressions et de termes peu clairs. C'est précisément ce que font
les pseudo-savants, en imaginant, pour exprimer des idées
incertaines des mots inexistants.
5
La fausse science et les fausses religions expriment toujours leurs
dogmes en un langage emphatique qui apparaît aux non-initiés
comme mystérieux et grave. Les raisonnements des savants sont
souvent peu compréhensibles non seulement pour les autres, mais
pour les raisonneurs eux-mêmes, et cela au même degré que les
discours des professionnels de la foi. Le savant pédant, en se
servant de termes latins et de nouveaux mots, rend souvent les
choses les plus simples tout aussi incompréhensibles que le sont les
prières latines des prêtres catholiques pour les paroissiens illettrés.
Le mystère n'est pas un signe de sagesse et de science. Plus un
homme est véritablement éclairé, plus le langage dont il exprime ses
pensées est simple.

II—La science sert à justifier l'organisation de la vie sociale.

1
Il semblerait que pour reconnaître l'importance des occupations
qu'on qualifie de scientifiques, il faudrait prouver leur utilité. Mais les
servants de la science affirment ordinairement que dès l'instant qu'ils
s'occupent de certains sujets, ces occupations seront sûrement utiles
un jour.
2
Le but légitimement poursuivi par la science est la connaissance des
vérités servant au bonheur des hommes. Le faux but est de justifier
les mensonges qui insinuent le mal dans notre vie. Telles sont la
jurisprudence, l'économie politique et, surtout, la philosophie et la
théologie.
3
La science contient les mêmes mensonges que la religion et elles
partent du même point: le désir de justifier les faiblesses des
hommes, et c'est pourquoi les mensonges scientifiques sont tout
aussi nuisibles que les mensonges confessionnels. Les hommes
errent, vivent mal. Logiquement, ayant compris qu'ils vivent mal, ils
devraient s'employer à modifier leur genre de vie afin d'améliorer
leur situation. Au lieu de cela, apparaissent toutes sortes de
sciences: financière, théologique, pénale, policière, l'économie
politique, l'histoire, et la plus à la mode: la sociologie, indiquant les
lois de la vie sociale et suivant lesquelles la vie mauvaise ne provient
pas des hommes, mais des lois mauvaises que les savants ont
découvertes et formulées. Ce mensonge est tellement déraisonnable
et contraire à la conscience, que les hommes ne l'auraient jamais
accepté, si la conscience n'avait pas encouragé leurs faiblesses.
4
Nous avons organisé notre vie contrairement à la nature morale et
physique de l'homme, et nous sommes persuadés,—uniquement
parce que tout le monde le pense—que c'est là précisément la vraie
vie. Nous sentons vaguement que tout ce que nous appelons notre
organisation sociale, notre religion, notre culture, nos sciences et
nos arts, que tout cela n'est pas ce qu'il faudrait, parce que cela ne
nous débarrasse pas de nos misères, mais ne fait que les accroître.
Cependant, nous ne nous décidons pas à soumettre tout cela au
contrôle de la raison parce que nous pensons que l'humanité, qui a
toujours reconnu la nécessité du régime social de contrainte, de
religion et de science qu'il a pour base, ne peut pas vivre en dehors
de lui.
Si un poussin dans sa coquille avait été doué de la raison d'un
homme et savait tout aussi peu en profiter que les gens de notre
époque, il n'aurait jamais brisé la coquille de son ouf et n'aurait
jamais connu la vie.
5
La science est devenue maintenant une distributrice de diplômes
donnant le droit de profiter du travail d'autrui.
6
Le phraséologie méthodique des écoles supérieures a le plus souvent
pour but d'éviter la solution des questions difficiles, et l'on donne
aux paroles un sens équivoque parce que le «je ne sais pas»
commode et pour la plupart du temps raisonnable, n'est pas en
faveur dans nos académies.
KANT.
7
Rien n'est plus inconciliable que le savoir et le profit, la science et
l'argent. Si pour devenir plus instruit, il faut de l'argent, si la sagesse
s'achète et se vend, l'acheteur et le vendeur sont également
trompés. Le Christ a chassé les marchands du temple; ils auraient dû
être chassés de même du temple de la science.
8
Ne considère pas la science comme une couronne pour t'en parer, ni
comme une vache pour t'en nourrir.

