General Properties of an Integral

Math 16 – Integral Calculus midterm coverage

n +1
x
1. ∫ x n dx= n+1 +C

Ex.

  x4
x5
= + C ; u= x, du = dx
5
  ( 5 y 4−3 y 2 +6 ¿ dy
= 5 y 4 dy−3 y 2 dy +6 dy ; u=y, du= dy
5 3
5y 3y
= − +6 y +¿
5 3
= y 5− y 3 +6 y +C

x3 – 5
  ¿ x dx
2
; u= x 3 – 5 , du= 3 x 2
¿
¿
2
1
¿ ( x 3 – 5)7 + (3) x 2 dx
3
9
= 7 3
Or = (x – 5) 7 +C
9 27
3 7
1 (x −5)
+C
3 9
  (y + 4) (y7– 2) dy ( FOIL method)
=  ( y 2+ 2 y −8 ¿ dy
=  y 2 dy+ 2 y dy−8 dy ; u = y du = dy
y3 2 y 2
= + −8 y +C
3 2

y3 2
= + y −8 y +C
33
  ( x+ 2 ) dx ; u = x , du = dx (Expand)
=  x + 6 x +7 x +8 ¿ dx
3 2

=  x 3 dx +6 x 2 dx+7 x dx+ 8 dx

x 4 6 x3 8 x 2
= + + + 7 x+C
4 3 2
x4
¿ +2 x3 + 4 x 2+ 7 x +C
4
 ( x+ 2 ) dx
  ( x +3 ) 4 ( x +1 )4

( x+2 ) dx
=  [( x +3 ) +( x +1 ) ] 4

( x+2 ) dx
= (x 2+ 4 x +3)4
x x
=  (¿¿ 2+4 x+3) (x+2)dx
−4
; u = (¿¿ 2+4 x+3) , du = 2x + 4 or du= 2(x+2)
¿ ¿
x
(¿¿ 2+4 x+3) ( 2 ) ( x +2 ) dx
1
¿
2
x
−3
(¿¿ 2+ 4 x+3)
+C
−3
1
¿ ¿
2

=
−1
+C
6 (x + 4 x +3)3
2
x
x
( x 2−2 ) dx (¿¿ 2−2) dx
  4 =
√ x 3−6+ 7 −1
4
(¿¿ 3−6 x+7) ¿
¿
x
u = (¿¿ 3−6 x+7) , du = ( 3 x2 −6 ¿ = 3( x 2−2 ¿
¿
 x
−1
(¿¿ 3−6 x+7) 4 ( 3 ) ( x 2−2 ) dx
1
¿ ¿
3
x
3 x 2−6 x+7
4 3
(¿¿ 2−6 x +7) 4
+C ¿ ¿ ¿ 4 +C
= 3 9
4
1
¿
3
x
(¿ ¿ 4−a2 )dx x4 1
  x2
=
x2
dx−a 2 2 dx
x
; u = x , du = dx
¿
= x 2 dx−a2 x −2 dx

x3 x 3 a2
−a 2 x−1+C∨¿ − +C
3 3 x
t
  (¿¿ 8−4 t )6 dt
¿
(t )
= [( 7
t −4 ¿ ¿ ¿6 dt
t t
=  (¿¿ 7−4)6 (t )6 dt ; u ¿(¿ ¿7−4) , du = 7 t 6 dt
¿ ¿
t
(¿¿ 7−4)6 ( 7)(t)6
= dt =
1
¿
7
t
7
(¿¿ 7−4)
+C
= 7
1
( )¿
7

Pythagorean Theorem
2 2
1. sin x+cos x =1
2 2
2. sin x=1−cos x
 2 2
3. cos x=1−sin x
2 2
4. cot x=csc x −1
5. 2
tan x−1=sec x
2
 ∫ cos 3 x sin x dx
sin x
6. tan x= u= cos x
cos x
cos x
7. cot x= du = - sin x dx
sin x

