Relación de congruencia (matrices)

En matemáticas la congruencia ^[1] es una relación de equivalencia que se establece entre matrices cuadradas del mismo orden. Se dice que dos matrices A y B, de orden n, son congruentes si existe una matriz regular (que tiene inversa, o determinante distinto de cero), P, llamada también matriz de paso, tal que:

A=P^tBP

Donde "t" denota a la matriz traspuesta. Además las matrices congruentes son matrices equivalentes por lo que tienen el mismo rango.

Veamos que es una relación de equivalencia.

- Propiedad Reflexiva: Sea I la matriz identidad del mismo orden que A. Entonces A=I^tAI, entonces A es congruente consigo misma.

- Propiedad Simétrica: Sean A y B dos matrices de orden n, congruentes con matriz de paso P. Como A es congruente con B, tenemos que:

A=P^tBP

Multiplicando por la inversa de P^t, (P^-1)^t, ya que las operaciones inversa y traspuesta son conmutativas, por la izquierda a ambos lados de la igualdad, y por la inversa de P, P^-1 por la derecha a ambos lados de la igualdad, obtenemos la siguiente igualdad:

(P^-1)^tAP^-1=(P^-1)^tP^tBPP^-1

o lo que es lo mismo:

(P^-1)^tAP^-1=B

con lo cual, B es congruente con A con matriz de paso P^-1, cuya existencia viene garantizada por hipótesis, ya que es una matriz regular.

- Propiedad Transitiva: Si tenemos dos matrices A y B de orden n, tal que A es congruente con B con matriz de paso P, y dada una tercera matriz C, de orden n, que es congruente con B, con matriz de paso Q, veamos que C es congruente con A.

A=P^tBP y B=Q^tCQ

sustituyendo B de la primera igualdad obtenemos esta nueva igualdad:

A=P^t(Q^tCQ)P=(QP)^tC(QP)

con lo que podemos concluir que A es congruente con C con matriz de paso QP, ya que (QP)^t=P^tQ^t

Una propiedad que cumplen las matrices congruentes es que tiene el mismo rango, o lo que es equivalente, el mismo número de filas (columnas) linealmente independientes.

Dada una matriz simétrica y real A puede encontrarse siempre una matriz diagonal D de manera que A y D sean congruentes. A este procedimiento se le denomina diagonalización por congruencia. Además la matriz diagonal puede elegirse de forma que los elementos en la diagonal sean solo 1,-1 o 0.

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