Libro Topografia 2019

TOPOGRAFÍA
Y GEODESIA
JORGE MENDOZA DUEÑAS

2019
Incluye:
• Topografía y Geodesia (versión digital).
• Manejo del Google Earth y su interacción con el Autocad y excel (versión digital).
• 12 planos sobre diseño geométrico de carreteras (DWG).
www.ingnovando.com
TOPOGRAFÍA Y GEODESIA
Derechos reservados
Autor - Editor
© MG Jorge Mendoza Dueñas
Calle Sara Sara No 153 Maranga - San Miguel
Lima - Perú.
Cel. 997895058
Prof. Universidad Nacional de Ingeniería, Lima - Perú
Prof. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas, Lima – Perú
Colaborador:
Fernando Gonzales Pinedo (diseño y diagramación).
Primera edición, febrero 2019

Tiraje: 1000 ejemplares
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2019-01780
ISBN Nº 978-612-004110-9
Se terminó de imprimir en febrero 2019 en :

Editores Maraucano E.I.R.L.
Av. Tingo María 635 Breña
Lima- Perú.
3 Generalidades
Prólogo
En la edición primigenia del Texto Topografía Práctica, tuvimos el alto honor de

presentar el prólogo escrito, por nuestro insigne profesor emérito de la UNI, el ING.
CARLOS JIMÉNEZ MONTAÑÉS, y asimismo el privilegio de ser presentado este
modesto trabajo en el Colegio de Ingenieros del Perú como el texto que incluía por
primera vez un programa (Software) titulado“El pequeño programa Topográfico del
Prof. Mora”, ahora en esta nueva edición mejorada y actualizada por uno de mis
mejores discípulos, El ING. JORGE MENDOZA DUEÑAS siento una profunda
satisfacción y un gran privilegio resaltar la encomiable labor realizada por
nuestro distinguido discípulo sobre todo por los conocimientos actualizados, que
son puestos a disposición de las nuevas generaciones y que si bien es cierto los
principios y conceptos Ingenieriles generalmente son inalterables, las formas y/o los
procedimientos, si son variables a través del tiempo, principalmente en esta
disciplina llamada GEOMÁTICA O TÉCNICA TOPOGRÁFICA MODERNA, porque
está íntimamente ligada al desarrollo tecnológico de equipos de mediciones lineales
y/o angulares. Otra de las características de esta nueva edición es la forma fácil,
dinámica y entretenida para el aprendizaje del conocimiento de esta disciplina,
que nos demuestra una vez más el manejo eficiente y eficaz en la elaboración de
un texto para la enseñanza universitaria por este brillante profesional que ya nos
tiene acostumbrados por sus textos escolares y universitarios, por eso mi agradeci-
miento y augurios de éxitos.
Socrates: “Cuida tu Pericles de Atenas, que yo os’ cuidaré de los Atenienses”
Esto trae a la memoria de mis épocas juveniles cuando escuchaba a mis

maestros decir.
“LA ESCUELA NO SE PIERDE, CUANDO SE TIENE DISCÍPULOS”.
Samuel A. Mora Quiñones

Prólogo del Autor
A diferencia de la primera edición, esta última publicación desarrolla también las técnicas y métodos
más importantes de la planimetría, así como la presentación y manejo de los equipos topográficos
correspondientes.
En opinión de los colegas revisores del manuscrito, el presente material, ofrece: Calidad didáctica,
modernización, dado que la automatización se encuentra siempre presente, y por supuesto aporte
tecnológico. La primera edición de este libro fue publicado con la coautoría del Ingeniero Samuel
Mora Quiñones, mi profesor, hoy colega y lo más importante: AMIGO.
Debo confesar que parte del contenido de esta edición le pertenece, no obstante aparecer en la portada
tan solo el nombre del suscrito, decisión que agradezco y que es digno de total admiración. Los
equipos topográficos ilustrados en este material son propiedad del Laboratorio de Topografía y
Fotogrametría de la UNI, en cuyo personal encontré siempre, el apoyo incondicional en cuanto a la
disposición, traslado y manejo de los diversos aparatos. A ellos quiero hacer público mi eterno
agradecimiento por tan importante aporte. Protagonistas de esta publicación, son también los
DOCENTES del Departamento de Vialidad y Geomática de la UNI, quienes con sus recomen-
daciones y críticas han logrado mejorar las bondades de este texto.
No puedo dejar de citar a los ALUMNOS de la Universidad Nacional de Ingeniería y de la
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas, quienes con sus constantes preguntas, y ambición de
conocimientos hacen que la docencia universitaria sea un privilegio.
Quiero agradecer a todos los LECTORES de mis diversos títulos, tanto del Perú como de los países
vecinos, pues mediante sus correos electrónicos, incrementan en mí el ánimo de proseguir escribiendo.
Sería ingrato, no agradecer a mis PADRES, pues parte de lo que hoy soy, es consecuencia de la
formación que ellos cultivaron siempre en mí.
A MI HIJA, gracias por vuestra comprensión y paciencia, pues en el proceso de elaboración y
edición de un libro, se requiere de total concentración, sacrificio que recae directamente en ella; gracias
a ti, pues con tus palabras dulces y tiernas alimentan en mí la pasión por escribir.
Jorge Mendoza Dueñas

ÍNDICE
CAPÍTULO 1: GENERALIDADES
Concepto de topografía ...................................................................................................................... 9
Breve reseña histórica ........................................................................................................................ 11
Instrumentos importantes en la topografía......................................................................................... 12
Instrumentos complementarios en la topografía ................................................................................ 13
División básica de la topografía......................................................................................................... 13
Importancia de la topografía en la ingeniería .................................................................................... 14
................................................................................................................ 15
Entes importantes en la topografía..................................................................................................... 18
CAPÍTULO 2: TEORÍA DE OBSERVACIONES

Introducción ....................................................................................................................................... 29
Teoría de probabilidades .................................................................................................................... 32
Observaciones de igual precisión....................................................................................................... 35
Observaciones de diferente precisión ................................................................................................ 44
Errores en las operaciones matemáticas ............................................................................................ 45
Correcciones en las operaciones matemáticas ................................................................................... 46
CAPÍTULO 3: ALTIMETRÍA
Conceptos fundamentales .................................................................................................................. 54
Clases de nivelación........................................................................................................................... 55
Nivelación directa o geométrica ........................................................................................................ 59
Nivelación indirecta ........................................................................................................................... 84
Nivelación trigonométrica ..................................................................................................... 84
Nivelación barométrica .......................................................................................................... 86
Red de nivelación............................................................................................................................... 87
Curvas de nivel.................................................................................................................................... 92
............................................................................................................................... 97
Sección transversal............................................................................................................................. 106
CAPÍTULO 4: EL TEODOLITO
Ejes principales de un teodolito ......................................................................................................... 115
Componentes clásicos de un teodolito ............................................................................................... 116
Objetivo fundamental de un teodolito................................................................................................ 117
Organización de los limbos ................................................................................................................ 118
Micrómetro ........................................................................................................................................ 119
Puesta en estación de un teodolito ..................................................................................................... 123
............................ 127
Teodolitos repetidores ............................................................................................................ 127
690 Principios básicos de geodesia y cartografía
Teodolitos reiteradotes ........................................................................................................... 132

Ángulos verticales con el teodolito .................................................................................................... 136
Ajustes y comprobaciones del teodolito ............................................................................................ 140
Regla de Bessel .................................................................................................................................. 149
El teodolito electrónico ...................................................................................................................... 151
CAPÍTULO 5: MEDIDA DE ÁNGULOS Y DIRECCIONES

Medida de ángulos ............................................................................................................................. 157
Ángulos horizontales ......................................................................................................................... 158
Ángulo vertical................................................................................................................................... 159
Medida de direcciones ....................................................................................................................... 160
Variación de la declinación magnética ............................................................................................... 166
Inclinación magnética ........................................................................................................................ 173
Metodos para medir ángulos horizontales ......................................................................................... 175
Método de ángulo simple ....................................................................................................... 175
Método de repetición.............................................................................................................. 175
Método de reiteración............................................................................................................. 179
Relación entre el ángulo acimutal y el acimut de los lados que la componen ................................... 183
CAPÍTULO 6: LA BRÚJULA
Clases de brújulas.................................................................................................................................. 192
Uso de brújula en la geodesia ............................................................................................................ 201
Levantamiento con brújula ................................................................................................................ 207
CAPÍTULO 7: MEDICIÓN DE DISTANCIAS

Tipos de distancia............................................................................................................................... 211
Alineamiento ...................................................................................................................................... 211
Medida de distancias .......................................................................................................................... 214
Trabajos elementales con jalones y cinta ........................................................................................... 221
Levantar una perpendicular a un alineamiento ...................................................................... 221
Trazar desde un punto dado, una paralela a un alineamiento ................................................ 225
Alinear dos puntos no visibles entre sí .................................................................................. 227
Prolongar un alineamiento a través de un obstáculo .............................................................. 230
Intersección de alineamientos ................................................................................................ 232
Medir la distancia de dos puntos accesibles con interferencia de obstáculos ........................ 232
Medir la distancia de dos puntos, siendo uno de ellos inaccesibles....................................... 233
Medir la distancia de dos puntos inaccesibles ....................................................................... 235
CAPÍTULO 8: EQUIPOS EN LA MEDICIÓN DE DISTANCIAS

Cintas de medición............................................................................................................................. 237
El distanciómetro ............................................................................................................................... 245
Libreta electrónica ............................................................................................................................. 257
Estación total...................................................................................................................................... 257
Controlador de campo ........................................................................................................................ 261
Cinta láser .......................................................................................................................................... 263
CAPÍTULO 9: REDES DE APOYO PLANIMÉTRICOS

Métodos planimétricos con cinta métrica y teodolito ........................................................................ 267
Método de radiación .............................................................................................................. 267
Método de intersección de visuales ....................................................................................... 270
Método de la poligonal .......................................................................................................... 273
CAPÍTULO 10: TAQUIMETRÍA
Métodos más usados en taquimetría .................................................................................................. 315
Método estadimétrico............................................................................................................. 315
Método de la estación total .................................................................................................... 323
Aplicaciones de la taquimetría ........................................................................................................... 324
Nivelación trigonométrica ..................................................................................................... 324
................................................................................................................ 335
Construcción de curvas de nivel ............................................................................................ 355
CAPÍTULO 11: AJUSTE EN LOS CIRCUITOS TOPOGRÁFICOS, APLICANDO EL

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
Principios de mínimos cuadrados ...................................................................................................... 383
Observaciones condicionales ............................................................................................................. 391
Aplicación 1: Red de nivelación ............................................................................................ 392
Aplicación 2: Compensación de ángulos de igual precisión ................................................. 403
Aplicación 3: Compensación de ángulos de diferente precisión ........................................... 404
CAPÍTULO 12: ANÁLISIS DE ERRORES ACCIDENTALES EN LAS

MEDICIONES TOPOGRÁFICAS (ANGULARES Y LINEALES)
Errores accidentales en las mediciones angulares ............................................................................. 411
Errores accidentales en la medición de distancias ............................................................................. 417
Relación entre el error angular y lineal .............................................................................................. 431
CAPÍTULO 13: METODOS PLANIMÉTRICOS Y SUS ERRORES ACCIDENTALES

Método de radiación .......................................................................................................................... 437
Método de intersección directa .......................................................................................................... 440
Método de resección (Pothenot) ........................................................................................................ 446
Estación excéntrica ............................................................................................................................ 458
CAPÍTULO 14: DISEÑO GEOMÉTRICO DE CARRETERAS

Diseño del trazo horizontal ................................................................................................................ 468
Diseño del trazo vertical .................................................................................................................... 505
Cubicación ......................................................................................................................................... 535
CAPÍTULO 15: PRINCIPIOS BÁSICOS DE GEODESIA Y CARTOGRAFÍA

Concepto de geodesia ........................................................................................................................ 539
La esfera celeste ................................................................................................................................. 547
Sistema de referencia ......................................................................................................................... 556
................................................................................................................. 576
....................................................................... 603
Sistema de posicionamiento global GPS ........................................................................................... 628
Métodos en las observaciones satelitales ............................................................................................ 655
7
1
Capítulo
Generalidades

La Topografía se encarga de representar en un plano, una porción de tierra relativamente pequeña de acuerdo a una
escala determinada.
Con ayuda de la topografía, es posible representar en un plano una o varias estructuras artificiales de acuerdo a una
escala establecida.
108 Generalidades

Con la topografía podemos determinar la posición de un punto sobre la superficie de la tierra, respecto a un sistema de
coordenadas.
Apoyándonos en la topografía podemos replantear un punto desde un plano en el terreno.
Gracias a la topografía se puede realizar el trazo de los ejes de una futura construcción.
Generalidades
9 11

¡
¢£ ¡

12 Generalidades
10

Generalidades 13
11

14
12 Generalidades

Generalidades
13 15
Consiste en realizar el proceso constructivo de la obra de acuerdo al plano elaborado por el consultor.
Es el proceso por el cual se realiza un conjunto de operaciones y métodos para representar gráficamente en
un plano una porción de tierra, ubicando la posición de sus puntos naturales y/o artificiales más importantes.
16
14 Generalidades
2017
Generalidades
15 17

Son los que se realizan con el objeto de definir y fijar los límites de áreas y propiedades, como
también para la identificación de estos límites.
18
16 Generalidades
Generalidades
17 19

20
18 Generalidades

En matemática cuando se quiere determinar la po- Ahora, bien, es posible ubicar un sub-sistema de
sición de un punto, basta ubicar sus coordenadas coordenadas; así.
respecto a un origen.
La posición del punto “A” es: (x,y) La posición del punto P se puede de-
terminar gracias al subsistema (x' – y')
En topografía cada punto topográfico representa el origen de un sub-sistema de coordenadas y gracias

a él se podrá determinar la posición de otros puntos.
Gracias al punto topográfico “A”, se podrá determinar la posición de los puntos 1,2,3 y 4.
Generalidades
19 21
EXTENSIÓN DEL USO DE LA TOPOGRAFÍA
Fig. c : Con los ángulos planos se hace uso de la trigometría Fig. d : Con los ángulos esféricos se hace uso de la trigo-
plana. nometría esférica.
La topografía tiene la aplicación en una porción pequeña de tierra, vale decir en un plano.
22 Generalidades
20
hectómetro Hm 100
decámetro Dm 10
hectómetro cuadrado Hm
decámetro cuadrado Dm
Generalidades 23
21
3 cm
30 m
Terreno Plano
Una escala de 1/1000, nos indica que 1 metro en plano representa 1000 metros en
el Terreno y 3 cm en el plano representa 30 metros en el terreno.
24
22 Generalidades

Generalidades
23 25
LÍMITE DE APRECIACIÓN GRÁFICA
Método Práctico
ESCALA LÍMITE DE APRECIACIÓN GRÁFICA
1 / 50 50 x 0,2 / 1 000 = 0,01 m = 1 cm
1 / 100 100 x 0,2 / 1 000 = 0,02 m = 2 cm
1 / 200 200 x 0,2 / 1 000 = 0,04 m = 4 cm
1 / 500 500 x 0,2 / 1 000 = 0,10 m = 10 cm
1 / 1 000 1 000 x 0,2 / 1 000 = 0,20 = 20 cm
1 / 2 000 2 000 x 0,2 / 1 000 = 0,40 = 40 cm
1 / 5 000 5 000 x 0,2 / 1 000 = 1,00 m
1 / 10 000 10 000 x 0,2 / 1 000 = 2,00 m
1/20 000 20 000 x 0,2/1000 = 4,00 m
1/50 000 50 000 x 0,2/1000 = 10,00 m
1/100 000 100 000 x 0,2/1000 = 20,00 m
26
24 Generalidades

θ

Generalidades
25 27
Componentes de un Plano Topográfico

Un plano puede tener diversos componentes, sin embrago los más importantes se mues-
tran a continuación.
Norte
N
Localización
Contenido
Gráfico
Cuadro de
datos Técnicos
Sistema y
tipo de
proyección
cartográfica
Leyenda Membrete
Escala
Gráfica
Mostrando otro formato de plano

Norte
N
Localización
Contenido
Gráfico Cuadro de
datos Técnicos
Escala
Leyenda
Gráfica
Membrete
Sistema y tipo de
proyección cartográfica
28 Generalidades
26
A efectos de ilustrar nuestros formatos presentamos a continuación un ejemplo.
Esacala gráfica 1/200

25
2
Capítulo
Teoría de Observaciones

Se quiere medir el área del rectángulo.

En la figura, es fácil notar que la longitud mide

3 veces un metro: 3 metros (medición directa).
30 Teoría de observaciones
28

Teoría de observaciones 31
29

30

31

34 Teoría
de
observaciones
32

33

σ

σ

A) Media ( )

+ + + 33

B) Desviación ()

33)
C) Error medio cuadrático de una observación (Desviación típica o estándar): σ

σ

σ

34

σ Σ Σ

σ± ≤≤ σ± >

≤ ≤

Analizando el ejemplo ilustrativo de la página 31

Σ

Σ Σ
35

Σ
σ± =± ⇒ σ














± σ
σ

± σ ±
±

38 Teoría de
observaciones
36

= σ

σ

σ
σ
σ

σ

=

+
+
+ +

=
=

= =

= Σ =

37

=±

= ⇒ = ±

σ ×

σ
×
×
×
×
×
Σ ×

Σ ×
σ± =±

σ ×
40 Teoría de
observaciones
38
Solución

σ

3.

+ +

Solución
Medida (m) Vi = X i X V2

×

×
× Número L Vi Vi2

Σ ×
×

×
×
Σ ×
σ ± =± ×

×

σ ± ×

×
×
σ
Σ ×

39
Σ ×

σ± =±

σ ±

σ

σ

θ
θ

θ

40
Solución
Analizando la nivelación del grupo 01
Pto V(atrás) V(adelante) Cota Ci Cota Compensada


Analizando la nivelación del grupo 02

41

¡

θ

θ

Σ

∆
∆
¡¡
∆θ

44 Teoría de
observaciones
42

⇒θ

⇒θ

⇒θ

= =

= =

+ + +

+ + +
43

Σ
= ±
Σ

⇒
⇒
⇒

= ± + +

44
=
± +
∂ ∂
=
± × + ×
∂ ∂
= =
45

= ±
+
+

= ±

= ±
= ±

Σ θ⇒

= =

= =

Σ

⇒
Σ
⇒
⇒
46
4. Solución

Solución

+ +

+ +

  
  +   +  
     

+ +

+ +
X(m) Peso V V2 PV2
+ +
× ×
 

× ×
+   +  
   × ×

Σ ×
+ +

Σ ×
σ± =
Σ
5. σ ±

Recorrido Longitud (km) Cota Q

σ ×

= =

47

θ

= + +

θ×

= =
π
θ× θ×

π

θ

θ
θ
 ∂   ∂ 
=  ∂θ × θ  +  ∂ ×  ⇒

∂  π   ∂  π 
=  θ⋅ ×  θ  +  θ⋅ ×    ∂   ∂ 
∂θ 
  ∂ 
  =  ∂ ×  +  ∂θ × θ 
 π 
 × θ  + [θ × × ] × 

=  θ ×  + [ θ × × θ ]

 =



 π 
 ×  + [ × × × ] × π  [ ×] +  ×  ×

= = 

 

  

48
Li Pi PL V V2 PV2

Σ
8.
Σ
= =
Σ
= =

1° observación 2° observación

Σ
= ±
Σ

= ± = ±
1° observación 2° observación 3° observación

Solución
1° observación
1° observación
Medición (m) V

Medición (m) V
2° observación

Medición (m) V

2° observación
3° observación
Medición (m) V

Medición (m) V

49

Σ

Σ

= =
Σ
= =

Σ
= ±
Σ

= ± = ±

= ± + = ± +
= ±

50

Σ
σ = ± = ±

=
σ
= −

σ

σ

σσ

Σ

Σ
σ
= ± = ±
−
σ

σ
=
= −

Σ

63
63
33
Capítulo
Alimetría
54 Altimetría
66
Altimetría 55
67
5668 Altimetría
Altimetría 57
69

58
70 Altimetría

Altimetría 59
71
AGO-2016
Disco de metal
Vista de planta
En la figura superior, es fácil entender que con ayuda del equialtímetro es posible obtener directamente
la cota en “B”(101,00 m).
El plano o superficie horizontal que pasa por el instrumento es perpendicular a la vertical o plomada que pasa por
el centro del aparato, de lo cual se deduce que hay un solo plano horizontal para cada estación.
6072 Altimetría
Dicha operación se realiza con ayuda de Se realiza el centrado de la burbuja con ayuda de los
los tornillos de las patas del trípode, tornillos nivelantes.
hasta centrar aproximadamente el nivel
circular.
Altimetría 61
73
Con ayuda del tercer tornillo se realiza el calado de la burbuja.

