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Bessel's equation and Bessel function of the 1st kind of order v

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다음의 미분방정식을 베셀 방정식(Bessel's equation)이라고 부릅니다.

헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)을 원통 좌표계에서 변수 분리할 때 반지름 성분에서 튀어나오게 됩니다.

x=0은 regular singular point이므로 프로베니우스 방법(Frobenius mothod)을 이용하여 해를 구할 수 있습니다. 다음과 같은 꼴의 해를 가정합시다.

대입하면 다음과 같습니다.

모든 계수가 0이어야 하므로 다음의 식을 얻습니다.

결정 방정식(inditial equation)으로부터 r=±v를 얻습니다(v≥0으로 가정). r=ν일 때 해를 구해봅시다.

ν≥0이므로 2ν+1≠0입니다. 따라서 x^v+1의 계수가 0이 되려면 c₁=0이어야 합니다. c₁=0이므로 홀수번째 계수는 모두 0이 되고 나머지 짝수번째 계수를 구하면 다음과 같습니다.

감마 함수(Gamma function)의 성질을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

보통 관행적으로 상수 c₀를 다음과 같이 선택합니다.

이를 우리가 가정한 급수해에 대입하면 다음의 베셀 방정식의 해를 얻습니다.

또 다른 결정근 r=-v를 대입하면 다음의 해를 얻습니다.

위 함수 J_v(x)와 J_-v(x)를 1종 베셀 함수(Beseel Functions of the First kind of order v and -v)라고 합니다.

두 함수 J_v(x)와 J_-v(x)는 모두 x=0을 제외한 모든 구간에서 수렴합니다(J_v(x)는 x=0에서도 수렴하지만 J_-v(x)는 x의 음의 지수(power)를 포함할 수 있으므로 x=0에서는 일반적으로 수렴하지 않습니다).

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두 결정근의 차가 정수(integer)가 아니라면, 즉 v-(-v)=2v가 정수가 아니라면 J_v(x)와 J_-v(x)는 선형 독립이므로 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같습니다.

프로베니우스 방법에서 알아봤듯이 두 결정근의 차인 2v가 정수이면 각 결정근에 대응하는 해 J_v(x)와 J_-v(x)가 선형 독립이 아닐 수 있습니다. 이를 알아보기 위해 다음의 론스키안을 계산해 봅시다.

J_v(x)와 J_-v(x)를 베셀 방정식에 대입하면 다음과 같습니다.

첫 번째 식에 J_-v(x)를, 두 번째 식에 J_v(x)를 곱하고 두 식을 뺀 뒤 양변을 x로 나누면 다음과 같습니다.

C를 구하기 위해 실제로 우리가 구한 J_v(x)와 J_-v(x)를 통해 계산해 보면 다음과 같습니다. 이미 론스키안의 꼴을 알고 있으므로(C/x) 각 급수의 첫 번째 항만 가지고 계산하면 충분합니다(이하의 계산에서 x^-1은 각 급수의 첫 번째 항의 곱에서만 등장).

론스키안이 1/x에 비례하므로 나머지 항들인 O(x)는 반드시 0이고 따라서 론스키안은 다음과 같습니다.

불행하게도 v가 정수이면 론스키안이 0이므로 J_v(x)와 J_-v(x)는 선형 종속이 됩니다.

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Check)

(위 계산에서 감마 함수는 양이 아닌 정수에서 발산하므로 합의 시작을 감마 함수의 괄호 안이 1부터 시작이 되도록 n=N부터 시작해 줍니다)

따라서 v가 정수인 경우에는 J_v(x)와 선형 독립인 해를 하나 더 찾아야 합니다(v가 반정수(half integer)이면 2v가 역시 정수인데 어차피 론스키안은 0이 아니므로 선형 독립인 해로 J_v(x)와 J_-v(x)를 사용하면 됩니다. 반정수 차수에 대한 베셀 함수는 이후에 구면 베셀 방정식에서 다룹니다). 아래 그림은 몇 가지 v에 대한 1종 베셀 함수 그래프입니다.

(이미지 출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function)

Example 1 Find J₀(x), J₁(x).

물리학에서 v=0, 1일 때의 1종 베셀 함수가 중요하게 응용됩니다.

x<<1일 때 근사적으로 다음과 같습니다.

Bessel function of the 2nd kind of order v

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다음과 같이 정의된 함수를 고려해 봅시다.