III.—Conséquences nuisibles de la superstition de la

science.
1
Il est dangereux de propager l'idée que notre vie est le résultat des
forces matérielles et qu'elle dépend d'elles. Mais, lorsque cette idée
fausse s'appelle science, et qu'elle est présentée comme la sainte
sagesse de l'humanité, le tort causé par elle est effrayant.
2
Le développement de la science ne contribue pas à la purification
des mœurs. Chez tous les peuples dont nous connaissons la vie, le
développement des sciences contribuait à la dépravation des mœurs.
Si nous pensons à présent le contraire, cela vient de ce que nous
confondons nos connaissances futiles et trompeuses avec le vrai
savoir suprême. La science, dans son sens abstrait, la science, en
général, doit être respectée; mais la science actuelle, ce que les
insensés appellent science, ne peut-être que ridiculisé et méprisé.
J.-J.-ROUSSEAU
3
L'unique explication de la vie insensée, contraire à la conscience des
meilleurs hommes de tous les temps, que mènent les gens de notre
époque, se trouve dans le fait que les jeunes générations étudient
des matières innombrables: la constitution des astres de la terre,
l'origine des organismes, etc., ils n'omettent qu'une chose, c'est de
savoir quel est le sens de la vie humaine, comment il faut la vivre, ce
qu'ont pensé de cette question les grands sages de tous les temps,
et comment ils l'ont résolue. Non seulement les jeunes générations
n'en sont pas instruites, mais on leur apprend, sous le nom de
religion, les inepties les plus flagrantes, auxquelles ceux qui les
enseignent ne croient pas eux-mêmes. Tout l'édifice de notre vie
sociale repose sur des bulles gonflées d'air et non sur de la pierre.
4
Ce qu'on appelle aujourd'hui science est un composé d'inventions
des gens riches, nécessaire pour occuper leur oisiveté.
5
Nous vivons dans un siècle de philosophie, de sciences et de raison.
Il semble que toutes les sciences se soient réunies pour éclairer
notre route dans le labyrinthe de la vie humaine. D'immenses
bibliothèques sont ouvertes à tous et partout, des lycées, des écoles,
des universités nous donnent depuis l'enfance la possibilité de
profiter du savoir des hommes qui s'est accumulé pendant des
milliers d'années. Il semblerait que tout contribue à la formation de
notre intelligence et au consolidement de notre raison. Eh bien,
sommes-nous devenus meilleurs ou plus sages? Connaissons-nous
mieux la voie et le but de notre vie? Connaissons nous mieux nos
obligations et surtout le bien de la vie? Ou qu'avons-nous acquis par
ces vaines connaissances, sinon l'inimitié, la haine, l'ignorance et les
doutes? Chaque doctrine et chaque secte religieuse prouve qu'elle a
trouvé la vérité. Chaque écrivain sait seul en quoi consiste notre
bonheur. L'un nous prouve qu'il n'y a pas de corps, l'autre—qu'il n'y a
pas d'âme, le troisième—qu'il n'y a aucune connexion entre l'âme et
le corps, le quatrième—que l'homme est un animal, le cinquième—
que Dieu n'est qu'un miroir.
ROUSSEAU.
6
N'étant pas capable de tout pénétrer et ne sachant pas sans l'aide
de la religion ce qu'on doit étudier, la science d'aujourd'hui ne
s'occupe que de ce qui est agréable aux savants qui mènent une vie
irrégulière. Et leur agrément est de profiter du régime existant, afin
de satisfaire leur oisive curiosité qui ne demande pas de grands
efforts intellectuels.

IV.—La quantité de matières à étudier est innombrable,

tandis que les capacités du savoir de l'homme sont limitées.
1
Un savant persan dit: «Lorsque j'étais jeune, je me suis dit: je veux
connaître toute la science; et j'ai appris presque tout ce que savaient
les hommes. Mais lorsque je suis devenu vieux et que j'ai jeté un
coup d'œil sur tout ce que j'ai appris, je me suis aperçu que ma vie a
passé et que je ne sais rien.»
2
Les observations et les calculs des astronomes nous, ont appris bien
des choses dignes d'étonnement; mais le résultat le plus important
de leurs études est, sans doute, celui qu'ils nous ont révélé l'abîme
de notre ignorance. Sans ces connaissances, la raison humaine ne
pourrait jamais se représenter toute l'immensité de cet abîme. Si l'on
réfléchi à cela, on peut arriver à une grande transformation dans la
détermination des buts finals de l'activité de notre raison.
KANT.
3
«Il y a des herbes sur la terre; nous les voyons; de la lune nous ne
pourrions pas les apercevoir. Sur ces herbes il y a des fils—sur ces
fils des petits organismes; mais plus loin—il n'y a plus rien.» Quelle
présomption!
«Les corps complexes sont composés d'éléments et les éléments
sont indécomposables.» Quelle présomption!
PASCAL.
4
Il nous manque des connaissances pour comprendre ne serait-ce
que la vie du corps humain. Voyez ce qu'il faut savoir pour cela. Le
corps a besoin de place, de temps, de mouvements, de chaleur, de
lumière, de nourriture, d'eau, d'air et de bien d'autres choses
encore. Mais dans la nature, toutes les choses sont si étroitement
liées entre elles qu'on ne peut comprendre l'une sans avoir étudié
l'autre. On ne peut comprendre une partie sans avoir compris le
tout. Nous ne comprendrons la vie de notre corps que lorsque nous
aurons étudiés tout ce qu'il lui faut: et pour cela, il est indispensable
d'étudier tout l'univers. Mais l'univers est infini et sa compréhension
est inaccessible à l'homme. Par conséquent, nous ne pouvons nous
expliquer entièrement la vie de notre corps.
PASCAL.