62 Altimetría
74
Cuando el equipo tiene un nivel de burbuja partida (parábola):

En este caso se realiza el centrado de la burbuja con ayuda del tornillo basculante.

Altimetría 63
75

64 Altimetría
76

(Fig. A) (Fig. B)

Fig. a
Altimetría 65
77

Fig. b

66 Altimetría
78

Altimetría 67
79

⇒

68 Altimetría
80

Altimetría 69
81

70 Altimetría
82

En el presente ejemplo ilustrativo, se tomó tres puntos de cambio; en la práctica el número de
dichos puntos lo elegirá el ingeniero.

Altimetría 71
83

Σ Σ

Σ



Σ






ΣΣ
Σ Σ

72 Altimetría
84

=

Con lo cual se da por aceptada la nivelación

Altimetría 73
85

Σ Σ

¡

¢

Σ Con lo cual se da por aceptada la nivelación
74 Altimetría
86

Altimetría 75
87
Ci EC
ai
dt
88
76 Altimetría

ΣΣ

×

×

Σ
Altimetría 77
89

Σ Σ

Σ

78 Altimetría
90

×

⇒
×

Al nivelar en un circuito cerrado dos puntos muy alejados; es posible cometer una serie de errores, cuya presencia
ocasionaría un error de cierre altimétrico mayor que el máximo tolerable, lo cual obligaría al topógrafo a repetir posible-
mente todo el trabajo.
Los puntos que definen los sub-circuitos, deberán ser estacados con mucho cuidado de modo que posteriormente sean fácil-
mente ubicable y no altere el valor de su cota en ningún momento.
En cada sub-circuito se debe calcular su error de cierre altimétrico y cada uno de ellos debe ser menor que el máximo tolerable
respectivo.
Es posible que en uno de los sub-circuitos el error de cierre sea mayor que el tolerable; de ser así, el topógrafo deberá
repetir el trabajo tan solo en el sub-circuito comprometido.
Altimetría 79
91

± + + + +

80 Altimetría
92

+

Altimetría 81
93

+
   
+  ⇒  
   

82 Altimetría
94
Altimetría 83
95
do
2 Perpendicularidad entre el hilo horizontal del retículo y el eje vertical

ro
3 Paralelismo entre el eje de colimación del anteojo y el eje directriz del nivel tubular

84 Altimetría
96

α
∆

Altimetría
97 85
 
 
 
115
257
tura
Lec
V=
86 Altimetría
98

α

∆∆

∆
∆

Altimetría 87
Red de Nivelación
Cuando un conjunto de circuitos cerrados dependen unos de otros, es decir, están enlazados entre sí,
constituyen en global una Red de Nivelación.
En tal situación es preciso ajustar los desniveles entre cada dos puntos para que por uno o por otro camino
resulten iguales. ver pag. (392)
Cota B = 143,621 m Cota B = 143,631 m
BMA = 100,000 ∆ = -56,369 m

∆ = +43,621 m BMC = 200,000
A C
B
En el presente ejemplo se cuenta con los BMS A y C; se quiere determinar la cota de B.

Para dicho efecto se realizan dos nivelaciones por dos caminos diferentes.
Respecto tramo 1: La cota de B es 143,621 m
Comoquiera que la cota de B debe tener un solo valor, es preciso realizar un ajuste total.
BMA = 100,000 m
Cota D = 167,243 m
Cota B = 69,380 m A ∆=
67,
243
∆ = -30,612 m
Cota D = 167,238 m
B D
∆ = -110,952 7
Cota B = 69,372 m ,06
= -13
∆
C Cota D = 167,257m
BMC = 180,324 m
En el presente ejemplo se cuenta con los BMS A y C; se quiere determinar la cota de los puntos B y D;
para dicho efecto se realizan nivelaciones por cinco caminos diferentes.
Respecto tramo 3: La cota de D es 167,243 m
Para obtener un solo valor tanto para la cota de B y D, es preciso realizar un ajuste total de la red de
nivelación.
88 Altimetría
111

Altimetría 89
112

90 Altimetría
113

Libreta 1

Pto V. atras V. adelante Cota d (m)
112,66740

22,12254 22,12073 860

Libreta 2
Pto V. atras V. adelante Cota d (m)
112,66740

67,68663 67,68462 860

Altimetría 91
114

Ejemplo ilustrativo En el gabinete:
Libreta de campo

Pto L(+) L() Cota (m) d (m)

Pto L(+) L() Cota (m) d (m)

Σ

92 Altimetría
115

Altimetría 93
116

Representa una depresión, las curvas cambian de mayor a menor altitud, de modo que la de menor
altitud es una curva cerrada dentro de los demás.

Se puede considerar como una porción de hoyo; está representada por curvas en forma de U, toda
el agua que caiga correrá formando corrientes por las quebradas en dirección hacia las cotas más baja.
94 Altimetría
117

Altimetría 95
118

96 Altimetría
119

Altimetría 97
120

98 Altimetría
121

Altimetría 99
122

100 Altimetría
123

Como muestra el siguiente gráfico, todo perfil longitudinal consta de dos partes:
El gráfico propiamente dicho y la guitarra (datos numéricos: cotas distancias pendientes etc).
Altimetría 101
124
102
125 Altimetría
890 885 880 875 870 865
6
895 7
8 B
9 10
890
885
880
875
870 870 875 880 885 890 895
Altimetría 103
126

104 Altimetría
127

Altimetría 105
128

106 Altimetría
129

Altimetría 107
130

108 Altimetría
131

Altimetría 109
132
α
110 Altimetría
133

Altimetría 111
134

×

112 Altimetría
135

Pto V. Atrás V. Adelante Cota

Σ
ΣΣ

Solución:

=


×

×

= =

Pto Cota(m) di (m) Ci (m) Cota Comp. (m)

10.


Altimetría 113
136

∆
∆

 

 
 

⇒

 
 
 

∆
∆

 
 
 

⇒
 
   
   
 

∆

∆

⇒

 
 
 
114 Altimetría
137

 
 
 

 
   
   

 

  ∆
 
 

∆  
 

 

 
 

 

∆

⇒

Fig. a
135
4
Capítulo
El Teodolito

116 El Teodolito
140

El Teodolito 117
141

118 El Teodolito
142

El Teodolito 119
143

Fig. a Fig. b

° °

° + ° − °

°

120 El Teodolito
144

 + 
 + 
 

Fig. a
El Teodolito 121
145
Fig. b Fig. c
+ +

° + = °
+ =

° +

°
°
122 El Teodolito
146

Fig. d

Fig. e

El Teodolito 123
147

° + +

°
°

Fig. a Fig. b Fig. c

124 El Teodolito
148

El Teodolito 125
149

126 El Teodolito
150

El Teodolito 127
151

128 El Teodolito
152

El Teodolito 129
153

130 El Teodolito
154

El Teodolito 131
155

Fig. a Fig. b

132 El Teodolito
156

El Teodolito 133
157

134 El Teodolito
158

Fig. a
Fig. b
El Teodolito 135
159

Fig. c
Fig. d

136 El Teodolito
160

α
El Teodolito 137
161

β

α + ( ° − β ) α + ( − β )

αβ

Para cada lectura del ángulo vertical es imprescindible centrar la burbuja del nivel
tubular eclímetral.
Se recomienda medir el ángulo vertical con las dos posiciones del anteojo (directo e inver-
tido) para eliminar o reducir el error por índice del limbo respectivo.
138 El Teodolito
162

El Teodolito 139
163

140 El Teodolito
164

El Teodolito 141
165

142 El Teodolito
166

El Teodolito 143
167

144 El Teodolito
168

θ
θ ≠

El Teodolito 145
169

146 El Teodolito
170

El Teodolito 147
171

×

148 El Teodolito
172

El Teodolito 149
173

Punto Lecturas acimutales
Visado Anteojo directo (A.D.) Anteojo invertido (A.I.)

° + °

Punto Lecturas acimutales
Visado A.D. A.I. Promedio Ángulo

150 El Teodolito
174

2.

Punto Lectura Vertical
Visado Anteojo directo (A.D.) Anteojo invertido (A.I.)
42° 27' 317° 31'

Explicación esquemática del trabajo de campo

1.

El Teodolito 151
175

152
176 El
Teodolito

El Teodolito 153
177

154
178 El
Teodolito

°
φ=

φ= φ +

∆φ

 
∆φ =   φ
 

φ

φ

El Teodolito 155
179

156
180 El
Teodolito

177
5
Capítulo
Medida de Ángulos
y Direcciones

∞

158 Medida de Ángulos y Direcciones
182

π

∞

π

Medida de Ángulos y Direcciones 159
183

160
Fig. a Fig. b
Azimut
Azimut
185

α

θ

γ
β

θ
α

186

Fig. a Fig. b

En adelante por convención, se denotará Polo Norte Magnetico Terrestre al cual apunta al
norte del imán: PNM y al opuesto PSM.
187

Fig. c Fig. d

Fig. e Fig. f
188
δ δ

δ

∆δ

∆δ
∆δ

189

ω ω

ω

∆

∆

∆

190

δ δ δ δ

191
VARIACIÓN SECULAR DE LA DECLINACIÓN (1914-1993)

EN EL OBSERVATORIO MAGNÉTICO DE TEOLOYUCAN MÉXICO

∆
∆

ω ∞
δ δ ∆δ

δ ∞
δ

δ − °
∞

∆δ

δ

δ
192

193

ESTADOS UNIDOS MEXICANOS
MAPA ISOGÓNICO 1995

MAGNETOGRAMA DE UN DÍA TEMPESTUOSO
JICAMARCA PERÚ (FUENTE: INSTITUTO GEOFÍSICO DEL PERÚ)
194

δ

δ δ ∆δ

δ

δ

δ

δ

∆

195
ω

ω

δ

δδ
∆δ
ω
δ

δ

La convergencia de meridianos para un mis-
mo lugar es constante, dado que es
δ indenpendiente del tiempo.
Esto se debe a que la meridiana geográfica y
δ de cuadrícula son fijos respecto al tiempo.

δ

ω

196
δ

∆δ

δ δ ∆δ

δ

δ

∆ δ

∆

∆
∆

ω

ω
197

198

ω

199

β α
θ

α

=

200

201

°
= = °

)
23

202

θ ±
=

° + °
=

203

=
°

°
=
°

204

Si tto t t

427máximo

t t
.
Pr tanto

205

Ejemplo 1
Lectura Lectura reducida Promedio Promedio
Estación PV Directa Inversa Directa Inversa Serie Estación

A

Ejemplo 2
Lectura Lectura reducida Promedio Promedio
Estación PV Directa Inversa Directa Inversa Serie Estación

A

206

207
RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO ACIMUTAL Y EL AZIMUT DE LOS LADOS QUE LA

COMPONEN
azimut azimut
azimut
azimut
 
= + − °
 
= + + °
azimut
 
= ° + ° − °
azimut
208

< °

=
° + °
+ °

° −

−
° −

°

° −
° −

×

×
⇒

Medida de Ángulos y Direcciones
209 185

210

211

Σ

Σ

¡

¢

£

¤

¥
212

213
θ ¦ §¨ ©

θ
θ

θ

¡
¢

£

¤

∆¡
=
∆
 ¥ − ¥ ¥ 
=  
 − 

©

214

δ

∆δ

δδ
∆δ

δδ

∆δ
δ δ
δ δ

¡

¢

£

¢¢

¡¢¢
211
6
Capítulo
La Brújula

192 La Brújula
216

La Brújula 193
217

194 La Brújula
218

La Brújula 195
219

196 La Brújula
220

La Brújula 197
221

198
222 La Brújula

223
La Brújula 199

200 La Brújula
224

La Brújula 201
225

202 La Brújula
226

α
La Brújula 203
227

β
204 La
Brújula
228

α
La Brújula 205
229

β

206 La Brújula
230

La Brújula 207
231

Fig. a
Fig. b
≅

El levantamiento con brújula de bolsillo sirve para reconocimiento o levantamiento preliminar.
El ángulo BAC no se mide directamente, sino se calcula a partir de una o diferencia de rumbos o acimuts.
208
232 La Brújula

1° Paso.-

2° Paso.-

Libreta de campo
Estación PV Rumbo D Rumbo I Rumbo promedio

229
7
Capítulo
Medición de Distancias

( )
=

210 Medición de Distancias
234

 

=
×  
 + 

Medición de Distancias 211
235

Es la longitud de la línea recta que une dos puntos del terreno.
Es la longitud de la proyección de la distancia inclinada sobre la

horizontal; se le llama también distancia reducida al horizonte.

Es la línea resultante de la intersección del terreno con un plano vertical que pasa por dos puntos
establecidos.
236


237

238

×

 
=  
 ° 
239

240

241

242

220 Medición
de
Distancias
244

245

246

247

248

249

Desde el punto C, se baja una perpendicular al alineamiento AB; para luego medir
la longitud l.
250
Desde un punto del alineamiento AB, se levanta una perpendicular al mismo; luego
se ubica un punto D a una distancia l del mencionado alineamiento.
La paralela buscada es la línea recta que pasa por CD.
251

Sean A y B puntos pertenecintes a un alineamiento que nos interesa trazar; sin embargo
entre ellos se presenta un obstáculo que impide la visibilidad mútua.
Se traza una línea auxiliar fuera del obstáculo.

252

=

253

254

Dado AB ; se quiere prolongar dicho alineamiento a través del obstáculo.
Por A se levanta una perpendicular AC de longitud conveniente.

255

256

El ayudante (oscuro) provisto de un jalón debe moverse en la dirección del alineamiento

AC hasta que el operador ubicado en B lo ubique simultáneamente. El punto visible para
ambos operadores es la intersección buscada.

Se quiere medir la distancia entre dos puntos A y B separados por un obstáculo intermedio.
257

Fig. a Fig. b

258

=

259


260

=

 
=  
 



=  
 
257
8
Capítulo
Equipos en la
Medición de Distancias

Clase Longitud en metros / tolerancia en mm

de precisión 1 2 3 5 8 10 20 30 50 100
I ±0,2 ±0,3 ±0,4 ±0,6 ±0,9 ±1,1 ±2,1 ±3,1 ±5,1 ±11,0
II ±0,5 ±0,7 ±0,9 ±1,3 ±1,9 ±2,3 ±4,3 ±6,3 ±10,3 ±20,3
III ±1,0 ±1,4 ±1,8 ±2,6 ±3,8 ±4,6 ±8,6 ±12,6 ±20,6 ±40,6

238
262 Equipos en
la
Medición
deDistancias

Equipos en la Medición de Distancias 239
263

240 Equipos en la Medición de Distancias
264

×

265

266

 

=  ×
 

⋅ α

α

267

××

α×

−
=

 − ( ) 
  ⇒
 ( ) 

=
( − ) ⋅
⋅
268

=
( − ) ⋅
( × − ) ⋅ ( × )

×

−
=
( )

− ( ) ( )

= = −
( )

269

λ

270

λ
λ

λ

λ +
=
λ
⋅

∆θ ∆θ

= =
ω π
 ∆θ  ∆θ
= ⋅ 
 π 

271
λ

λ λ λ λ

λ

θ

θ

λ

 θ   °  ( )
= ⋅λ =   ⋅ ⇒
 °   ° 

272

λ

λ
λ

λ

λ

λ

λ

273



 





 
 

274

×

⇒

275

⋅
276

×

+

277

278

279
Comprobación y ajuste de la constante del instrumento (Fuente: Topcon)

A) Recorrido de la onda dentro del prisma.-

280

281

282
Con la estación total, podemos medir ángulos horizontales y verticales así como distancias
inclinadas; su procesador interno le permite calcular y mostrarnos inmediatamente la proyec-
ción horizontal y vertical de la distancia medida, así como las coordenadas de los puntos
medidos, dependiendo del caso.
La estación total permite medir y calcular la altura de ciertas estructura así como replantear
puntos en el terreno con gran precisión.
283
USB, luego copiarlo a una computadora, o caso

inverso, los datos de un proyecto ubicados en una
memoria USB pueden ser transferidos a la estación
total para el posterior replanteo de los puntos.
260
284 Equipos en
la
Medición
de
Distancias

285

286

¡

¡

× × ×

×× ×× ××

287

DATOS TÉCNICOS PLUS A5 A3

Fuente: Leica Geosystems

288

285
9
Capítulo
Redes de Apoyo
Planimétricos

266 Redes de Apoyo Planimétricos
290

Redes de Apoyo Planimétricos 267
291

292

Fig. a Fig. b
293

∆⋅
∆ ⋅

∆∆
∆ ∆

∆ ∆

294

295

Fig. a Fig. b

296
Fig. c Fig. d

θ ° −  − +





 

=   =  
 θ   θ 

Fig. e
297

θ ° −  − +



∆ ∆

∆ ∆

θ

274
298 Redes de
Apoyo
Planimétricos

299
azimut ,
azimut
azimut
azimut
300

301

Σ

Σ

2. Cálculo de la azimut de los lados de la poligonal.-

> °

= + − °
< °

= + + °

302
3.- Cálculo de coordenadas parciales.-

∆ ⋅⋅ ∆
⋅

4.- Cálculo del error de cierre lineal.-

ε Σ∆
ε
Σ∆
ε= (ε ) + (ε
)

'
5.- Cálculo del error relativo (ER).-

=
( )
ε

303
ε
=
− ×
ε ε
=
− ×
ε
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
304
280 Redes de Apoyo
Redes Planimétricos
de apoyo planimétricos
Ejemplo ilustrativo 1
Determine las coordenadas de los puntos B; C; D y E, sabiendo que el teodolito con el cual se trabajó tiene
una precisión de cinco segundos, A = (100 000; 100 000) m.
ZAB = 137°03’46’’
Punto Ángulo promedio L(m) Lado

medido
A 146°01’55’’ 108,805 AB
B 36°26’12’’ 96,753 BC
C 155°38’15’’ 106,709 CD
D 74°01’52’’ 31,858 DE
E 127°51’53’’ 85,912 EA
S 540°00’07’’
ZAB = 137°03’46’’
Nota
Solución:
El Error relativo no deberá ser
u Análisis de cierre angular:
mayor de 1/10 000
Teóricamente; el error máximo permitido:
Comparando: EC = 07’’ < 11,8’’

