Rydberg-Formel

Die Rydberg-Formel in einem Manuskript von Johannes Rydberg

Die Rydberg-Formel (auch Rydberg-Ritz-Formel) wird in der Atomphysik benutzt, um das Linienspektrum des vom Wasserstoff emittierten Lichtes zu bestimmen. Sie zeigt, dass die Bindungsenergie des Elektrons im Wasserstoffatom umgekehrt proportional zum Quadrat der Hauptquantenzahl ist.

Die Formel wurde am 5. November 1888 vom schwedischen Physiker Johannes Rydberg vorgestellt; auch Walter Ritz arbeitete an ihr.

Korrekturen aufgrund von Drehimpulsen oder relativistischen Effekten werden in der Rydberg-Formel nicht berücksichtigt. Später wurde sie erweitert, um das Spektrum anderer Elemente zu bestimmen (s. u. Rydberg-Formel für wasserstoffähnliche Atome).

Rydberg-Formel für Wasserstoff

Formulierung

${\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=R\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)$

Dabei sind

• $\lambda _{\mathrm {vac} }$ die Wellenlänge des Lichts im Vakuum
• $R$ die Rydberg-Konstante für das jeweilige Element: $R={\frac {R_{\infty }}{1+{\frac {m_{e}}{M}}}}$ mit
  • $m_{e}$ die Masse des Elektrons
  • $M$ die Kernmasse (abhängig vom vorliegenden Isotop)
  • $R_{\infty }$ die Rydberg-Konstante für unendliche Kernmasse
• $n_{1}$ und $n_{2}$ ganzzahlige Werte der Hauptquantenzahl (mit $n_{1}<n_{2}$): $n_{2}$ ist die Quantenzahl des Orbits, von dem aus das Elektron in den tiefer gelegenen Orbit $n_{1}$ übergeht - also etwa vom dritten Orbit $n_{2}=3$ in den zweiten $n_{1}=2$ (siehe Bohrsches Atommodell).

Energie

Für die Energie des emittierten Photons gilt:

$E={\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}\cdot c\cdot h$

mit

• Lichtgeschwindigkeit $c$ im Vakuum
• Planckscher Konstante $h$.

Entsprechend gilt für die Energiestufen der beiden o. g. Orbits im Atom (siehe Rydberg-Energie):

$E_{1}={\frac {R}{n_{1}^{2}}}\cdot c\cdot h$

$E_{2}={\frac {R}{n_{2}^{2}}}\cdot c\cdot h$.

Mit $n_{1}<n_{2}$ folgt daraus:

$\Rightarrow E_{1}>E_{2}$.

Spektrallinien-Serien

Mit $n_{1}=1$ (Grundzustand) und $n_{2}\in (2..\infty )$ erhält man eine Serie von Spektrallinien, die auch Lyman-Serie genannt wird. Der erste Übergang der Serie hat eine Wellenlänge von 121 nm, die Seriengrenze liegt bei 91 nm. Analog ergeben sich die anderen Serien:

Energieniveaus des Wasserstoffspektrums

$n_{1}$	$n_{2}$	Name	Wellenlänge des ersten Übergangs (α-Linie)	konvergiert gegen Seriengrenze
1	2 bis ∞	Lyman-Serie	121 nm	91,13 nm
2	3 bis ∞	Balmer-Serie	656 nm	364,51 nm
3	4 bis ∞	Paschen-Serie	1 874 nm	820,14 nm
4	5 bis ∞	Brackett-Serie	4 051 nm	1458,03 nm
5	6 bis ∞	Pfund-Serie	7 456 nm	2278,17 nm
6	7 bis ∞	Humphreys-Serie	12 365 nm	3280,56 nm

Rydberg-Formel für wasserstoffähnliche Atome

Für wasserstoffähnliche Ionen, d. h. Ionen, die nur ein Elektron besitzen, wie z. B. He⁺, Li²⁺, Be³⁺ oder Na¹⁰⁺, lässt sich obige Formel erweitern zu:

${\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=Z^{2}R\left({\frac {1}{{n'}_{1}^{2}}}-{\frac {1}{{n'}_{2}^{2}}}\right)$

mit

• der Kernladungszahl $Z$, d. h. der Anzahl der Protonen im Atomkern
• die um den Quantendefekt $\delta _{n}$ korrigierten Hauptquantenzahlen $n'_{i}=n_{i}-\delta _{n}$.

Eine weitere Verallgemeinerung auf die Lichtemission von Atomen, die ein einzelnes Elektron in einer nicht abgeschlossenen Schale besitzen, führt zum Moseleyschen Gesetz.

Literatur

• Joseph Reader and Charles H. Corliss: Line Spectra of the Elements in Handbook-of-Chemistry-and-Physics

Weblinks

• Umfangreiche Datenbank mit 568 Emissionslinien des Wasserstoffs des National Institute of Standards and Technology (Kramida, A., Ralchenko, Yu., Reader, J., and NIST ASD Team (2014). NIST Atomic Spectra Database (ver. 5.2))