Phương (P) muốn chính minh với Vinh (V) là cô ấy biết bí mật \(m\), tuy nhiên cô ấy không muốn tiết lộ \(m\) cho anh ta. Biết rằng \(m\) được mã hoá bằng RSA như sau:
\[m^e \equiv c \ (mod\ N)\]Với \((c, e, N)\) là công khai, chỉ \(m\) là bí mật. Làm sao chứng minh được điều đó mà không để lộ \(m\)?
Hãy cùng xem giao thức không tương tác sau:
Bước 1. Phương chọn ngẫu nhiên giá trị bí mật \(r_1\), và tính nghịch đảo của nó là \(r_1^{-1}\) rồi nhân với \(m \ (mod \ N)\) để được \(r_2\), như dưới:
\[r_2 = m * r_1^{-1} \ (mod\ N)\]Bước 2. Phương tính tiếp \(x_1\) và \(x_2\) để làm bằng chứng, sau đó gửi cặp giá trị này cho Vinh, cách tính \(x_1\), \(x_2\) như sau:
\[x_1 = r_1^e \ (mod \ N)\] \[x_2 = r_2^e \ (mod \ N)\]Bước 3. Vinh xác minh bằng cách tính:
\[x_1 * x_2 \equiv c' \ (mod \ N)\]Nếu \(c’\) bằng \(c\) thì Phương thực sự biết giá trị \(m\). Như vậy, Vinh hoàn toàn bị thuyết phục là Phương biết giá trị \(m\), mà không hề biết được gì về giá trị \(m\).
\(c’\) bằng \(c\) chỉ khi \(x_1\) và \(x_2\) là bằng chứng thực sự. Ta có thể tính lại như sau:
\[x_1 * x_2 \equiv r_1 ^ e * r_2^e \equiv (r_1*r_2)^e \\ \equiv (r_1 * m * r_1^{-1})^e \equiv m^e \equiv c \ (mod \ N)\]| Giá trị công khai | Giá trị bí mật |
|---|---|
| \(c, e, N, x_1, x_2\) | \(m, r_1, r_2\) |
Hãy xem một ví dụ với những con số để xem cách giao thức này hoạt động như thế nào:
Giả sử ta có:
\[\begin{split} m &= 88 \\ N &= 2430101 \\ e &= 9007 \end{split}\]Và giá trị \(c\) sẽ là:
\[\begin{split} m^e &\equiv c\ (mod\ N) \\ 88^{9007} &\equiv 160613\ (mod\ 2430101) \end{split}\]Phương chọn một số ngẫu nhiên:
\[r_1 = 67\]Bước 1. Phương tính \(r_2\):
Trước hết cần tính \(x = r_1^{-1}\) chính là giá trị nghịch đảo của \(r_1\), và sau đó sẽ nhân \(x\) nó với \(m\).
Vì vậy chúng ta có \(r_2 = 2139941\)
Phương gửi \((x_1, x_2)\) là \((1587671, 374578)\) cho Vinh.
Ok !!! vậy giao thức này có thể bị tấn công không? Câu trả lời là: Có.
Bài sau sẽ trình bày một tấn công vào giao thức này.
]]>