5
Les sciences expérimentales, lorsqu'on s'en occupe pour elles-
mêmes, en les étudiant sans aucun but philosophique, ressemblent à
un visage sans yeux. Elles représentent une des occupations qui
convient aux capacités moyennes, privées de dons suprêmes qui ne
feraient qu'entraver leurs recherches minutieuses. Les gens doués de
ces capacités moyennes concentrent toutes leurs forces et tout leur
savoir sur un champ d'études limité, où ils peuvent, par suite,
atteindre des connaissances aussi complètes que possible, mais à
condition d'être complètement ignorants dans tous les autres
domaines. Ils peuvent être comparés aux ouvriers qui travaillent
dans les ateliers d'horlogerie dont les uns ne font que les roues, les
autres les ressorts, et les troisièmes les chaînes.
SCHOPENHAUER.
6
Ce n'est pas la quantité des connaissances qui importe, mais leurs
qualités. On peut savoir bien des choses et ignorer ce qui est le plus
nécessaire.
7
Socrate n'avait pas la faiblesse commune de parler pendant ses
entretiens de tout ce qui existe, de chercher la provenance de ce
que les sophistes appelaient nature et de remonter jusqu'aux causes
premières dont sont sortis les corps célestes. Est-ce possible, disait-
il, que les gens croient avoir pénétré tout ce qu'il importe à l'homme
de savoir, s'ils s'occupent de ce qui se rapporte si peu à l'homme?
Il s'étonnait surtout de l'aveuglement des faux savants qui ne se
doutent pas de ce que la raison humaine est incapable de pénétrer
ces mystères. C'est pourquoi, disait-il, ceux qui s'imaginent savoir en
parler ne sont pas d'accord dans leurs principes même, et lorsqu'on
les entend parler ensemble on se croirait parmi des fous. De fait,
quels sont les signes particuliers de ceux qui sont pris de folie? ils
craignent ce qui n'a rien d'effrayant et n'ont pas peur de ce qui est
réellement dangereux.
XÉNOPHON.
8
La sagesse est une chose vaste et grande: elle demande tout le
temps libre qui peut lui être consacré.—Indépendamment du
nombres de questions que tu pourrais résoudre, tu devras,
néanmoins, te tourmenter d'une quantité de questions, qui doivent
être examinées et résolues. Ces questions sont tellement vastes et
nombreuses qu'elles exigent l'expulsion de notre esprit de toute
chose superflu, afin d'offrir une liberté entière au travail de la raison.
Dois-je dépenser ma vie en vaines paroles? Il arrive fréquemment,
néanmoins, que les savants pensent plus aux paroles qu'à la vie.
Remarque quel mal produit la philosophie outrée et combien elle
peut être dangereuse pour la vérité.
SÉNÈQUE.

V.—La quantité des connaissances est innombrable. C'est à

la vraie science de choisir les plus importantes et les plus
nécessaires.
1
Il n'y a ni honte, ni faute de ne pas savoir. Personne ne peut tout
connaître; mais il est honteux et nuisible de faire semblant de savoir
ce que l'on ignore.
2
La capacité de l'esprit à absorber des connaissances, n'est pas
illimitée. C'est pourquoi on ne doit pas croire que plus on sait, mieux
cela vaut. La connaissance d'un grand nombre de sottises est une
entrave insurmontable pour savoir ce qui est réellement nécessaire.
3
La raison se fortifie par l'étude de ce qui est nécessaire à l'homme,
et elle s'affaiblit par l'étude de ce qui est insignifiant et inutile; ainsi
le corps se fortifie par l'air frais et la nourriture fraîche, ou s'affaiblit
par l'air vicié et la nourriture corrompue.
JOHN RUSKIN.
4
A notre époque naissent un grand nombre de sciences, dignes d'être
étudiées. Bientôt nos capacités seront trop limitées et la vie sera
trop courte, pour que nous puissions assimiler même la partie la plus
utile de ces connaissances. Nous avons à notre service une grande
abondance de ces trésors intellectuels, et nous sommes obligés,
après y avoir puisé, de rejeter bien des choses comme du bric-à-brac
inutile. Il serait plus simple de ne jamais nous en embarrasser.
KANT.
5
Le savoir est infini, c'est pourquoi on ne peut pas dire de celui qui
sait beaucoup, qu'il sait plus que celui qui sait très peu.
6
La chose la plus ordinaire à notre époque est de voir des gens qui se
considèrent comme savants et éclairés, qui connaissent, en effet,
une quantité innombrables de choses inutiles, croupir dans
l'ignorance la plus grossière, parce que non seulement ils ne
connaissent pas le sens de leur vie, mais encore parce qu'ils sont
fiers de cette ignorance. Et, d'autre part, il n'est pas moins fréquent
de rencontrer parmi des gens presque illettrés, et même
complètement illettrés, qui ignorent tout du tableau chimique, des
parallaxes, des propriétés du radium, et qui sont pourtant des gens
très éclairés, connaissant le sens de la vie, sans se montrer plus fiers
pour cela.
7
Les hommes ne peuvent comprendre et savoir tout ce qui se fait
dans le monde; par conséquent, leurs jugements sur bien des
choses sont inexacts? L'ignorance de l'homme se montre sous deux
aspects; l'ignorance pure, naturelle, dans laquelle les hommes
naissent; l'autre est celle du vrai sage. Lorsque l'homme aura étudié
toutes les sciences, et qu'il saura ce que les gens ont su et savent, il
verra que toutes ces sciences, prises dans leur ensemble, sont
tellement, insignifiantes, qu'elles ne donnent aucune possibilité de
comprendre le monde, et cet homme se persuadera qu'en réalité, les
savants ne savent absolument rien de plus que les simples ignorants.
Mais il y a de ces demi-savants qui ont acquis quelques éléments de
diverses sciences et qui s'en montrent très fiers. Ils se sont éloignés
de l'ignorance naturelle, mais n'ont pas eu le temps d'arriver à la
vraie sagesse des savants, qui ont compris l'imperfection et
l'insignifiance de toutes les connaissances humaines. Ce sont ces
gens qui, se croyant de fortes têtes, troublent le monde. Ils jugent
de tout avec assurance et promptitude et, naturellement, ils se
trompent constamment. Ils savent jeter de la poudre aux yeux et
jouissent souvent du respect des hommes, mais les masses
populaires les méprisent, voyant bien leur inutilité; quant à eux, ils
méprisent le peuple, le croyant ignorant.
PASCAL.
8
Les gens croient souvent que plus on sait, mieux cela vaut. C'est une
idée fausse. Il ne s'agit pas de savoir beaucoup de choses; il importe
de savoir l'essentiel de tout ce que l'on peut connaître.
9
Les sages ne sont jamais savants, les savants ne sont jamais sages.
LAO-TSEU.

