Rydberg-Formel

Die Rydberg-Formel in einem Manuskript von Johannes Rydberg

Die Rydberg-Formel (auch Rydberg-Ritz-Formel) wird in der Atomphysik benutzt, um das komplette Spektrum des vom Wasserstoff emittierten Lichtes zu bestimmen. Sie zeigt, dass die Energie des Elektrons im Wasserstoffatom proportional zur Hauptquantenzahl ist.

Die Formel wurde am 5. November 1888 vom schwedischen Physiker Johannes Rydberg vorgestellt; auch Walter Ritz arbeitete an ihr. Später wurde sie erweitert, um das Spektrum anderer Elemente zu bestimmen. Korrekturen aufgrund von Drehimpulsen oder relativistischen Effekten werden nicht berücksichtigt.

Rydberg-Formel für Wasserstoff

${\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=R\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)$

Dabei sind

• $\lambda _{\mathrm {vac} }$ die Wellenlänge des Lichts im Vakuum
• $R$ die Rydberg-Konstante für das jeweilige Element: $R={\frac {R_{\infty }}{1+{\frac {m_{e}}{M}}}}$ mit
  • $m_{e}$ die Masse des Elektrons
  • $M$ die Kernmasse (abhängig vom vorliegenden Isotop)
  • $R_{\infty }$ die Rydberg-Konstante für Wasserstoff
• $n_{1}$ und $n_{2}$ ganzzahlige Werte der Hauptquantenzahl (mit $n_{1}<n_{2}$): $n_{2}$ ist die Quantenzahl des Orbits, von dem aus das Elektron in den tiefer gelegenen Orbit $n_{1}$ übergeht - also etwa vom dritten Orbit $n_{2}=3$ in den zweiten $n_{1}=2$ (siehe Bohrsches Atommodell).

Energie und Spektrallinien-Serien

Für die Energie des emittierten Photons und damit für die entsprechende Energiestufe im Atom gilt (siehe auch Rydberg-Energie):

$E={\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}\cdot c\cdot h$

mit

• Lichtgeschwindigkeit $c$ im Vakuum
• Planckscher Konstante $h$.

Mit $n_{1}=1$ (Grundzustand) und $n_{2}\in (2..\infty )$ erhält man eine Serie von Spektrallinien, die auch Lyman-Serie genannt wird. Der erste Übergang der Serie hat eine Wellenlänge von 121 nm, die Seriengrenze liegt bei 91 nm. Analog ergeben sich die anderen Serien:

Energieniveaus des Wasserstoffspektrums

$n_{1}$	$n_{2}$	Name	Wellenlänge des ersten Übergangs (α-Linie)	konvergiert gegen Seriengrenze
1	$2\rightarrow \infty$	Lyman-Serie	121 nm	91,13 nm
2	$3\rightarrow \infty$	Balmer-Serie	656 nm	364,51 nm
3	$4\rightarrow \infty$	Paschen-Serie	1.874 nm	820,14 nm
4	$5\rightarrow \infty$	Brackett-Serie	4.051 nm	1458,03 nm
5	$6\rightarrow \infty$	Pfund-Serie	7.456 nm	2278,17 nm
6	$7\rightarrow \infty$	Humphrey-Serie	12.365 nm	3280,56 nm

Rydberg-Formel für wasserstoffähnliche Atome

Für wasserstoffähnliche Ionen, d.h. Ionen, die nur ein Elektron besitzen, wie z. B. Lithium, Natrium und Kalium, lässt sich obige Formel erweitern zu:

${\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=Z^{2}R\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)$

mit der Kernladungszahl $Z$, d.h. der Anzahl der Protonen im Atomkern.

Eine Verallgemeinerung auf die Lichtemission von Atomen, die ein einzelnes Elektron in einer nicht abgeschlossenen Schale besitzen, führt zum Moseleyschen Gesetz.