Lo cual indica que la medición angular es aceptable.
u Compensación de ángulos:
A continuación procedemos a repartir el “exceso angular” en cada valor medido.
Una opción podría ser distribuir:
Lo cual significa restar a cada ángulo 1,4 . Otra opción es el uso de tan solo números enteros, la
desición queda a criterioo del Ingeniero,
En nuestro caso:
Punto Ángulo medido C Ángulo compensado

A 146°01’55’’ -1’’ 146°01’54’’
B 36°26’12’’ -1’’ 36°26’11’’
C 155°38’15’’ -2’’ 155°38’13’’
D 74°01’52’’ -1’’ 74°01’51’’
E 127°51’53’’ -2’’ 127°51’51’’
S 540°00’07’’ -7’’ 540°00’00’’
305 Redes de apoyo planimétricos
u Calculando del azimut de los lados de la poligonal,

w
u Comprobando:
w
u Cálculo de las coordenadas parciales:

Lado Z d(m) Dx = dsen Z Dy = dcos Z
AB 137°03’46’’ 108,805 74,118 -79,656
BC 353°29’57’’ 96,753 -10,954 96,131
CD 329°08’10’’ 106,709 -54,742 91,598
DE 223°10’01’’ 31,858 -21,795 -23,236
EA 171°01’52’’ 85,912 13,394 -81.862
S P = 430,037 ex = 0,021 ey = -0,025
u Cálculo de error de cierre lineal:
u Cálculo del error relativo:

Ü
306 Redes de apoyo planimétricos
Dado que (1/13 000) < (1/10 000); se da por aceptado el trabajo de campo.
u Compensación de errores lineales:
- Lado L(m) Cx Cy
AB 108,805 -0,005 0,006
BC 96,753 -0,005 0,006
CD 106,709 -0,005 0,006
-
DE 31,858 -0,002 0,002
EA 85,912 -0,004 0,005
u Compensando las coordenadas parciales:

Coordenadas parciales
Coordenadas parciales Compensación
Lado compensadas
Dx Dy Cx Cy Dx Dy
AB 74,118 -79,656 -0,005 0,006 74,113 -79,650
BC -10,954 96,131 -0,005 0,006 -10,959 96,137
CD -54,742 91,598 -0,005 0,006 -54,747 91,604
DE -21,795 -23,236 -0,002 0,002 -21,797 -23,234
EA 13,394 -84,862 -0,004 0,005 13,390 -84,857
S +0,021 -0,025 -0,021 +0,025 0,000 0,000
u Cálculo de coordenadas absolutas:
Lado Dx Dy E(m) N(m) Punto
AB 74,113 -79,650 100,000 100,000 A
BC -10,959 96,137 174,113 20,350 B
CD -54,747 91,604 163,154 116,487 C
DE -21,797 -23,234 108,407 208,091 D
EA 13,390 -84,857 86,610 184,857 E
Explicando
- xB = 100,000 + 74,113 = 174,113 - yB = 100,000 + (-79,650) = 20,350
xC = 174,113 + (-10,959) = 163,154 yC = 20,350 + 96,137 = 116,487
xD = 163,154 + (-54,747) = 108,407 yD = 116,487 + 91,604 = 208,091
xE = 108,407 + (-21,797) = 86,610 yE = 208,091 + (23,234) = 184,857
Tener presente que los ángulos finales de cada vértice y las distancias finales entre ellos, cambian en virtud
a la compensación lineal y obtención de coordenadas parciales compensadas; en nuestro caso:
Punto lado Ángulo Distancia (n) Este (m) Norte (m) Recordar que la medición de
ángulos internos proviene de una
A AB 146°01’46’’ 108,797 100,000 100,000
poligonal antihoraria, presentamos
B BC 36°26’04’’ 96,760 174,113 20,350 a continuación otro formato, no
C CD 155°38’19’’ 106,717 163,154 116,487 obstante obedecer al mismo
D DE 74°02’13’’ 31,858 198,407 208,091 sistema de cálculos.
E EA 127°51’38’’ 85,907 86,610 184,857
307
PROYECCIONES COORDENADAS
PROYECCIONES COMPENSACIÓN
ÁNGULO ÁNGULO COMPENSADAS ABSOLUTAS
EST - P.V. INTERNO INTERNO AZIMUT
Redes de Apoyo Planimétricos
OBSERVADO COMPENSADO
NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE
COMPENSACIÓN
AB 146⁰01'55" -1 146⁰01'54" 137⁰03'46" 108.805 -79.656 74.118 0.006 -0.005 -79.650 74.113 100 100
BC 36⁰26'12" -1 36⁰26'11" 353⁰29'57" 96.753 96.131 -10.954 0.006 -0.005 96.137 -10.959 20.350 174.113
CD 155⁰38'15" -2 155⁰38'13" 329⁰08'10" 106.709 91.598 -54.742 0.006 -0.005 91.604 -54.747 116.487 163.154
DE 74⁰01'52" -1 74⁰01'51" 223⁰10'01" 31.858 -23.236 -21.795 0.002 -0.002 -23.234 -21.797 208.091 108.407
EA 127⁰51'53" -2 127⁰51'51" 171⁰01'52" 85.912 -84.862 13.394 0.005 -0.004 -84.857 13.390 184.857 86.610
∑ 540⁰00'07" - 7" 540⁰00'00" 430.037 -0.025 0.021 0.025 -0.021 0.000 0.000
283
284
308
Graficando:
POLIGONAL
PTO LADO ÁNGULO DISTANCIA (m) ESTE (m) NORTE (m)

A AB 146°01'46" 108,797 100,000 100,000
B BC 36°26'04" 96,760 174,113 20,350
C CD 155°38'19" 106,717 163,154 116,487
D DE 74°02'13" 31,858 108,407 208,091
E EA 127°51'38" 85,907 86,610 184,857
PUNTO DE CONTROL PLANIMÉTRICO
PROPIETARIO DPTO. LIMA LAMINA
JUAN PEREZ RODRIGUEZ PROV. LIMA

P-01
DTO. CERCADO
ESPECIALIDAD CADISTA.
PERIMÉTRICO Juan C. Gonzales
PROFESIONAL
PROYECTO UBICACION
POLIGONAL LIBRO Calle
CONTENIDO
PLANTA ESCALA 1 / 2500 ENERO -2017
309
2
Determinar las coordenadas de los puntos B; C; D y E, sabiendo que el teodolito con el cual se
trabaja tiene una precisión de cinco segundos.
Pto. Ángulo promedio medido L (m) Lado

A 192°11’04’’ 98,353 AB
B 274°59’07’’ 306,45 BC
C 268°24’50’’ 76,223 CD
D 253°01’30’’ 293,180 DE
E 271°23’36’’ 74,866 EA
Además:
Pto. Este (m) Norte (m)
A 276952,651 8670505,707
P 276955,857 8670423,375
C D
B A
87°49’30’’
P
310
Solución:
Conociendo las coordenadas de los puntos A y P procedemos a cacular el azimut AP.

ZAP = 177°46’12’’
Graficando: N
ZAP = 177°46’12’’
E
B
A
87
°49
’30
’’
ZAB = 265°35’42’’
P
En adelante, el problema se resuelve adoptando el mismo procedimiento del ejemplo anterior.
Análisis de cierre angular
Según el cuadro:
ΣÁNGULOS = 1260°00’07’’
Luego EC = +7’’
EC < EMAX (medición angular aceptable)
Error de cierre lineal (ver cuadro)
ε ε ε
ε
Error relativo
Perímetro = 849,072 m (ver cuadro)
Dado que ER < (Poligonal aceptable)

311
PROYECCIONES COORDENADAS
PROYECCIONES COMPENSACIÓN
ÁNGULO ÁNGULO COMPENSADAS ABSOLUTAS
EST - P.V. EXTERNO EXTERNO AZIMUT

OBSERVADO COMPENSADO
NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE
COMPENSACIÓN
AB 192⁰11'04" - 1.4" 192⁰11'2,6" 265⁰35'42" 98.353 -7.554 -98.063 0.002 -0.001 -7.552 -98.064 8670505.707 276952.651
BC 274⁰59'07" - 1.4" 274⁰59'5,6" 0⁰34'47.6" 306.45 306.434 3.102 0.005 -0.004 306.439 3.098 8670498.155 276854.587
CD 268⁰24'50" - 1.4" 268⁰24'48,6" 88⁰59'36.2" 76.223 1.339 76.211 0.001 -0.001 1.340 76.210 8670804.594 276857.685
DE 253⁰01'30" - 1.4" 253⁰01'28,6" 162⁰01'4.8" 293.18 -278.859 90.51 0.005 -0.003 -278.854 90.507 8670805.934 276933.895
EA 271⁰23'36" - 1.4" 271⁰23'34,6" 253⁰24'39.4" 74.866 -21.375 -71.75 0.001 -0.001 -21.374 -71.751 8670527.081 277024.402
∑ 1260⁰00'07" - 7" 1260⁰00'00" 849.072 -0.015 0.01 0.015 -0.010 0.000 0.000
287
312
288
POLIGONAL
PTO LADO ÁNGULO DISTANCIA (m) ESTE (m) NORTE (m)

A AB 167°48'55" 98,355 276952.651 8670505.707
B BC 85°01'01" 306,455 276854.587 8670498.155
C CD 91°35'12" 76,222 276857.685 8670804.594
D DE 106°58'28" 293,173 276933.895 8670805.934
E EA 88°36'24" 74,867 277024.402 8670527.081
PUNTO DE CONTROL PLANIMÉTRICO
PROPIETARIO DPTO. LIMA LAMINA
AURELIO QUIROZ PROV. LIMA

P-01
DTO. CERCADO
ESPECIALIDAD CADISTA.
PERIMÉTRICO Juan C. Gonzales
PROFESIONAL
PROYECTO UBICACION
POLIGONAL LIBRO
Calle
CONTENIDO
PLANTA ESCALA 1 / 4000 ENERO -2017
313

314
> °

= ° + ° − °

= = =

> °

= ° + ° − °

> °

= ° + ° − °

> °

= ° + ° − °

> °

= ° + ° − °

∆ ∆

Σ

∆ ∆

≅

315
=ε −
∆ ∆
=
ε −
ε=± (ε ) + (ε )
Σ
ε
∆ ∆
= =
   
   
 ε   
ε ( )
=− × =− ×
× ×
ε (− )
=− × =− ×
× ×
316
292
PRE
COORDENADAS PROYECCIONES COORDENADAS
ÁNGULO PROYECCIONES COORDENADAS COMPENSACIÓN
ÁNGULO AZIMUT AZIMUT MEDIDAS COMPENSADAS ABSOLUTAS
A LA AZIMUT ABSOLUTAS
EST - P.V. A LA CALCULADO MEDIDO
DERECHA COMPENSADO
DERECHA
COMPENSADO NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE
COMPENSACIÓN
SR 350⁰30'00" 350⁰30'00" 52.503 51.783 -8.665 200.000 200.000 0.006 -0.007 51.789 -8.672 200.000 200.000
RT 320⁰10'20" 130⁰40'20" - 6" 320⁰10'14" 130⁰40'14" 63.806 -41.58 48.395 251.783 191.335 0.007 -0.009 -41.576 48.386 251.789 191.328
TU 106⁰39'20" 57⁰19'40" - 6" 106⁰39'14" 57⁰19'28" 75.704 40.87 63.723 210.200 239.730 0.008 -0.011 40.879 63.712 210.212 239.714
UV 229⁰30'30" 106⁰50'10" - 6" 229⁰30'24" 106⁰49'52" 42.600 -12.34 40.775 251.071 303.453 0.005 -0.006 -12.330 40.769 251.091 303.426
VM 230⁰20'10" 157⁰10'20" - 6" 230⁰20'04" 157⁰09'56" 48.322 -44.54 18.752 238.736 344.228 0.005 -0.007 -44.530 18.745 238.761 344.195
MN 127⁰35'00" 104⁰45'20" 104⁰44'50" - 6" 127⁰34'54" 104⁰44'50" 194.201 362.980 194.231 362.940 194.231 362.940
Error +30" +00" 282.935 -0.030 0.040

0.030 -0.040
317
Ejemplo de aplicación 2
Determinar las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E, sabiendo que la estación total con la
cual se trabajó, tiene una precisión de cinco segundos. Error relativo tolerable: 1/10 000.
P
Q
B
A
C
Est. - PV Ángulo Distancia D
P-Q
E
Q-A 222°53’37’’ 39,992
A-B 125°49’02’’ 507,894
B-C 242°53’24’’ 1487,535 R S
C-D 191°31’39’’ 548,826
D-E 189°20’26’’ 405,318 Puntos de control
E-R 173°31’13’’ 252,490
Pto. E N
R-S 118°58’42’’
P 596918,958 8523715,259
Q 597951,333 8523648,917
R 599730,308 8521329,633
S 600579,897 8521200,437
Solución:
Teniendo como información las coordenadas de Error de cierre lineal (ver cuadro)
los puntos de control, es posible calcular los
azimuts PQ y RS. ε ε ε
Lado Azimut ε = 0,173 m

P-Q 93°40’36,69’’
Error relativo
R-S 98°38’47,96’’
Perímetro = 3242,055 (ver cuadro)
Análisis de cierre angular
Tenemos siete ángulos: n = 7
ε
,
Según el cuadro: EC = 6,11’’
EC < EMAX (medición angular aceptable) Dado que ER < (Poligonal aceptable)
294
318
ÁNGULO PRE COORDENADAS PROYECCIONES

PROYECCIONES COORDENADAS MEDIDAS COMPENSACIÓN COORDENADAS ABSOLUTAS
ÁNGULO AZIMUT AZIMUT AZIMUT DISTANCIA ABSOLUTAS COMPENSADAS
A LA PTO
EST - P.V. A LA CALCULADO MEDIDO COMPENSAD0 HORIZONTAL
DERECHA
DERECHA
COMPENSADO NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE
COMPENSACIÓN
PQ 93⁰40'36.69" 93⁰40'36.69" 93⁰40'36.69"
QA 222⁰53'37" 136⁰34'13.6" + 1.18" 222⁰53'38.18" 136⁰34'14.8" -29.043 27.493 8523648.917 597951.333 8523648.917 597951.333 -0.001 -0.002 -29.044 27.491 8523648.917 597951.333
39.992 Q
AB 125⁰49'02" 82⁰23'15.69" + 1.18" 125⁰49'3.18" 82⁰23'18.05" 67.275 503.419 8523619.874 597978.826 -0.016 -0.021 67.259 503.398 8523619.873 597978.824
507.894 A
BC 242⁰53'24" 145⁰16'39.6" + 1.19" 242⁰53'25.19" 145⁰16'43.2" -1222.653 847.279 8523687.149 598482.245 -0.048 -0.063 -1222.701 847.216 8523687.131 598482.222
1487.535 B
CD 191⁰31'39" 156⁰48'18.6" + 1.18" 191⁰31'40.18" 156⁰48'23.4" -504.470 216.148 8522464.496 599329.524 -0.018 -0.023 -504.488 216.125 8522464.430 599329.438
548.826 C
DE 189⁰20'26" 166⁰08'44.69" + 1.18" 189⁰20'27.18" 166⁰08'50.6" -393.529 97.043 8521960.026 599545.672 -0.013 -0.017 -393.542 97.026 8521959.942 599545.563
405.318 D
ER 173⁰31'13" 159⁰39'57.6" + 1.18" 173⁰31'14.18" 159⁰40'4.78" -236.759 87.73 8521566.497 599642.715 -0.008 -0.011 -236.767 87.719 8521566.400 599642.589
252.490 E
RS 118⁰58'42" 98⁰38'39.69" 98⁰38'47.96" + 1.18" 118⁰58'43.18" 98⁰38'47.96" 8521329.738 599730.445 8521329.633 599730.308 8521329.633 599730.308
R
Error -8.27" +00" 3,242.055 0.105 0.137

-0.105 -0.137
319
S
600000
R
E
D
C
599000
B
598000
Q
A
587000
8523000
8522000
8521000
N
P
320

321

∆ ∆

≅

∆ ∆

−
= = = −

322

323

324
325

∆ ∆

= ( − ) + ( − ) =

−

= Σ ε ε
−
ε

ε

302
326 Redes de
Apoyo Planimétricos

θ

θ  − +




∆
∆

∆ ∆

327

θ

θ
 − +
 ¡¢ £ ¤


∆ ∆

∆ ∆

Σ ¥

Σ

Σ

¢ £

328

∆ ∆

Σ

εε

Σ

Σ

Σ

¡ ¡ ¡

¢

329
×

−
ε ( − )
= = − = − × = − ×

×

Σ

Σ

∆ ∆

∆ ∆

Σ

Σ

ε ε

∆ ∆
ε = ( ) + ( ) =

= =
  


  
  

 ε

ε ( − )
= − × = − ×

330
Σ

= =

¡

∆ ∆

Σ ε ε

ε = ( ) + ( ) =

¢ = =

 £   
  
Σ  ε   

¢ =

Σ
331

∆ ∆

= ( ∆ + ) + ( ∆ + )

= () +() −()()°

¡
¡

¢¡
332

= =

∆ ∆

∆ ∆

333

∆ ∆

Σ ε ε

ε = ( ) + ( ) =

= =
( )
ε

=

∆ ∆

∆ ∆

310
334 Redes de
Apoyo Planimétricos

∆ ∆

αβ

=
∆ ∆
° α

=
α

=
° β
= = °
−

− =
= = ° β
−
335

β

θ

β
θ
θ Σ

∆ ⋅
−

= = −

∆ ⋅

∆ ∆

Σ

= (
) + (

) =

= =
   

  

  


=


336

ε
= − ×
= − ×

××
ε
= − ×
= − ×

××

∆ ∆

( )( ) °

=
∆ ∆

=

( ) ( ) °
=

= ×

( ) ( ) °
=

(
)(
) β
=
= ×
337

( )( ) °
=

=

=
×=×
=
−

=
−

( − ) + ( − ) = ( )

=

335
10
Capítulo
Taquimetría

=


=  

316 Taquimetría
340

×

×

Taquimetría 317
341

 

=  
 



=   =

=×

×

318 Taquimetría
342

× ×
×

×

α

⋅ α
Taquimetría 319
343

⋅⋅α ⋅α
⋅

⋅⋅αα

⋅⋅α ⋅⋅ α

⋅⋅α ⋅α
⋅⋅αα

⋅⋅α ............... ⋅α

320 Taquimetría
344

δ

δ

 (α + δ ) 
 − 
 α 

βδααδ δ

=
(° + α ) β
δ

° − (α + δ ) (α + δ ) α
= =
( ° + α ) α

− (α + δ ) − α
=
α
δ
 (α + δ ) 
 − 
 α  α

 ( α + δ) 

 − 
 α 
Taquimetría 321
345
δ δ

α α

= ± ( ) + ( )

×

± ( ) + ( )

×

= ⇒ = ⇒

322 Taquimetría
346

=± ( ) + ( )

⇒

⇒
= ± ( ) + ( )

Taquimetría 323
347

⋅⋅α ⇒

= ± ( ) + ( ) ⇒

α

324 Taquimetría
348
3 km.
Taquimetría 325
349

⇒

α

326 Taquimetría
350

α
×
×

( × ° )
× × ⇒

⇒

Taquimetría 327
351

α

×

⋅α

328 Taquimetría
352

( )  − ( ) × 
+ 
 
( ) ( )
− ⋅

Taquimetría 329
353

( )

⋅

DH C(m) DH C(m)
500 0,017 4 500 1,362
1 000 0,067 5 000 1,682
1 500 0,151 5 500 2,035
2 000 0,269 6 000 2,422
2 500 0,421 6 500 2,843
3 000 0,601 7 000 3,297
4 000 1,076 7 500 3,784

Solución:

( ) 


⋅ = 



Taquimetría 333
357

α

 (
° + ° ) 
 −


°



δ
= ± (
) + ( )

α
⇒

= ± (
) + ( ) + ( )

α
⇒

α
= ± (
) + (
) + ( )

⋅⋅α

⋅⋅

α

⋅⋅α

⋅⋅

 (α + δ ) 
 −

 α 
 (
° + ° ) 
 −


° 

334 Taquimetría
358

 ( ° + ° ) 

 − 
 ° 

δ = ° 

 ( ° + ° )  α = ° 

 − 
 °  = 

= ± ( ) + ( )

⇒

= ± () + ( ) + ( )

α ⇒

= ± () + ( ) + ( )

α

δ = ° 

α = ° 
= 
α

Taquimetría 335
359

⇒

δ = ° 

α =
° 

= ± ( ) + (
) + ( )

= 

⇒

= ± ( ) + ( ) + ( )

α

336 Taquimetría
360

1° Elección de la red de apoyo o poligonal.-

2° Determinación del croquis de los detalles a levantar.-

Taquimetría 337
361

×

α

338 Taquimetría
362

α

α

Taquimetría 339
363

340 Taquimetría
364

α

Taquimetría 341
365

342 Taquimetría
366
El plano final queda determinado con la representación de los detalles, según las exigencias
pertinentes (nombre, medidas, cotas, etc)
En nuestro ejemplo.

