Infimum

Στα Μαθηματικά το infimum ενός υποσυνόλου κάποιου συνόλου είναι το μεγαλύτερο στοιχείο, που δεν περιέχεται απαραίτητα στο υποσύνολο, το οποίο είναι μικρότερο ή ίσο με όλα τα στοιχεία του υποσυνόλου. Infimum για πραγματικούς αριθμούς είναι μια συνηθισμένη υποπερίπτωση η οποία είναι πολύ σημαντική για τα μαθηματικά και ειδικότερα για την ανάλυση.

To Infimum είναι δυϊκό με το Supremum.

Infimum για πραγματικούς Αριθμούς

Στην ανάλυση το infimum ή μεγαλύτερο κάτω πέρας ενός υποσυνόλου S από πραγματικούς αριθμούς συμβολίζεται με το inf(S) και είναι ορισμένο να είναι ο μεγαλύτερος πραγματικός αριθμός ο οποίος είναι μικρότερος ή ίσος με κάθε αριθμό που περιέχεται στο S. Αν δεν υπάρχει κανένας τέτοιος αριθμός στο S (επειδή το S δεν είναι φραγμένο από κάτω), τότε ορίζουμε να είναι inf(S) = −∞. Αν S είναι κένο, ορίζουμε inf(S) = ∞.

Μια σημαντική ιδιότητα των πραγματικών αριθμών είναι ότι κάθε σύνολο πραγματικών αριθμών έχει infimum. (κάθε φραγμένο μη-κενό υποσύνολο των πραγματικών αριθμών έχει ένα Infimum στο σύνολο των όχι-επεκτεταμένων πραγματικών αριθμών).

Παραδείγματα:

$\inf\{1,2,3\}=1.$

$\inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.$

$\inf\{x\in \mathbb {R} :x^{3}>2\}=2^{1/3}.$

$\inf\{(-1)^{n}+1/n:n=1,2,3,\dots \}=0.$

Αν το σύνολο έχει ένα ελάχιστο στοιχείο, όπως το πρώτο παράδειγμα, τότε, το ελάχιστο αυτό στοιχείο είναι το infimum του συνόλου. Όπως βλέπουμε στα τρία υπόλοιπα παραδείγματα, το infimum δεν ανήκει υποχρεωτικά στο σύνολο.

Όπως είπαμε το infimum και το supremum είναι έννοιες δυικές, δηλαδή:

$\inf(S)=-\sup(-S)$,

Όπου $-S=\{-s|s\in S\}$.

Γενικά, για να δείξουμε ότι inf(S) ≥ A, αρκεί να δείξουμε ότι x ≥ A για κάθε x που ανήκει στο S. Το να δείξουμε ότι inf(S) ≤ A είναι δυσκολότερο: για κάθε ε > 0, πρέπει να βρούμε ένα στοιχείο x του S τέτοιο ώστε x ≤ A + ε (Φυσικά, αν μπορείς να βρείς ένα στοιχείο x του S που να ικανοποιεί: x ≤ A, έχεις τελειώσει).