PRORAČUN AB STUPA 

 
STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL 
 
Materijal: 
Beton:   C25/30  C fck/fck,cube valjak/kocka  
  fck   25 N/mm2  ‐ karakteristična tlačna čvrstoća 
  fcd – proračunska tlačna čvrstoća betona 
  fcd    fck/γc    25/1,5   16, 67 N/mm2   1,667 kN/cm2 
  fctm   2,6 N/mm2  ‐ srednja osna vlačna čvrstoća betona 
  Ecm   30500 N/mm2  ‐ sekantni modul elastičnosti betona 
 
Čelik:  B 500 B  fyk   500 N/mm2  
  fyd ‐ proračunska granica popuštanja čelika 
  fyd   fyk/γs   500 / 1,15   434,78 N/mm2   43,478 kN/cm2 
 
ZAŠTITNI SLOJ BETONA 
Konstrukcijski element se nalazi u okolišu razreda XC1  suhi ili trajno vlažni okoliš – beton 
unutar zgrade s malom vlažnošću zraka . Najmanji dopušteni razred tlačne čvrstoće betona 
je C20/25. Razred konstrukcije iznosi S3. 
c c ∆c  
c φ 20mm 10mm 10mm 
c 20 10 30mm 
 
ANALIZA OPTEREĆENJA 
 
• Stalno djelovanje: 
− vlastita težina pokrova ‐ krovni panel Trimoterm SNV60 
 ........................................................................................ 0,189 kN/m2  11,0 m 7,0 m   14,55 kN 
− vlastita težina sekundarnih nosača: .................................................................................  
A ·γ , ·
 ...................................................................  ·e· · 7,0 · 46,87 kN 
,

23
 − vlastita težina glavnog nosača  
 ..............................................................................................................  4,75 kN/m 11m   52,25 kN 
, ,    
− vlastita težina stupova 
 .............................................................. Gk,2  0,60m   0,60m   8,45m   25 kN/m3   76,05 kN 
 
• Promjenljivo djelovanje: 
− opterećenje snijegom .................. Qk,1   0,96 kN/m2   11,0 m   7,0 m 73,92 kN 
− uporabno opterećenje ................ Qk,2   0,75 kN/m2   11,0 m   7,0 m 57,75 kN 
 
• Komponente potresnog djelovanja: 
‐ ukupna horizontalna potresna sila ............................... AE , AE , 41,66 kN 
‐ vertikalna komponenta potresnog djelovanja .......................... AE , 14,08 kN 
 
KOMBINACIJE OPTEREĆENJA 
 
Osnovna kombinacija opterećenja  stalna i prolazna proračunska situacija :  
Mjerodavna kombinacija ‐ prevladavajuće promjenljivo djelovanje je uporabno opterećenje  
 
F , 1,35 · G , G , 1,5 · Q , 1,5 · 0,6 · Q ,

1,35 · 113,67 76,05 1,5 · 57,75  1,5 · 0,6  · 73,92  ,    

 
Kombinacija za seizmičku proračunsku situaciju: 
 
G , γI · A E ψ ·Q , P 

 
Faktor važnosti za II razred važnosti zgrade  obične zgrade ,  iz tablice 4.3  EN 1998‐1  
očitano: 
   γI 1,0  
Koeficijenti kombinacije za nazovistalnu vrijednost promjenljivog djelovanja propisani u 
EN 1990 su: 

24
 ψ , 0  snijeg za H 1000 m n.m.  
ψ , 0  krovovi  
 
Seizmička kombinacija za smjer z  vertikalno opterećenje : 
F , G , G , 1,0 · AE , 0,0 · Q , 0,0 · Q , 113,67 76,05 1,0 · 14,08
 0,0 · 73,92  0,0 · 57,75  203,80 kN  
 
Zahtjev duktilnosti stupova na uzdužnu silu: 

Za srednji razred duktilnosti  DCM  mora biti ispunjen uvjet: 

ν , 0,65 ili NE 0,65 · b · h · f  

Najveću proračunsku tlačnu silu ima srednji stup NE 409,28 kN. 

NE 409,28  kN 0,65 · 60 · 60 · 1,667 3900,8 kN      

 
PRORAČUN DULJINE IZVIJANJA I VITKOSTI STUPOVA 

Proračunska duljina izvijanja stupova provodi se za konzolni pojedinačni element prema 

izrazu: 

l 2 · l 

l   8,45 m 

l 2,0 · 8,45 16,9 m 

Vitkost: 

l l 16,9
λ 97,5 
i 0,289 · b 0,289  · 0,60

Pojedinačni tlačni element smatra se vitkim ako je njegova vitkost veća od λ . 

