FONCTION CONVERTIR L’ÉNERGIE

Aspect Physique
2ème STM
Cours ; Applications Doc : élève
TRACTION SIMPLE
I- HYPOTHÈSES : Solide idéal
 Solide idéal : matériau homogène, isotrope, poutre rectiligne,
de section constante.
 Les actions extérieures dans les sections   extrêmes sont
modélisables par deux résultantes A et B appliquées aux
barycentres de ces sections, dirigées selon la ligne moyenne,
(orientées vers l’extérieur de la poutre) (Figure 10).
 

B
B1/1B  0 
A 
  et (Figure 10)
A1/1A  0 

  A 
  B
II- DÉFINITION : (Figure 11). Isolement d’une partie (I)
Une poutre est sollicitée à la traction si, le torseur associe aux forces
de cohésion de la partie droite (II) sur la partie gauche (I) de la poutre peut
se réduire en G, (barycentre de la section droite (S)) à une résultante
perpendiculaire à (S), dirigée vers l’extérieur de la matière, telle que :

N  0 ; Ty = 0 ; Tz = 0 ; et Mt = 0 ; MfGy = 0 ; Mfgz = 0

N
d’où CohII/IG     et (N > 0)
0 G


A  
Remarque : Coh    Action ext.à gauche / IG     
II/I G (Figure 11)

0  G


B  
  Action ext.à droite / IIG    
0 
 G Répartition des contraintes dans (S)
     
donc : N   A; N  B et MG  0

III- CONTRAINTES DANS UNE SECTION DROITE : (Figure 12).


Les contraintes  M dans une section droite (S) sont normales
à la section et uniformément réparties dans cette dernière.
La valeur de M en un point M de (S) est :
N
M  ; N  0  M  0
S
avec : M : Contrainte normale en un point M (MPa), (1MPa = 1N/mm2 = 10 bars = 106 Pa) (Figure 12)
N : Effort normal (en N) ;
S : aire de la section droite soumise à la traction (mm2)
Démonstration
    
N   dfII/I  0 avec (  dfII/I   s dfII/I )
s s

   df  
proj / ox :  N   dfII/I  0 ; or : C(M).n  II/I  M.n  M.t
s ds
 
dfII/I  M.n .ds d'où :  N  M  ds  0
s

N
N  M.S  0 ; donc : M  avec N  0 ; M  0
S

157
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX ASPECT PHYSIQUE
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IV- ÉTUDE DES DÉFORMATION : (Figure 13). Courbe caractéristique de l’essai
a- Essai de traction :
La machine de traction permet d'appliquer très progressivement

et sans choc un effort de traction F ; afin d'étudier les allongements
l de l’éprouvette :
 Porter en ordonnée la valeur de l’effort unitaire R
(ou contrainte de traction  ) en (MPa).   F
S0
 Porter en abscisse la valeur de l'allongement unitaire x :

Étude de la courbe
 La zone OA : l'éprouvette a une déformation élastique.
L'allongement unitaire est proportionnel à l'effort appliqué.
Dès que  est supprimé, l’éprouvette reprend sa longueur initiale l0.
On reste dans cette zone tant que  < Re avec Re = Fe / S, (Figure 13)
 La zone AD :  > Re : l’éprouvette a une déformation plastique
ou permanente. L'allongement unitaire n'est plus proportionnel à l’effort Déformation de l’éprouvette
unitaire appliqué. Lorsque  est supprimé, l’éprouvette ne reprend pas
sa longueur l0.
De A à C : l’éprouvette s'allonge et reste cylindrique.
De C à D : l'allongement continue de croître avec un effort F2 moins
important. Il apparaît un étranglement, ou striction, qui s'accentue
jusqu'à la rupture en D.
Après rupture, l’éprouvette a pour longueur lu.
On définit l’allongement en %.

