PSPACE

PSPACE je v teorii složitosti množina všech rozhodovacích problémů, které lze vyřešit Turingovým strojem používajícím polynomiálně omezené množství paměti.

Formální definice

Pokud označíme SPACE(t(n)), množina všech problémů, které lze vyřešit Turingovým strojem používajícím O(t(n)) prostor pro nějakou funkci t vstupní velikosti n, pak můžeme definovat PSPACE formálně takto:

${\mathsf {PSPACE}}=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathsf {SPACE}}(n^{k}).$

PSPACE je ostrá nadmnožina množiny kontextových jazyků.

Ukazuje se, že povolením, aby Turingův stroj byl nedeterministický se nezíská žádná významná výhoda. Je to díky Savitchově větě, NPSPACE je ekvivalentní s PSPACE, v zásadě protože deterministický Turingův stroj může simulovat nedeterministický Turingův stroj, aniž by bylo potřeba mnohem více prostoru (může však potřebovat mnohem více času). Také komplementy všech problémů v PSPACE jsou také v PSPACE, což znamená, že co-PSPACE = PSPACE.

Relace mezi jinými třídami

Reprezentace relací mezi třídami složitosti

Je známo, že platí následující relace mezi PSPACE a třídami složitost NL, P, NP, PH, EXPTIME a EXPSPACE (symbol ⊊, znamenající ostrou inkluzi, není totéž jako ⊈):

${\begin{array}{l}{\mathsf {NL\subseteq P\subseteq NP\subseteq PH\subseteq PSPACE}}\\{\mathsf {PSPACE\subseteq EXPTIME\subseteq EXPSPACE}}\\{\mathsf {NL\subsetneq PSPACE\subsetneq EXPSPACE}}\\{\mathsf {P\subsetneq EXPTIME}}\end{array}}$

Ze třetí řádku plyne, že v prvním i ve druhém řádku, alespoň jedna množinová inkluze musí být ostrá, ale není známo která. Obecně se předpokládá, že jsou ostré všechny.

O inkluzích ve třetím řádku se ví, že jsou ostré. První vyplývá z přímé diagonalizace (věta o hierarchii prostorové složitosti, NL ⊊ NPSPACE) a faktu, že PSPACE = NPSPACE díky Savitchova věta. Druhý plyne jednoduše z věty o hierarchii prostorové složitosti.

Nejtěžší problémy v PSPACE jsou PSPACE-úplné problémy. V článku PSPACE-úplnost jsou uvedeny příklady problémů, o kterých se předpokládá, že jsou v PSPACE ale nejsou v NP.

Uzávěrové vlastnosti

Třída PSPACE je uzavřená vůči operaci sjednocení, množinového doplňku a Kleeneho hvězdičky.

Jiné charakterizace

Alternativní charakterizací PSPACE je množina problémů rozhodnutelných alternujícím Turingovým strojem v polynomiálním čase, někdy nazývaný APTIME nebo pouze AP.

Logická charakterizace PSPACE z teorie deskriptivní složitosti je, že je to množina problémů vyjadřitelných v logice druhého řádu s přidáným operátorem tranzitivního uzávěru. Není potřeba plný tranzitivní uzávěr; postačuje komutativní tranzitivní uzávěr nebo dokonce slabší formy. Právě přidání tohoto operátoru (případně) rozlišuje PSPACE z PH.

Hlavním výsledkem teorie složitost je, že PSPACE lze charakterizovat jako všechny jazyky rozpoznávané určitým interaktivním dokazovacím systémem, tím, který definuje třídu IP. V tomto systému existuje dokazovací stroj všechno-výkonný, který přesvědčuje pravděpodobnostní verifikátor pracující v polynomiálním čase, že řetězec je v jazyce. Měl by být schopen s vysokou pravděpodobností přesvědčit verififikátor, že řetězec je v jazyce, ale neměl by být schopen jej přesvědčit (až na nízkou pravděpodobnost), že řetězec v jazyce není.

PSPACE lze charakterizovat jako kvantovou třídu složitosti QIP.

PSPACE je také rovno P_CTC, problémů řešitelných klasickými počítači používajícím uzavřených časupodobných křivek, i BQP_CTC, problémů řešitelných kvantovými počítači používajícím uzavřených časupodobných křivek.

PSPACE-úplnost

Podrobnější informace naleznete v článku PSPACE-complete.

Jazyk B je PSPACE-úplný, pokud je v PSPACE a je PSPACE-těžký, což znamená, že pro všechno A ∈ PSPACE, $A\leq _{\text{P}}B$, kde $A\leq _{\text{P}}B$ znamená, že existuje redukce z mnoha na jeden v polynomiálním čase z A do B. PSPACE-úplné problémy mají velký význam pro studium PSPACE problémů, protože reprezentují nejobtížnější problémy v PSPACE. Naleznutí jednoduchého řešení nějakého PSPACE-úplného problému by znamenalo, že máme jednoduché řešení všech ostatních problémů v PSPACE, protože všechny PSPACE problémy lze redukovat na PSPACE-úplný problém.

Příkladem PSPACE-úplného problému je problém kvantifikovaného Booleovského vzorce (obvykle zkráceně na QBF nebo TQBF; T znamená „pravdivý“).

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku PSPACE na anglické Wikipedii.

Literatura

• ARORA, Sanjeev; BARAK, Boaz, 2009. Computational complexity. A modern approach. [s.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42426-4. 
• SIPSER, Michael, 1997. Introduction to the Theory of Computation. [s.l.]: PWS Publishing. Dostupné online. ISBN 0-534-94728-X. 
• PAPADIMITRIOU, Christos, 1993. Computational Complexity. 1. vyd. [s.l.]: Addison Wesley. ISBN 0-201-53082-1. 
• SIPSER, Michael, 2006. Introduction to the Theory of Computation. 2. vyd. [s.l.]: Thomson Course Technology. ISBN 0-534-95097-3. 
• Rahul Jain; Zhengfeng Ji; Sarvagya Upadhyay; John Watrous, 2009. QIP = PSPACE [online]. Červenec 2009. Dostupné online. 
• AARONSON, S., 2005. NP-complete problems and physical reality. SIGACT News. Březen 2005. DOI 10.1145/1052796.1052804. S2CID 18759797. Bibcode 2005quant.ph..2072A. arXiv quant-ph/0502072. 
• WATROUS, John; AARONSON, Scott, 2009. Closed timelike curves make quantum and classical computing equivalent. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. Roč. 465, čís. 2102, s. 631. DOI 10.1098/rspa.2008.0350. S2CID 745646. Bibcode 2009RSPSA.465..631A. arXiv 0808.2669. 

Externí odkazy

• Complexity Zoo: P-SPACE