Bipirámide

Bipirámides
	; Bipirámide hexagonal recta
Caras	2n triángulos
Polígonos que forman las caras	Triángulos
Aristas	3n
Vértices	n + 2
Grupo de simetría	Dnh
Poliedro dual	Prisma n-gonal
Símbolo de Schläfli	{ } + {n}
Símbolo de Coxeter-Dynkin
Propiedades
	Poliedro convexo, poliedro de caras uniformes
Desarrollo
	[editar datos en Wikidata]

Una bipirámide (o dipirámide) n-gonal es un poliedro formado por la reunión base con base de una pirámide n-gonal con su simétrica respecto al plano de la base. El n-gono de la bipirámide hace referencia a la figura 2D formada por la base que une las dos mitades piramidales simétricas respecto a su plano común.^[3]

Las bipirámides de caras isohédricas son los poliedros duales de prismas uniformes y suelen tener caras en forma de triángulo isósceles.

Clasificación

Las bipirámides se clasifican según el número de ángulos de su plano central (de simetría).

Bipirámide triangular – 6 caras – dual: Prisma triangular
Octaedro (bipirámide cuadrilátera) – 8 caras – dual: Ortoedro
Bipirámide pentagonal – 10 caras – dual: Prisma pentagonal
Bipirámide hexagonal – 12 caras – dual: Prisma hexagonal
Bipirámide heptagonal – 14 caras – dual: Prisma heptagonal
Bipirámide octogonal – 16 caras – dual: Prisma octogonal
Bipirámide eneagonal – 18 caras – dual: Prisma eneagonal
Bipirámide decagonal – 20 caras – dual: Prisma decagonal

3	4	5	6	8	10

Geometría

Volumen

El volumen de una bipirámide (simétrica) se calcula mediante la fórmula:

V={\frac {2}{3}}Bh\,,

donde $B$ es el área de la base y $h$ la altura desde el plano de la base hasta uno de los vértices.

La fórmula funciona para cualquier forma de la base y para cualquier ubicación del vértice, siempre que $h$ se mida como la distancia en perpendicular desde el plano que contiene el polígono por el que se unen las dos pirámides.

Por eso, el volumen de una bipirámide (simétrica) cuya base es un polígono regular de $n$ lados con una longitud de lado $s$ y cuya altura es $h$ se calcula mediante la fórmula:

V={\frac {n}{6}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}\,.

Área lateral

Por otro lado, para una bipirámide recta, el área de su superficie lateral es:

SA=ns{\sqrt {p^{2}+h^{2}}}

donde $p$ es la longitud de la apotema del polígono de la base común.

Ambas fórmulas se deducen directamente de duplicar las correspondientes a la pirámide.^[4]

Bipirámides rectas "regulares"

Una bipirámide "recta" tiene sus dos vértices contenidos en una recta perpendicular (formando un ángulo recto) al plano de la base, y situados uno por encima y otro por debajo del centroide de su base poligonal.

Una bipirámide "regular" tiene una base poligonal regular. Por lo general, se implica que también es una bipirámide "recta".

Una bipirámide regular recta (simétrica) n-gonal tiene el símbolo de Schläfli { } + {n}.

Una bipirámide recta (simétrica) tiene el símbolo de Schläfli { } + P para la base formada por el polígono P.

La bipirámide n-gonal recta "regular" (por lo tanto isoedral) con vértices regulares^[2] es la figura dual de un prisma uniforme n-gonal (por lo tanto, recto), y tiene caras congruentes con forma de triángulo isósceles.

Una bipirámide n-gonal recta (simétrica) "regular" puede ser proyectada en una esfera o globo terráqueo como una bipirámide esférica n-gonal recta (simétrica) "regular", generando n líneas meridianas equiespaciadas que van de polo a polo, y una línea ecuatorial que las biseca.

Clasificación de Coxeter-Dynkin

De acuerdo con sus propiedades de simetría, las distintas bipirámides se denotan con los siguientes diagramas de Coxeter-Dynkin:

Bipirámides n-gonales rectas y regulares (simétricas):
Nombre de la bipirámide	Bipirámide digonal	Bipirámide triangular (véase: J₁₂)	Octaedro (véase: O)	Bipirámide pentagonal (véase: J₁₃)	Bipirámide hexagonal	Bipirámide heptagonal	Bipirámide octogonal	Bipirámide	Bipirámide decagonal	...	Bipirámide apeirogonal
Imagen del poliedro										...
Imagen del poliedro esférico										Imagen del teselado
Configuración de vértices	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	...	V∞.4.4
Diagrama de Coxeter-Dynkin										...