; pour les aciers 0% < A% < 30%

b- Déformation d’une poutre dans le domaine élastique :

 Déformation longitudinale (voir la courbe zone OA)
La contrainte   F varie linéairement en fonction de
S0
l’allongement unitaire  x .
N E  l
Loi de Hooke   E x et  donc : l  N  l0 avec :
S0 l0 E  S0
 : contrainte normale de traction (en MPa) ;
E : module d’élasticité longitudinale ou d’Young en (MPa), (pour les aciers E = 2.105 MPa) ;
 x : allongement unitaire ; l : allongement de la poutre en (mm) ; l0 : longueur initiale de la poutre en (mm) ;
N : effort normal en (N) ; S0 : section droite initiale en (mm2).
 Déformation transversale (Figure 14).
Lorsqu’une poutre s’allonge dans la direction longitudinale sous l’effet de N, on observe une contraction dans
la direction transversale ; on écrit :  y     x avec :

l1  l0 Allongement unitaire suivant ox
x  : ;
l0
h  h0 Contraction (ou raccourcissement) suivant  ;
y  1 : oy
h0
 : Coefficient de Poisson (selon les matériaux ( 0,1    0,5 ), (Figure 14)
(pour les aciers   0,3 ).
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V- CONDITION DE RÉSISTANCE :
Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale doit rester inférieure à la résistance pratique
à l’extension Rpe. La condition de résistance est :
N Re Re : Résistance élastique à l’extension (MPa)
  Rpe ou  Rpe avec Rpe 
S s s : coefficient de sécurité.
Exemple : Pince de levage avec une action F de 3000 N agissant sur une biellette de section
rectangulaire de 16 x10.
Calculez la contrainte normale σn dans une section de la biellette puis
vérifiez la condition de résistance si s = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................................
.......................................................................
..................................................................
....................................................................

VI- CONDITION DE DÉFORMATION :

Pour des raisons fonctionnelles, il est parfois important de limiter l’allongement.
Il doit rester inférieur à une valeur limite llim N  l0
l  llim ou  llim
ES
VII- GÉOMÉTRIE NON PARFAIT : (ou phénomène de concentration de contraintes)
Si le solide présente des variations brusques de section, dans une zone proche de ces variations, la
répartition des contraintes n’est plus uniforme, il y a concentration de contrainte. La contrainte maximale est :
 max  Kt  nom ; 1  Kt  3
avec : Kt : Coefficient de concentration de contrainte de traction (Kt en fonction de gorge, épaulement...)
 nom : Contrainte normale nominale = N Méthode de calcul d’un solide réel
S
1° Calculer  nom
2° Analyser la nature de la géométrie,
(épaulement, gorge...), section circulaire ou prismatique
et choisir la courbe (voir page suivante).
3° Calculer : r/d, D/d, ou h/D.
4° Déterminer la valeur de Kt correspondante.
5° Calculer  max  Kt   nom
Cœfficient de concentration de contrainte Kt 6° Écrire la condition de résistance :  max  Rpe
(voir tableau suivant)
Arbre de section circulaire épaulé Arbre de section circulaire avec gorge

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Plaque plane avec changement de section Plaque plane avec deux saignées sur les bords

Plaque plane percée d’un trou sur l’axe de symétrie Plaque plane percée d’un trou à une extrémité
longitudinal

Remarque : Contraintes et déformations d’origine

thermique, un changement de température engendre une
modification des dimensions des poutres. Si la température
augmente, la poutre en général s’allonge (dilatation) et
inversement (contraction). Le plus souvent, les dilatations
ou contractions varient linéairement avec la température et -6
suivent la loi : Exemples de valeurs de L (10 m/m.°C)
Invar (Fe+36%Ni) 1,5 Laiton 18,9
L= L. L. T ou  = L. T Silicium 3 Nylon (33% fibres de verre) 20
L : allongement de la poutre (m) Tungstène 4,5 Magnésium 23
L : longueur initiale de la poutre (m) Granite 8,7 Aluminium 25
Verre 9 Plomb 29
T : accroissement de température (K, °C)
-1 -1 Fer 12 Zinc 30
L : coefficient de dilatation linéique (°C , K ) Acier 12 Polyéthylène (33% fibres de verre) 48
Exemple : une barre en cuivre de 1 m, à 20 °C, est Fontes (EN-GJL) 12 Polystyrène 70
chauffée jusqu’à 200 °C. Déterminons sa longueur finale. Nickel 13 Nylon 80
-6
Réponse : L = (16 x 10 ) x 1000 x (200 - 20) =2,88 Cuivre 16 Polyéthylène 100
L  2,9 mm ; donc : L = 1000 + 2,9 = 1002,9 mm
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