일단 간단하게 살펴보면, α가 정수가 아니면 Y_α(x)는 1종 베셀 함수 J_α(x)와 J_-α(x)의 선형 결합 꼴이므로 베셀 방정식의 해가 된다는 사실을 쉽게 알 수 있습니다. α가 정수인 경우,

분모가 0이 되므로 α가 정수일 때는 정의가 되지 않습니다. 이를 피하기 위해 약간의 테크닉(?)을 발휘하여 앞에 극한을 붙여서 정수일 때도 정의가 되도록 만들 수 있습니다(아시다시피 0/0꼴의 '극한'은 존재할 수 있습니다).

위 함수 Y_v(x)를 2종 베셀 함수(Bessel function of the 2nd kind of order v) 또는 노이만 함수(Neumann function of order v)라고 부릅니다. Y_v(x)가 1종 베셀 함수 J_v(x)와 선형 독립인 베셀 방정식의 해라는 사실이 알려져 있습니다.

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실제로 v가 정수 일 때 Y_v(x)가 베셀 방정식의 해가 되는지 보여봅시다. 0/0꼴의 부정형 극한이므로 로피탈 정리를 이용하면 다음과 같습니다.

J_α(x)와 J_-α(x)를 베셀 방정식에 대입한 다음 양변을 α로 편미분하면 다음을 얻습니다.

Y_n(x)를 베셀 방정식에 대입하고 위의 관계식을 이용하면 다음과 같이 Y_n(x)가 베셀 방정식의 해가 됨을 알 수 있습니다.

1종 베셀 함수와 선형 독립임을 보이기 위해 J_v(x)와 Y_v(x)의 론스키안을 계산해 봅시다.

론스키안이 0이 아니므로 J_v(x)와 Y_v(x)는 선형 독립입니다. 따라서 베셀 방정식의 일반해는 v의 값에 상관없이 다음과 같습니다.

아래 그림은 몇 가지 v에 대한 2종 베셀 함수 그래프입니다.

(이미지 출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function)

Example 2 Calculate Y₀(x).

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Sol:

1종 베셀 함수 J_α(x)의 α에 대한 미분을 계산하면 다음과 같습니다.

(α를 포함하는 부분은 (x/2)^α와 감마 함수 2개가 있으므로 곱의 미분을 해줍니다. (x/2)^α의 미분은 로그 미분법을 이용하면 되고, 감마 함수 쪽의 미분은 몫의 미분을 하면 됩니다)

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위 계산에서 다음의 감마 함수의 미분이 사용되었습니다.

(γ is Euler-Mascheroni 상수)

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따라서 Y₀(x)는 다음과 같습니다.

2종 베셀 함수의 일반적인 급수 표현을 구하는 과정은 상당히 복잡합니다. 관심 있으신 분들은 다음 링크를 참고하시길 바랍니다.

(https://ghebook.blogspot.com/2011/12/bessels-differential-equation.html)

Bessel function of the 3rd kind of order v(Hankel functions)

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때때로 다음과 같은 꼴로 베셀 방정식의 해를 나타내기도 합니다.

위와 같이 정의된 함수를 한켈 함수(Hankel functions of the 3rd kind of order v) 또는 3종 베셀 함수(Bessel functions of the 3rd kind of order v)라고 부릅니다. 1종 베셀 함수 J_v(x)와 2종 베셀 함수 Y_v(x)의 선형 결합 꼴이므로 한켈 함수가 베셀 방정식의 해가 됨을 알 수 있습니다. 자명하게 하나를 상수배 해서 같게 만들 수 없으므로 H_v⁽¹⁾(x)와 H_v⁽²⁾(x)는 선형 독립입니다. 따라서 베셀 방정식의 일반해를 다음과 같이 한켈 함수의 선형 결합으로도 나타낼 수 있습니다.

Quiz) Check

Modified Bessel functions

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다음의 미분 방정식을 수정 베셀 방정식(modified Bessel's equation)라고 부릅니다(또는 변종, 변형 베셀 방정식 등으로 부릅니다).

기존의 베셀 방정식에서 x 대신 ix를 대입하면 얻을 수 있습니다.

따라서 단순히 베셀 함수에 x 대신 ix를 대입하면 그것이 수정 베셀 방정식의 해가 됩니다만 우리는 실숫값을 갖는 함수를 해공간의 basis로 선택하길 원하므로,

다음의 함수를 1종 수정 베셀 함수(modified Bessel function of the 1st kind of order v)로 정의합니다.

이하의 논리 전개 과정은 베셀 방정식의 경우와 동일합니다. 베셀 방정식의 경우와 마찬가지로 v가 정수가 아니면 I_v(x)와 I_-v(x)는 선형 독립이고 v가 정수이면 다음과 같이 I_v(x)와 I_-v(x)는 선형 종속이 됩니다.

