Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung . In Kurzschreibweise lautet sie
(
u
v
)
′
=
u
′
v
−
u
v
′
v
2
{\displaystyle \left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}}
Somit führt die Quotientenregel die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.
Sind die Funktionen
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
v
(
x
)
{\displaystyle v(x)}
Intervall
D
{\displaystyle D}
reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle
x
0
∈
D
{\displaystyle x_{0}\in D}
v
(
x
0
)
≠
0
{\displaystyle v(x_{0})\neq 0}
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
:=
u
(
x
)
v
(
x
)
{\displaystyle f(x):={\frac {u(x)}{v(x)}}}
an der Stelle
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
′
(
x
0
)
=
u
′
(
x
0
)
⋅
v
(
x
0
)
−
u
(
x
0
)
⋅
v
′
(
x
0
)
(
v
(
x
0
)
)
2
{\displaystyle f'(x_{0})={\frac {u'(x_{0})\cdot v(x_{0})-u(x_{0})\cdot v'(x_{0})}{(v(x_{0}))^{2}}}}
Ist
f
(
x
)
=
x
2
−
1
2
−
3
x
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{2-3x}}}
x
≠
2
3
{\textstyle x\neq {\frac {2}{3}}}
f
′
(
x
)
=
2
x
⋅
(
2
−
3
x
)
−
(
x
2
−
1
)
⋅
(
−
3
)
(
2
−
3
x
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {2x\cdot (2-3x)-(x^{2}-1)\cdot (-3)}{(2-3x)^{2}}}\\\end{aligned}}}
Ausmultipliziert ergibt sich
f
′
(
x
)
=
−
3
x
2
+
4
x
−
3
(
2
−
3
x
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {-3x^{2}+4x-3}{(2-3x)^{2}}}}
Quotientenregel Der Quotient
u
(
x
)
v
(
x
)
{\displaystyle u(x) \over v(x)}
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
v
(
x
)
{\displaystyle v(x)}
x
{\displaystyle x}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
u
{\displaystyle u}
Δ
u
{\displaystyle \Delta u}
v
{\displaystyle v}
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
Δ
(
u
v
)
=
u
+
Δ
u
v
+
Δ
v
−
u
v
=
(
u
+
Δ
u
)
⋅
v
−
u
⋅
(
v
+
Δ
v
)
(
v
+
Δ
v
)
⋅
v
=
Δ
u
⋅
v
−
u
⋅
Δ
v
v
2
+
Δ
v
⋅
v
{\displaystyle {\begin{aligned}{\Delta \left({u \over v}\right)}&={{{u+\Delta u} \over {v+\Delta v}}-{u \over v}}\\&={{(u+\Delta u)\cdot v-u\cdot (v+\Delta v)} \over {(v+\Delta v)\cdot v}}\\&={{\Delta u\cdot v-u\cdot \Delta v} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}\end{aligned}}}
Dividiert man durch
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
Δ
(
u
v
)
Δ
x
=
Δ
u
Δ
x
⋅
v
−
u
⋅
Δ
v
Δ
x
v
2
+
Δ
v
⋅
v
{\displaystyle {{\Delta \left({u \over v}\right)} \over {\Delta x}}={{{\Delta u \over \Delta x}\cdot v-u\cdot {\Delta v \over \Delta x}} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}}
Bildet man nun Limes
Δ
x
→
0
{\displaystyle \Delta x\to 0}
(
u
v
)
′
=
u
′
⋅
v
−
u
⋅
v
′
v
2
{\displaystyle {\left({u \over v}\right)'}={{u'\cdot v-u\cdot v'} \over {v^{2}}}}
Gegeben sei
f
(
x
)
=
u
(
x
)
v
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}.}
Produktregel gilt:
f
′
(
x
)
=
(
u
(
x
)
⋅
1
v
(
x
)
)
′
=
u
′
(
x
)
1
v
(
x
)
+
u
(
x
)
(
1
v
(
x
)
)
′
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\left(u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}\right)'\\&=u'(x){\frac {1}{v(x)}}+u(x)\left({\frac {1}{v(x)}}\right)'.\end{aligned}}}
Mit der Kehrwertregel
(
1
v
(
x
)
)
′
=
−
v
′
(
x
)
v
2
(
x
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{v(x)}}\right)'=-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}}
folgt
f
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
1
v
(
x
)
+
u
(
x
)
(
−
v
′
(
x
)
v
2
(
x
)
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
−
u
(
x
)
v
′
(
x
)
v
2
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=u'(x){\frac {1}{v(x)}}+u(x)\left(-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}\right)\\&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}}
Eine alternative Herleitung gelingt nur mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung
f
(
x
)
⋅
v
(
x
)
=
u
(
x
)
{\displaystyle f(x)\cdot v(x)=u(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
f
′
(
x
)
⋅
v
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
v
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)=u'(x)}
folglich:
f
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
−
u
(
x
)
v
(
x
)
⋅
v
′
(
x
)
v
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
−
u
(
x
)
v
′
(
x
)
v
2
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)}{v(x)}}-{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot {\frac {v'(x)}{v(x)}}\\&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}}
Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das die Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind:
Otto Forster : Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2 , S. 155–157 (Auszug (Google) )Konrad Königsberger : Analysis 1 . Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4 , S. 129Harro Heuser : Lehrbuch der Analysis. Teil 1 . Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9 ), S. 270–271 (Auszug (Google) )