10
Les hiboux voient dans l'obscurité, mais deviennent aveugles à la
clarté du soleil. Il en est de même des savants. Ils connaissent
quantité de futilités scientifiques, mais ils ne savent pas et ne
peuvent rien savoir de ce qui est le plus nécessaire dans la vie:
comment l'homme doit vivre sur la terre.
11
Le sage Socrate disait que la bêtise ne provient, pas de peu de
science, mais de ce qu'on ne se connaît pas soi-même, et qu'on croit
connaître tout ce que l'on ignore. Il appelait cela bêtise et ignorance.
12
Quand l'homme connaît toutes les sciences et parle toutes les
langues, mais ignore ce qu'il est et ce qu'il doit faire, il est bien
moins instruit que la vieille femme illettrée qui croit à son Seigneur
le sauveur, c'est-à-dire en Dieu, selon la volonté duquel elle
reconnaît qu'elle vit, et elle sait que ce Dieu exige d'elle une vie
juste. Elle est plus instruite que le savant, parce qu'elle possède la
réponse à la question essentielle: ce qu'est sa vie et comment doit-
elle vivre; tandis que le savant, tout en possédant des réponses
ingénieuses à toutes les questions complexes, mais peu importantes
de la vie, n'a pas de réponse à la question principale de tout homme
de raison: pourquoi je vis et que dois-je faire?
13
Les gens qui croient que la science est l'œuvre principale de la vie,
sont pareils aux papillons attirés par la clarté de la bougie: ils
périsssent eux-mêmes et obscurcissent la lumière.

VI.—En quoi consiste le sens et le but de la vraie science.