Derivatives of Trigonometric Function - ∫ cos 3 x (-) sin x dx

1. sin u=cos u cos 4 x

¿− +C
2. cos u=−sin u 4
3. tan u=sec 2 u
sin
4. cot u=−csc u 2 (¿ ¿ 2 x+ cos2 x )dx
∫¿
5. sec u=sec u tan u =1
6. csc u=−csc u cot u = ∫ dx

Derivatives of Inverse Trigonometric Function = X+C

cot
dy (¿¿ 2 y +1)
1. −1 dx 2
sin x = csc y
√ 1−u 2 ∫¿
−dy
dx csc 2 y
2. cos−1 x= ¿ 2
dy
csc y
√1−u2
dy
3. −1 dx ¿1
tan x=
1+ u2
−dy
4. dx ¿∫ dy
cot −1 x= 2
1+u
dy ¿ Y +C
5. −1 dx
sec x=
u √ u2−1
−dy
6. −1 dx
csc x =
u √ u2−1
 ∫ √ 3−4 e 2 x e 2 x dx  e 4 ln x dx
 3−4 e
1 4
x

¿∫ e log dx
(¿¿ 2 x) 2 e2 x dx e

¿∫ ¿
3−4 e
(¿¿ 2 x) ¿∫ x 4 dx
u=¿
du=−4 e 2 x ( 2 ) dx u=x
¿−8 e2 x dx du=dx
3−4 e
1
x5
(¿¿ 2 x) 2 (−8 ) e 2 x dx ¿ +C
5
1
¿− ∫ ¿
8
3−4 e
3
(¿¿ 2 x) 2
+C
3
2
1
¿− ¿
8

sin
3−4 e 2 x 3
¿  (¿ ¿ 2 x+6 cos2 x ) 2 cosx sinx dx
¿
1
¿− ¿ ∫¿
12
sin
(¿ ¿ 2 x+6 cos2 x )
u=¿

 (2−5 ln)−7 du=2 sinxcos+12 cos ⁡(−sin x)

∫ ❑ d
u=2−5 ln  du=−10 cos x sin x dx
sin
3
−5 d (¿ ¿ 2 x+6 cos2 x ) 2 (−10 ) cos xsin x dx
du=
❑ 1
¿− ∫ ¿
10

sin
5
(¿ ¿ 2 x+ 6 cos2 x ) 2
1 d +C
¿− ∫ (2−5 ln)−7 (−5) 5
5 ❑
2
1
¿− ¿
10
 −6
(2−5 ln) sin
5
−6
1 (¿ ¿ 2 x+6 cos2 x ) 2 + C
¿−¿ 1 ¿ +C 1
5 2−5 ln )6
30( ¿− ¿
25

arctan3 4 x dx
 ∫ cot x ln csc x dx  ∫
1+16 x 2
u=ln csc x u=arctan 4 x
−csc x cot x 4
du= dx du=
cscx 1+16 x 2
1 dx
¿−∫ ln csc x ( – ) cot x dx ¿ ∫ arctan3 4 x ( 4)
4 1+16 x 2
4
1 arctan 4 x
¿ +C
ln 2 csc x 4 4
¿− +C
2
arctan4 4 x
¿ +C
16

