COLEGIO SAN AGUSTÍN MATEMÁTICA

PRÁCTICA Nº 9
Álgebra: Fracciones algebraicas.
1. Simplifica las siguientes fracciones:
𝑥 3 𝑦−𝑦3 𝑥 3(𝑥+ℎ)2 −2(𝑥+ℎ)+3−(3𝑥 2 −2𝑥+3)
a) f) = 6𝑥 + 3ℎ − 2
𝑥 2 𝑦−𝑥𝑦 2 = 𝑥 +𝑦 ℎ

𝑥 2𝑛 +2𝑥 𝑛 𝑦𝑛 −3𝑦2𝑛 𝑥 𝑛 −𝑦 𝑛
b)
3𝑥−3
=3 g) 2𝑛 =
𝑥 2𝑛 +5𝑥 𝑛 𝑦𝑛 +6𝑦 𝑥 𝑛 +2𝑦𝑛
𝑥−1
8𝑛3 −125 4𝑛2 +10𝑛+25 (𝑥+𝑦)2 −(𝑥−𝑦)2 1
c) = h) =
25−20𝑛+4𝑛2 2𝑛−5 4𝑥 2 𝑦−4𝑥𝑦 2 𝑥−𝑦

𝑥 3 +3𝑥 2 −4 𝑥−1 𝑎(𝑏2 −1)−𝑏(𝑎2 −1)

d) = i) = 𝑎𝑏 + 1
𝑥 3 +𝑥 2 −8𝑥−12 𝑥−3 𝑏(𝑎+1)−𝑎(𝑏+1)

2𝑎2 +5𝑎−12 𝑎+4 (𝑥−𝑦)2 −(1−𝑥𝑦)2

e) = j) (𝑥+𝑦)2 −(1+𝑥𝑦)2
=1
4𝑎2 −4𝑎−3 2𝑎+1

2. Realiza las siguientes operaciones y simplifica:

𝑎+2 𝑎−3 3𝑎+4 3𝑎+2 𝑥 1 2𝑥 −1
a) + + = h) − 2−𝑥 − 3−4𝑥+𝑥 2 = (𝑥−2)(𝑥−1)
3 6 12 4 𝑥 2 −5𝑥+6
𝑥+3 4𝑥+4 2𝑥−5 1 2 1
b) − + = −1 i) − 𝑥 2 −4𝑥+3 + 𝑥 2 −3𝑥+2 = 0
𝑥+6 𝑥+6 𝑥+6 𝑥 2 −5𝑥+6
𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 𝑥 3 2
c) + − 𝑥𝑦+𝑦 2 = 𝑥+𝑦 𝑥 4 −(𝑥−1)2 𝑥 2 −(𝑥 2 −1) 𝑥 2 (𝑥−1)2 −1
𝑥 2 +𝑥𝑦 𝑥𝑦 j) (𝑥 2 +1)2 −𝑥 2 + 𝑥 2 (𝑥+1)2 −1
+
𝑥 4 −(𝑥+1)2
=1
𝑚−𝑛 𝑛−𝑎 2𝑎−𝑚 1
d) + + =𝑚 𝑥 3𝑛 𝑥 2𝑛 1 1
𝑚𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑚 k) − 𝑥 𝑛 +1 + 1−𝑥 𝑛 + 1+𝑥 𝑛 = 𝑥 2𝑛 + 2
𝑥 𝑛 −1
2 𝑥 𝑥+1 3
e) + (𝑥+1)2 + (𝑥+1)3 = 𝑥+1 l)
𝑥 1 4
− 2𝑥−1 − 𝑥+2 = − (2𝑥−1)(𝑥+2)
8𝑥−2
𝑥+1
2𝑥 2 +3𝑥−2
𝑥+1 𝑥−1 2
f) − 𝑥 2 −𝑥+1 = 𝑥 4 +𝑥 2 +1 𝑥+3𝑦 3𝑦 2 +𝑥 2 𝑥+𝑦
𝑥 2 +𝑥+1 m) 𝑥+𝑦 + + 𝑦−𝑥 = 1
𝑥 2 −𝑦 2
2 1 2𝑥 5
g) + 𝑥−2 − 𝑥 2 −4 = (𝑥+2)(2𝑥−1) 𝑥 𝑦 𝑧
2𝑥−1 n)
(𝑥−𝑦)(𝑧−𝑥)
+ (𝑦−𝑧)(𝑥−𝑦) + (𝑧−𝑥)(𝑦−𝑧) = 0