1
Le savant est celui qui a appris beaucoup de choses dans les livres;
l'homme instruit est celui qui est au courant de tout ce qui intéresse
actuellement les hommes; l'homme éclairé est celui qui sait pourquoi
il vit et ce qu'il doit faire. Ne t'efforce ni d'être savant, ni d'être
instruit tâche de devenir un homme éclairé.
2
Si dans la vie réelle l'illusion défigure la réalité pour un instant
seulement, dans la région abstraite, l'erreur peut dominer pendant
des milliers d'années, peut peser de son joug sur des peuples
entiers, étouffer les élans les plus nobles de l'humanité, et, à l'aide
de ses esclaves qu'elle a trompés, elle peut mettre aux fers celui
qu'elle n'a pu tromper. Elle est l'ennemi contre lequel les plus grands
esprits de tous les temps ont mené un combat inégal, et l'humanité
n'a gagné que ce qu'ils ont pu lui enlever. Si l'on dit que l'on doit
rechercher la vérité même là où l'on en attend aucun profit parce
que l'utilité peut en apparaître là où elle n'avait pas été prévue, il
faut ajouter encore qu'on doit rechercher et supprimer avec le même
zèle toute erreur, là même où elle ne peut faire aucun tort, parce
que le danger des erreurs peut facilement apparaître un jour, là où
on ne s'y attendait pas, toute erreur contenant du poison. Il n'y a
pas d'erreur inoffensive et il y a d'autant moins d'erreur honorable et
sacrée.
Pour consoler ceux qui consacrent leur vie et leurs forces à la noble
et difficile lutte contre les erreurs, on peut hardiment dire que, si
avant la venue de la vérité, l'erreur continuera quand même à faire
son œuvre, elle n'évincera pas jusqu'au bout la vérité conquise et
clairement exprimée, pour prendre librement sa place vacante, pas
plus que les hiboux et les chauves-souris pendant la nuit
n'intimideront et n'empêcheront le soleil de réapparaître radieux à
son lever. Telle est la puissance de la vérité; sa victoire est difficile et
pénible, mais une fois gagnée, elle ne peut pas être reprise.
SCHOPENHAUER.
3
Depuis que les hommes vivent sur la terre, tous les peuples ont eu
des sages qui leur ont enseigné ce qui était le plus nécessaire de
savoir: quelle est la destination et, par conséquent, le vrai bonheur
de chaque homme et de tous les hommes. Seul l'homme qui connaît
cette science peut juger de l'importance de toutes les autres.
Les objets d'études sont innombrables; aussi, l'ignorance de la
mission et du bonheur des hommes rend-elle impossible le choix
dans cette quantité infinie des connaissances et c'est pourquoi sans
cette connaissance primordiale, toutes les autres deviennent et sont,
en effet, un amusement vain et nuisible.
4
Tous les hommes qui s'adressent à la science de notre époque, non
pour satisfaire une vaine curiosité, non pour jouer un rôle dans la
science, écrire; discuter, enseigner, non pour vivre de la science,
mais pour lui poser des questions directes, simples, vitales,
s'aperçoivent que tout en répondant à des milliers de questions très
ingénieuses et complexes, elle est impuissante à répondre à la seule
question qui intéresse tout homme de raison: que suis-je et
comment dois-je vivre?
5
On peut étudier les sciences inutiles à la vie spirituelle, telles que
l'astronomie, les mathématiques, la physique, de même que jouir de
divers plaisirs, jeux, promenades, quand ces occupations ne nous
empêchent pas de faire ce que nous devons; mais ce n'est pas bien
de s'occuper de vaines sciences et de jouir de plaisirs, quand ils
entravent la véritable œuvre de la vie.
6
Socrate démontrait à ses élèves qu'une instruction bien organisée
commande de parvenir dans chaque science à une certaine limite
qu'on ne doit pas franchir. Il suffit de connaître assez de géométrie,
disait-il, pour être, à l'occasion en état de mesurer régulièrement
une bande de terre que l'on achète ou que l'on rend, pour diviser un
héritage ou pour savoir répartir le travail aux ouvriers. «C'est si
facile, disait-il, qu'avec un peu de bonne volonté on ne s'arrêtera
plus devant aucun calcul, quand bien même il faudrait mesurer toute
la terre. Mais il n'approuvait pas lorsqu'on se passionnait pour les
difficultés de cette science, et, bien qu'il les connût, il disait, qu'elles
pouvaient occuper toute la vie d'un homme et le distraire des
sciences utiles, tandis qu'elles ne servaient à rien. Il trouvait bien
que l'on connaisse assez d'astronomie pour pouvoir, d'après de
menus indices reconnaître les heures de la nuit, les jours du mois, et
les saisons de l'année, s'orienter sur sa route, maintenir la direction
en mer, et relever les gardes. Cette science, est si facile, ajoutait-il,
qu'elle est accessible à chaque chasseur, à tout navigateur et, en
général, à tout homme qui voudrait quelque peu s'en occuper. Mais
lorsqu'on voulait arriver à étudier les différentes orbites parcourues
par les astres célestes, calculer la dimension des planètes et des
étoiles, leur éloignement de la terre, leurs mouvements et
modifications,—il blâmait les gens, car il ne voyait aucune utilité à
ces occupations. Il en avait une si basse opinion, non pas par
ignorance, car il avait étudié ces sciences, mais parce qu'il ne voulait
pas qu'on dépense à des études superflues, le temps et les forces
qui pourraient être employés à la chose la plus nécessaire à
l'homme: à son perfectionnement moral.»
XÉNOPHON.

VII.—De la lecture des livres.

1
Fais attention que la lecture de nombreux écrivains, de livres de tous
genres n'embrouillent et ne troublent ta raison. On ne doit alimenter
son esprit que par la lecture d'écrivains dont la valeur est
incontestable. Trop de lecture distrait l'esprit et le déshabitue du
travail personnel. C'est pourquoi ne lis que les vieux livres
incontestablement bons. Si jamais tu as envie de passer à des
œuvres d'un autre genre, n'oublie pas de revenir aux anciennes.
SÉNÈQUE.
2
Lisez avant tout les meilleurs livres; autrement vous n'aurez pas le
temps de les lire.
THOREAU.
3
Il est préférable de ne jamais lire un seul livre que d'en lire
beaucoup et de croire à tout ce qui y est dit. On peut être intelligent
sans lire un seul livre, tandis qu'en croyant à tout ce qui est écrit
dans les livres, on devient forcément sot.
4
Dans la fabrication des livres se répète le même fait que dans la vie.
La plupart des gens s'égarent sottement. C'est pour cela que tant de
mauvais livres, tant de relent littéraire s'accumulent parmi la bonne
graine. Les hommes ne font que perdre leur temps, leur argent, et
leur attention à la lecture de ces livres.
Les mauvais livres ne sont pas seulement inutiles, mais encore
nuisibles. Car neuf dixièmes de tous les livres ne s'impriment que
pour prendre l'argent des autres.
C'est pourquoi il est préférable de ne pas lire du tout les livres dont
on parle et dont on écrit beaucoup. Les gens doivent chercher avant
tout à lire et à connaître les meilleurs écrivains de tous les siècles, et
de tous les peuples. Ce sont ces livres là qu'on doit lire en premier
lieu; autrement, on n'aura pas le temps de les lire du tout. Seuls ces
écrivains nous instruisent et contribuent à notre éducation.
Nous ne lirons jamais trop peu de mauvais livres et nous ne
réussirons jamais à lire trop de bons livres. Les mauvais livres sont
un poison moral qui ne fait que griser.
D'après
SCHOPENHAUER.