Taquimetría 343
367
B. Método de la Estación Total.

B.1. Método del ángulo y distancia.- Consiste en anotar y/o guardar como información los ángulos
y distancias medidas en el campo.
Procedimiento:
1. Elección de la Red de Apoyo o poligonal.- La elección de la red de apoyo, se estudió en la Pag. 289
2° Determinación del croquis de los detalles a levantar.- Se dibuja in situ la geometría y posición
aproximada de los detalles naturales y artificiales (dicho gráfico se debe plasmar en la libreta de
campo).
Esta operación involucra la denotación de los puntos a levantar (asignación de nombres a los puntos
de relleno).
Es recomendable que esta actividad sea encabezada por un topógrafo de comprobada experiencia,
dado que la presencia de dicha persona tanto en el campo como en el gabinete será vital para la resolu-
ción de problemas.
344 Taquimetría
368
3° Se determina la mínima longitud a tomar en cuenta en el campo.- Para ello es preciso la escala a
la cual se representará el levantamiento en el plano.
Si la escala elegida es 1 / E .es aceptable la siguiente expresión L = 0,0002xE
Donde: L = Mínima longitud a tomar en cuenta en el campo,; tener presente que el valor obtenido está
expresado en metros; si por ejemplo E = 10 000;la mínima longitud L será 2 m.
4° Relleno desde el primer punto de control.

- Se hace estación en un punto de la
poligonal.
- Se dirige la visual hacia uno de los
puntos vecinos de la poligonal.
- Se hace 0°00’00’’ en dicha dirección.
- Se suelta el bloqueo de la alidada y se
dirige la visual hacia el primer punto a
levantar, se toman como datos:
. El ángulo horizontal
. Las distancias DH y DV
- Se suelta el bloque de la alidada y se
dirige la visual hacia el segundo punto a
rellenar, tomando como datos, los
mismos parámetros que el punto antece-
sor.
- La misma operación se realiza con los
demás puntos por levantar desde la
misma estación.
Proyecto : ......................................... Operador : .........................................

Lugar : ......................................... Instrumento : .........................................
Fecha : .........................................
Estación Punto visado Ang. horizontal DH(m) DV(m) Cota

A 500.000
B 0°00’00’’
= 1,41 m A1 39°23’21’’ 162.912 13.314
A2 76°28’42’’ 226.713 17.080
Taquimetría 345
369
Estación Punto visado Ang. horizontal DH(m) DV(m) Cota (m)

A 500.000
B 0°00’00’’
= 1,41 A1 39°23’21’’ 162,912 13,314

A2 76°28’42’’ 226,713 17,080
B 523,231
C 0°00’00’’
= 1,506 B1 25°25’42’’ 248,571 18,848

B2 298°39’04’’ 148,918 12,694
C 510,610
D 0°00’00’’
= 1,398 C1 12°01’03’’ 238,010 21,279

C2 33°16’26’’ 168,389 16,470
D 530,420
E 0°00’00’’
= 1,602 D1 26°01’11’’ 193,736 20,942

D2 53°54’55’’ 166,943 18,529
E 521,232
A 0°00’00’’
= 1,427 E1 282°26’28’’ 206,511 30,446

E2 323°03’59’’ 37,168 5,562
E3 331°41’31’’ 187,300 29,674
346 Taquimetría
370
6° Paralelo al levantamiento taquimétrico, se puede asignar otra brigada que se encargue de tomar las
medidas con cinta métrica; sin embargo el croquis a usar debe tener las mismas denotaciones que las
usadas en taquimetría.
371
7° Trabajo de gabinete
Generar la grilla (sistema de coordenadas rectangulares), de acuerdo a la escala elegida.
Taquimetría
347
Se representa gráficamente la poligonal respectiva. 372
348
A
C
PUNTO ESTE NORTE COTA

A 100.000 700.000 500.000
B 399.042 886.458 523.231
C 755.130 657.915 510.610
D 545.100 174.860 530.420
E 193.234 199.104 521.232
E D
Taquimetría
373
Se ubican gráficamente los puntos a rellenar, con ayuda de los ángulos horizontales y distancias respectivas.
Taquimetría
B2
B ESTACIÓN P.V. ANG. HOR. DH

A
B 0°00'00"
A1 39°23'21" 162.912
A2 76°28'42" 226.713
B
A1 C 0°00'00"
A B1 25°25'42" 248.571
B1 C B2 298°39'04" 148.918
C
C2 D 0°00'00"
C1 12°01'03" 238.010
A2 C2 33°16'26" 168.389
D
E 0°00'00"
C1 D1 26°01'11" 193.736
D2 53°54'55" 166.943
E3 E
D2
A 0°00'00"
D1 E1 282°26'28" 206.511
E2 323°03'59" 37.168
E2 E3 331°41'31" 187.300
E1
E D
349
374
350
Se borra u oculta los trazos realizados.
B2
A A1
B1 C
C2
A2
C1
E3
D2
D1
E2
E1
E D
Taquimetría
375
Se procede a unir los puntos pertenecientes al relleno, de acuerdo al croquis realizado.
Taquimetría
B2
B
A A1
B1 C
C2
A2
C1
E3
D2
E2 D1
E1
E D
351
352
376
Ocultando la poligonal obtenemos el plano final.
ESTRUCTURA 2
ESTRUCTURA
1
PABELLON P
PABELLON
A
PABELLÓN
C
Taquimetría
Taquimetría 353
377
B.2. Método de coordenadas.- Consiste en anotar y/o guardar en la memoria del equipo las coordenadas
de los puntos rellenados
Procedimiento:
1. Elección de la Red de Apoyo o poligonal.- La elección de la red de apoyo, se estudió en la Pag. 273
2° Determinación del croquis de los detalles a levantar.- Se dibuja in situ la geometría y posición
aproximada de los detalles naturales y artificiales (dicho gráfico se debe plasmar en la libreta de
campo).
Esta operación involucra la denotación de los puntos a levantar (asignación de nombres a los puntos
de relleno).
Es recomendable que esta actividad sea encabezada por un topógrafo de comprobada experiencia,
dado que la presencia de dicha persona tanto en el campo como en el gabinete será vital para la resolu-
ción de problemas.
354 Taquimetría
378
3° Se determina la mínima longitud a tomar en cuenta en el campo.- Para ello es precio la escala a
la cual se representará el levantamiento en el plano,
Si la escala elegida es 1/E, aceptable la siguiente expresión: L = 0,0002 x E, donde: L = Mínima
longitud a tomar en cuenta en el campo; tener presente que el valor obtenido está expresado en
metros; si por ejemplo E = 10 000; la mínima longitud L será 2 m.
4° Relleno desde el primer punto de control.-

- Se hace estación en un punto de la poligonal.
- Se ingresa al menú particular del equipo que se está utilizando.
- Se dirige la visual hacia uno de los puntos vecinos de la poligonal (espalda).
- Se suelta el bloqueo de la alidada y se dirige la visual hacia el primer punto a levantar, para luego
medir y guardar las coordenadas de dicho punto.
- Se suelta el bloqueo de la alidada y se dirige la visual hacia el segundo punto a rellenar, tomando
como datos, los mismos parámetros que el punto antecesor. La misma operación se realiza con las
demás puntos por levantar desde la misma estación.
5° Trabajo de gabinete.- Se realiza la transferencia de información de la estación total a la computado-
ra, obteniendo como resultado final, las coordenadas de los puntos levantados.
B2
A A1
B1 C
C2
A2
C1
E3
D2
D1
E2
E1
E D
Posteriormente se siguen los mismos pasos descritos en el método

Taquimetría 355
379

356 Taquimetría
380
En el proceso de reconocimiento de terreno, llevar a cabo un croquis de la zona, donde

planimétricamente se representen estructuras artificiales y naturales importantes, tales como:
Edificaciones, reservorios, carreteras, caminos, cercos, taludes, quebradas, divisorias de aguas, etc.
Taquimetría 357
381
Apoyándose en los puntos de control, proceder a levantar los puntos pertenecientes al

croquis realizado.
Para ello es recomendable asignar nombres estratégicos a los puntos por levantar y anotar-
los en el croquis.
358 Taquimetría
382
Realizar el levantamiento masivo de puntos; se recomienda llevar un orden establecido, en tal

sentido es preferible que los puntos por levantar formen un conjuntos de líneas o cuadrículas.
Es imprescindible levantar los puntos donde se presentan cambios de pendientes.
Al igual que en el segundo paso es muy importante la designación de nombres a los puntos por
levantar.
Taquimetría 359
383

En esta etapa es de vital importancia la presencia de la persona que estuvo a cargo del
croquis en el proceso de campo, dado su relación directa con el terreno.
Los pasos que se recomiendan seguir son las siguientes:
Se unen mediante líneas rectas los puntos considerados importantes en el dibujo del croquis
realizado en el proceso de campo.
360 Taquimetría
384

Taquimetría 361
385

L

362 Taquimetría
386

Taquimetría 363
387

364 Taquimetría
388

Taquimetría 365
389

Las curvas de nivel no deben cruzar las edificaciones.
Trabajo correcto : Los triángulos formados se encuentran al exterior de la edificación.
Trabajo incorrecto : Los triángulos formados se encuentran dentro y fuera de la edificación.

366 Taquimetría
390

Taquimetría 367
391

368 Taquimetría
392

Taquimetría 369
393

370 Taquimetría
394

Taquimetría 371
395
Trabajo correcto : El eje principal divide la malla en: triángulos a la derecha y triángulos a la izquierda.
Trabajo incorrecto : Los triángulos sombreados no se encuentran ni a la derecha ni a la izquierda del eje principal.
372 Taquimetría
396

Taquimetría 373
397

374 Taquimetría
398

Taquimetría 375
399
Trabajo correcto : La interpolación se realiza independientemente en cada una de las tres zonas.
Trabajo incorrecto : Se han realizado interpolaciones que involucran simultáneamente a dos zonas.
376 Taquimetría
400

Taquimetría 377
401

α

α

× α
⋅

×× °
⋅
⋅α
α

⋅

α

⋅

⋅

378 Taquimetría
402

¡

¢
Taquimetría 379
403

∆
⋅
∆
⋅

∆
⋅

∆
⋅

α

⋅α

⋅α

380 Taquimetría
404

α

× α

⋅ × α
⋅

α

⇒

Taquimetría 381
405

∆ ∆
¦ ¡

¡

∆
∆

⋅
⋅ α

⋅
⋅

⋅
⋅

⋅

¢ £

( −
)

=

° α

⋅ α

( −
)
=
°
° − α

⋅ α

¤
¥ ¤
¥ ¤
¥

¤
¥¤
¥⋅

£

α

391

11
Capítulo
Ajustes en los circuitos
Topográficos, aplicando el
Método de Mínimos Cuadrados

384 Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados
408

ε

ε ε ε
ε ε ε
ε

ε

ε

φ = ε + ε + + ε =

Ajustes en los circuitos Topográficos, aplicando el Método de Mínimos Cuadrados 385
409

φ
∂φ
=
∂

∂φ
=
∂

+ +
+

⋅

     − 
    =  − 
    

×××××

     − 
 =
     − 

410

ε
ε

ε

φ = ε + ε + + ε =

411

∂φ
=
∂

∂φ
=
∂

∂φ
=
∂

+ + +
+ + +

     − 

    =  − 
    
     − 

×××××

× × × × ×

412

     − 

    =  − 
    
     − 

εεε

εεε

εεε

413

ε
ε

ε

φ = ε + ε + + ε =

∂φ
=
∂

∂φ
=
∂

∂φ
=
∂

+ + +

+ + +

414



    −



   =  −

    


    −


     − 

    =  − 
    
     − 

415

+ + = ° + + + = ° ∆ + ∆ + ∆ =

Aplicación 1: Red de Nivelación

Ejemplo 1.
En la siguiente Red de Nivelación, calcular la cota del punto P. Considerar la desviación estándar igual en
ambos tramos.
∆ = +12,672 m ∆ = -20,012 m
A L = 2 km L = 1 km B
P
Cota A = 100,000 m
Cota B = 132,674 m
Solución.
● Las flechas en cada línea indican el sentido del recorrido (dato de campo).
● La denotación “D” indica el desnivel entre dos bancos.
∆ = cota P - cota A
A P
● En cada tramo existe un error llamado V1, V2, ..., Vn.
● Ecuaciones de condición (obedeciendo el sentido de las flechas)

Tramo 1: P = 100 + (12,672 + V1) à V1 = P - 112,672
Tramo 2: P = 132,674 + (-20,012 + V2) à V2 = P - 112,662
● Condición del método de mínimos cuadrados = mínimo
Donde: P1 y P2 son los pesos en cada tramo
si = desviación estándar en el tramo i

i Li = distancia en el tramo i
● En nuestro caso.
si = s1 = s2 = s = dato
● Dado que F es mínimo
=0
P = 112,665 m
Ejemplo 2.
Se muestra una Red de Nivelación; se pide calcular las cotas de los puntos B y C; sabiendo que la desviación
estándar es la misma en todos los tramos.
A
La longitud de todos los tramos mide 1 000 metros.
m B ∆ = -7,8
2,179 43 m
∆ = +1
∆ = -7,324 m D = 120,032 m
∆ = -4
A = 100,000 m ,870 m
m
15 ,172
C ∆=+
Solución.
● Las flechas en cada línea indican el sentido del recorrido (dato de campo).
● La denotación “D” indica el desnivel entre los bancos.
∆ = cota Q - cota P
P Q
A
● En cada tramo existe un error llamado V1, V2, V3, V4, V5; ...; Vn
B -7,843 +
79 + V1 V4
+12,1
-7,324 + V3 D = 120,032
A = 100,000
-4,870 V5
72 +
+ V2
C +15,1
● Ecuaciones de condición (obedeciendo el sentido de las flechas)

Tramo 1: B = 100 + (12,179 + V1) à V1 = B - 112,179
Tramo 2: 100 = C + (-4,870 + V2) à V2 = 104,870 - C
Tramo 3: C = B + (-7,324 + V3) à V3 = C - B + 7,324
Tramo 4: B = 120,032 + (-7,843 + V4) à V4 = B - 112,189
Tramo 5: D = C + (15,172 + V5) à V5 = 104,86 - C
● Condición del método de mínimos cuadrados
● En nuestro caso:
● Dado que F es mínimo:

3B - C = 231,692
● Dado que F es mínimo:
, , ,
3C - B = 202,406
● Dos ecuaciones con dos incógnitas B = 112,185 m

C = 104,864 m
Ejemplo 3
● En las siguiente red de nivelación, se pide la cota de los puntos B, D y E.
Cota A = 100,000 m
Cota C = 138,777 m
B
∆
) = 2 (σ
(σ 0,1 )
m
∆ = -4,603 m
L 42
L = 2,0 km
42
=2
km m
8,6
,4
(2σ)
,8 km
=1
= 1
∆
L
(2σ)
A ∆ = -14,0 (2σ)
21 m
L = 1,32 ∆ = -24,765 m
km L = 1,8 km
C
E
32 m
L=
∆=-
(2σ) m
2,0
k
10,8
km
1,8
24,8
2,4
km
7m
(σ
=
∆=
L=
L
,94 )
35 m
)
13
∆= (σ
D
Solución
B
20
,1
42
1
V
-4,603 + V6
+
+
V
2
64
2
8,
+1
A = 100,000 m -14,021
+ V5
-24,765 + V7
C = 138,777 m
E
V8
-24,
+
,832
835
V3
+10
7+
+ V4
4
3,9
+1
D
● Ecuaciones de condición.
Tramo 1: B = 100 + (18,642 + V1) à V1 = B - 118,642
Tramo 2: 138,777 = B + (20,142 + V2) à V2 = 118,635 - B
Tramo 3: 138,777 = D + (13,947 + V3) à V3 = 124,830 - D
Tramo 4: 100 = D + (-24,835 + V4) à V4 = 124,835 - D
Tramo 5. 100 = E + (-14,021 + V5) à V5 = 114,021 - E
Tramo 6: E = B + (-4,603 + V6) à V6 = E - B + 4,603
Tramo 7: E = 138,777 + (-24,765 + V7) à V7 = E - 114,012
Tramo 8: D = E + (10,832 + V8) à V8 = D - E - 10,832
● Condición del método de mínimos cuadrados.
, ,
79B - 9E = 8346,157
=0
103D - 15E = 11147,760
-243,302 B - 304,128 D + 1186,406 E = 68440,014
● Tres ecuaciones con tres incógnitas.