𝑥 𝑎 +𝑦 𝑏 𝑦 𝑏 +𝑧 𝑐 𝑧 𝑐 +𝑥 𝑎
o) 𝑎 ) + (𝑧 𝑐 + =0
(𝑦 𝑏 −𝑧 𝑐 )(𝑧 𝑐 −𝑥 −𝑥 𝑎 )(𝑥 𝑎 −𝑦 𝑏 ) (𝑥 𝑎 −𝑦 𝑏 )(𝑦𝑏 −𝑧 𝑐 )

𝑎2 𝑏2 𝑐2
p) (𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐 )
+ (𝑏−𝑎)(𝑏−𝑐) + (𝑐−𝑎)(𝑐−𝑏) = 1
3(𝑥−𝑦) 𝑥 1 5𝑥+4𝑦
q) − − =−
2𝑥𝑦−𝑥 2 −𝑦2 𝑥 2 −𝑦2 𝑥−𝑦 (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)

3. Realiza las siguientes operaciones y simplifica:

2𝑚 3𝑚𝑛 3𝑚2 2𝑎3 𝑎2 −1
a) · = c) · = 2𝑎2 + 2𝑎
𝑛 4 2 𝑎−1 𝑎2

𝑥𝑦−2𝑦2 𝑥𝑦+𝑦 2 𝑦2 𝑎2 −𝑎𝑏+𝑎−𝑏 𝑎𝑏+𝑏2 𝑎𝑏+𝑏

b) · = d) · =
𝑥 2 +𝑥𝑦 𝑥 2 −2𝑥𝑦 𝑥2 𝑎2 +2𝑎𝑏+𝑏2 𝑎2 −𝑎𝑏 𝑎2 +𝑎𝑏
2DO SEC.
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𝑥−6 𝑥 2 −𝑥−2 2𝑥 2𝑥 𝑥 3 −8 𝑥 2 +2𝑥+4 (𝑥−2)2

e) · · = l) ÷ =
𝑥−2 𝑥 2 −9𝑥+18 𝑥+1 𝑥−3 𝑥 2 +5𝑥+6 𝑥 2 −4 𝑥+3

𝑎3 +3𝑎2 𝑎2 −2𝑎 (𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦 (𝑥−𝑦)2 +2𝑥𝑦 𝑥−2