5
Les superstitions et les erreurs tourmentent les hommes. Il n'y a
qu'un moyen pour s'en débarrasser: la vérité. Or, nous apprenons la
vérité tant par nous-mêmes que par l'entremise de sages et de
saints qui ont vécu avant nous. C'est pourquoi pour mener une vie
de bien, il faut chercher soi-même la vérité, tout en profitant des
indications qui sont venues jusqu'à nous des anciens sages et des
saints.
6
L'un des moyens les plus puissants de connaître la vérité qui libère
des superstitions, consiste à apprendre tout ce que l'humanité a fait
dans le passé pour connaître et exprimer la vérité commune à tous
les hommes.

VIII.—De la pensée indépendante.

 1
Chaque homme peut et doit profiter de tout ce que la raison
commune de l'humanité a élaboré, mais il doit en même temps
contrôler par sa propre raison les données élaborées par toute
l'humanité.
2
Le savoir est vraiment le savoir, lorsqu'il est acquis par les efforts de
la pensée et non par la mémoire.
Nous commençons à savoir réellement lorsque nous nous arrivons à
oublier complètement ce que nous avons appris. Je ne me
rapprocherai pas à une distance d'un cheveu de la connaissance des
objets, tant que je considérerai l'objet comme on me l'a appris. Pour
connaître un objet, je dois m'en approcher comme d'une chose
d'absolument inconnue de moi.
THOREAU.
3
Nous attendons du professeur qu'il fasse de son élève un homme
raisonnable, d'abord, sage, ensuite, et savant, enfin.
Ce procédé présente cet avantage que si l'élève n'atteint jamais le
dernier degré, comme cela a, en effet, généralement lieu dans la
réalité; il gagnera néanmoins à s'instruire et aura plus d'expérience
et de sagesse dans la vie.
Mais si l'on retourne ce procédé à l'envers, alors les élèves saisissent
quelque chose qui ressemble à la raison avant d'avoir acquis la
faculté de raisonner et emportent de l'enseignement une science
empruntée, comme collée à eux et non n'adhérant, sans compter
que leurs facultés spirituelles restent tout aussi improductives que
par le passé et se trouvent en même temps fortement corrompues
par la sagesse imaginaire. C'est là la raison pourquoi nous
rencontrons souvent des savants (ou plutôt des gens instruits) qui
manifestent très peu de raisonnement, et c'est pourquoi il sort des
académies plus d'idiots que de n'importe quelle autre classe sociale.
 KANT.
4
Dans toutes les classes il y a des hommes qui jouissent d'une
supériorité mentale, bien qu'ils n'aient souvent aucune instruction.
L'esprit naturel peut remplacer presque tous les degrés de
l'instruction, tandis qu'aucune instruction ne peut remplacer l'esprit
naturel, bien qu'elle possède l'avantage de la connaissance des
événements et des faits (science historique), de la définition des
causes (sciences naturelles)—le tout en une revue facile et régulière;
mais cela ne lui donne pas une opinion plus exacte et plus
approfondie du sens réel de tous ces événements, faits et causes.
L'homme non instruit, mais perspicace et prompt à voir les choses,
saura se passer de ces richesses. Un incident de sa propre
expérience lui apprendra bien plus qu'à un savant qui connaît des
milliers de cas, mais qu'il ne comprend pas très bien, parce que le
peu de savoir de l'homme non instruit est vécu.
SCHOPENHAUER.
5
J'aime les paysans: ils ne sont pas assez instruits pour pouvoir
raisonner erronement.
MONTAIGNE.

6
Combien de lectures multiples nous aurions pu éviter si nous savions
réfléchir avec indépendance.
Est-ce que la lecture et l'étude sont la même chose? Quelqu'un a
affirmé, non sans raison, que si l'impression des livres a contribué au
développement plus vaste de l'instruction, cela a été au détriment de
leur qualité et de leur teneur. Trop lire est mauvais pour la pensée.
Les plus grands penseurs, rencontrés parmi les savants que j'ai
étudiés, étaient précisément les moins érudits.
Si l'on avait enseigné aux hommes comment ils doivent penser, et
non pas à quoi ils doivent penser, le malentendu aurait pu être évité.
 LICHTENBERG.

CHAPITRE XIX

L'EFFORT
Les péchés, les tentations, les superstitions arrêtent, voilent à
l'homme son âme. Pour se révéler à soi-même son âme, l'homme
doit faire des efforts de conscience. C'est donc dans ces efforts de
conscience que consiste l'œuvre principale de la vie de l'homme.