λ 20 · A · B · C/√n 20 · A · B · C/ NE ⁄A f

20 · 0,7 · 1,1 · 0,7/ 409,28⁄3600 ·  1,67  41,3 

λ 97,5 λ 41,3  stup je vitak 

25
 DIMENZIONIRANJE STUPOVA PREMA POJEDNOSTAVLJENOM POSTUPKU 
PRORAČUNA POJEDINAČNIH VITKIH STUPOVA 
 

METODA OSNOVANA NA NAZIVNOJ ZAKRIVLJENOSTI 

Dimenzioniranje gornjeg presjeka stupa: 

‐ kombinacija za stalnu i prolaznu proračunsku situaciju 

Moment prvog reda, uključujući i učinke imperfekcija: 

M E 0 kNm 

Od proračunate uzdužne sile u stupu treba oduzeti težinu stupa:  

NE 409,28  1,35 · 0,6  · 0,6  · 8,45  · 25 306,61 kN 

Nazivni  nominalni  moment drugog reda: 

M NE ·   e   

Ukupni proračunski moment savijanja: 

ME M E M NE · e  

e e e e  

Ekscentričnost prema teoriji prvog reda: 

M E 0
e 0 cm 
NE 306,61

Dodatna ekscentričnost zbog geometrijskih nesavršenosti :  

Nesavršenosti se smiju prikazati otklonom od vertikale tj. nagibom θi koji iznosi: 

θ θ · α · α  

Preporučena osnovna vrijednost nagiba: θ 1⁄200 

Stvarna duljina  visina  elementa: 4,0 m   l  8,45 m  9,0 m  

Broj vertikalnih elemenata: m 1  pojedinačni element  

26
Faktor smanjenja za visinu: α 2⁄√l ;  2⁄3  α 1 

Faktor smanjenja za broj elemenata: α 0,5 1 1⁄ m 0,5 1 1⁄ 1 1,0 

1 1
θ 0,0034 
100√l 100 8,45

l 1690
e θ · 0,0034 2,9 cm  , h⁄30 60⁄30 2 cm 20 mm 
2 2

Ekscentričnost prema teoriji drugog reda: 

1 l
e   ·   
r c

Faktor ovisan o raspodjeli zakrivljenosti: c 10  ≈ π  ‐ za konstantan poprečni presjek 

Zakrivljenost:  

1 1
K ·K ·   
r r

Korekcijski faktor ovisan o uzdužnoj sili: 

K n n ⁄ n n 1 

Faktor kojim se uzima u obzir puzanje: 

K 1 β·φ 1 

f 434,78
ε   2,174 · 10  
E 200000

d1   c φv φu/2   3,0   0,8   2,0/2   4,8 cm 

d   h ‐ d1    60 – 4,8   55,2 cm  

1 ε 2,174 · 10
8,752 · 10   1/cm 
r 0,45 · d 0,45 · 55,2

1
1,0 · 1,0 · 8,752 · 10 8,752 · 10  1/cm 
r

27
 1690
e · 8,752 · 10 25,0 cm 
10

e e e e 0,0 2,9 25,0 27,9 cm 

ME M E M NE · e 306,61  · 0, 279 85,54 kNm 

NE 306,61 kN 

d 55,2
0,92 0,9 
h 60

Proračun armature pomoću dijagrama interakcije: 

ME 8554
µE   0,024 
b·h ·f 60  · 60 · 1,667

NE 306,61
νE   0,051 
b·h·f 60  · 60 · 1,667

mehanički koeficijent armiranja ω 0,0391  očitano iz BK1, slika 6.8, str. 265 ili str. 271 

f 1,67
A A ω ·b·h 0,0391  · · 60 · 60 ,    
f 43,48

‐ kombinacija za seizmičku proračunsku situaciju 

NE 203,80 76,05 127,75 kN 

M E 0 kNm 

Ukupni proračunski moment savijanja: 

ME M E M NE · e  

e e e e  

Ekscentričnost prema teoriji prvog reda: 

M E 0
e 0 cm 
NE 127,75

e e e e 0,0 2,9 25,0 27,9 cm 

ME M E M NE · e 127,75  · 0, 279 35,64 kNm 

28
 NE  127,75 kN 

d 55,2
0,92 0,9 
h 60

Proračun armature pomoću dijagrama interakcije: 

ME 3564
µE   0,010 
b·h ·f 60  · 60 · 1,667

NE 127,75
νE   0,021 
b·h·f 60  · 60 · 1,667

mehanički koeficijent armiranja ω 0,0391  očitano iz BK1, slika 6.8, str. 265 ili str. 271 

f 1,67
A A ω ·b·h 0,0391  · · 60 · 60 ,    
f 43,48

Dimenzioniranje donjeg presjeka stupa: 

‐ kombinacija za stalnu i prolaznu proračunsku situaciju 

Proračunske vrijednosti unutarnjih sila proračunatih prema teoriji prvog reda: 

ME 0 kNm 

NE 409,28 kN 

Nazivni  nominalni  moment drugog reda: 

M NE ·   e   

Ukupni proračunski moment savijanja: 

ME M E M NE · e  

e e e e  

Ekscentričnost prema teoriji prvog reda: 

M E 0
e 0 cm 
NE 409,28

e 2,9 cm 

29
 e 25,0 cm 

e e e e 0,0 2,9 25,0 27,9 cm 

ME M E M NE · e 409,28 · 0, 279 114,19 kNm 

NE 409,28 kN 

d 55,2
0,92 0,9 
h 60

Proračun armature pomoću dijagrama interakcije: 

