Bernoulliho–Navierova hypotéza

Znázornění Bernoulliho–Navierovy hypotézy – všechny průřezy prutu zachovávají kolmost ke střednici

Bernoulliho–Navierova hypotéza (také Navierova–Bernoulliho hypotéza či Eulerova–Bernoulliho hypotéza) je v mechanice pružnosti a pevnosti předpoklad pro ohýbaný prvek. Tato hypotéza předpokládá, že průřez, který je před deformací rovinný, zůstává rovinný i po deformaci, resp. průřezy po deformaci zůstávají kolmé na deformovanou střednici prutu. Hypotéza je pojmenována po Jacobu Bernoullim, Danielu Bernoullim a Claude-Louisi Navierovi, případně po Leonhardu Eulerovi.

Platnost

Hypotéza obecně platí pro dostatečně štíhlé pruty, naopak pro prvky, u nichž je výška průřezu řádově podobně velká jako délka, je nutno použít pokročilejší teorie deformace (Mindlin, Timošenko). Platnost je dále omezena na izotropní (či ortotropní) materiály, které jsou lineárně pružné; zároveň musejí být pruty v daném průřezu homogenní (a po délce příliš neměnit svůj průřez). Vzniklá přetvoření na prutu taktéž musejí být malá.

Pokud jsou předešlé podmínky splněny, pro průhyb $w(x)$ platí:

${\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}$

Druhá derivace průběhu průhybu prutu podle délky $x$, vyjádřená jako křivost prutu, je rovna zlomku, kde $E$ je Youngův modul pružnosti, $I$ je moment setrvačnosti průřezu a $M$ je vnitřní ohybový moment.

Pro nosník, který je vyroben z homogenního materiálu po celé své délce a má navíc konstantní průřez, lze za použití Schwedlerovy věty z předchozí rovnice získat závislost průhybu $w(x)$ na spojitém zatížení $f(x)$:

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=f(x)$

Normálové napětí

Základní vzorec pro výpočet normálového napětí od působícího ohybového momentu, který platí díky BN hypotéze, je následující:

$\sigma _{x}={\frac {M_{y}\cdot z}{I_{y}}}={\frac {M_{y}}{W_{y}}}$

Použité veličiny:

• ${\sigma _{x}}$ normálové napětí v průřezu
• $M_{y}$ – ohybový moment kolem neutrální osy
• $z$ – kolmá vzdálenost vláken k neutrální ose
• $I_{y}$ – moment setrvačnosti k neutrální ose y
• $W_{y}$ – průřezový modul k neutrální ose y. $W_{y}=I_{y}/z$

Deskové konstrukce

U deskových konstrukcí je rozšíření Bernoulliho–Navierovy hypotézy nazýváno jako Kirchhoff–Loveho teorie.

Odkazy

Literatura

• ŠMILAUER, Vít. Jednoduchý ohyb. Podklady pro předmět 132PRA. (online) Archivováno 3. 6. 2019 na Wayback Machine.

Portály: Fyzika