I.—La libération des péchés, des tentations et des

superstitions est dans l'effort.
1
L'abnégation libère les hommes des péchés, l'humilité—des
tentations, la véracité—des superstitions. Mais pour que l'homme
puisse renoncer aux désirs charnels, s'humilier devant les tentations
de l'orgueil et contrôler par la raison les superstitions qui le
désorientent, il doit faire des efforts. Seul l'effort de sa conscience
permet à l'homme de se libérer des péchés, des tentations et des
superstitions qui le privent de bonheur.
2
Le Royaume de Dieu est conquis par l'effort. Le Royaume de Dieu
est en vous (Luc, XVI, 16; XVII, 21). Ces deux strophes de l'Evangile
signifient que ce n'est que par des efforts de conscience que les
hommes peuvent vaincre en eux les péchés, les superstitions et les
tentations qui retardent l'approche du Royaume de Dieu.
3
Ici, sur la terre, il ne peut et ne doit pas y avoir de repos, parce que
la vie est une marche vers le but qu'on ne peut jamais atteindre. Le
repos est immoral. Je ne puis dire en quoi consiste ce but; mais quel
qu'il soit, il existe et nous savons que nous nous en approchons.
Sans ce rapprochement, la vie serait une absurdité et un mensonge.
Et nous ne pouvons nous rapprocher de ce but que par notre propre
effort.
JOSEPH MAZZINI.
4
Devenir de plus en plus meilleur, c'est toute l'œuvre de la vie, et on
ne peut devenir meilleur que par l'effort.
Chacun sait que sans effort, on ne peut rien faire dans le travail. Il
faut savoir également que dans l'œuvre principale de la vie, dans la
vie spirituelle, on ne peut rien faire sans effort.
5
La force ne se manifeste pas par le pouvoir de faire un nœud avec
un attisoir en fer, par la possession des billions et des trillions de
roubles, ni par la domination sur des millions d'hommes; la vraie
force est dans le pouvoir sur soi-même.
6
Ne dis jamais d'une bonne action: «Ce n'est pas la peine de se
donner du mal; c'est si difficile que je n'y arriverai jamais;» ou bien:
«C'est si facile que je n'ai qu'à vouloir pour le faire.» Ne pense pas
et ne parle pas ainsi: même si le but visé n'est pas atteint, ou si ce
but est insignifiant, chaque effort fortifie l'âme.
7
Les gens pensent souvent que pour être un vrai chrétien, il faut
accomplir des actes extraordinaires. C'est une erreur. Le chrétien n'a
pas besoin d'œuvres spéciales, extraordinaires; il ne lui faut qu'un
effort d'esprit perpétuel qui le libère des péchés, des tentations et
des superstitions.
 8
Les mauvaises actions—celles qui causent nos malheurs,—
s'accomplissent facilement; mais ce qui est noble et bon pour nous
se fait uniquement au prix d'un effort.
Sagesse bouddhiste.
9
Si l'homme prend pour règle de faire ce qu'il veut, il ne restera pas
longtemps à vouloir faire ce qu'il fait. La vraie œuvre n'est jamais
que celle à laquelle on doit travailler pour l'accomplir.
10
La route vers la connaissance du bien n'a jamais été tracée sur un
gazon soyeux jonchée de fleurs; l'homme a toujours dû escalader
des rochers dénudés.
JOHN RUSKIN.
11
On ne cherche jamais la vérité avec joie, mais avec émotion et
inquiétude; et cependant, on doit la chercher; car n'ayant pas trouvé
la vérité et appris à l'aimer, tu périras. Mais, diras-tu, si la vérité
voulait que je la cherche et que je l'aime, elle se serait révélée à
moi-même. Aussi se révèle-t-elle à toi, mais tu n'y prêtes pas
attention. Cherche donc la vérité,—elle le veut.
PASCAL.

II.—La vie pour l'âme exige des efforts.

1
Je suis l'instrument avec lequel Dieu travaille. Mon vrai bonheur
consiste à participer à Son travail. Mais je ne peux y parvenir qu'au
moyen des efforts que je fais pour garder toujours en état propre et
aiguisé l'instrument de Dieu qui m'est confié: moi-même, mon âme.
2
La chose la plus chère à l'homme, c'est d'être libre, de vivre à sa
guise et non suivant la volonté d'autrui. Afin de vivre ainsi, l'homme
doit vivre pour son âme. Et afin de vivre pour l'âme, l'homme doit
réprimer les désirs du corps.
3
La vraie vie humaine n'est autre chose que le passage progressif de
la nature bestiale inférieure à une conception de plus en plus grande
de la vie spirituelle.
4
Nous faisons un effort pour nous réveiller et nous nous éveillons
effectivement lorsque le rêve devient affreux et que nous n'avons
plus de forces de le supporter. Il faut agir de même dans la vie réelle
lorsqu'elle devient intolérable. Dans ces moments-là, il faut faire un
effort de conscience pour s'éveiller à une vie nouvelle, supérieure,
spirituelle.
5
La lutte contre les péchés, les tentations et les superstitions est
nécessaire déjà pour cette raison que si tu cesses de les combattre,
ta chair prend le dessus.
6
Il nous semble qu'un vrai travail ne peut être fait qu'à quelque chose
de visible: à bâtir une maison, à labourer un champ, à nourrir le
bétail, mais que travailler à son âme, à quelque chose d'invisible,
n'est pas une besogne importante, une besogne que l'on peut faire
ou ne pas faire; pourtant tout autre travail,—en dehors du travail
intérieur, celui qui nous rend tous les jours plus moral et plus aimant,
—tout autre travail n'est rien. C'est le seul vrai, et tous les autres ne
sont utiles que si ce travail principal de la vie s'effectue.
7
Celui qui reconnaît que sa vie est mauvaise et qui veut commencer à
vivre mieux, ne doit pas penser qu'il ne peut commencer à le faire
que lorsqu'il aura modifié les conditions de sa vie. On doit et on peut
améliorer sa vie non pas par les transformations extérieures, mais
par un changement de soi-même, en notre âme. Et cela, on peut le
faire toujours et partout. Et chacun a suffisamment à faire dans ce
but. C'est seulement lorsque ton âme aura changé au point que tu
ne pourras plus vivre comme par le passé, que tu pourras la
modifier, et non quand tu croiras qu'il te sera plus facile de te
corriger si tu changes ta vie.
8
Il n'y a, dans la vie, qu'une seule chose importante pour tous les
hommes. Cette œuvre seule est destinée à tous les hommes. Tout le
reste n'est rien en comparaison avec elle. On voit que cela est ainsi
parce que dans cette œuvre seule, l'homme n'a pas d'entraves et
qu'elle seule donne toujours la joie.
9
Prends l'exemple du ver à soie: il travaille tant qu'il n'est pas en
mesure de voler. Et toi, tu t'es collé à la terre. Travaille à ton âme, et
il te poussera des ailes.
D'après ANGÉLUS.