ME 11419
µE   0,032 
b·h ·f 60  · 60 · 1,667

NE 409,28
νE   0,074 
b·h·f 60  · 60 · 1,667

mehanički koeficijent armiranja ω 0,0391  očitano iz BK1, slika 6.8, str. 265 ili str. 271 

f 1,67
A A ω ·b·h 0,0391  · · 60 · 60 ,    
f 43,48

‐ kombinacija za seizmičku proračunsku situaciju 

NE  203,80 kN 

M E 41,66  · 8,45 352,03 kNm 

Ukupni proračunski moment savijanja: 

ME M E M NE · e  

e e e e  

Ekscentričnost prema teoriji prvog reda: 

M E 35203
e 172,7 cm 
NE 203,80

e e e e 172,7 2,9 25,0 200,6 cm 

ME M E M NE · e 203,80 · 2,006 408,82 kNm 

30
 NE  203,80 kN 

d 55,2
0,92 0,9 
h 60

Proračun armature pomoću dijagrama interakcije: 

ME 40882
µE   0,114 
b ·h·f 60 · 60  · 1,667

ME 40882
µE   0,114 
b ·h·f 60 · 60  · 1,667

NE 203,80
νE   0,034 
b·h·f 60  · 60 · 1,667

Očitana vrijednost iz dijagrama interakcije za dvoosno savijanje ω  Schneider: Bautabellen 

für Ingenieure, tablica 9b, str. 5.148  

za 

µ 0,114  i  ν 0 očitano: ω 0,40 

µ 0,114 i  ν 0,2 očitano: ω 0,27 

Interpolirana vrijednost 

ω  za ν  i ν : 

νE ν 0,034 0
ω ω ω  ω 0,40 0,40 0,27 0,38  
ν ν 0,2 0

Ukupna ploština potrebne armature:  

f 1,67
A , ω ·b·h 0,38 · 60 · 60 ,    
f 43,48

 za dno stupa mjerodavna je kombinacija sa seizmičkim djelovanjem 

Minimalna vertikalna  uzdužna  armatura stupa: 

A , 4φ12 4,52 cm , tj.  A , , 8φ12 9,05 cm    A , , 12φ12

13,57 cm  zbog maksimalno dopuštenog horiz. razmaka vertikalne armature od 20 cm  

31
 NE 409,28
A , 0,15 0,15 1,41 cm  
f 43,48

A , 0,003 · A 0,003 · 60 · 60 10,8 cm  

A , , 0,01 · A 0,01 · 60 · 60 36 cm mjerodavno 

Maksimalna vertikalna  uzdužna  armatura stupa: 

A , 0,04 · A 0,04 · 60 · 60 144 cm  

ODABRANO: 1  φ    ,    

Odabrana  armatura stupa  A , , , A , . 

Proračun poprečne armature  spona :  

za φ d L 25     φ d 6 mm ili φ φ /4 22/4 6 mm 

Odabrane su spone φ 8. 

Duljina kritičnog područja: 

l h 0,60 m, tj. veća stranica presjeka stupa 

l 8,45
l 1,41 m  mjerodavno 
6 6

l 0,45 m 

l ⁄h 1,41/0,60 2,35 3, te se cijela visina stupa uzima kao kritično područje. 

Razmak spona u kritičnom području: 

s , b ⁄2 53⁄2 26,5 cm; gdje je b  manja dimenzija betonske jezgre  od osi do osi 

spone  

s , 17,5 cm mjerodavno  

s , 8·d L 8 · 2,2 17,6 cm 

Progušćivanje spona pri vrhu i dnu stupa 

Razmak progušćivanja spona: s , 0,6 · s , 0,6 · 17,5 10,5 cm  

32
Spone se progušćuju na duljini jednakoj većoj dimenziji presjeka stupa: h 60 cm. 

Pri vrhu i dnu stupa  iznad kote temeljne čašice  na duljini od 60 cm spone se postavljaju 

na razmaku od 10,5 cm. Tako progušćene spone treba voditi i na mjestu preklopa 

vertikalne armature promjera većeg od φ14. 

ODABRANO: spone  φ / , / ,      

DOKAZ ZA GRANIČNO STANJE UPORABLJIVOSTI  

Ograničenje međukatnog pomaka 

Horizontalni pomak kata izazvan proračunskim seizmičkim djelovanjem 

d q ·d  

q q 1,5 

Pomak određen linearnim proračunom 

P·l 41,66 · 8,45

d 0,0254m 
3EI 3 · 3,05 · 10 · 0,0108

Proračunski međukatni pomak 

d d 1,5 · 0,0254 0,0381 m 

Prema EN 1998‐1 za zgrade koje imaju nekonstrukcijske elemente pričvršćene tako da na 

njih ne utječe deformiranje konstrukcije treba biti zadovoljen uvjet: 

dν 0,010 · h 

ν 0,5  faktor smanjenja za zgradu razreda važnosti II 

dν 0,0381 · 0,5 0,0191 m  0,010 · 8,45 0,0845 m 

 horizontalni pomak kata u granicama je dozvoljenog tj. zadovoljen je uvjet graničnog 

stanja uporabljivosti 

33