B = 118,637 m
D = 124,835 m
E = 114,017 m
Ejemplo 4.
En la siguiente Red de Nivelación, calcular las cotas de los puntos: B; D; E; F; G y H.
(σ) B
,764
∆ = -32
A
L = 5 km
216
∆
15,
m
=1
4k
∆=
L= 4,9
63
L=
4k
∆=
m G
(σ) 362
F
-46
L=
9,133
,
8k
(σ)
km
m
∆ = -3
H
L=6
∆=
(σ)
E 26
L= ,8
) 6 k 06
(σ 39m m
,0
24
∆= 5 km
L=
L = 10 km
L = 5 km
D ∆ = -52,631 C
(σ)
2σ G
610
∆ = 2,
∆ = 4,310
F 1 km
L = 1 km
L=
2σ
∆ = 0,111
L = 1 km
2σ
1 km
H
L=
,821
∆=1 2σ
E
Cota A = 100,000 m
Cota C = 113,552 m
Solución.
B
4+ V1
-32,76
A
V6
6+
14
,21
,9
63
15
+V
5
-4
F G
6,3
V4
62
33 +
+V
2
-39,1
H
E 26
,80
6+
V7
+V
8
m
,039
24
L = 5 km
D -52,631 + V3 C
G
V9
0+
2,61
4,310 + V10
F
12
0,111 + V
12
11 H
1 + V1
1
1,82
E
● Ecuaciones de condición.
Tramo 1: B = 100 + (-32,764 + V1) à V1 = B - 67,236
Tramo 2: B = 113,552 + (-46,362 + V2) à V2 = B - 67,190
Tramo 3: D = 113,552 + (-52,631 + V3) à V3 = D - 60,921
Tramo 4: D = 100 + (-39,133 + V4) à V4 = D - 60,867
Tramo 5: 100 = F + (14,963 + V5) à V5 = 85,037 - F
Tramo 6: G = B + (15,216 + V6) à V6 = G - B - 15,216
Tramo 7: 113,552 = H + (26,806 + V7) à V7 = 86,746 - H
Tramo 8: E = D + (24,039 + V8) à V8 = E - D - 24,039
Tramo 9: F = G + (2,610 + V9) à V9 = F -G - 2,610
Tramo 10: H = G + (4,310 + V10) à V10 = H - G - 4,310
Tramo 11: H = E + (1,821 + V11) à V11 = H - E - 1,821
Tramo 12: F = E (0,111 + V12) à V12 = F - E - 0,111
● Condición del método del mínimos cuadrados:
● En nuestro caso:
23B – 10G = 721,678

14D - 6E = 342,864
14E - 5H - 5F - 4D = 86,496
● Dado que F es mínimo.
3F - G - E = 87,758
3G - B - F - H = 8,296

8H - 3G - 3E = 191,885
● Seis ecuaciones con seis incógnitas

B = 67,218 m
D = 60,887 m
E = 84,926 m
F = 85,039 m
G = 82,433 m
H = 86,745 m
Problema Propuesto 1
En la siguiente red de nivelación, se pide las cotas de B, C y D. La precisión en cada tramo es la misma,
cota A = 100,000 m
+15,182 m +22,111 m
B 0,5 km
0,5 km
A C
-18,978 m -18,322 m
D
0,5 km 0,5 km
-37,308 m
1,0 km
Problema Propuesto 2
Calcular las cotas de todos los vértices, luego del ajuste respectivo.
BM = 110,47 m
7 km
6 km
B +14,22 m 1 km
+16,21 m σ F
C
12,48 m
σ -9,23 m J
1 km
BM = 102,83 m
2σ
σ
D 2k
m
m
-6,9 5k
4k
01 m
-1 σ
7m
2σ m
m
2σ
-8,8
m
7,6
2k
,24
5m
E
-14
3 km
m
D -7,52
σ
428

= + + =

λ
⇒
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
∂
= ⇒ λ ⇒ λ
∂
∂
= ⇒ λ ⇒ λ
∂
∂
= ⇒ λ ⇒ λ
∂
λ
λ
λ

λλλ ⇒ λ

429

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

λ

⇒
∂ ∂ ∂

= = =
∂ ∂ ∂
∂ λ
= ⇒ ⋅λ ⇒ =
∂
∂ λ
= ⇒ ⋅λ ⇒ =
∂
∂ λ
= ⇒ ⋅λ ⇒ =
∂
λ
λ

λ

λ λ λ λ λ λ 
⇒ λ  + +  = ⇒ λ =



= = =
⋅ ⋅ ⋅
430

= ⋅

+

⋅
+
=

λ
⇒
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂
∂
∂ λ
= ⇒
λ ⇒ =
∂
∂ λ
= ⇒

λ ⇒
=
∂

∂
= ⇒

λ ⇒ λ
∂
λ

λ

λ

λ λ
λ ⇒ λ

431

Σ

= + + =
λ λ
⇒
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
∂ λ − λ
= ⇒ λ λ ⇒ =
∂
∂ λ
= ⇒ λ ⇒ =
∂
∂ λ
= ⇒ λ ⇒ =
∂
432

λ − λ λ λ
= = =

−
λ − λ = 
 λ = λ =
− λ +
λ = 

433

= + + + + + + =
λλ λλ

⇒
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = = = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ λ + λ
= ⇒ λλ ⇒ =
∂
∂ λ + λ
= ⇒ λλ ⇒ =
∂
∂ −λ
= ⇒ λ ⇒ =
∂
∂ λ
= ⇒ λ ⇒ =
∂
∂ λ + λ
= ⇒ λλ ⇒ =
∂
∂ λ + λ
= ⇒ λλ ⇒ =
∂
∂ λ
= ⇒ λ ⇒ =
∂
434
λ + λ −λ λ + λ λ
= = = =

λ + λ λ λ + λ
= = =

λ
λ
λ
λ

λ
λ
λ
λ
λ ×λ λ λ

×λ λ λ λ
λ λ λ ×λ
λ λ ×λ λ
λ λ λ λ

419
12
Capítulo
Análisis de los Errores Accidentales
en las Mediciones Topográficas
(angulares y lineales)

412 Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)
436

⋅α
α

 

 

 ⋅α

 

⋅α

α α
=

Análisis de los Errores Accidentales en las Mediciones Topográficas (angulares y lineales) 413
437

α
α

=
° − α α

αα
αα ⋅⋅α

α⇒ α⇒

⇒
  ( )



=

ε

ε
438

ε
ε
ε
ε

ε + ε

ε + ε

εε

ε

εε

439

 
 + 
 

440

 
 + 
 

⋅

⋅

= (
) + ( ) + ( ) + ( )

441
= +

( ) + ( ) + ( )

=

u 5u
sigui
σ=± + ⋅ 
 
 

σ
σ = ± + ( ⋅ )

⋅σ

442

π
× × ⇒
°

= (
) + (

)

ε +ε

= ⇒ εε

443

= × −
⋅ = ⋅

 + 

  = ± + + +

 + × 
  = ± ( ) + ( )

 + × 
 
= ⇒

ε + ε ×−

⋅

  ⋅ ⇒
 + 
 
444

± +
+ +
± +
+ +

= ± +
ε + ε

ε ε

⋅ = ⋅ ⇒

= ⇒

± +
+ + ±

× −

= ± + = ±
 +  =  + × 

    ±
⇒

445

αα
α

α

αα
α + + + + + + +
α= + + ++

+ ⋅

( + + + ) ⋅

446

+ + +
⋅ ⋅
+ + +

= +

⇒ + + +

× ×

+ + +

= + ⇒

447

448

449

°
θ °

°
θ °

θ

θ

θ

θ

θ

θ

450

°
θ °

θ

θ

θ

+ + +

451

428 Análisis de los Errores
Accidentales en
las Mediciones Topográficas (angulares y lineales)
452

453
± + ⇒

σ

++

σ ⋅








σ

++
σ ± +

σ
++ + −

σ

+ +

++

++ +−

±°× π ×
°
+ +

454

+ +

( − ) ( − ) ( − )

φ

∂φ ∂φ ∂φ ∂φ
⋅ + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
∂ ∂ − ∂ − ∂ −
⋅⋅

⋅⋅

⋅ + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
− − −
 − − − 

+ + +
 − − − 



 

 −   −   −  
   +  +  +  
    −   −   −  

 

 + + + 

−
−
− 

× 


 + + +

−
−
− 

(
) ×

×
455

+ + + +

σ

σ
σ

σ

⋅

⋅

456

σ

σ

σ σ

π 
σ

× 


° 

σσ

457

σσ
σ

σ σ
σ

Hay que tratar de utilizar equipos y métodos con los cuales obtengamos precisiones seme-
jantes tanto angular como lineal; si bien es cierto, será casi imposible encontrar la igual-
dad; con criterio y técnica es posible obtener errores similares.
458

σ

σ

459

Fig. 1

460
Fig. 2

σα

σα

σα

σα
σα
445
13
Capítulo
Métodos Planimétricos y
sus Errores Accidentales

α

αα

438 Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales
462

α

α

α
 π 
α  α × 

 ° 
α
⋅ ⋅ α
∂ ∂

⋅
+ ⋅
α
∂ ∂α

α⋅
⋅ α
α

± [ + α ⋅ ] + [ ⋅ + α ⋅ α ]

⋅ ⋅ α
∂ ∂

⋅
+ ⋅
α
∂ ∂α

α⋅
⋅ α
α
Métodos Planimétricos y sus Errores Accidentales 439
463

± [ + α ⋅ ] + [ ⋅ + α ⋅ α ]

α

α

⋅ α

∂ ∂

⋅ + ⋅ α
∂ ∂α

α⋅ ⋅ α⋅α

⋅ ⋅α

⋅⋅α

° × π 

± [ ⋅ ] + [ ⋅ α ] = ± [ × ] +  × 
 °

⋅ α

∂ ∂

⋅ + ⋅ α
∂ ∂α
464
α⋅
α⋅α
⋅
⋅α
⋅ ⋅α

± [ × ] + [ × α ] ⇒

α

β

⋅

⋅

465

θ °

° °

⋅

⋅

⋅

⋅

− 

 
 − 

( −) + ( − )

466

αβ

α

β

σ

Fig. a Fig. b

σ

σ

θ

σ ± σ + σ
σ ± σ

σ σ

467
σ
σ
σ

Fig. c Fig. d
σ

σ σ

θ θ

σ

θ
= σ
= σ
Fig. e Fig. f
468

⋅σ

θ

θ

θ

θ

σ

π 
⋅  ° × 
 ° 
 ° 
 
 

469

σ

θ + = +

+

+

π 
⋅  ° ×


 °
° 



 

470

α

β

Fig. a Fig. b
471

αβ

Fig. a Fig. b
θ

θαβ

⋅ β

+
( )
+
⋅ α ⋅ ( )
+
⋅ α

+
( )
+
⋅ β ⋅ ( )
+
θθ
θ
α
θ
β

Fig. c Fig. d
472

 θ 
  ⋅
 α 
 θ 
  ⋅
 β 
⋅

⋅
⋅

⋅

α β

α
β
473

θ

θ

θ

θαβ

⋅ β

+ ( )
+
⋅ α ⋅ ( )
+
⋅ α ⋅

+ ( )
+
⋅ β ⋅ ( )
+ ⋅

⋅
⋅

θ
α
θ
β

474

θαβ

θαβ

− β − α

Σ
θ − γ
⋅ + ⋅ + ⋅

Σ
⋅ + ⋅ + ⋅

Σ

(
− )
⋅ +
( − ) ⋅ + ( − ) ⋅

Σ Σ Σ

475
− ⋅ β − ⋅ γ − ⋅ α

β γ α

+ +
− ⋅ β − ⋅ γ − ⋅ α

β γ α

(
−)
⋅ +
( − ) ⋅ + ( − ) ⋅

Σ Σ Σ

+ +

⋅

⇒ ×

εε

×

× 
 +  
=  + 
   
×
452 Métodos Planimétricos
ysus
Errores
Accidentales
476

± + + + θ

Σ

ε ± +

εα×

εβ×

εγ×

α

477

α β

Fig. a Fig. b Fig. c

θ
−

θ
−
 −

θ −  
 − 
θ

θ ⋅ θ

−
( − ) ⋅
− ( − )
θ ⋅ θ
−
+
( − ) ⋅
− ( − )

−
⋅ θ ⋅ −
( − )
( − )
−
θ
( − )
⋅ −
( − )
⋅

478

θ
θ

θ θ
θ

479

θ
(
−
)
⋅ −
( −)
⋅

− ( )
θ ⋅ − ⋅
( )
( )
∆ ∆

θ×⋅×⋅

−
θ ⋅ − ⋅

( )
( )

θ×⋅×⋅

θ ⋅ − ⋅
( )

( )
480

θ× ⋅× ⋅
π

×
°

θ ⋅ − ⋅
(
) (
)

θ× ⋅ × ⋅

π

×

°

θ θ

× ⇒ ⇒

× ⇒ ⇒
θ θ

× ⇒ ⇒

θ θ φ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

φ = + + =

θ θ
∂φ
=
∂
π

×

°

α

481

∂φ
=

∂

Σ
β

α β
Σ ( )
± =±
(Σ )( − )

482

α
483

θ
θ ⋅
α

θ
⋅

⋅

α
484

θ

θ ⋅ (α + α )

αθ

⋅
⋅

θ

α

485

−
θ

−

θα

⋅

⋅

α

α

⋅

⋅

486

α
α
α
α
α

θ

⋅
⋅

θ ⋅ (° )

θ
487
αα ααα

θ ⋅ (° ) θ ⋅ (° )

θ θ

αθ

α θ

⋅
⋅

⋅

⋅

14
Capítulo
Diseño Geométrico de
Carreteras
Una carretera es una faja de terreno, destinado al tránsito de vehículos. La comodidad, seguridad
economía y compatibilidad con el medio ambiente dependerá del diseño de la misma; es por ello que
el diseño de una carretera es considerada como el elemento fundamental en la creación de la vía.
De hecho, la calidad de vida de las personas tiene naturaleza dual, pues está sujeta a la presencia de
los pueblos donde habitan y una carretera que las interconecte; así pues, el detonante económico y
social de las ciudades se encuentra en función directa de la presencia y características técnicas de la
carretera.
Desde el punto de vista topográfico, la formulación de un camino, está compuesto por cinco etapas :
- El reconocimiento de terreno. Es un análisis general del terreno que involucra el entorno de los pue-
blos o ciudades potencialmente favorecidas.
- Elección de la ruta a considerar. Si bien es cierto, existe un punto de partida y otro de llegada, la ruta
a tomar, puede sufrir desviaciones por la presencia de los llamados puntos obligados de paso, los cuales
aparecen por diversas razones: topográficas, climatológicas, ambientales, políticas, etc.
- Trazo preliminar. Considerando la ruta elegida y con ayuda de equipos, instrumentos y métodos to-
pográficos, se lleva a cabo el trazo de la línea de gradiente.
- Trazo geométrico definitivo. Consiste en el diseño del trazo horizontal y vertical del eje de la vía.
- Replanteo. Es trasladar al terreno el trazo horizontal y vertical indicado en los planos.
Antes de dar inicio al desarrollo del presente capítulo, es preciso confesar la ausencia de algunos
temas, tales como: curva de transición, desarrollo del sobreancho, longitud de transición del peralte,
rasante; no obstante queda el compromiso por parte del Autor de completar dicha información en la
próxima edición.
466 Diseño Geométrico de Carreteras
490
VELOCIDAD DE DISEÑO
Se le llama también velocidad

directriz; y se define como la máxima
velocidad que puede adquirir un
vehículo sin alterar la seguridad del
conductor (de habilidad media) así
por ejemplo:
Imagínese usted manejando un auto en

la autopista con velocidad de 20 km/h;
obviamente por la geometría y tipo
de carretera, este valor no le va a
significar peligro, salvo caso fortuito.
Si usted acelera e incrementa la velocidad lentamente y supera los valores de 30, 40 ó 50 km/h; es fácil
sospechar que dichas velocidades no van a inquietar su seguridad; sin embargo después de superar los
100 km/h; es seguro que su atención a conducir tendrá que ser más riguroso.
Esto significa que dicho valor: 100 km/h, es el límite máximo, con la cual usted podrá manejar con seguridad
en condiciones normales (velocidad directriz).
No obstante, si mentalmente nos

trasladamos a una trocha carrozable,
carente de capa de rodadura y con
presencia de una topografía accidentada,
no será difícil concluir que manejar a
100 km/h corresponderá tan solo a un
sueño fantasioso.
En efecto, superar la velocidad de 30 ó

40 km/h, implica peligro; por tanto la
velocidad directriz en dichas condiciones
se ve reducida a dichos valores.
De todo lo expuesto concluimos, que la velocidad de diseño depende en gran medida de dos factores:
- El tipo de carretera (volumen de tránsito).

- La topografía del terreno.
Por otro lado debemos confesar que el costo de una carretera está supeditado en gran parte al valor
de la velocidad directriz, es por ello que la elección de dicho parámetro, debe ser producto de un
estudio riguroso.
491
Diseño Geométrico de Carreteras Diseño geométrico de carreteras
467
Nota
Para efectos de presentar el cuadro que nos proporcionará la elección de la velocidad de
diseño; nos permitiremos mostrar algunos conceptos extraidos de las normas peruanas
DG - 2014.
CLASIFICACIÓN DE LAS CARRETERAS DE ACUERDO A LA DEMANDA

A) Autopistas de Primera clase
Carretera de IMDA (Índice medio diario anual) mayor de 6 000 veh/día, de calzadas divididas por
medio de un separador central mínimo de 6,00 m, cada una con dos o más carriles, con control total
de los accesos (ingresos y salidas) que proporciona flujo vehicular completamente contínuo.
B) Autopistas de Segunda clase

De IMDA entre 6000 y 4001 veh/día, de calzadas separadas, cada una con dos o más carriles; con
control parcial de accesos.
C) Carreteras de Primera clase

Son aquellas con IMDA entre 4 000 - 2 001 veh/día de una calzada de dos carriles.
D) Carreteras de Segunda clase

Son aquellas de una calzada de dos carriles que soportan entre 2 000 - 400 veh/día.
E) Carreteras de Tercera clase

De una calzada que soportan menos de 400 veh/día.
F) Trochas carrozables
Son vias transitadas, que no alcanzan las características de una carretera, que por lo general tienen
un IDMA menos a 200 veh/día. La superficie de rodadura puede ser afirmada o sin afirmar.
Tipos de carreteras según condiciones orográficas
Condiciones orográficas
Carretera (P %) Denominación Ilustración
Tipo 1 0 - 10 Plana
Tipo 2 11 - 50 Ondulada
Tipo 3 51 - 100 Accidentada
Tipo 4 Mayor de 100 Escarpado

Jorge
468 Mendoza Dueñas 492
Diseño Geométrico de Carreteras
Elección de la velocidad del diseño (DG - 2014)
Clasificación Plana Ondulada Accidentada Escarpado

(km/h) (km/h) (km/h) (km/h)
Autopista de primera clase 80 - 140 80 - 130 60 - 110 60 - 100
Autopista de segunda clase 80 - 130 80 - 130 60 - 110 60 - 100
Carretera 1ra. clase 80 - 110 70 - 110 50 - 100 50 - 90
Carretera 2da.clase 60 - 90 50 - 90 40 - 80 40 - 70
Carretera 3ra. clase 40 - 80 30 - 70 30 - 60 30 - 50
DISEÑO DEL TRAZO HORIZONTAL

Por motivos didácticos, iniciaremos nuestra explicación, mostrando el eje de una carretera carente de
curvas, vale decir, línea recta.
Como verá, siempre existirá un punto de inicio y otro de llegada; sin embargo normalmente se hace
necesario localizar un punto perteneciente a dicha carretera; para ello imperan dos métodos: el primero
mediante sus coordenadas (generalmente UTM); el segundo, mediante las estacas o llamadas también
progresivas.
ESTACAS O PROGRESIVAS
Son puntos o monumentos referidos al eje del camino, convencionalmente se encuentran separados cada
20 metros.
493 Diseño geométrico de carreteras
Diseño Geométrico de Carreteras 469
Nota
Normalmente las carreteras presentan tramos rectos, llamados “tangentes” y trechos cur-
vos; para efectos de diseño, este último es presentado matemáticamente por un arco de
circunferencia.
ELEMENTOS DE LA CURVA HORIZONTAL
PC : principio de curva LC : longitud de la curva

PT : principio de tangente ó fin de curva T : subtangente
PI : punto de intersección de las tangentes E : externa
∆ : ángulo de deflexión C : cuerda larga
R : radio de la curva horizontal M : distancia de la ordenada media
ELECCIÓN DEL RADIO DE LA CURVA HORIZONTAL

No existe fórmula que permita calcular el radio óptimo; no obstante es recomendable adoptar el radio más
amplio posible, sin embargo es común por la topografía del terreno, encontrarse con curvas muy cerradas
“radios pequeños”; al respecto se recomienda elegir radios no menores a las mostradas en la siguiente
tabla:
Jorge Mendoza Dueñas 494
Radios mínimos
Los valores de la siguiente tabla son solo referenciales; para efectos de diseño es preciso ajustarse a las
normas de cada país; a manera de ejemplo, se muestra los radios mínimos para áreas urbanas según la
norma DG 2014
Velocidad directriz (km/h) Radio normal (m)
30 35
40 60
50 100
60 150
70 215
80 280
90 375
100 495
110 635
FÓRMULAS QUE GOBIERNAN LA CURVA HORIZONTAL

Para aplicar las siguientes fórmulas, es imprescindible conocer el ángulo de deflexión y el radio de la
curva.
A) FÓRMULAS PRIMARIAS B) FÓRMULAS COMPLEMENTARIAS

495 Geométrico de Carreteras
Diseño Diseño geométrico de carreteras
471
Ejemplo de aplicación 1.- Una curva circular presenta un ángulo de deflexión D = 101º; mientras que el
radio elegido es 60 metros. Calcular la subtangente T y la longitud de la curva LC.
Solución
Datos : T = 72,79 m
 = 101°
R = 60 m
LC = 105,77 m
Nota
Respecto al estacado del eje de la carretera, convencionalmente rige:
- En tramos tangentes: Estacado cada 20 metros.
- En curvas circulares: Estacado cada 10 metros.
Ejemplo de aplicación 2.
Considerando que la curva
circular corresponde a las
características del problema
anterior, se pide estacar el eje
de la carretera, en el siguiente
croquis.
Solución:
Es preciso entender que

la progresiva de un punto,
corresponde a la distancia
acumulada respecto a la
estaca 0 + 00 m.
PI
Cálculo de PC.
Obviando el kilometraje.
PC = PI – T = 320,46 – 72,79
PC = 247,67
Jorge
Cálculo de PT. Estacando el tramo circular: cada 10 m.
Como quiera que PT; es la distancia acumulada

hasta dicho punto.
Obviando el kilometraje.
PT = PC + LC = 247,67 + 105,77
PT = 353,44 m
Estacando el primer tramo tangente: cada 20 m.