따라서 v가 정수이면 1종 수정 베셀 함수 I_v(x)와 선형 독립인 해를 하나 더 찾아야 하고 다음의 함수가 I_v(x)와 선형 독립인 해로 알려져 있습니다.

위 함수 K_v(x)를 2종 수정 베셀 함수(modified Bessel function of the 2nd kind of order v)라고 부릅니다. K_v(x)가 I_v(x)와 선형 독립인 해라는 사실은 베셀 함수로 했던 것과 같은 방식으로 보일 수 있습니다. 따라서 수정 베셀 방정식의 일반해는 v의 값과 상관없이 다음과 같습니다.

(이미지 출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function#Spherical_Bessel_functions:_jn,_yn)

Properties of Bessel functions

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베셀 함수의 몇 가지 중요한 성질들을 알아봅시다.

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베셀 함수의 점화식(Recurrence realtions)

proof:

J_v(x)의 급수 표현은 다음과 같습니다.

양변에 x^-v를 곱하고 양변을 x에 대해 미분합니다.

양변에 x^v를 곱하고 정리하면 다음을 얻습니다.

비슷하게 양변에 x^v를 곱하고 미분하고 정리하면 두 번째 점화식도 유도할 수 있습니다. 두 점화식을 더하고 빼면 다음을 얻습니다.

위 점화식들은 2종, 3종 베셀 함수에 대해서도 성립합니다.

​

Check)

3종 베셀 함수도 확인해보세요. 또한 다음이 성립합니다.

proof:

두 번째 점화식도 비슷하게 J_-1-v(x)와 J_v+1(x)을 대입하여 론스키안으로 나타내면 됩니다.

Example 3 Show J₁(x)=-J'₀(x)

​

Sol:

베셀 함수의 미분/적분 관계(Differential relations)

위에서 유도한 점화식으로부터 다음의 미분 관계를 얻습니다.

proof:

비슷하게,

위 미분 관계식에서 m=1으로 두고 양변을 적분하면 다음과 같은 적분 관계도 얻을 수 있습니다.

수정 베셀 함수의 점화식

proof:

베셀 함수와 비슷하게 하면 됩니다.

두 번째 점화식은 x^v를 곱해서 미분하면 얻을 수 있고 세 번째 네 번째는 첫 번째와 두 번째 점화식을 더하고 빼면 얻습니다. 2종 수정 베셀 함수에 대해서는 다음의 점화식이 성립합니다.

K_α(x)=(I_-α(x)-I_α(x))/sinαπ를 대입해서 확인하면 됩니다.

구면 베셀 함수(Spherical Bessel fucntions)

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헬름홀츠 방정식을 구면 좌표계에서 변수 분리로 풀었을 때 반지름 성분에서 등장하는 다음의 미분방정식을 구면 베셀 방정식(spherical Bessel's euqation)이라고 부릅니다.

왜 베셀 방정식이라는 이름이 붙었는가 하면, 다음과 같이 적절한 치환을 통해 베셀 방정식 꼴로 만들 수 있습니다.

(열심히 곱의 미분하시면 됩니다)

최종적으로 다음과 같은 베셀 방정식의 형태를 얻습니다.

v=n+1/2인 경우입니다. 따라서 구면 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같은 꼴이 됩니다.

앞에 붙은 상수들은 normalization과 관련된 상수입니다. 구면파 같은 물리 문제에서 n이 정수인 반정수 차수(v=n+1/2)의 베셀 함수가 자주 사용되는데 이때의 j_n(x)과 y_n(x)를 각각 1종 구면 베셀 함수(spherical Bessel function of 1st kind), 2종 구면 베셀 함수(spherical Bessel function of 2nd kind or spherical Neumann function)라고 부릅니다. 구면 베셀 함수를 계산해 봅시다.

감마 함수의 2배 공식(duplication formula)을 이용합시다.

대입하면 다음과 같습니다.

베셀 함수의 미분 관계를 이용하면 다음과 같이 1종 구면 베셀 함수를 얻을 수 있습니다.

2종 구면 베셀 함수의 경우 다음과 같습니다.

(n+1/2이 정수가 아닌 이상 J_n+1/2(x)와 J_-(n+1/2)(x)는 선형 독립이므로 Y_n+1/2(x) 대신 J_-(n+1/2)(x)를 사용해도 된다는 뜻입니다. 단 앞에 부호가 붙습니다)

​

비슷하게, 감마 함수 2배 공식을 이용하고,

베셀 함수 미분 관계를 이용하면 다음을 얻습니다.

