SYSTEM OF LINEAR

ALGEBRAIC EQUATION
Gauss Elimination
Bentuk umum persamaan aljabar linier adalah sebagai berikut:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a32 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

Persamaan diatas dapat disusun dalam bentuk matriks sebagai berikut:

[ ]{ } { }

Prinsip penyelesaian dengan metode Gauss :

1) Proses Eliminasi. Dalam proses ini dilakukan manipulasi matematis untuk menghilangkan secara
bertahap bilangan anu dari suatu persamaan sehingga terbentuk pola segi-tiga sebagai beriktut:

[ ]{ } { }

2) Proses Subsitusi Balik. Dengan pola matriks segi tiga seperti di atas nilai dapat hitung, mulai
dari nilai selanjutnya hitung dan
Secara skematis kedua tahap di atas dapat digambarkan sebagai berikut:

[ | ]

[ | ]

⁄
( )⁄

( )⁄
]

Kuliah-03: Aljabar Linear 1

CONTOH

Dikethaui persamaan aljabar linier sebagai berikut. Tentukan nilai

Jawab
1) Susun partisi matriks ( | ) sebagai berikut:

2) Lakukan proses eliminasi

3) Lakukan proses subsitusi balik

Elimination With Pivoting (to avoid zero pivot element)

Tidak semua permasalahan aljabar linier dapat dikerjakan secara langsung dengan cara Eliminasi Gauss
atau yang sering disebut dengan

Contoh, jika kita memiliki persamaan sebagai berikut:

Pada kasus di atas, jika dikerjakan secara langsung akan mengalami masalah matematis yang dikenal
dengan . Karena elemen pertama memiliki nilai nol. Solusinya adalah dilakukan
, yaitu penukaran baris dalam matrik. Nilai terbesar harus berada pada posisi pivot.

Kuliah-03: Aljabar Linear 2

Penyelesaian dari persamaan aljabar linier di atas adalah sebagai berikut:

Nalai terbesar dalam kolom-1 adalah 4, karena itu baris pertama dan kedua harus ditukar posisi menjadi:

Selanjutnya dilakukan proses eliminasi ( ). Hasil dari proses

eliminai tahap pertama adalah sebagi berikut:

Posisi pivot sekaran adalah . Dari data yang ada terlihat bahwa . Karena
itu dilakukan proses pivoting kembali. Dimana baris kedua dan ketiga saling tukar posisi:

Selanjutnya dilakukan proses eliminasi dan hasilnya adalah sebagai berikut:

Langkah terakhir adalah, . Hasil proses subsitusi balik adalah sebagai berikut

Kuliah-03: Aljabar Linear 3

Elimination With Scaling Process

Langkah ini perlu dilakukan bila elemen-elemen dalam persamaan aljabr linier yang berbeda secara
ekstrim. Contoh seperti pada kasus berikut ini:

Penyelesaian Secara Langsung:

[ | ]
( ⁄ )

Hasil dari eliminasi adalah:

[ | ]

Proses subsitusi balik:

( )⁄

Solusi diatas adalah solusi yang diperoleh tanpa pembulatan. Jaika dilakukan pembulatan 3 angaka di
belakang koma maka diperole:

[ | ]
( ⁄ )

[ | ]
Sehingan didapat:

( )⁄

Lihat contoh tersebut bila dilakukan scaling:

Lakukakan pivoting:

Lakukan eliminasi dengan pembulatan 3 angka dibelakang koma:

Kuliah-03: Aljabar Linear 4

 [ | ]
( ⁄ )

[ | ]

( )⁄

Walaupun dilakukan pembulatan, hasilnya tetap yakni memndekati hasli yang

sesumgguhnya.

Gauss-Seidel Method
Metode ini merupakan metode iterasi, yang penyelesaiannya menggunakan cara numerik murni. Catatan
metoda terdahulu merupakan metoda eksak dengan cara matematis murni.

Prinsip penyelesaian:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

Solusi pendekatan:

Prosedure perhitungan:
1) Siklus Pertama
a) Hitung dengan menggunakan persamaan , asumsi
b) Hitung dengan menggunakan persamaan , dengan nilai dari proses ), dan

c) Hitung dengan menggunakan persamaan , dengan nilai dari proses

) )

Kuliah-03: Aljabar Linear 5

2) Siklus Kedua
a) Hitung dengan persamaan , dan dengan nilai yang terakhir. Selanjutnya
hitunng error untuk nilai dengan menggunakan formula: | |
b) Hitung dengan persamaan , dan dengan nilai yang terakhir. Selanjutnya
hitunng error untuk nilai dengan menggunakan formula: | |
c) Hitung dengan persamaan , dan dengan nilai yang terakhir. Selanjutnya
hitunng error untuk nilai dengan menggunakan formula: | |
3) Siklus selanjunya, ulangi siklus ke-dua sampai mendapatkan
yang memenuhi kritria yang ditetapkan.
Tahapab-tahapan kerja di atas dapat dilakukan dengan

Contoh:

150 kN x4

k4 = 45 kN/mm k4 = 45 kN/mm K4 = 90 kN/mm

90 kN x3

K3 = 160 kN/mm
k3 = 80 kN/mm k3 = 80 kN/mm
50 kN x2

k2 = 80 kN/mm k2 = 80 kN/mm K2 = 160 kN/mm

25 kN x1

K1 = 160 kN/mm
k1 = 80 kN/mm k1 = 80 kN/mm

Diketahui suatu rangka 4 lantai dengan kekakuak dan beban seperti ter gambar. Hitunglan besar
deformasi lateral yang terjadi akobat beban tersebut.