Bipirámides de triángulos equiláteros

Solo tres tipos de bipirámides pueden tener todas las aristas de la misma longitud (lo que implica que todas sus caras son triángulos equiláteros y, por lo tanto, la bipirámide es un deltaedro): las bipirámides "regulares" rectas (simétricas) triangulares, tetragonales y pentagonales. La bipirámide tetragonal o cuadrada con aristas de igual longitud, el octaedro, es uno de los sólidos platónicos; las bipirámides triangulares y pentagonales con aristas de la misma longitud forman parte de los sólidos de Johnson (J₁₂ y J₁₃).

Bipirámides de triángulos equiláteros::
Nombre de la bipirámide recta "regular" (simétrica)	Bipirámide triangular (J₁₂)	Bipirámide tetragonal (Octaedro regular)	Bipirámide pentagonal (J₁₃)
Imagen de la bipirámide

Simetría caleidoscópica

Una bipirámide "regular" recta (simétrica) n-gonal tiene el grupo simetría diédrica D_nh, de orden 4n, excepto en el caso de un octaedro regular, que pertenece al grupo de simetría octaédrica más grande O_h, de orden 48, que tiene tres versiones de D_4h como subgrupos. El grupo de rotación es D_n, de orden 2n, excepto en el caso de un octaedro regular, que tiene el grupo de rotación mayor O, de orden 24, que tiene tres versiones de D₄ como subgrupos.

Las 4n caras triangulares de una bipirámide recta "regular" (simétrica) 2n-gonal, proyectada como las 4n caras triangulares esféricas de una bipirámide esférica 2n-gonal recta (simétrica) "regular", representan los dominios fundamentales de la simetría diédrica en tres dimensiones: D_nh, [n,2 ], (*n22), orden 4n. Estos dominios se pueden mostrar como triángulos esféricos de colores alternativos:

En un plano de reflexión a través de bordes cocíclicos, los dominios de imagen especular están en diferentes colores (isometría indirecta).
Sobre un eje de rotación n' que pasa por 'vértices opuestos, un dominio y su imagen tienen el mismo color (isometría directa).

Una bipirámide n-gonal (simétrica) puede verse como el kleetopo del diedro n-gonal correspondiente.

Dominios fundamentales de la simetría diédrica en tres dimensiones:
D_nh	D_1h	D_2h	D_3h	D_4h	D_5h	D_6h	...
Imagen de los dominios fundamentales							...

Bipirámides oblicuas

Las bipirámides no rectas se denominan bipirámides oblicuas. Se caracterizan porque la recta que pasa por los dos vértices y por el centroide de la base, no es perpendicular al plano de la base.

Bipirámides cóncavas

Ejemplo de bipirámide tetragonal cóncava (simétrica) (*)

Una bipirámide cóncava tiene una base poligonal cóncava. En la figura de la derecha, (*) la base no posee un centroide evidente; si sus vértices no están "justo" arriba y abajo del centro de gravedad de su base, no es una bipirámide "recta". De todos modos, es un octaedro cóncavo.

Bipirámides rectas asimétricas/invertidas

Asimétrica	Invertida

Una bipirámide recta asimétrica es la unión base con base de dos pirámides rectas con bases congruentes, pero con alturas desiguales de los vértices a la base.

Una bipirámide recta invertida es la unión base con base de dos pirámides rectas con bases congruentes pero alturas desiguales, pero del mismo lado de su base común.

El dual de una bipirámide recta asimétrica o invertida es un tronco.

Una bipirámide "regular" asimétrica/invertida recta n-gonal tiene un grupo de simetría C_nv, de orden 2n.

Bipirámides con triángulos escalenos

Una bipirámide di-n-gonal "isotoxal" recta (simétrica) es una bipirámide 2n-gonal recta (simétrica) con un polígono plano isotoxal como base: sus 2n vértices alrededor de los lados son coplanares, pero se alternan con dos radios distintos (como por ejemplo, en el caso de un rombo).