Trigonometric Formulas and Identities

1
1. sin❑ =
csc❑

1
2. cos =
sec ❑

1
3. tan ❑ =
cot❑

1
4. cot θ =
tan θ

1
5. sec θ =
cos θ

1
6. csc θ =
sinθ
 Integration by Logarithms

du
2. ∫ u
=ln u+C

dx
 ∫ x−7 ; u=x−7 , du=dx Special Formula

¿ ln( x−7)+C 1. ∫ tan u du=−ln cos u+C

y dy
 ∫ 3 y 2+ 8 ; u=3 y 2 +8 , du=6 y 2. ∫ cot u=ln sin+C
u
sec u+ tan ¿+C
1 6y ¿
6 ∫ 3 y 2 +8
¿ dy 3. u du=ln ⁡¿
sec ¿
∫¿
u
3y csc u−cot ¿+ C
(¿¿ 2+8)+C ¿
4. u du=ln ⁡¿
1
¿ ln ¿ csc ¿
6
∫¿
3e
dx
 2x
e ( ¿¿−2 x+ 1)
∫¿
2
 ∫ 2sec 4 x dx
tan 4 x−3
−2 x
e dx
= −2 x
2
u=2 tan 4 x−3 ; du=2 sec 4 x ( 4 dx )
3 e +1
u=3 e−2 x +1 , du=3 e−2 x (−2 ) dx du=8 sec 2 4 x dx
2
1 ( 8 ) sec 4 x dx
¿−6 e
−2 x
dx ¿ ∫
8 2 tan 4 x−3
4 x−3
−2
1 (6)e dx 2 tan ¿+C
¿− ∫
6 3 e−2 x +1 1
¿ ln ⁡¿
8
1 ( x +6 )
¿− ln ( 3 e−2 x + 1 ) +C  ∫ dx
6 (x +2)2
( x +2 ) + 4
 ∫ tan x dx ¿∫ 2
dx
(x+ 2)
 sin x dx ( x +2) 4
¿∫ ¿∫ 2
dx +∫
cos x ( x+ 2) (x +2)2

u=cos x , du=−sin x u=x +2 ; du=dx

−¿ sin x dx
¿
¿ ( x +2)−1
¿ ln ( x+ 2 )+ 4 +C
¿ −1
¿−∫ ¿
x+2
¿−ln cos x+ C ¿
¿
¿ ln ¿
 ∫ csc x dx
x
csc x−cot ¿
¿
x
csc x−cot ¿
¿
¿ ]
¿
¿
¿
x dx ¿
csc ¿
¿∫ ¿
csc
¿
x
¿ 2 x−csc x cot ¿ dx
¿
¿
¿
¿∫ ¿
2
x+ csc x
−csc x cot ¿ dx
¿
x ; du=¿
x−cot ¿
u=csc¿
x
csc x−cot ¿+C
¿ ln ⁡¿
 ∫ sec x dx
¿∫ sec x
[ sec x +tan x
sec x +tan x ]
 x +sec 2 x
sec x tan ¿ dx
¿
x ; du=¿
x +tan ¿
u=sec ¿
x
sec x +tan ¿+C
¿
¿
ln¿

Integration exponential functions

Formulas:
3.∫ eu du=eu + c
au
3 a .∫ au du= +C
ln a

 ∫ e 6 x dx  ∫ lne 6 y dy
u=6 x ; du=6 dx ¿∫ log e e6 y dy
1
¿ ∫ e 6 x ( 6 ) dx ¿∫ 6 y dy
6
1
¿ e 6 x +C u= y ;du=dy
6
3 tan 2 y
6 y2
 ∫ 4cos2 dy ¿
2
+C

u=3 tan 2 y ; du=3 sec 2 2 y ( 2 dy ) 2

¿ 3 y +C
du=6 sec 2 2 y dy
1 dy
¿ ∫ 4 3 tan 2 y (6)
6 cos 2 2 y
1 4 3 tan 2 y
¿( ) +C
6 ln 4

 ∫ 8 e 4 ln y dy
¿ 8∫ e 4 lny dy
log
¿ 8∫ e dy
y4
e

¿ 8∫ y 4 dy
u= y ; du=dy
8 y5
¿ +C
5
 Integration Trigonometric Functions
Formulas:

4. ∫ cos u du=sin u+C 7.∫ csc 2 u du=−cotu+ C

5.∫ sin u du=−cos u+C 8.∫ sec u tan u du=sec u+C

6.∫ sec 2 u du=tanu +C 9.∫ csc u cot u du=−csc u+C

Evaluate:

cos2 y dy
 ∫ sin 5 x dx  ∫ 1+ sin y
y
y
1−sin¿
¿
u=5 x ; du=5 dx ¿
1+sin ¿ ¿
¿
¿
¿∫ ¿
y
1 1−sin ¿ dy
5∫
¿ sin 5 x ( 5 ) dx ¿
¿
¿∫ ¿
1
5∫
¿− cos 5 x +C ¿∫ dy−∫ sin y dy
1 1
 ∫ sec ⁡( 4 x 2)tan ( 4 x 2 )dx u= y ; du=dy