f) ÷ =𝑎 m) ÷ =
𝑎2 −9 𝑎2 −5𝑎+6 𝑥 2 −7𝑥+12 𝑥 2 −6𝑥+8 𝑥−3

3𝑥 2 −27 𝑥 2 −2𝑥 2𝑥 2 +3𝑥−2 𝑥 2 +𝑦 2−𝑧 2 +2𝑥𝑦 𝑥−𝑦−𝑧 𝑥+𝑦−𝑧

g) · · =3 n) · =
𝑥 2 −4 𝑥 2 −3𝑥 2𝑥 2 +5𝑥−3 𝑥 2 +𝑦 2−𝑧 2 −2𝑥𝑦 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥−𝑦+𝑧
22𝑥 2 𝑦 11𝑥𝑦 𝑥𝑚+𝑦𝑚+𝑥𝑛+𝑦𝑛 𝑥(𝑚+𝑛) 𝑦 2𝑥+2𝑦
h) ( ÷ ) ÷ 2𝑥 = 2 o) [ ÷ ]÷ =
7 14 𝑦(𝑚+𝑛) 2𝑚+2𝑛 𝑥 𝑦2
2𝑎2 −7𝑎+3 6𝑎2 −5𝑎+1 𝑎−3 𝑥 2 +7𝑥+10 𝑥+2 𝑥 2 +3𝑥−4 𝑥+4
i) ÷ = p) ( ÷ )· =
2𝑎2 +3𝑎−2 3𝑎2 +5𝑎−2 2𝑎−1 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥+3 𝑥 2 −25 𝑥−5
𝑥 2 +2𝑥𝑦+𝑦 2 −16 𝑥+𝑦−4 𝑥+𝑦+4 2𝑥 𝑥 2 −4 𝑥+2
j) ÷ 2 = q) ·( ÷ ) = 2𝑥 − 2
16𝑥 4 −16𝑦4 4𝑥 2 +4𝑦 4(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦) 𝑥−2 𝑥 2 +𝑥 𝑥 2 −1
𝑚2 +2𝑚 𝑚2 −2𝑚−8 𝑚2 +4𝑚 1 (𝑎2 −3𝑎)
2
27−𝑎3 𝑎4 −9𝑎2
k) 𝑚2 −16
· 𝑚3 +𝑚2
· 𝑚2 +4𝑚+4 = 𝑚+1 r) · (𝑎+3)2 ÷ (𝑎2 = 𝑎3 − 3𝑎2
9−𝑎2 −3𝑎 +3𝑎)2

4. Simplificar las siguientes fracciones complejas:

1 6𝑥+12
2+𝑚 1 𝑥+1 −
2+𝑥
a) = 𝑚2 𝑥−5
2𝑚2+𝑚 h) =1
11𝑥 −22
𝑥 𝑥−4+
𝑥−2
b) 1 =𝑥+𝑦 𝑥+7
1− 𝑥
1+
𝑦 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦
− 4𝑥𝑦
1 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑥 − 𝑦 𝑥+𝑦
c) 1 1 1 = i) 𝑥 𝑦 =
𝑅1
+𝑅 +𝑅 𝑅2 𝑅3 +𝑅1 𝑅3 +𝑅2 𝑅1 − 𝑥2 +𝑦2
2 3 𝑥 − 𝑦 𝑥+𝑦
2
d) 2− 2 = 2𝑥 2 𝑎+𝑏(𝑥+ℎ)2
−
𝑎+𝑏𝑥2
𝑥2 2𝑥+ℎ
1− (𝑥+ℎ)2 𝑥2
2
2 − 2 j) ℎ
· 𝑎
= − (𝑥+ℎ)2
𝑥

𝑎−1 1 𝑛 1 − 2𝑛
e) =𝑎−1 (𝑎2 − 2) (𝑎 − )
𝑎2 +2 𝑏 𝑏
𝑎+2− 𝑎−2
k) 1 − 𝑛 1 2𝑛
=1
𝑎−
𝑎+1 (𝑏 2 − 2) (𝑏 + )
𝑎 𝑎
1 𝑎2 𝑥𝑦 𝑥2 𝑦2
f) 1 + 𝑎 = 2𝑎 ( + )
1− 𝑎2 + 𝑥+𝑦 𝑦 𝑥
1
1− 1 − 𝑎
𝑎
1 + 1−𝑎 l) 1 1 1 = 𝑥 2𝑦2
2 + 2 −
𝑥 𝑦 𝑥𝑦
𝑦2 𝑦 2 −2
g) 1 + 1 = 2𝑦 2 1−𝑥 1+𝑥 −1
1− 1 1− 1 +
2 2 1
𝑦2 +
𝑦
1 𝑦2 −
𝑦
1
m) [ 1− 𝑥 + 𝑥
1+𝑥
−
1+𝑥+𝑥
1−𝑥 ] ·
𝑥3
=1
𝑦+ 𝑦− 1+ 𝑥 + 𝑥2 1 − 𝑥 + 𝑥2
𝑦 𝑦
𝑥3 − 𝑦3 𝑥2 − 𝑦2 1 1
( )( )( + 2) 𝑥−𝑦
𝑥2 + 𝑦2 𝑥3 + 𝑦3 𝑥2
n) (𝑥 + 𝑦)2 − 𝑥𝑦 1 1
𝑦
= 𝑥𝑦
[(𝑥 ]( − 𝑥)
− 𝑦)2 + 𝑥𝑦 𝑦
2DO SEC.
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5. Simplificar las siguientes fracciones:

