Reconstruction, subdivision and multiresolution algorithms in several dimensions

• Autores: José Antonio Padilla Solano
• Directores de la Tesis: Juan Carlos Trillo Moya (dir. tes.), Juan Ruiz Álvarez (codir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Politécnica de Cartagena ( España ) en 2025
• Idioma: español
• Número de páginas: 106
• Títulos paralelos:
  • Algoritmos de reconstrucción, subdivisión y multirresolución en varias dimensiones
• Tribunal Calificador de la Tesis: Sergio Amat Plata (presid.), Vicente Francisco Candela Pomares (secret.), Neus Garrido Sáez (voc.)
• Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Tecnologías Industriales por la Universidad Politécnica de Cartagena
• Materias:
  • Matemáticas
    • Análisis numérico
      • Construcción de algoritmos
      • Interpolación aproximación y ajuste de curvas
      • Cuadratura
  • Ciencias tecnológicas
    • Tecnología naval
      • Arquitectura naval
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Repositorio Digital de la UPCT
• Resumen
  • español

    Resumen de la tesis:

    Introducción: En esta tesis se presentan varios avances en la temática de las reconstrucciones no lineales, y en los esquemas de subdivisión y de multirresolución derivados de estos. También están presentes posibles aplicaciones, entre ellas la integración numérica.

    Objetivos: Este proyecto de tesis aborda los siguientes objetivos: -Desarrollo de una teoría específica para algoritmos de multirresolución con estrategias de control del error. Programación de los códigos necesarios para su correcta implementación.

    -Extensión a mallados no uniformes del artículo "Interpolation and approximation of piecewise smooth functions". Se trata de una técnica de detección de singularidades y de aproximación de funciones con discontinuidades en la primera derivada original de los autores F. Arándiga, A. Cohen, R. Donat y N. Dyn.

    -Definición y estudio de una técnica de reconstrucción de cualquier orden deseado basada en interpolación segmentaria de Hermite combinada con un algoritmo de detección de discontinuidades.

    -Análisis de la fórmula del error de las reglas de Newton Cotes cerradas para integración numérica. Estudio del Núcleo de Peano versus otras técnicas que no son apropiadas para métodos de alto orden de aproximación.

    Metodología: La metodología utilizada sigue las prácticas habituales en ciencia. Inicialmente, se realiza una revisión del estado del arte, analizando los métodos existentes e identificando sus fortalezas y limitaciones. Luego, se introduce y analiza en profundidad la nueva idea, proporcionando pruebas teóricas para sustentar las principales propiedades del método numérico propuesto. A continuación, se realizan experimentos numéricos para demostrar la aplicabilidad práctica y la efectividad del método propuesto, comparando los resultados con las técnicas existentes para ilustrar las mejoras y ventajas.

    Resultados Principales y Conclusiones: La tesis introduce y analiza cuatro técnicas numéricas: -Algoritmos de multirresolución N-dimensional para la discretización de valores puntuales, con y sin estrategias de control de errores, derivando límites explícitos de estabilidad en las normas l1, l2 y linf. Los algoritmos de control de errores permiten especificar la calidad de los datos reconstruidos y habilitan el uso de esquemas no lineales que de otro modo serían inestables. Es importante destacar que las reconstrucciones no lineales estables funcionan mejor en presencia de discontinuidades. Los experimentos muestran que, aunque los algoritmos de control de errores requieren más esfuerzo computacional, el aumento no es significativamente alto.

    -Extensión de un mecanismo de detección de esquinas a mallas cuasi-uniformes sigma, conórdenes de aproximación teóricos confirmados a través de experimentos numéricos.

    -Definición de un algoritmo de reconstrucción combinado que involucra detección de esquinas y reconstrucción segmentaria de Hermite, manteniendo el mismo orden de aproximación que el método original, con experimentos numéricos que confirman los resultados teóricos.

    -Examen de la incompletitud en la prueba extendida de las fórmulas de error de Newton-Cotes cerradas para la integración numérica, enfatizando la importancia de argumentos lógicos rigurosos.

    http://repositorio.bib.upct.es/dspace/

  • English

    Introduction. This thesis presents advances in nonlinear reconstructions, subdivision, and multiresolution schemes, with applications including numerical integration. Objectives. The thesis addresses the following objectives: • Develop a theory for multiresolution algorithms with error control strategies and implement the necessary codes. • Extend the technique for singularity detection and approximation of functions with disconti-nuities in the first derivative to non-uniform meshes, based on the work by F. Ar`andiga, A. Cohen, R. Donat, and N. Dyn. • Define and study a reconstruction technique of any desired order using Hermite segmentary interpolation combined with a discontinuity detection algorithm. • Analyze the error formula of the closed Newton-Cotes rules for numerical integration and study the Peano Kernel versus other techniques unsuitable for high-order approximation methods. Methodology. The methodologies follow standard scientific practices. Initially, a review of state-of-the-art techniques is conducted to establish the research landscape, analyzing existing methods and identifying their strengths and limitations. The new idea is then introduced and analyzed in-depth, with theoretical proofs provided to substantiate the main properties of the proposed numerical method. Numerical experiments are performed to demonstrate the practical applicability and effectiveness of the proposed method, comparing results with existing techniques to illustrate improvements and advantages. Main Results and Conclusions. The thesis introduces and analyzes four numerical techniques: • N-dimensional multiresolution algorithms for point value discretization, with and without error control strategies, deriving explicit stability error bounds in the l1, l2, and l∞ norms. Error control algorithms allow specifying the quality of reconstructed data and enable the use of otherwise unstable nonlinear schemes. Implementation instructions highlight that nonlinear stable reconstructions perform better with discontinuities. Experiments show that while error control algorithms require more computational effort, the increase is not significantly high. • Extension of a corner detection mechanism to σ quasi-uniform grids, with theoretical approximation orders confirmed through numerical experiments. • Definition of a combined reconstruction algorithm involving corner detection and piecewise Hermite reconstruction, maintaining the same approximation order as the original method, with numerical experiments confirming theoretical results. • Examination of the incompleteness in the extended proof of closed Newton-Cotes error formulas for numerical integration, emphasizing the importance of rigorous logical arguments.