1 2 1
u= x ; du= x ¿ y +cos y +C
4 2
 1 2 1 1
¿ 2∫ sec( x ) tan( x 2 )( )dx
4 4 2
1 2
¿ 2 sec( x ) +C
4
 ∫ cos x csc2 2 x dx
2

2 1
¿∫ cos x ( 2 ) dx
sin 2 x
x cox x
2 sin ¿
¿
¿
¿
cos2 x
¿ ¿
2
1 cos x
¿ ∫ 2
4 sin x cos 2 x
1 dx
¿ ∫ 2
4 sin x

1
¿ ∫ csc 2 x dx
4

u=x ; du=dx

1
¿− cot x +C
4

Transformation of Trigonometric Formulas

Type I ∫ sin m x cosn x dx Where m or u are any positive odd

Use: sin 2 x=1−cos 2 x Or 2

cos x=1−sin x
2

Evaluate:

∫ sin3 x cos 6 s dx
¿∫ sin 2 x sin x cos 6 x dx

¿∫ ( 1−cos 2 x ) sin x cos 6 xdx

¿∫ cos2 xsin x dx−∫ cos 8 x sin x dx

 u=cos x du=−sin x dx
−¿
¿
−¿
¿
sin x dx
cos8 x ¿
−¿ ∫ ¿
x dx−¿
6
cos x ¿
¿−∫ ¿

cos 7 x cos 9 x
¿− + +C
7 9

∫ cos 5 2 x dx
cos
2
(¿¿ 2 2 x ) cos 2 x dx
¿∫ ¿

1−sin
2
(¿¿ 2 2 x ) cos 2 x dx
¿∫ ¿

¿∫ ( 1−2 sin2 2 x +sin 4 2 x ) cos 2 x dx

¿∫ cos 2 x dx−2 ∫ sin 2 2 x cos 2 x+∫ sin 4 2 x cos 2 x dx

u=2 x ; du=2 dx u=sin2 x ; du=2 cos 2 x dx

1
¿
2
∫ cos 2 x ( 2 )−2 12
( )∫ sin 2 x ( 2) cos 2 x dx+( 12 )∫ sin 2 x ( 2) cos 2 x dx
2 4

sin3 2 x 1 sin 5 2 x
¿ sin 2 x− + +C
3 2 5

Type – II

∫ tann x dx∨∫ cot n x dx ; Where n is any positive Integer

Use: tan 2 x=sec 2 x−1∨cot 2 x =csc 2−1

Evaluate:
 ∫ tan5 x dx
¿∫ tan 2 x tan3 x dx

( sec2−1 )−¿ t an3 x dx

¿∫ ¿

¿∫ tan 3 x sec 2 x−∫ tan 3 x dx

2
u=tan x ; du=sec xdx
4
tan x
¿ −∫ tan 2 xtan x dx
4

sec
(¿¿ 2−1) tan x dx
tan 4 x
¿ −∫ ¿
4

tan4 x
¿ −∫ tan x sec 2 x dx−∫ tan x dx
4
4 2
tan x tan x
¿ − −lncos x+C
4 2

Type-III

Use: 2 2 2
sec x=1+ tan x ; csc x=1+cot x
2

Evaluate:

∫ tan8 x sec 4 x
¿∫ tan 8 x sec 2 x sec 2 x dx
 ¿∫ tan 8 x ( 1+ tan 2 x ) sec 2 xdx