Jawab:

Dari pelajaran mekanika tekni diketahui hungan antara adalah sebaai berikut:

[ ]{ } { }

Dari sistem struktur dan beban dapat dibentuk , - * +

Kuliah-03: Aljabar Linear 6

 [ ] [ ]

{ } { }

Penyelesaian menggunakan Excel:

A {b
320 -160 0 0 25
-160 320 -160 0 50
0 -160 250 -90 90
0 0 -90 90 150

X1 Error X2 Error X3 Error X4 Error

0.0000 0.0000 0.0000 1.666667
0.0781 100.0000 0.1953 100.0000 1.0850 100.0000 2.751667 39.4306
0.1758 55.5556 0.7866 75.1713 1.8541 41.4795 3.520717 21.8436
0.4714 62.7144 1.3190 40.3607 2.4716 24.9863 4.138283 14.9233
0.7376 36.0859 1.7609 25.0940 2.9767 16.9690 4.643406 10.8783
0.9586 23.0488 2.1239 17.0926 3.3909 12.2145 5.057588 8.1893
1.1401 15.9213 2.4217 12.2989 3.7307 9.1064 5.397317 6.2944
1.2890 11.5535 2.6661 9.1643 4.0093 6.9506 5.675989 4.9097
1.4112 8.6569 2.8665 6.9917 4.2379 5.3939 5.904578 3.8714
1.5114 6.6303 3.0309 5.4241 4.4254 4.2371 6.092085 3.0779
1.5936 5.1582 3.1657 4.2598 4.5792 3.3588 6.245894 2.4626
1.6610 4.0594 3.2764 3.3762 4.7054 2.6813 6.37206 1.9800
1.7163 3.2226 3.3671 2.6948 4.8089 2.1521 6.475552 1.5982
1.7617 2.5753 3.4415 2.1627 4.8938 1.7347 6.560445 1.2940
1.7989 2.0688 3.5026 1.7431 4.9634 1.4030 6.630081 1.0503
1.8294 1.6687 3.5527 1.4097 5.0205 1.1377 6.687202 0.8542
1.8545 1.3503 3.5937 1.1431 5.0674 0.9246 6.734057 0.6958
1.8750 1.0955 3.6274 0.9290 5.1058 0.7528 6.772491 0.5675
1.8918 0.8906 3.6551 0.7563 5.1374 0.6137 6.804019 0.4634
1.9057 0.7253 3.6778 0.6165 5.1632 0.5009 6.82988 0.3786
1.9170 0.5914 3.6964 0.5032 5.1844 0.4092 6.851093 0.3096
1.9263 0.4828 3.7116 0.4110 5.2018 0.3345 6.868494 0.2533

X1 = 1.9263 mm

Kuliah-03: Aljabar Linear 7

 X2 = 3.7116 mm
X3 = 5.2018 mm
X4 = 6.868494 mm

Gauss Jordan Elimination

Eliminasi Gauss-Jordan merupakan eliminasi tanpa pivoting, hanya tetap dijaga agar elemen pivot tidak
sama dengan nol.

Prinsip eliminasi:
1) Lakukan scaling pada setiap tahap eliminasi sehingga
2) Lakukan eliminasi pada
3) Proses ini berakhir dengan menghasilkan
4) Eliminasi sehingga menghasilkan
5) Setelah

Contoh:

Partisi matriks dan vektor sebagai berikut:

Proses scaling baris pertama:

Kuliah-03: Aljabar Linear 8

Hasil scaling, pivit baris pertama menjadi bernilai selanjutnya dilakukan persiapan untuk mengeliminasi
cell

Berikut ini adalah hasil eliminasi dan persiapan scaling baris kedua, agar bernilai 1

Hasil scaling sebagai berikut:

Lakukan proses eliminasi dengan cara seperti yang diperlihatkan pada matriks di atas,
dan hasilnya seperti yang ditunjukan pada matriks berikut ini:

Tahab selnjunya adalah pres scaling baris ke-tinga, yang menghasilkan matriks berikut ini

Tahab terakhir adalam proses eliminasi dengan cara seperti yang diperlihatkan pada
matriks di atas. Hasil eliminasi tersebut adalah , - * + seperti yang
ditunjukan berikut ini:

Kuliah-03: Aljabar Linear 9

Dengan terbentuknya , - , maka * + merupakan nilai * + yang dicari.

Kuliah-03: Aljabar Linear 10