Estacando el tramo tangente: cada 20 m.
Finalmente :
Nota
Es recomendable adoptar como sugerencia: en tramos tangentes, las estacas son múltiplos
de 20; mientras que en tramos circulares, múltiplos de 10.
LÍNEA DE GRADIENTE._ Es un conjunto de líneas quebradas que tiene como elemento común: la
pendiente.
Planta
Perfil
Si la línea de gradiente constituyese exactamente el eje de la vía; el movimiento de tierras a realizar sería
mínimo; por tanto desde este punto de vista, estaríamos al frente de la ruta más económica.
Sin embargo dicha hipótesis no es viable, pues es imposible que el conductor de un vehículo modifique la
dirección de su velocidad bruscamente y en forma contínua, de ser así se encontraría violando la ley de la
inercia.
Planta
Observación
En realidad es imposible unir dos puntos distanciados por varios kilómetros con un conjunto
de líneas rectas de igual pendiente.
Por ello se hace lícito permitir la presencia de una línea de gradiente con varias pendientes,
aunque no es recomendable que dicho cambio sea contínuo.
4%
4% 4%
2% 2%
2% 4%
2% 2%
2%
Cambio de pendiente permitido

Planta
4%
-2% -1%
3% 4%
6% -4%
3% 5%
2%
Cambio de pendiente no permitido

Planta
Pendientes máximas
A modo de ilustración, se presenta a continuación las pendientes máximas según la norma DG 2013.
Demanda Autopistas Carretera Carretera Carretera
Vehículos/día > 6.000 6.000 - 4001 4.000 - 2.001 2.000 - 4 00 < 400
Características Primera clase Segunda clase Primera clase Segunda clase Tercera clase
Tipo de orografía 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
Velocidad de diseño: 20 km/h 8,00 9,00 10,00 12,00
30 km/h 8,00 9,00 10,00 12,00
40 km/h 9,00 8,00 9,00 10,00 10,00
50 km/h 7,00 7,00 8,00 9,00 8,00 8,00 8,00 8,00
60 km/h 6,00 6,00 7,0 0 7,00 6,00 6,00 7,00 7,00 6,00 7,00 8,00 9,00 8,00 8,00 8,00 8,00
70 km/h 5,00 5,00 6,00 6,00 6,00 7,00 6,00 6,00 7,00 7,00 6,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00
80 km/h 5,00 5,00 5,00 5,00 5,00 5,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 7,00 7,00 7,0 0 7,00
90 km/h 4,50 5,00 5,00 5,00 5,00 6,00 5,00 5,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00
100 km/h 4,50 4,50 4,50 5,00 5,00 6,00 5,00 6,00
110 km/h 4,00 4,00 4,00
120 km/h 4,00 4,00 4,00
130 km/h 3,50
TRAZO DE UNA LÍNEA DE GRADIENTE

Para llevar a cabo la presente actividad, es necesario la presencia de la topografía del terreno; ya sea en un
plano (curvas de nivel) o física (in situ); al desarrollo del trazo en un plano, se le denomina método indirecto,
mientras que al segundo: método directo; no obstante ser el primero el más recomendable.
TRAZO HORIZONTAL DEL EJE: Método indirecto
Trazo de una línea de gradiente en un plano
1. Es necesario contar con un plano a curvas de nivel donde se establezca el punto de inicio y llegada.
0
89
900
Llegada
Inicio
890
El presente plano tiene las siguientes características:
- Equidistancia vertical en curvas de nivel: 2 metros.

- Escala de plano: 1/2 000
2. En una línea de gradiente, cada pendiente estará representada por una longitud L (en el plano).
PLANTA PERFIL
Analizando el triángulo: Análogamente:
x (cm) P (%)
20 0,5
10 1
6,67 1,5
Con lo cual es posible elaborar el siguiente cuadro: 5 2
4 2,5
L (m) P (%) 3,3 3
400 0,5 2,9 3,5
200 1 2,5 4
133,33 1,5 2,2 4,5
100 2 2 5
80 2,5 1,8 5,5
66,67 3 1,7 6
57,14 3,5 1,5 6,5
50 4 1,4 7
44,44 4,5 1,3 7,5
40 5 1,2 8
36,36 5,5
De lo analizado: La fórmula general para
33,33 6 determinar la distancia “x” en centímetros para
30,78 6,5 un plano de escala 1/2 000 y una equidistancia
vertical de 2 m es:
28,57 7
26,67 7,5
(cm)
25 8
Como quiera que la escala de nuestro plano es

1/2 000; tendremos (para L = 400 m): Ejem: para P = 4 %
(ver tabla)
Terreno Plano
Donde x; constituye la abertura del compás.
x = 0,2 m
x = 20 cm
Ilustración
A. Si elegimos como pendiente 7%, tendremos que proceder a calibrar la abertura del compás hasta
una longitud de 1,4 cm; dado que nuestro plano se presenta a escala 1/2 000 y la equidistancia
vertical 2 m (curvas de nivel).
B. Haciendo centro en el punto de inicio (A), se traza un arco de radio 1,4 cm cortando a la siguiente
curva en el punto 1.
A 1
C. Conservando la misma abertura y haciendo centro en el punto 1, se vuelve a trazar un arco, cortando
a la siguiente curva en el punto 2.
1 2
A
D. Análogamente, obtendremos el punto 3.
2 3
A 1
E. Observemos la formación de la línea de gradiente.
2 3
A 1
F. Esta operación se repite, tratando de no cambiar la pendiente.
¿Y cuándo cambiar la pendiente?
A. Cuando la pendiente es muy pequeña.

En la siguiente imagen se muestra el trazo de una línea desde la curva (cota 904) hasta la siguiente
(cota 906); observe que dicha línea por ser diminuta, no llega a cortar a la siguiente curva; lo cual
obliga a incrementar la abertura del compás, vale decir aumentar el valor de la pendiente.
6
90
904
900
B. Cuando la pendiente es excesiva

En la siguiente imagen se muestra el trazo de una línea desde la curva (cota 890) hasta la siguiente
(cota 892); observe que dicha línea corta a la curva (cota 892) en dos puntos, lo cual es ilícito,
dado que solo está permitido una sola intersección; esto implica una disminución en la abertura del
compás, vale decir reducir el valor de la pendiente.
890 890
892
Ejemplo típico Taller Nº 1
En el desarrollo del presente capítulo, tomaremos Haciendo uso del plano AA1 (ejemplo típico):
como herramienta de trabajo, el trazo de una Escala 1/2 000; equidistancia vertical: 2 metros;
carretera con las siguientes características se pide trazar la línea de gradiente desde el punto
técnicas: “inicio” hasta el punto “llegada”.
Visitar la página web:
• Clasificación por demanda: tercera clase.
www.ignovando.com
• Clasificación según condiciones orográficas:
tipo 3. A manera de ilustración: nosotros nos
hemos permitido trazar la línea de gradiente,
• Velocidad directriz: 40 km/h
según se expone en el plano AA2.
• Datos iniciales:
En dicha lámina se muestra cuatro pendientes
- Planos a curvas de nivel diferentes:
- Escala : 1/2 000
Naranja : + 4%
- Equidistancia vertical : 2 m
Turquesa : - 6%
- Punto de partida: inicio
Azul : - 8%
- Punto final: llegada
Verde : - 4%
Trazo de alineamiento del eje de una carretera
Un alineamiento es una línea recta que puede estimarse como el promedio visual de un tramo de línea de
gradiente.
Dicho alineamiento representará el eje de la futura carretera.
Planta: El alineamiento es una línea recta, proveniente de la media (aprox,) del

conjunto de segmentos que componen la línea de gradiente
Planta: La presencia de los alimentamientos 1 y 2, generan el origen del punto

de intersección PI.
Observación
El caso ideal se presenta cuando el alineamiento generado se ciñe lo más posible a la línea
de gradiente, con lo cual se optimiza el futuro movimiento de tierras.
Taller Nº 2
Haciendo uso del plano AA2, se pide trazar los alineamientos según la línea de gradiente mostrada.
Nosotros hemos trazado los alineamientos, tal como se aprecia en el plano AA3.
506
PRINCIPALES TIPOS DE CURVAS HORIZONTALES
1. Curva simple. Es un arco de circunferencia que une dos tangentes consecutivas.
2. Curva compuesta. Está formada por dos curvas circulares simples, tangentes entre si, de distintos
radios y cuyos centros se encuentran en el mismo lado de la curva.
PCC : Punto de curva compuesta

483
El trazo anterior equivales a :
Donde :  = 1 + 2
3. Curva policéntrica. Está formada por una curva compuesta y una curva simple del mismo sentido,
unidas consecutivamente.
508
Equivalente a :
4. Curvas reversas. Está formada por dos curvas simples de sentidos contrarios, unidas por una
tangente.
485
LONGITUD DE TRAMOS EN TANGENTE
A. Longitud máxima en tangente

Para evitar monotonía o problemas de cansancio en el conductor, los tramos rectos (tangentes) deben
presentar límites máximos.
La fórmula recomendada: LMAX = 16,70 x Vd Vd : velocidad de diseño
B. Longitud mínima entre dos curvas del mismo sentido

La longitud mínima entre dos curvas del mismo sentido, está dada por la siguiente expresión.
LMIN = 2,79 x Vd Vd : velocidad de diseño
Si dicha longitud es inferior a la mínima, se

recomienda reemplazar las dos curvas por
una sola de radio mayor, o que la tangente
sea reemplazada por un arco circular,
convirtiéndose en el caso de una curva circular
policéntrica.
C. Longitud mínima entre dos curvas de

sentido contrario (reversas)
LMIN = 1,39 x Vd
La longitud mínima tangente, debe ser tal

que permita por lo menos el desarrollo del
peralte.
Observación
La norma peruana DG-2014 contempla el siguiente cuadro
Vd (km/h) LMIN.S(m) LMIN.O (m) LMAX (m)
30 42 84 500
40 56 111 668
50 69 139 835
60 83 167 1 002
70 97 194 1 169
80 111 222 1 336
90 125 250 1 503
100 139 278 1 670
110 153 306 1 837
120 167 333 2 004
130 180 362 2 171
LMIN.S : longitud mínima entre dos curvas de sentido contrario.

LMIN.O : longitud mínima entre dos curvas del mismo sentido.
LMAX : longitud máxima en tangente
Vd : velocidad de diseño
Taller Nº 3
Dado el plano AA3; se pide:
A. El trazo de las curvas horizontales, tratando que éstas se ciñan a la línea de gradiente y sean tangente
a cada alineamiento.
B. Medir las distancias existentes entre los PIS; así como los ángulos de deflexión.
C. Calcular los elementos de cada curva horizontal (T y LC).
D. Acotar gráficamente los elementos de las curvas horizontales.
E. Calcular las progresivas del trazo horizontal y representarlas gráficamente.
Solución propuesta por el Autor:
A. Según los alineamientos del plano AA3; y con un método enteramente grá ico, se han trazado las tres
curvas horizontales, tal como se aprecia en el plano AA4; obteniendo como radios:
R1 = 80,273 m
R2 = 145,034 m
R3 = 64,516 m
Por otro lado, según recomendación del presente libro (pag. 470), para una velocidad directriz de
40 km/h; el radio mínimo normal es 60 metros; con lo cual deducimos que nuestros radios superan el
mínimo admisible.
B. El plano AA5, muestra las distancias existentes entre los PIS; así como los respectivos ángulos de
de lexión.
C. Cálculos de los elementos de las curvas: T y LC.
Cuva 1
R = 80,273 m T1 = 65,471 m
 = 78°24’4,35’’ Lc1 = 109, 842 m
Cuva 2
R = 145,034 m T2 = 284,050 m
 = 125º 54’ 10,22” Lc2 = 318,701 m
Cuva 3
R = 64,516 m T3 = 308,516 m
 = 156º 22’ 37,86” Lc3 = 176,084 m
D. Con ayuda de los cálculos antecesores, así como del plano AA5; es posible presentar el plano AA6,
donde se muestra gráficamente el acotamiento de cada curva horizontal.
512
E. Cálculo de las progresivas importantes: • Cálculo de PT2:
• Cálculo de PC1 Según plano AA6: LC2 = 318,701 m
progresiva inicio = 0 + 00 PT2 = PC2 + Lc2 = 391,034 + 318,701 = 709,735 m
plano AA6: Longitud (Inicio - PC1) = 107,170 m Progresiva PT2 = 0 + 709,735 m
Luego, progresiva PC1 = 0+ 107,170 m

• Cálculo de PC3:
• Cálculo de PT1: Del plano AA6:
Según plano AA6: Lc1 = 109,842 m Longitud (PT2 - PC3) = 236,257 m
PT1 = PC1 + Lc1 = 107,170 + 109,842 = 217,012 m PC3 = PT2+236,257 = 945,992 m
Progresiva PT1 = 0 + 217,012 m Progresiva PC3 = 0 + 945,992 m
• Cálculo de PC2 • Cálculo de PT3:
Del plano AA6: Según plano AA6: LC3 = 176,084 m
Longitud (PT1 - PC2) = 174,022 PT3 = PC3 + Lc3
PC2 = PT1+174,022 = 391,034 m PT3 = 945,992 + 176,084 = 1 122,076 m
Progresiva PC2 = 0 + 391,034 m Progresiva PT3 = 1 + 122,076 m
Con los cálculos obtenidos, se presenta el estacado del eje principal (cada 20 m en tramo tangente y cada
10 m en tramo circular). Ver plano AA7.
489
TRAZO HORIZONTAL DEL EJE: Método directo

Trazo de una línea de gradiente en el terreno
Para llevar a cabo el trazo de una línea de gradiente directamente en el campo, es preciso hacer uso de
equipos de nivelación topográfica: eclímetro, nivel, teodolito, estación total, etc. La elección del equipo a
utilizar, está sujeta al tipo de proyecto a realizar. Para el caso particular de carreteras, es práctico y suficiente
apoyarse en el eclímetro.
Método práctico para el trazo de línea de gradiente utilizando eclímetro
Paso 1. Medir la altura del operador desde la Paso 3. Monumentar en el terreno el punto A
base de sus pies hasta el nivel de sus ojos. (partida) y el punto B (llegada).
Vista en planta
Paso 2. Trasladar la altura “h” obtenida en el Paso 4. Graduar el eclímetro con la pendiente
paso 1 al jalón por usar, plasmándolo mediante de partida. En el presente ejemplo se va asumir
una marca. como pendiente: P = 2%.
Jorge
490 Mendoza Dueñas Diseño Geométrico de Carreteras
514
Paso 5. Trazo de un arco con centro en A y Paso 7. Desplazar el jalón a través del arco
radio 20 metros; se traza un arco, gracias a la hasta que la visual del eclímetro coincida con
ayuda de un cordel y el jalón. la marca en el jalón; originado así el punto 1.
Paso 6. Con el operador de pie en “A” y Paso 8. Para la obtención del punto 2; se
haciendo uso del eclímetro graduado con la repite la operación desde el paso 5 hasta el 7,
pendiente de partida, se visa el jalón ubicado pero teniendo como estación el punto 1. Este
en un punto del arco trazado. proceso se repite para los demás puntos.
Nota
En el supuesto caso que sea imposible ubicar la marca en el jalón; se hace necesario
cambiar la pendiente en el eclímetro.
Finalmente se obtiene la línea de gradiente que une los puntos A y B.
Planta
491
Ubicación de los PIS en el terreno
Con apoyo del sentido visual, se trazan rectas tratando de representar la media de la línea de gradiente
para cada dirección.
La intersección de los alineamientos definirán la posición de los PIS, los cuales deben ser monumenta-
dos con la importancia debida.
Con ayuda de una estación total, se mide en el campo los ángulos de deflexión y las longitudes de los
lados de la poligonal.
516
Conceptos fundamentales
Grado de curvatura (G).- Es el ángulo en el centro correspondiente a un desarrollo de arco de
20 metros.
R (metros)
G(grados sexagesimales)
Grado de curvatura para un arco de 10 metros (G10).- Es el ángulo en el centro correspondiente

a un desarrollo de arco de 10 metros.
Propiedades geométricas
1. 2.
493
Estacado en una curva circular (cada 10 metros)
En el siguiente gráfico, se muestran los arcos de la curva circular con sus respectivos ángulos centrales.
q0 : primer arco de la curva circular.

q : 10 m (arco típico).
qF : último arco de la curva
A continuación, se muestran los ángulos de deflexión respecto al punto PC.
De donde :
n: número de arcos típicos
De los dos últimos gráficos:
Finalmente:
q0
qF
494 518
Taller Nº 4
Se muestra en el gráfico, los puntos de partida (A), llegada (B), así como los dos únicos PIS de un camino.
Gracias al apoyo de una estación total, se midieron las longitudes de la poligonal y los ángulos de deflexión.
Se pide (para la curva 1) calcular:
- El grado de curvatura
- La tangente “T” y la longitud de curva horizontal “LC”
- Las progresivas PC1 y PT1.
- q0 y qF
- d0 ; d ; dF
- Además, elaborar el cuadro: progresiva vs deflexión acumulada (d acumulado).
Solucionando:
• •
G = 5,72958’’ LC = 162,172 m
T = 85,842 m
519
495
PC1 = 743,27 – T = 743,27 – 85,842