Una bipirámide isotoxal recta (simétrica) di-n-gonal tiene n ejes de rotación dobles a través de los vértices alrededor de los lados, n planos de reflexión a través de los dos vértices de las pirámides y pares de puntos de la base, n rotaciones de superposición alrededor del eje que pasa a través de los ápices, un plano de reflexión a través de la base, y un eje de roto-reflexión de n lóbulos que pasa a través de los ápices,^[5] que representa el grupo de simetría D_nh, [n,2], (*22 n), de orden 4n (la reflexión en el plano base corresponde a la roto-reflexión de 0°. Si n es par, hay una simetría alrededor del centro, correspondiente a la roto-reflexión de 180°).

Todas sus caras son triángulos congruentes, y es una figura isoedral. Puede verse como un tipo de escalenoedro di-n-gonal recto "simétrico".

Nota: Para dos alturas de vértice particulares como máximo, las caras de los triángulos pueden ser isósceles, como se demuestra a continuación con un ejemplo numérico sencillo.

Ejemplo 1:

Sea una pirámide de base rómbica, cuyas semidiagonales miden 3 y 4 unidades. En consecuencia, el lado del rombo mide:

l={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5

Ahora, si se desea que la arista que une uno de los vértices del rombo con el ápice de la pirámide, mida lo mismo que el lado del rombo (para obtener así un triángulo isósceles), se debe formar un triángulo rectángulo del que se conoce un cateto (cualquiera de las semidiagonales del rombo) y su hipotenusa (la longitud

l

), lo que permite calcular la altura del ápice

h

sobre la base:

h_{1}={\sqrt {5^{2}-4^{2}}}={\sqrt {9}}=3

h_{2}={\sqrt {5^{2}-3^{2}}}={\sqrt {16}}=4

Ejemplo 2:

La bipirámide "isotoxal" recta (simétrica) "didigonal" (*) con vértices base:

U = (1,0,0), U′ = (−1,0,0), V = (0,2,0), V′ = (0,−2,0),

y con ápices:

A = (0,0,1), A′ = (0,0,−1),

tiene dos longitudes de borde diferentes:

UV = UV′ = U′V = U′V′ = √5,

AU = AU′ = A′U = A′U′ = √2,

AV = AV′ = A′V = A′V′ = √5;

así, todas sus caras triángulos isósceles.

La bipirámide "isotoxal" recta (simétrica) "digonal" (*) con los mismos vértices de base, pero con altura de vértice: 2, también tiene dos longitudes de arista diferentes: √5 y 2√2.

En cristalografía, existen bipirámides "isotoxales" rectas (simétricas) didigonales (de 8 caras), ditrigonales (de 12 caras), ditetragonales (de 16 caras) y dihexagonales (de 24 caras).^[5]^[6]

(*) Las bipirámides geométricas di-n-gonales más pequeñas tienen ocho caras y son topológicamente idénticas al octaedro regular. En este caso (2n = 2×2):
una bipirámide "isotoxal" recta (simétrica) "didigonal" se denomina bipirámide rómbica,^[5]^[6] aunque todas sus caras son triángulos escalenos, porque su base poligonal plana es un rombo.

Escalenoedros

Un escalenoedro "regular" recto "simétrico" di-n-gonal se puede generar con una base en forma de polígono en zizzag 2n-gono regular y dos vértices simétricos rectos situados arriba y debajo del centro de la base, y caras triangulares que conectan cada lado de la base con cada vértice.

Tiene dos ápices y 2n vértices alrededor de los lados, 4n caras y 6n aristas; es topológicamente idéntico a una bipirámide 2n-gonal, pero sus 2n vértices se alternan en dos anillos situados por encima y por debajo del centro.^[6]

Un escalenoedro di-n-gonal recto "regular" "simétrico" tiene n ejes de rotación dobles a través de los bordes medios alrededor de los lados, n planos de reflexión a través de los vértices y ápices, un eje de rotación de n lóbulos a través de los ápices, y un eje de roto-reflexión de 'n' lóbulos a través de los ápices,^[5] que representa el grupo de simetría D_nv = D_nd, [2⁺,2n], (2*n ), de orden 4n. Si n es impar, existe una simetría alrededor del centro, correspondiente a la roto-reflexión de 180°.

