Retos matemáticos con soluciones

Capítulo 1: Concurso Matenet 2000

Problema 1.1

En una finca, cuya planta tenía la forma de un trapecio PQRS (ver figura, que no ha sido dibujada a escala), se enterró un tesoro exactamente bajo el poste (situado en el punto interior T) común a dos vallados internos, AQTB y TCDS, de forma cuadrada y dispuestos como se indica en la figura.

Con el paso del tiempo y el abandono de la finca, sólo quedaron los postes situados en Q y S, cuya distancia entre ellos es de 100 metros. Todas las demás indicaciones habían desaparecido. Pero alguien recuerda que el área de la finca era de 12.500 metros cuadrados y que el tesoro estaba enterrado más cerca de S que de Q. ¿A qúe distancia de Q en metros, se encuentra el tesoro escondido?

Solución

Notación: a = QT, b = TS, f = PQ, h = RS.

La distancia QS (100 m) puede expresarse como suma de las distancias QT y TS, esto es

El área de la finca (12.500 m2) puede calcularse en función de las bases del trapecio: las distancias PQ y RS y la altura QS

Los triángulos BTS y PQS son semejantes por ser los segmentos PQ y BC paralelos. Se tiene entonces

Análogamente, los triángulos QCT y QRS son también semejantes porque los segmentos QS y CD son paralelos, luego

Igualando los segundos miembros de (1.3) y (1.4)

Al resolver el sistema formado por (1.2) y (1.5), se obtienen dos soluciones:

Se concluye entonces que

es la distancia de Q al tesoro, esto es, la solución del problema.

Problema 1.2

Dos amigos A y B salen de sus respectivas casas y se ponen a correr en el mismo instante, con sus relojes marcando en ese preciso momento exactamente las doce del mediodía. Ambos corren a velocidad constante, en línea recta, cada uno en la dirección de la casa del otro, con ánimo de encontrarse en un lugar intermedio.

Resulta que A corre a velocidad doble de la velocidad de B. Se encuentran media hora despúes de haber salido y en ese momento el reloj de A (que funciona bien) marca, como es lógico, las doce horas y treinta minutos, mientras que el reloj de B (que adelanta) marca las doce horas y treinta y un minutos. Despúes regresa cada uno a su propia casa.

Al día siguiente, A y B tratan de repetir la misma operación. B pone en hora su reloj, justamente a las doce horas del mediodía (de modo que los relojes de A y B en ese momento marcan otra vez lo mismo) y sale corriendo en ese instante en dirección de la casa de A, con la misma velocidad que el día anterior. Sin embargo A retrasa su salida 15 minutos y corre en dirección de la casa de B, en esta ocasión, a la mitad de la velocidad de B.

¿Qúe hora marcará el reloj de B cuando A y B se encuentren?

Solución

Notación: d =distancia entre las casas de A y B, v =velocidad de B.

En la primera carrera, la distancia d se puede expresar como suma de las

distancias recorridas por A y B, esto es,

En la segunda carrera, si t indica el tiempo (en minutos) que, a partir de las 12 horas, A y B tardan en encontrarse, resulta

Resolviendo el sistema formado por (1.6) y (1.7), se obtiene t = 65 min.

De la primera carrera, se deduce que el reloj de B adelanta un minuto cada 30 minutos. Luego en 65 minutos habrá adelantado 65/30 minutos, es decir, 2 minutos y 10 segundos. Por tanto, la hora marcada por B en el momento del encuentro con A será (13 horas y 5 min) + (2 min y 10 s) = 13 horas, 7 min y 10 s.

Problema 1.3

De una función real y = f(x), de variable real,

con a y b parámetros racionales, a > 0, b > 0, se sabe que para

la función tiene uno de sus puntos de inflexión. Hállese el cociente

entre los valores máximo M, y mínimo m, de f(x).

Ayuda: De una identidad de la forma

donde p, q, r, s son números racionales, q y s positivos, y ambos miembros de la identidad números irracionales, se concluye necesariamente que p = r y q = s.

Solución

La función y = f(x) es

y tiene un punto de inflexión en

La derivada primera de f(x) es

Y la derivada segunda

La función tiene simetría par y el eje de abscisas es una asíntota horizontal como se observa en la figura siguiente, para el caso particular a = 1, b = 1.

Como la función es derivable para todo x real, los máximos y mínimos relativos, que son extremos relativos, cumplen por tanto f′(x) = 0. La función exponencial toma valores siempre mayores que 0, luego igualando (1.9) a 0, se obtiene, simplificando, la ecuación

de la que se deducen tres soluciones:

La solución x1 = 0 corresponde a un mínimo relativo de f(x), pues sustituyendo en (1.10)

por ser a > 0 y b > 0.

Y con (1.8), evaluamos la función en el mínimo

Los puntos de inflexión de la función se hallan resolviendo la ecuación f′′(x) = 0. Igualando (1.10) a 0 y simplificando, se obtiene la ecuación bicuadrada

que se puede resolver con el cambio de variable u = x², y da lugar a una ecuación de segundo grado. De las cuatro soluciones posibles para x, se identifica la que corresponde con el punto de inflexión en  Screen Shot 2015-06-03 at 22.40.39  (no puede ser otra), de modo que

Elevando al cuadrado los dos miembros y operando

Usando la nota de ayuda del enunciado se obtiene el sistema

del que se obtiene como solución

Luego las soluciones x2 y x3 de (1.11) son x2 = 3 y x3 = −3. Estos valores de x corresponden a dos máximos relativos de f(x), pues en (1.10) se comprueba que f′′(x) < 0. Para estos valores, la función vale

Teniendo en cuenta la continuidad de f(x), la localización de los extremos