비슷하게 3종 구면 베셀 함수(spherical Bessel function of 3rd kind) 또는 구면 한켈 함수(spherical Hankel functions)도 정의할 수 있습니다.

구면 한켈 함수도 미분으로 나타내면 다음과 같습니다.

h⁽²⁾_n(x)는 h⁽¹⁾_n(x)을 complex conjugate 하면 됩니다.

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몇 가지 구면 베셀 함수를 나타내면 다음과 같습니다.

(이미지 출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function#Spherical_Bessel_functions:_jn,_yn)

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구면 베셀 함수 점화식

구면 베셀 함수의 정의와 위에서 유도한 베셀 함수의 점화식을 이용하면 구면 베셀 함수가 만족하는 점화식을 유도할 수 있습니다.

심심하신 분들은 한번 해보세요.

Example 4 Calculate h⁽¹⁾₀(x) and h⁽²⁾₀(x)

​

Sol:

생성 함수(Generating function)

​

베셀 함수에 대한 생성 함수는 다음과 같습니다.

proof:

생성 함수의 지수 부분을 급수로 전개하고 정리해 줍니다.

Example 5 생성 함수를 이용하여 다음의 점화식이 성립함을 보이세요.

Sol:

생성 함수는 x와 t에 대한 2변수 함수이므로 각 변수에 대해 편미분 하면 식을 2개 얻을 수 있습니다.

x에 대해 편미분 하면,

t에 대해 편미분 하면,

마찬가지로 변변 더하고 빼면 다음을 얻습니다.

생성 함수로 부터 베셀 함수를 정의하고 시작해도 됩니다. Example 5에서 얻은 점화식으로부터, n → v로 바꾸고 v가 꼭 정수일 필요는 없다고 생각해봅시다. 다음의 점화식에 대하여,

양변을 x에 대해 미분하면 다음과 같고,

양변에 x를 곱하고 다시 처음의 점화식의 양변에 v를 곱한 식을 빼면 다음과 같습니다.

그리고 다음의 또 다른 점화식을 대입하면(v →v-1) J_v(x)가 만족하는 미분방정식을 얻습니다.

시간이 나면 이후에 베셀 함수 적분 표현, 점근 꼴, 직교성 등의 내용을 추가하겠습니다. 내용이 너무 많음.

<Summary>

베셀 방정식이란?

프로베니우스 방법으로 해를 구하면?

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1종 베셀 함수

론스키안

v가 정수가 아니면 J_v(x)와 J_-v(x)는 선형 독립.

v=n이 정수이면 J_-n(x)=(-1)ⁿJ_n(x)으로 선형 종속. 따라서 J_v(x)와 선형 독립인 해를 하나 더 찾아야 함. 그게 바로...

↓

2종 베셀 함수(노이만 함수)

v 값에 상관없이 일반해는 y(x)=c₁J_v(x)+c₂Y_v(x). 단 v가 정수가 아니면 Y_v(x) 대신 J_-v(x)로 대체 가능. 복소수 값을 갖고 싶다? 그럼 바로 여기로...

↓

3종 베셀 함수(한켈 함수)

역시 베셀 함수의 해가 됨.

​

수정(modified) 베셀 방정식

베셀 방정식에서 x → ix 하면 얻을 수 있음. 따라서 베셀 함수에 x → ix 하면...

↓

1종 수정 베셀 함수

(i^-v는 실숫값으로 만들어 주기 위함)

마찬가지로 v가 정수가 아니면 I_v(x)와 I_-v(x)는 선형 독립.

v=n이 정수이면 I_-n(x)=I_n(x)으로 선형 종속. I_v(x)와 선형 독립인 해를 하나 더 찾으면 그게 바로...

↓

2종 수정 베셀 함수

v 값에 상관없이 일반해는 y(x)=c₁I_v(x)+c₂K_v(x). 단 v가 정수가 아니면 K_v(x) 대신 I_-v(x)로 대체 가능.

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구면 베셀 방정식

y(x)=u(x)x^-1/2로 치환하면 다음과 같은 반정수(half integer) 차수의 베셀 방정식이 됨.

따라서 해는 y(x)~x^-1/2J_n+1/2(x), y(x)~x^-1/2Y_n+1/2(x) 꼴이고 여기에 적당히 normalization 상수를 붙여서 해를 만들면...

↓

1종 구면 베셀 함수 & 2종 구면 베셀 함수 & 3종 구면 베셀 함수

점화식

미분과 적분

생성 함수

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