Todas sus caras son triángulos congruentes entre sí, y es una figura isoedral. Puede verse como otro tipo de bipirámide recta "simétrica" 2n-gonal, con base un polígono regular con vértices dispuestos en zigzag.

Nota: Para dos alturas de vértice particulares como máximo, las caras triangulares pueden ser isóceles.

En cristalografía, existen escalenoedros "regulares" rectos "simétricos" "didigonales" (de 8 caras) y ditrigonales (de 12 caras).^[5]^[6]

Los escalenoedros geométricos más pequeños tienen ocho caras y son topológicamente idénticos a los octaedros regulares. En este caso (2n = 2×2):
un escalenoedro "regular" recto "simétrico" "didigonal" se llama escalenoedro tetragonal;^[5]^[6] sus seis vértices se pueden representar como (0,0,±1), (±1,0,z), (0,±1,−z), donde z es un parámetro entre 0 y 1; en z = 0, es un octaedro regular; en z = 1, es un disfenoide con todas las caras coplanares fusionadas (cuatro triángulos isósceles congruentes); para z > 1, se vuelve cóncavo.

Variaciones geométricas del escalenoedro de 8 caras "regular" recto "simétrico":
z = 0.1	z = 0.25	z = 0.5	z = 0.95	z = 1.5

Nota: Si la base de 2n-gon es isotoxal in-out y zigzag sesgada, entonces no todas las caras triangulares del sólido "isotoxal" recto "simétrico" son congruentes.

Ejemplo:

El sólido con vértices de base de isotoxal in-out zigzag sesgado 2 × 2-gon:

U = (1,0,1), U′ = (−1,0,1), V = (0,2,−1), V′ = (0,−2,−1),

y con ápices simétricos "derechos":

A = (0,0,3), A′ = (0,0,3),

tiene cinco longitudes de borde diferentes:

UV = UV′ = U′V = U′V′ = 3,

AU = AU′ = √5,

AV = AV′ = 2√5,

A′U = A′U′ = √17,

A′V = A′V′ = 2√2;

así no todas sus caras triangulares son congruentes.

Bipirámides estrelladas "regulares"

Una bipirámide con auto-intersección o en estrella' tiene una base en forma de polígono estrellado.

Se puede generar una bipirámide estrellada "regular" recta simétrica con un polígono estrellado regular como base, dos ápices simétricos rectos situados arriba y debajo del centro de la base, y, por lo tanto, caras triangulares "simétricas" una a una que conectan cada lado de la base con cada vértice.

Una bipirámide estrellada simétrica recta "regular" tiene caras triangulares isósceles congruentes y es una figura isoedral.

Nota: Para una altura de vértice determinada como máximo, las caras de los triángulos pueden ser equiláteras.

Una bipirámide {p/q} tiene un diagrama de Coxeter-Dynkin .

Ejemplo de bipirámides estrelladas simétricas rectas "regulares":
Base poligonal estrellada	5/2-gono	7/2-gono	7/3-gono	8/3-gono	9/2-gono	9/4-gono
Imagen de la bipirámide estrellada
Coxeter diagram

Ejemplos de bipirámides estrelladas simétricas rectas "regulares":
Base poligonal estrellada	10/3-gono	11/2-gono	11/3-gono	11/4-gono	11/5-gono	12/5-gono
Imagen de la bipirámide estrellada
Diagrama de Coxeter

Bipirámides estrelladas con triángulos escalenos

Se puede generar una bipirámide estrellada "isotoxal" simétrica recta 2p/q-gonal con una estrella isotoxal dentro-fuera 2p/q-gonal como base, dos ápices simétricos rectos por arriba y por debajo del centro de la base y, por lo tanto, caras triangulares simétricas una a una que conectan cada borde de la base con cada ápice.

Una bipirámide estrellada "isotoxal" simétrica recta 2p/q-gonal tiene caras triangulares congruentes escalenas, y es una figura isoedral. Puede verse como otro tipo de escalenoedro estrellado 2p/q-gonal recto "simétrico".

Nota: Para dos alturas de vértice particulares como máximo, las caras de los triángulos pueden ser isóceles.