III.—Le perfectionnement de soi-même ne saurait être

atteint que par des efforts de conscience.
1
«Soyez parfaits comme votre Père céleste est parfait», est-il dit dans
l'Evangile. Cela ne signifie point que le Christ ordonne à l'homme
d'être aussi parfait que Dieu, mais que chaque homme doit faire des
efforts de conscience pour se rapprocher de la perfection et que la
vie de l'homme est dans ce rapprochement.
2
Tout être ne grandit pas d'un coup, mais peu à peu. On ne peut non
plus apprendre une science d'un coup. De même, on ne peut pas
vaincre le péché d'un coup. Il n'y a qu'un moyen pour devenir
meilleur: le raisonnement sage et l'effort continu et patient.
CHANNING.
3
Lessing disait que ce n'est pas la vérité qui donne la joie à l'homme,
mais l'effort qu'il fait pour la connaître, Il en est de même de la
vertu: la joie que donne la vertu est dans l'effort qui nous rapproche
d'elle.
4
Les paroles suivantes étaient gravées sur la baignoire du Roi Tching-
Tchang: «Renouvelle-toi tous les jours complètement; fais-le à
nouveau et encore à nouveau.»
Sagesse chinoise.
5
Si les gens ne s'occupent pas d'explorations, et s'ils s'en occupent,
mais qu'ils n'y réussissent pas, ils ne doivent pas se désespérer ni
s'arrêter; si les gens n'interrogent pas les personnes éclairées sur les
choses qu'ils ignorent, et si, en interrogeant, ils ne deviennent pas
plus avancés, ils ne doivent pas désespérer; si les gens ne
raisonnent pas, et s'ils raisonnent, mais ne peuvent pas comprendre
clairement en quoi consiste le bien, ils ne doivent pas désespérer; si
les gens ne distinguent pas le bien et le mal, et s'ils le distinguent,
mais n'en ont pas une conception exacte, ils ne doivent pas
désespérer; si les gens ne font pas le bien, et s'ils le font, mais sans
lui consacrer toutes leurs forces, ils ne doivent pas désespérer: ils
feront en dix fois ce que d'autres auraient fait en une fois; ils feront
en mille fois ce que d'autres auraient fait en cent fois.
Celui qui suivra réellement cette règle de la continuité de l'effort
deviendra, si ignorant qu'il soit, sûrement fort, et, si vicieux qu'il soit,
il deviendra sûrement vertueux.
Sagesse chinoise.
 6
Lorsque l'homme fait le bien uniquement parce qu'il est habitué à le
faire, ce n'est pas encore la vie de bien. Cette vie commence lorsque
l'homme fait un effort pour être bon.
7
Tu dis: ce n'est pas la peine de faire des efforts; on aura beau
s'appliquer, on ne parviendra jamais à la perfection. Ton œuvre n'est
pas d'atteindre la perfection, mais de t'en rapprocher de plus en
plus.
8
Pour que la vie soit non un chagrin, mais une joie continuelle, on
doit toujours être bon pour tous, hommes et animaux. Et pour être
bon, il faut s'y habituer; et pour s'y habituer, il ne faut, pas laisser
passer une seule de ses mauvaises actions sans s'en faire de
reproches.
Si tu agis ainsi, tu t'habitueras bientôt à être bon pour tous les
hommes et pour tous les animaux. Et si tu t'habitues à la bonté, tu
auras toujours la joie au cœur.
9
La vertu de l'homme ne se mesure pas par ses exploits
extraordinaires, mais par son effort de chaque jour.
PASCAL.

IV.—Pour se rapprocher de la perfection, l'homme ne doit

compter que sur ses propres forces.
1
Combien il est erroné de demander à Dieu, ou même aux hommes,
de me délivrer d'une situation difficile. L'homme n'a besoin de l'aide
de personne; il n'a pas besoin non plus de sortir de la situation où il
se trouve; il ne lui faut qu'une seule chose: faire un effort de
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