¿∫ tan 8 x sec 2 x +∫ tan 10 x sec 2 x dx

2
u=tan x ; du=sec x

tan9 x tan11
¿ + +C
9 11

∫ csc6 2 y dy
csc
(¿¿ 2 2 y )2 csc 2 2 y dy
¿∫ ¿

1+ cot
(¿¿ 2 2 y )2 cs c 2 2 y dy
¿∫ ¿

¿∫ ( 1+2 cot 2 2 y +cot 4 2 y ) csc 2 2 ydy

¿∫ csc 2 2 y dy +2∫ cot 2 2 y csc 2 2 y dy +∫ cot 4 2 y csc 2 2 y dy

2
u=2 y ; du=2 dy u=cot2 y ; du=−2 csc 2 y dy

1 1
¿
2
∫ csc 2 2 y ( 2 )+ 2
2( )∫ cot 2 y ( 2 ) csc 2 ydy +( −12 )∫ cot (−2) csc 2 ydy
2 2 4 2

3 5
1 cot 2 y 1 cot 2 y
¿ cot 2 y − − +C
2 3 2 5

Type – IV

∫ sin m x cosn x dx
Where m & n are both integers

sin2 x
use :sin x cos x=
2

1−cos 2 x
sin 2 x=
2
 1−sin 2 x
cos 2 x=
2

∫ sin 4 x cos 2 x dx
¿∫ sin 2 x sin 2 x cos 2 xdx

1−cos 2 x
¿∫ ( 2 ) 2
( sin xcos x ) dx

1−cos 2 x sin 2 x 2
¿∫ ( 2 )( 2 )
dx

( sin 2 2 x ) (1−cos 2 x )
¿∫ dx
8

1
¿ ∫ ( sin2 2 x ) − 1 1 ( )∫ sin 2 x ( 2) cos 2 x dx
2
8 8 2

u=sin2 x ; du=2 cos 2 x dx

3
1 1−cos 4 x 1 sin 2 x
¿
8
∫ (2
dx−
16 3 )
3
1 1 1 sin 2 x
¿
16
∫ dx− 16 4 () ∫ cos 4 x ( 4 ) dx− 48

u=x ; du=dx u=4 x ; du=4 dx

3
1 sin 4 x sin 2 x
¿ x− − +C
16 64 48

Integration by inverse Trigonometric Functions

du u
10. ∫ =arc sin +C
a
√ a −u
2 2

du 1 u
11.∫ = arc tan +C
a +u a a
22

Evaluate:
 2
∫ dx 2 ∫ sec
sec xdx
2
√ 81−x x +5
2
sec xdx
u=x ; du=dx ; a=9=∫ 2
tan + 6

x
¿ arc sin +C u=tan x ; du=sec 2 xdx ; a=√ 6
9

dx 1 tan x
∫ = arc tan +C
√ 24−2 x−x √6
2
√6
24 +1
dx
¿∫ 2
¿
√ ¿−(1+2 x+ x )

dx
¿∫ u=1+ x ; du=dx ; a=5
√25−(1+ x )2
1+ x
¿ arc sin +C
5

x
(¿¿ 2+7) dx
x 2 +4
∫¿
x
x
x
dx
(¿¿ 2+4 )+ 3∫
(¿¿ 2+ 4)
(¿¿ 2+ 4)
¿
¿
¿∫ ¿

x
dx
dx +3∫
(¿¿ 2+4 )
¿∫ ¿

u=x ; du=dx ; a=2

 ¿ x+ 3 [ 1
2
x
arc tan +C
2 ]
Integration by Parts

∫ udv=uv −∫ v du
Evaluate:

∫ x sin x dx
Note : Defferential ; Intergral

u=x dv=sin x dx

du=dx v=−cos x

x
−cos ¿−∫ (−cos x)dx
¿x ¿

u=x ; du=dx

¿− x cos x +sin x+ C

∫ ln y dy
1
u=ln y ; du= dy dv=dy ; v= y
y

1
¿ yln y−∫ y dy
y

¿ y ln y−∫ dy

¿ y ln y− y +C
end