Ejemplo de bipirámide estrellada simétrica recta "isotoxal":
Polígono en estrella de la base	Entrada-salida 8/3-gono isotoxal
Imagen de una bipirámide estrellada con triángulos escalenos

Escalenoedros estrellados

Un escalenoedro estrellado "regular" recto "simétrico" 2p/q-gonal se puede generar con una estrella regularen zigzag 2p/q-gonal como base, dos ápices simétricos por encima y por debajo del centro de la base, y caras triangulares que conectan cada lado de la base con cada ápice.

Un escalenoedro estrellado "regular" recto "simétrico" con un 2p/q-gono como base, tiene caras en forma de triángulos escalenos congruentes, y es una figura isoedral. Puede verse como otro tipo de bipirámide estrellada 2p/q-gonal recta "simétrica", con un polígono estrellado regular alabeado en zigzag como base.

Nota: Para dos alturas de vértice particulares como máximo, las caras triangulares pueden ser isósceles.

Ejemplo de escalenoedro estrellado "regular" recto "simétrico":
Polígono estrellado base	Zigzag alabeado regular 8/3-gono
Imagen de un escalenoedro estrellado

Nota: Si la base de la estrella 2p/q-gon es isotoxal dentro-fuera y en zigzag alabeado, entonces no todas las caras triangulares del poliedro estrellado "isotoxal" "simétrico" y recto son congruentes.

Ejemplo de poliedro estrellado "isotoxal" recto "simétrico":
Polígono estrella base	Isotoxal dentro-fuera zigzag alabeado 8/3-gono
Imagen de un poliedro estrellado

Con vértices en la base:

U₀ = (1,0,1), U₁ = (0,1,1), U₂ = (−1,0,1), U₃ = (0,−1,1),

V₀ = (2,2,−1), V₁ = (−2,2,−1), V₂ = (−2,−2,−1), V₃ = (2,−2,−1),

y con ápices:

A = (0,0,3), A′ = (0,0,−3),

tiene cuatro longitudes de arista diferentes:

U₀V₁ = V₁U₃ = U₃V₀ = V₀U₂ = U₂V₃ = V₃U₁ = U₁V₂ = V₂U₀ = √17,

AU₀ = AU₁ = AU₂ = AU₃ = √5,

AV₀ = AV₁ = AV₂ = AV₃ = 2√6,

A′U₀ = A′U₁ = A′U₂ = A′U₃ = √17,

A′V₀ = A′V₁ = A′V₂ = A′V₃ = 2√3;

por tanto, no todas sus caras triangulares son congruentes.

4-politopos con celdas bipiramidales

El dual de la rectificación de cada 4-politopo regular convexo es un polícoro isoedral con celdas bipiramidales. Los ápices de la bipirámide se denotan por A, y los vértices del ecuador por E. La distancia entre vértices adyacentes en el ecuador EE = 1, una arista del ecuador a un ápice es AE y la distancia entre los ápices es AA. El 4-politopo bipiramidal tendrá V_A vértices donde se encuentran los ápices de N_A bipirámides. Tendrá V_E vértices donde se encuentran los vértices de tipo E de N_E bipirámides. N_AE bipirámides se encuentran en cada arista del tipo AE. N_EE bipirámides se encuentran en cada borde tipo EE. C_AE es el coseno del ángulo diedro en una arista AE. C_EE es el coseno de ángulo diedro en una arista EE. Como las celdas deben caber alrededor de una arista, N_AA cos⁻¹(C_AA) ≤ 2Π, N_AE cos⁻¹(C_AE) ≤ 2Π.