2𝑎 4 −𝑐 2 2+𝑐 2𝑎𝑐−𝑎𝑐 2
a) ( · )÷( − 1) =
2+𝑐 4𝑏 𝑐 4𝑏

𝑎 𝑏 𝑏2 𝑎
b) (1 + ) (1 − ) (1 + )=
𝑏 𝑎 𝑎2 −𝑏2 𝑏
2𝑛−1 𝑛−1 𝑛
c) (𝑛 − ) ÷ (𝑛2 + 1 − )=
𝑛2 +2 𝑛 𝑛2 +2
12𝑥𝑦 24𝑥 3 −3𝑦3 2𝑦
d) [3 + ]÷ {[ 8𝑥 3+𝑦3 ] · [𝑦−2𝑥 − 1]} = −1
4𝑥 2−2𝑥𝑦+𝑦 2

9𝑥 2 +4𝑦2 9𝑥 2 +4𝑦2 3𝑥 2𝑏 2 9𝑥 2
e) [( − 2) ÷ ( + 2)] ( ÷ ) =
6𝑥𝑦 6𝑥𝑦 3𝑥−2𝑦 3𝑥+2𝑦 4𝑏2

𝑥 2 𝑥 2
(𝑥−𝑦)2 −( − 2𝑦) ( − 2𝑦) − (𝑥−𝑦)2
2 2
f) 𝑥
− 𝑦 𝑥−2𝑦
𝑥 ÷ =1
2 𝑥+2𝑦 2 + 𝑦
𝑦
+ 𝑥 𝑥
− 𝑦
1 1 1 1 1 1
𝑥 2 ( − ) + 𝑦2 ( − ) + 𝑧 2( − )
𝑦 𝑧 𝑧 𝑥 𝑥 𝑦
g) 1 1 1 1 1 1 =𝑥+𝑦+𝑧
𝑥(𝑦 − 𝑧 ) + 𝑦(𝑧 − 𝑥) + 𝑧(𝑥 − 𝑦)

6. Demostrar las siguientes igualdades:

𝑎2 +4𝑎𝑐+3𝑎𝑏+3𝑐 2+5𝑏𝑐+2𝑏2 𝑎+𝑏+𝑐
a) =
𝑎2 +2𝑎𝑐+𝑎𝑏−3𝑐 2 −5𝑏𝑐−2𝑏2 𝑎−𝑏−𝑐

𝑎4 −𝑎2 𝑐 2 −2𝑎2𝑏𝑐−2𝑎2 𝑏2+𝑏2 𝑐 2 +2𝑏3𝑐+𝑏4

b) =𝑎+𝑏
𝑎3 −𝑎2 𝑏−𝑎𝑏 2−2𝑎𝑏𝑐−𝑎𝑐 2 +𝑏3 +2𝑏2𝑐+𝑏𝑐 2

1 1
−
𝑥−1 𝑥+1
7. Se sabe que 𝑓 (𝑥 ) = 1 ¿Cuál es el valor de 𝑓(√2) + 𝑓(√3) + 3? R. 10
𝑥+ 1
𝑥+1
− 2
𝑥3 −1 𝑥 +1

2DO SEC.