PC1 = 0 + 657,428 m
PT1 = PC1 + LC = 657,428 + 162,172

PT1 = 0 + 819,600 m
• Según el gráfico:
q0 = 2,572 m
qF = 9,600m
• Considerando:
q0 = 2,572 m d0 = 0° 22’ 6,28’’
q = 10 m d = 1° 25’ 56,62’’
qF = 9,600 m dF = 1° 22’ 30,36’’
• Graficando los ángulos de reflexión:

Cuadro de deflexiones
Progresiva q d parcial d acumulado

PC1= 0 + 657,428 0 0º 0º
0 + 660 2,572 0º22’6,28’’ 0º 22’ 6’’
0 + 670 10 1º 25’ 56,62’’ 1º 48’ 3’’
0 + 680 10 1º 25’ 56,62’’ 3º 14’ 0’’
0 + 690 10 1º 25’ 56,62’’ 4º 39’ 57’’
0 + 700 10 1º 25’ 56,62’’ 6º 05’ 54’’
0 + 710 10 1º 25’ 56,62’’ 7º 31’ 51’’
0 + 720 10 1º 25’ 56,62’’ 8º 57’ 48’’
0 + 730 10 1º 25’ 56,62’’ 10º 23‘ 45’’
0 + 740 10 1º 25’ 56,62’’ 11º 49’ 42’’
0 + 750 10 1º 25’ 56,62’’ 13º 15’ 39’’
0 + 760 10 1º 25’ 56,62’’ 14º 41’ 36’’
0 + 770 10 1º 25’ 56,62’’ 16º 07’ 33’’
0 + 780 10 1º 25’ 56,62’’ 17º 33’ 30’’
0 + 790 10 1º 25’ 56,62’’ 18º 59’ 27’’
0 + 800 10 1º 25’ 56,62’’ 20º 25’ 24’’
0 + 810 10 1º 25’ 56,62’’ 21º 51’ 21’’
PT1 = 0 + 819,600 9,600 1º 22’ 30,36” 23º 13’ 51’’
Como se verá la deflexión acumulada ha sido redondeada al segundo, pues estos valores se ingresarán al
teodolito para efectos de replanteo.
Por otro lado:
Dicho valor (23º 13’ 46”) no coincide con d acumulado (23º 13’ 51”), no obstante, es simple deducir que
el error o diferencia es: cinco segundos; el cual es aceptable según la precisión del teodolito a usar en el
replanteo.
Replanteo del eje horizontal
A) Replanteo de los PCs y PTs
- Replanteo del PC1 .– ubicada la estación total en PI1, se dirige la visual al punto A; conociendo el
valor de la tangente “T”; se procede a replantear y monumentar el punto PC1.
521
497
- Replanteo del PT1.- Ubicada la estación total en PI1, se dirige la visual al punto PI2; conociendo
el valor de la tangente “T”; se procede a replantear y monumentar el punto PT1.
B) Replanteo de las estacas en la curva horizontal 1; utilizando teodolito, jalones y cinta métrica
(método de deflexión).
En el presente método se va a considerar arco cuerda

- Estacionar el teodolito en PC1.
- Dirigir la visual al punto PI1 y hacer 0º 00’ 00” en dicha dirección.
- Con ayuda del cuadro de deflexiones, girar la alidada el ángulo correspondiente a la primera
deflexión acumulada (en nuestro ejemplo: 0º 22’ 6”).
Apoyándonos en la cinta métrica y haciendo cero en PC, trazar en el terreno un arco de radio q0
(en nuestro ejemplo: 2,572 m). Dicho arco se intersectará con el alineamiento d = 0º 22’ 6’’ en la
estaca 0 + 660.
Con el teodolito en PC, girar la alidada hasta completar el siguiente ángulo de deflexión acumulado
(según cuadro de deflexiones: =1º 48’ 3”).
Apoyándonos en la cinta métrica y haciendo cero en la estaca 0 + 660, trazar en el terreno un arco
de radio 10 m. dicho arco se intersectará con el alineamiento d = 1º 48’ 3” en la estaca 0 + 670.
El mismo procedimiento se realiza para las siguientes estacas.

Última estaca (PT).- Con el teodolito en PC, girar la alidada hasta completar el valor del último ángulo
de deflexión acumulado (en nuestro ejemplo: 23º 13’ 51”)
- Apoyándonos en la cinta métrica y haciendo cero en la estaca 0 + 810 (para nuestro ejemplo), trazar
en el terreno un arco de radio 9,600 m (para nuestro ejemplo). Dicho arco se intersectará con el
alineamiento d = 23º 13’ 51” en la estaca PT’.
Teóricamente: PT y PTI representan al mismo punto (PT). La longitud existente entre ellos
(x), no deberá ser mayor que el máximo tolerable.
¿Cómo calcular el máximo valor de x (tolerable)

Según el Ministerio de Transportes y Comunicaciones de la República del Perú.
Fase de trabajo Tolerancia horizontal (ER)

Georreferenciación 1: 100 000
Puntos de control (polígonos o triángulos) 1: 10 000
Puntos del eje, (PC), (PT), puntos en curvas y 1: 5 000
referencias.
ER: error relativo
Para nuestro caso: ER = 1/5 000
En nuestro ejemplo: LC 162 m x 0,03 m x = 3 cm
Lo cual significa que “x” no debe superar los 3 cm,

de lo contrario será necesario repetir el proceso de
replanteo en dicha curva.
C) Replanteo de las estacas en el tramo tangente A - PC1, utilizando teodolito, jalones y cinta
métrica.
Estacionar el teodolito en “A” para luego dirigir la visual a PI1.
Con ayuda de una cinta métrica y haciendo cero en “A”, trazar en el terreno un arco de radio
20 m. Dicho arco se intersectará con el alineamiento A - PI1 en la estaca 0+20.
Repetir el procedimiento anterior, pero haciendo cero (con la cinta métrica) en la estaca 0+20.
El mismo procedimiento se realiza para las siguientes estacas.
Última estaca (PC1). - con ayuda de la cinta métrica y haciendo cero en la estaca 0 + 650 (para
nuestro ejemplo), trazar en el terreno un arco de 7,428 m de radio, dicho arco se intersectará con
el alineamiento A - PI1, en la estaca PCI1.
Teóricamente PC1 y PCI1 representan el mismo punto (PC1). La longitud

exsistente entre ellos (x) no deberá ser mayor que el máximo tolerable.
Según el Ministerio de Transportes y Comunicaciones de la República del Perú, el valor máximo tolerable
para tramos tangentes, es de 5 cm.
Finalmente el error acumulado concluye en la estaca PC, dado que este último es considerado punto de
control.
GEORREFERENCIACIÓN:
Significa monumentar puntos de control a lo largo del camino y establecer en ellos coordenadas UTM
(Universal Transversal de Mercator), generalmente en el Datum WGS84, provenientes de la traslocación
de un hito geodésico oficial. Se les llama también puntos GPS.
Dichos puntos deberán estar ubicados en lugares estratégicos cercanos, así como accesibles al eje de la vía
y que no se vean afectadas por las obras o por el tráfico vehicular y peatonal.
¿Qué distancia debe existir entre los puntos GPS?
En realidad se deben establecer dos puntos GPS por zona.
Ejemplo
Se recomienda que dicha distancia no supere los 3 km; excepcionalmente 5 km.
Por otro lado; es preciso confesar que dichas coordenadas UTM, deberán ser transformadas a topográficas
para efectos de ser consideradas en las mediciones de campo, de no ser así, las poligonales levantadas,
arrojarán errores de cierre lejos del máximo permitido.
LEVANTAMIENTO DE LAS POLIGONALES DE CONTROL
Las poligonales a formar deberán partir y culminar en los puntos GPS (Expresados en coordenadas
topográficas); de este modo se podrá controlar su precisión angular y lineal.
Según el Ministerio de Transportes y Comunicaciones del Perú; el error relativo no deberá ser mayor a
1/10 000.
Ejemplo:
Nota
Los vértices de la poligonal, no necesariamente deben coincidir con los PIS del eje del
camino.
PUNTOS DE CONTROL ALTIMÉTRICO
Se debe monumentar BMS en lugares cercanos y accesibles al eje de la vía y que no se vean afectados por
las obras o por el tráfico vehicular y peatonal.
Las cotas de dichos puntos de control deben estar enlazadas por dos BMS oficiales como mínimo.
Ejemplo:
Los BMS deben estar separados aproximadamente 500 metros.

En cada circuito (nivelación geométrica), el error máximo tolerable, estará controlado por la siguiente
expresión:
EMAX : (metros)
k = Longitud del circuito en kilómetros
Asimismo, los vértices de la poligonal de control planimétrica, deben tener cotas enlazadas con los BMS
establecidos, producto de una nivelación geométrica.
SECCIONAMIENTO
Consiste en levantar (Taquimetría) puntos pertenecientes a rectas ficticias perpendicular al eje de la vía en
cada estaca o progresiva.
La distancia “d” depende del objetivo del proyecto, puede ser: 20, 30, 40, 50 metros (o más) a cada lado
del eje.
La distancia “x” no es constante y depende enteramente de la orografía del terreno, así como la experiencia
y criterio del topógrafo.
El seccionamiento se puede realizar con el apoyo de una estación total (ubicados en los vértices de la
poligonal) o un eclímetro y distanciómetro simultáneamente.
DISEÑO DEL TRAZO VERTICAL
Para llevar a cabo el diseño del trazo vertical, es preciso contar con el trazo definitivo del eje horizontal, con
lo cual es de suponer que las estacas de dicho eje están definidas.
Así mismo es imprescindible la presencia del perfil longitudinal del terreno, para ello se hace necesario
el uso del plano topográfico (curvas de nivel) o el apoyo de una nivelación geométrica, con el objetivo de
obtener la cota de cada estaca.
Es necesario resaltar que el trazo del diseño vertical, no se realiza aisladamente del trazo horizontal.
Taller Nº 5
Con ayuda de los planos AA1 y AA7; se pide:
A._ Determinar las cotas de cada estaca.

B._ Representar gráficamente el perfil longitudinal del terreno. Escala (H: 1/4 000; V: 1/400)
A._ Apoyándonos en los planos AA1 y AA7, obtenemos el plano AA8; gracias al cual presentamos el
siguiente cuadro.
Progresiva Cota de terreno Progresiva Cota de terreno

0+00 196,000 0+200 192,449
0+20 196,451 0+210 192,642
0+40 194,832 0+217,012 192,140
0+60 193,943 0+220 192,327
0+80 193,867 0+240 192,634
0+100 192,264 0+260 196,121
0+107,17 191,232 0+280 197,938
0+110 191,162 0+300 197,916
0+120 191,072 0+320 194,873
0+130 190,224 0+340 196,487
0+140 190,876 0+360 202.467
0+150 190,864 0+380 205,250
0+160 191,141 0+391,035 206,861
0+170 191,940 0+400 206,340
0+180 193,143 0+410 206,031
0+190 193,09 0+420 206,038
Progresiva Cota de terreno Progresiva Cota de terreno

0+430 207,222 0+760 227,310
0+440 208,851 0+780 230,035
0+450 209,874 0+800 231,694
0+460 211,024 0+820 232,428
0+470 212,202 0+840 232,282
0+480 213,142 0+860 232,215
0+490 213,550 0+880 232,783
0+500 214,198 0+900 233,467
0+510 215,284 0+920 233,824
0+520 216,403 0+940 233,683
0+530 217,991 0+945,992 233,436
0+540 218,454 0+950 232,841
0+550 219,239 0+960 232,457
0+560 220,143 0+970 232,842
0+570 220,624 0+980 233,284
0+580 220,112 0+990 234,041
0+590 220,239 1+00 234,658
0+600 220,342 1+10 236,046
0+610 219,639 1+20 237,874
0+620 217,934 1+30 239,420
0+630 216,241 1+40 240,408
0+640 215,065 1+50 241,391
0+650 216,425 1+60 242,425
0+660 218,141 1+70 243,756
0+670 218,828 1+80 244,651
0+680 219,383 1+90 244,998
0+690 220,321 1+100 245,761
0+700 221,391 1+110 246,603
0+709,735 222,702 1+120 247,855
0+720 223,990 1+122,076 247,984
0+740 225,872
B. Gracias al cuadro antecesor, es posible dibujar el perfil longitudinal del terreno, tal como se expone
en el plano AA9, sin embargo, cabe resaltar que es común presentar dicho perfil con la siguiente
escala. H(1/2 000) y V (1/200).
Nosotros, estamos esquematizando el plano AA9 con escala diferentes, por razones de espacio.
Perfil longitudinal de la subrasante
El diseño geométrico vertical de una subrasante deberá realizarse procurando conservar el equilibrio entre
el volumen de corte y relleno, para ello es preciso contar con el perfil longitudinal del terreno.
Ilustración:
En el presente ejemplo, longitudinalmente, la subrasante está conformada por una línea recta, (tangente
vertical), sin embargo en tramos más extensos, es necesario apoyarse también en líneas curvas (curva
vertical), es en tal sentido que las curvas parabólicas se convierten en el modelo favorito los camineros.
Curva vertical. Es aquel elemento que permite el enlace gradual entre dos tangentes verticales consecutivas.
La curva que mejor se ajusta es la parábola de 2º grado.
En el presente ejemplo, se muestra una sucesión de 2 líneas rectas verticales (subrasante) las cuales se
intersectan en el punto PI (Punto de Inflexión de la curva vertical).
Las dos rectas dan origen a la curva parabólica de segundo grado, que en conjunto permitirán el tránsito
confortable de los vehículos.
Tipos de curvas verticales
A. Por su forma
A.1. Cóncava: Cuando la concavidad está dirigida o inclinada hacia arriba (fig 1).
A.2. Convexa: Cuando la concavidad, está dirigida o inclinada hacia abajo (fig 2).
fig. 1 fig. 2
B. Por la longitud de sus ramas

La longitud de la curva vertical, está definida por la longitud de su proyección horizontal y no por la
longitud de su arco.
B.1. Simétrica: La longitud de la rama izquierda es igual a la de la derecha. No necesariamente el valor

de las pendientes de sus tangentes, deberán ser iguales (fig. 3).
B.2. Asimétrica: La longitud de la rama izquierda no es igual a la longitud de la rama derecha (fig. 4).
fig. 3 fig. 4
Elementos de la curva vertical
PCV : principio de curva vertical b : ángulo de pendiente de la tangente

PTV : principio de tangente vertical de salida
g : ángulo de deflexión vertical
PIV : punto de intersección vertical
i1 : pendiente de la tangente de entrada
LV : longitud de curva vertical
i2 : pendiente de la tangente de salida
a : ángulo de pendiente de la tangente
de entrada.
Nota
Los cálculos que a continuación se presentan, son válidos tan solo para curvas simétricas.
Cálculo de la ordenada “y” para la

primera mitad de la curva vertical
i = Diferencia algebraica de i1 e i2.

i = i1 - i2
Cálculo de la ordenada y; para la

segunda mitad de la curva vertical
i = Diferencia algebraica de i1 e i2.

i = i1 - i2
Jorge
Ejemplo 1. Una curva vertical simétrica dispone de la siguiente información:

Progresiva del PCV = 1 + 320; Cota del PIV = 1 500 m; i1 = 6%; i2 = - 2%; LV =140 m
Se pide; calcular la curva vertical en abscisas de 10 metros.
Solución:
Graficando:
a. Cálculo de cotas en la tangente de entrada
• Cota de PCV
hPC = 4,2 m
Cota PCV = 1 500 - 4,2

Cota PCV = 1 495,80 m
• Cota de 1
h1 = 3,6 m
Cota 1 = 1 500 - 3,6
Cota 1 = 1 496,4 m
• Cota de 2
h2 = 3,0 m
Cota 2 = 1 500 - 3,0
Cota 2 = 1 497,0 m
• Cota de 3
h3 = 2,40 m
Cota 3 = 1 500 - 2,40
Cota 3 = 1 497,60 m
• Cota de 4
h4 = 1,80 m
Cota 4 = 1 500 - 1,80
Cota 4 = 1 498,20 m
• Cota de 5
h5 = 1,20 m
Cota 5 = 1 500 - 1,20
Cota 5 = 1 498,80 m
• Cota de 6
h6 = 0,60 m
Cota 6 = 1 500 - 0,60
Cota 6 = 1 499,40 m
b. Cálculo de cotas en la tangente de salida.
• Cota de 7
h7 = 0,20 m
Cota 7 = 1 500 - 0,20
Cota 7 = 1 499,80 m
• Cota de 8
h8 = 0,40 m
Cota 8 = 1 500 - 0,40
Cota 8 = 1 499,60 m
• Cota de 9
h9 = 0,60 m
Cota 9 = 1 500 - 0,6
Cota 9 = 1 499,40 m
• Cota de 10
h10 = 0,80 m
Cota 10 = 1 500 - 0,80
Cota 10 = 1 499,20 m
• Cota de 11
h11 = 1,00 m
Cota 11 = 1 500 - 1,00
Cota 11 = 1 499,00 m
• Cota de 12
h12 = 1,20 m
Cota 12 = 1 500 - 1,20
Cota 12 = 1 498,80 m
• Cota de PTV
hPT = 1,40 m
Cota PTV = 1 500 - 1,40
Cota PTV = 1 498,60 m

c. Cálculo de la ordenada “y” para la mitad de la curva vertical.

i = i1 - i2 = 6 - (-2)
i = 8%
• Ordenada y1: (x = 10 m) • Ordenada y4: (x = 40 m)
y4 = 0,457 m
y1 = 0,029 m
• Ordenada y5: (x = 50 m)
y5 = 0,714 m
y2 = 0,114 m • Ordenada y6: (x = 60 m)
y6 = 1,029 m
• Ordenada yPI: (x = 70 m)
y3 = 0,257 m
yP1 = 1,400 m
d. Cálculo de la ordenada “y”, para la segunda mitad de la curva vertical
y12 = 0,029 m y8 = 0,714 m
y11 = 0,114 m y7 = 1,029 m
• Ordenada y10: (x = 30 m) • Ordenada yPI: (x = 70 m)
y10 = 0,257 m yPI = 1,400 m
• Ordenada y9: (x = 40 m) Podrá usted observar que gracias a la simetría de la

curva vertical; las ordenadas ubicadas a la derecha
del PIV; son iguales a sus similares localizados a la
izquierda del mismo punto.
y9 = 0,457 m
e._ Cálculo de las cotas en la curva vertical
Pto. Progresiva Cota en tangente Ordenada y Cota en curva

PCV 1+320 1 495,800 0,000 1 495,800
1 1+330 1 496,400 0,029 1 496,371
2 1+340 1 497,000 0,114 1 496,886
3 1+350 1 497,600 0,257 1 497,343
4 1+360 1 498,200 0,457 1 497,743
5 1+370 1 498,800 0,714 1 498,086
6 1+380 1 499,400 1,029 1 498,371
PIV 1+390 1 500,000 1,400 1 498,600
7 1+400 1 499,800 1,029 1 498,771
8 1+410 1 499,600 0,714 1 498,886
9 1+420 1 499,400 0,457 1 498,943
10 1+430 1 499,200 0,257 1 498,943
11 1+440 1 499,000 0,114 1 498,886
12 1+450 1 498,800 0,029 1 498,771
PTV 1+460 1 498,600 0,000 1 498,600
Cota en curva = cota tangente - ordenada y