Propiedades del 4-politopo									Propiedades de las bipirámides
Dual de	Diagrama de Coxeter	Celdas	V_A	V_E	N_A	N_E	N_AE	N_EE	Celdas	Diagrama de Coxeter	AA	AE**	C_AE	C_EE
5-celdas rectificado		10	5	5	4	6	3	3	Bipirámide triangular		${\textstyle {\frac {2}{3}}}$	0,667	${\textstyle -{\frac {1}{7}}}$	${\textstyle -{\frac {1}{7}}}$
Teseracto rectificado		32	16	8	4	12	3	4	Bipirámide triangular		${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{3}}}$	0,624	${\textstyle -{\frac {2}{5}}}$	${\textstyle -{\frac {1}{5}}}$
24-celdas rectificado		96	24	24	8	12	4	3	Bipirámide triangular		${\textstyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}}$	0,745	${\textstyle {\frac {1}{11}}}$	${\textstyle -{\frac {5}{11}}}$
120-celdas rectificado		1200	600	120	4	30	3	5	Bipirámide triangular		${\textstyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{3}}}$	0,613	${\textstyle -{\frac {10+9{\sqrt {5}}}{61}}}$	${\textstyle -{\frac {7-12{\sqrt {5}}}{61}}}$
16 celdas rectificado		24*	8	16	6	6	3	3	Octaedro		${\textstyle {\sqrt {2}}}$	1	${\textstyle -{\frac {1}{3}}}$	${\textstyle -{\frac {1}{3}}}$
Panel de abeja cúbico rectificado		∞	∞	∞	6	12	3	4	Octaedro		${\textstyle 1}$	0,866	${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$	${\textstyle 0}$
600-celdas rectificado		720	120	600	12	6	3	3	Bipirámide pentagonal		${\textstyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{5}}}$	1,447	${\textstyle -{\frac {11+4{\sqrt {5}}}{41}}}$	${\textstyle -{\frac {11+4{\sqrt {5}}}{41}}}$

* El politopo de 16-celdas rectificado es el politopo de 24-celdas normal y los vértices son todos equivalentes – los octaedros son bipirámides regulares.

** Dado en forma de cifra debido a la complejidad de la fórmula correspondiente.

Dimensiones superiores

En general, una bipirámide puede verse como un n-politopo construido con un (n − 1)-politopo en un hiperplano con dos puntos en direcciones opuestas, a igual distancia perpendicularmente al hiperplano. Si el politopo (n − 1) es un politopo regular, tendrá caras piramidales idénticas. Un ejemplo es el hexadecacoron, que es una bipirámide octaédrica y, más generalmente, un n-ortoplex es una (n − 1)-ortoplex bipirámide.

Una bipirámide bidimensional es un rombo.

Véase también

Referencias

↑ ^a ^b N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c
↑ ^a ^b «duality». maths.ac-noumea.nc. Consultado el 5 de noviembre de 2020.
↑ Resources for Teaching Discrete Mathematics: Classroom Projects, History Modules, and Articles. MAA. 2009. pp. 100 de 323. ISBN 9780883851845. Consultado el 11 de enero de 2022.
↑ Efraín Soto Apolinar (2019). Áreas y volúmenes. Efrain Soto Apolinar. pp. 31 de 41. Consultado el 10 de enero de 2022.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f «Crystal Form, Zones, Crystal Habit». Tulane.edu. Consultado el 16 de septiembre de 2017.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e «The 48 Special Crystal Forms». 18 de septiembre de 2013. Archivado desde el original el 18 de septiembre de 2013. Consultado el 18 de noviembre de 2020.

Bibliografía

Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Capítulo 4: Duales de los poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Bipirámide.
Weisstein, Eric W. «Dipyramid». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Isohedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Los poliedros uniformes
Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
- Modelos VRML (George Hart) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
  - Notación de Conway para Poliedros Try: "dPn", donde n = 3, 4, 5, 6,... el ejemplo "dP4" es un octaedro.

Datos: Q2076140
Multimedia: Bipyramids / Q2076140

[#1-1] N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c

[:0-2] «duality». maths.ac-noumea.nc. Consultado el 5 de noviembre de 2020.

[TD-3] Resources for Teaching Discrete Mathematics: Classroom Projects, History Modules, and Articles. MAA. 2009. pp. 100 de 323. ISBN 9780883851845. Consultado el 11 de enero de 2022.

[ESA-4] Efraín Soto Apolinar (2019). Áreas y volúmenes. Efrain Soto Apolinar. pp. 31 de 41. Consultado el 10 de enero de 2022.

[:2-5] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f «Crystal Form, Zones, Crystal Habit». Tulane.edu. Consultado el 16 de septiembre de 2017.

[:3-6] «The 48 Special Crystal Forms». 18 de septiembre de 2013. Archivado desde el original el 18 de septiembre de 2013. Consultado el 18 de noviembre de 2020.

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