Graficando
VISIBILIDAD DE CARRETERAS. La distancia de visibilidad se define como la longitud contínua de

carretera que es visible hacia adelante por el conductor de un vehículo que circula por ella.
Distancia de visibilidad de parada (DP)
Es la distancia necesaria que requiere el conductor de un vehículo que viaja a la velocidad directriz, para que
pueda detenerse antes de llegar a un obstáculo fijo en su línea de circulación.
V: Velocidad directriz (km/h)

i: Pendiente del eje longitudinal
f: Coeficiente de fricción longitudinal
i(+) → Para pendiente ascendente
i(-) → para pendiente descendente
Coeficiente de fricción longitudinal para pavimentos húmedos: condición más desfavorable.
V(km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

f 0,44 0,40 0,37 0,35 0,33 0,32 0,315 0,31 0,305 0,30
Debemos confesar que el coeficiente 0,694 indicado en la fórmula, representa un valor intermedio, dado que
la expresión real de dicho sumando es vt/3,6; donde v, es la velocidad directriz y t el tiempo total de percep-
ción y reacción del conductor; dicho tiempo va desde 2 hasta 3 segundos; nosotros estamos considerando
2,5 segundos.
Ejemplo. Calcular la distancia de visibilidad de parada para un vehículo que viaja a 60 km/h, en los casos:
a) Subida (i = 6%)
b) Bajada (i = - 6%)
c) Horizontal (i = 0%)
Resolviendo:
a. Según nuestra tabla: v = 60 km/h f = 0,35
b.
c.
Como es de esperar, el caso más desfavorable y por tanto donde se requiere mayor longitud para que el
vehículo se detenga; se presenta en el viaje de bajada.
Distancia de visibilidad de paso o adelantamiento (Da)
Es la distancia necesaria para que un vehículo pueda adelantar a otro que viaja por su misma vía a menor
velocidad, sin peligro de colisión con un tercer vehículo que venga en sentido contrario y haga visible en el
momento de iniciarse la maniobra de adelantamiento.
En el momento que el vehículo 1 inicia la operación de adelantamiento, el

conductor observa en el otro carril, la presencia del móvil 3; para que el primero
sobrepase al vehículo 2 y a su vez no colisione con el vehículo 3; la distancia
mínima necesaria de separación entre 1 y 3 deberá ser Da
Según el manual de diseño geométrico para carreteras DG 2014 (Normas Peruanas)
V(km/h) 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Da(m) 110 170 230 290 350 410 470 530 580 650 700 760 820
V: velocidad directriz.
Criterio para el cálculo de la longitud de la curva vertical
• Elección del punto PCV .- Según criterio técnico del especialista, se elegirá un punto de inicio PCV, el
cual, se recomienda pertenezca a una de las estacas del trazo horizontal.
• Cálculo de la curva vertical (LV) .- Esta longitud no deberá ser menor que ninguna de las obtenidas
según los criterios que se exponen a continuación.
Se recomienda que dicha longitud, sea múltiplo de 10 m ó 20 m.
• Elección del punto PTV .- Dado el punto PCV y la longitud LV, es simple obtener el punto PTV, el cual
se recomienda, debe pertenecer en lo posible a una de las estacas del trazo horizontal.
a. Por criterio de grado de pendiente:
El parámetro de curvatura “k”, equivale a la variación de la longitud de la curva vertical por cada
1% de variación de pendiente.
LV = k . i
i = Diferencia algebraica de i1 e i2
i = i1 - i2 (valor absoluto)
La Ing. Mercedes Rodríguez, recomienda según la AASHTO, el valor de k mínimo, tal como mues-
tra la siguiente tabla:
Velocidad (km/h) 50 65 80 95 110

KMIN en curvas convexas 9 15 24 46 73
KMIN en curvas cóncavas 11 15 21 43 80
520
Ejemplo: Curva convexa: Apoyándonos en la

tabla y asumiendo una interporlación
lineal: k =13
Además: i = i1 - i2 = 6 - (- 4) = 10
Luego: LV = k . i
LV = 13 x 10
LV = 130 m
b. Por criterio de estética:
El valor de la longitud de curva vertical debe ser numéricamente mayor o igual al de la velocidad
directriz en km/h.
V : Velocidad directriz en km/h LV ≥ V

LV : (metros)
Ejemplo: Si la velocidad directriz de una carretera es 60 km/h; su longitud de curva vertical no debe
ser menor de 60 metros.
c. Por criterio de comodidad:
Válido solo para curvas verticales cóncavas:
LV (metros)
i = i1 - i2 (valor absoluto)
v = velocidad directriz (km/h)
Ejemplo:
i = i1 - i2 = - 5 - (7)
i = 12 (valor absoluto)
LV = 110 m
545
521
d. Por criterio de su forma geométrica
d.1. En curvas convexas: Las curvas verticales serán proyectadas de modo que permitan, cuando me-
nos, la distancia de visibilidad de parada y de paso.
No obstante, por presentar la distancia de paso una longitud muy extensa, en la práctica solo se
considera la distancia de visibilidad de parada, reservando el uso de ambas distancias tan solo para
carreteras de gran importancia.
• Considerando la distancia de visibilidad de parada (DP)
Para DP > LV Para DP < LV
LMIN : longitud mínima de curva vertical

DP : distancia de visibilidad de parada
i : diferencia algebraica de pendiente en % (Valor absoluto).
• Considerando la distancia de visibilidad de paso (Da)
Para Da > LV Para Da < LV
Da : distancia de visibilidad de paso.
Ejemplo:
Asumiendo que la mayor longitud obtenida con los criterios antecesores es 180 metros y que la
velocidad directriz es 60 km/h; verificar el mencionado valor con el presente criterio.
522
Considerando la distancia de visibilidad de Considerando la distancia de visibilidad de paso:

parada:
• Para V = 60 km/h Da = 290 m
• Para i = 6% DP = 76,21 m
• Para i = - 4% DP = 87,36 m • Asumiendo Da > LV
El más desfavorable: DP = 87,36 (bajada)
Además: i = |6 - (-4)| = 10%

LMIN = 485,4 m
• Asumiendo DP > LV
Con lo cual Da = 290 m LMIN = 485,4 m
Deducimos que la presente hipótesis es falsa.

LMIN = 134,32 m
• Asumiendo Da < LV
Con lo cual; DP = 87,36 LMIN = 134,32
• Asumiendo DP < LV LMIN = 889 m
Deducimos que la presente hipótesis es correcta.
Finalmente: la longitud de curva vertical a considerar

LMIN = 188,91 m tendrá que ser mayor a 889 metros, podemos elegir:
LV = 890 m ó 900 m.
Con lo cual: DP = 87,36 < Lmin = 188,91m
Ello significa que el valor de 180 metros obtenido
Deducimos que la presente hipótesis es correcta. con los criterios antecesores, es insuficiente.
d.2. En curvas cóncavas: Se tomará como factor primordial, la distancia de visibilidad nocturna,
solamente.
Para DP > LV Para DP < LV
LMIN : longitud mínima de curva vertical

DP : distancia de visibilidad de parada
i : diferencia algebraica de pendiente en % (valor absoluto).
547
523
Ejemplo:
Asumiendo que la mayor longitud obtenida

con los criterios antecesores es 180 metros
y que la velocidad directriz es 60 km/h;
verificar el mencionado valor con el presente
criterio.
Considerando la distancia de visibilidad de parada:
• Para i = - 3% DP = 85,93 m
• Para i = + 4% DP = 77,98 m
El más desfavorable: DP = 85,93 m
Además: i = |-3 - (-4))| = 7%
Con lo cual DP = 85,93 LMIN = 111,75
• Asumiendo DP < LV
Con lo cual: DP = 85,93 < LMIN = 122,84 m
Deducimos que la presente hipótesis es correcta.
Finalmente; la longitud de curva vertical a considerar, tendrá que ser mayor a 122,84 metros.
Luego la longitud propuesta: 180 metros es correcta.

Pendiente en carreteras
Es la inclinación longitudinal del eje de la vía respecto al horizonte.
a) Pendiente mínima.- Es el menor valor que se le debe asignar a la pendiente longitudinal de una
carretera.
No se debe permitir en ningún tramo, el diseño o replanteo del eje de la vía con pendiente cero.
La pendiente mínima se fija para facilitar el drenaje superficial longitudinal y no debe ser menor
que 0,5%.
b) Pendiente máxima.- Es el mayor valor que se permite asignar a la pendiente longitudinal de una
carretera.
La pendiente máxima es función del tipo de vía así como de la orografía del terreno.
En el Perú, El Manual de Diseño Geométrico para Carreteras DG 2014 contempla la siguiente
tabla.
Demanda Autopistas Carretera Carretera Carretera
Vehículos/día > 6.000 6.000 - 4001 4.000 - 2.001 2.000 - 4 00 < 400
Características Primera clase Segunda clase Primera clase Segunda clase Tercera clase
Tipo de orografía 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
Velocidad de diseño: 20 km/h 8,00 9,00 10,00 12,00
30 km/h 8,00 9,00 10,00 12,00
40 km/h 9,00 8,00 9,00 10,00 10,00
50 km/h 7,00 7,00 8,00 9,00 8,00 8,00 8,00 8,00
60 km/h 6,00 6,00 7,0 0 7,00 6,00 6,00 7,00 7,00 6,00 7,00 8,00 9,00 8,00 8,00 8,00 8,00
70 km/h 5,00 5,00 6,00 6,00 6,00 7,00 6,00 6,00 7,00 7,00 6,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00 7,00
80 km/h 5,00 5,00 5,00 5,00 5,00 5,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 7,00 7,00 7,0 0 7,00
90 km/h 4,50 5,00 5,00 5,00 5,00 6,00 5,00 5,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00
100 km/h 4,50 4,50 4,50 5,00 5,00 6,00 5,00 6,00
110 km/h 4,00 4,00 4,00
120 km/h 4,00 4,00 4,00
130 km/h 3,50
Notas:
1) En caso que se desee pasar de carreteras de Primera o Segunda Clase, a una autopista, las caracte-
rísticas de éstas se deberán adecuar al orden superior inmediato.
2) De presentarse casos no contemplados en la presente tabla, su utilización previo sustento técnico,
será autorizada por el órgano competente del MTC.
La Norma en mención establece que;
. En zonas superiores a los 3 000 msnm; los valores máximos a la tabla se reducirán en 1% para terrenos
montañosos o escarpados.
. En autopistas, las pendientes de bajada podrán superar hasta en un 2% los máximos establecidos en la
presente tabla.
Taller N° 6
Apoyándose en el plano AA9 y con los conocimientos respecto al trazo de curva vertical para subrasante;
se pide, dibujar el perfil longitudinal de la subrasante, bajo la siguiente condición: cota de subrasante de
inicio = 195,816 m
Analizando el plano AA9; trazamos dos alineamientos verticales, bajo la condición de compensar el corte y
relleno; cortándose en el punto PIV.
Llegada
(cota = 247,788 m)
Inicio (cota = 195,816 m)
4%
i 6,1
1 = i 2=
-3
,7
3
%
PIV
Nótese que según la tabla de la pag. 532, la pendiente máxima permitida es 10%, nuestros valores son
menores.
Elegimos el punto: principio de curva vertical (PCV = 0 + 80).
Si asumimos curva vertical cóncava simétrica, con LV = 180 m, tendremos PTV = 260, tal como se muestra
en el plano AA10.
Analizando la curva vertical del plano AA10.

Llegada
Inicio
i1 = -3,73%
4%
6,1
i 2=
PCV PTV
PIV
180 m
Verificando el valor de la longitud de curva vertical,

según las normas mostradas en el presente libro.
• i = |-3,73 - (6,14)|
39,98 m < 180 m ………….. ok
i = 9,87
d) Por criterio de su forma geométrica
•
V = 40 km/h
Teniendo presente que la distancia de parada más

desfavorable se obtiene en el viaje de bajada:
DP = 45,13 m LMIN = 6,21 m
a) Por criterio de grado de pendiente:

Pero: DP = 45,13 62,1 …… No conforme
LV = k x i
• Asumiendo DP < LV
Para V = 60 km/h k 11
LV = 11 x 9,87
LV = 108,57 m < 180 m…….. ok
b) Por criterio de estética:
Si v = 40 km/h LMIN = 72,32 m
LV ≥ 40 km/h
Dado que: DP = 45,13 m < 72,32 m ……… ok
40 m < 180 ………….. ok

• Finalmente LV = 180 m es mayor que las longi-
tudes admisibles.
c) Por criterio de comodidad:
Luego: LV =180 m
DISEÑO DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DEL CAMINO

Antes de dar inicio al análisis de la sección transversal; es preciso presentar los elementos que contribuyen
a la estabilidad del vehículo.
1.- Peralte: Es la inclinación transversal que presenta la calzada con la finalidad de contrarrestar el
efecto de la fuerza centrífuga.
El valor del peralte es función del radio, velocidad, orografía del terreno y coeficiente de rozamiento
transversal.
Planta Corte A-A
Apoyándose en el Manual de Diseño Geométrico de Carreteras (DG - 2014); presentamos a conti-

nuación los valores de peralte máximo.
Peralte Máximo (p) Ver
Pueblo o ciudad
Absoluto Normal Figura
Atravesamiento de zonas urbanas 6,0% 4,0% 302.02
Zona rural (T. Plano, Ondulado ó

8,0% 6,0% 302.03
Accidentado)
Zona rural (T. Accidentado ó Escarpado) 12,0 % 8,0% 302.04
Zona rural con peligro de hielo 8,0 % 6,0% 302.05
2.- Bombeo: Es la inclinación o pendiente que se da a la calzada respecto al eje de la vía en el tramo
tangente.
Esto se realiza con el fin de evacuar las aguas provenientes de las lluvias o inundaciones a las cunetas
laterales.
El bombeo depende de la importancia de las precipitaciones y del tipo de pavimento.
Planta Corte A-A

A continuación nos permitiremos exponer los valores de bombeo que contempla el Manual de
Diseño Geométrico de Carreteras DG 2014.
Bombeo (%)
Tipo de superficie
Precipitación < 500 mm/año Precipitación >500 mm/año
Pavimento asfáltico y/o concreto 2,0 2,5
Tratamiento superficial 2,5 2,5 – 3,0
Afirmado 3,0 – 3,5 3,0 – 4,0
Elementos de la sección transversal
La sección transversal del camino, está compuesta por:

- La calzada
- Las bermas
- Las cunetas laterales
- Los taludes de corte y relleno
- Ancho de faja de dominio
Sección en tangente
Sección en curva
La calzada. Se llama también superficie de rodadura; es aquella zona reservada a la circulación de

vehículos. Está constituida por lo menos por dos carriles y cada carril tendrá el ancho suficiente para permitir
la circulación de una sola fila de vehículos.
El ancho y número de carriles dependerá del tipo u orden de carretera y de la velocidad directriz.
El mínimo ancho de carril, teniendo en cuenta la presencia de camiones, es de 3,00 metros con un estándar
fuera de poblado de 3,5 ó 3,60 m.
Las bermas. Ubicadas en el lado lateral adyacentes a la calzada. Su función principal es la de servir de
confinamiento lateral a la capa de rodadura; así como controlar la humedad y posibles erosiones de la
calzada.
También se puede usar como estacionamiento provisional en caso de emergencia. Es de mucha utilidad en
los trabajos de mantenimiento.
El ancho de cada berma es función del tipo de carretera y la velocidad directriz.
Las bermas deberán tener un ancho que les permita cumplir al menos la función de protección del pavimento,
por tal razón la dimensión mínima será 0,50 m; aunque puede tener 1,0; 1,5; 2,0; 2,50 metros.
Cunetas. Son zanjas abiertas construidas paralelas a las bermas. Su función es recoger el agua que cae sobre
el pavimento, las bermas y los taludes; transportándolos hasta el punto más cercano de descarga.
Sus dimensiones se determinan en base a cálculos hidráulicos.

Generalmente son de sección triangular, sin embargo la sección trapezoidal es la más eficiente.
Taludes. Son las superficies laterales inclinadas que limitan la explanación.
• Taludes de corte. El talud empieza inmediatamente después de la cuneta
fig. 1
El talud varía de acuerdo a la calidad del terreno encontrado y la altura del mismo. Para ello se requiere de
un estudio que analice las condiciones específicas del lugar, especialmente las geológicas y geotécnicas;
pues su valor define prácticamente el costo de la obra, dado que el movimiento de tierras implica un costo
unitario elevado.
Valores referenciales
Talud (H : V)
Material suelto
Clasificación de Roca Roca
Fija Suelta Suelos
materiales de corte Suelos Suelos
limoarcillosos
Gravosos Arenosos
o arcilla
Menor de 5,00 m 1 : 10 1:6-1:4 1:1-1:3 1:1 2:1
h 5,00 - 10,00 m 1 : 10 1 : 4 -1 : 2 1:1 1:1 *
Mayor de 10,00 m 1:8 1:2 * * *
h: altura de corte
( * ) Requerimiento de banquetas.
Banqueta. Es una faja o terraza ubicada en un nivel superior a la calzada, su presencia se justifica
cuando la altura del talud es excesiva comprometiendo la estabilidad del mismo por el tipo de suelo
existente. El ancho de la banqueta deberá ser tal que permita el paso de maquinaria de construcción y
conservación. (fig. 2).
• Taludes de relleno o terraplén. El talud empieza inmediatamente después del borde de la berma.
El talud varía en función de las características del material a ser empleado en la conformación del
relleno. (fig. 3).
fig. 2 fig. 3
Valores referenciales
Talud (V : H)
Altura del relleno
Tipo de material
Menor a 5 m De 5 m a 10 m Mayor de 10 m
Material común arcilloso 1 : 1,5 1 : 1,75 1:2
Arenas limpias 1:2 1 : 2,25 1 : 2,5
Enrocados 1:1 1 : 1,25 1 : 1,15
Derecho de vía o faja de dominio

Es la faja de terreno destinada a la construcción, mantenimiento, futuras ampliaciones de la vía si la demanda
de tránsito así lo exige, servicios de seguridad, servicios auxiliares y desarrollo paisajístico.
Dentro del ámbito del derecho de vía, se prohíbe la colocación de publicidad comercial exterior, en
preservación de la seguridad vial y del medio ambiente.
Ancho mínimo de faja dominio, según el Manual del Diseño Geométrico para Carreteras DG 2014
Clasificación Ancho s mínimos (m)
Autopistas Primera Clase 40
Autopistas Segunda Clase 30
Carretera Primera Clase 25
Carretera Segunda Clase 20

Carretera Tercera Clase 16
Explanación.- Es la zona de terreno realmente ocupada por la carretera, en la que se ha modificado el

terreno original.
532
Secciones transversales típicas
La sección transversal para una estaca es el resultado

del diseño técnico realizado por el proyectista:
talud, bombeo ó peralte, cuneta, etc. Permítanos
presentar a continuación un ejemplo de sección
típica (diseño).
Gracias al perfil longitudinal de la subrasante y del

terreno, es posible concatenar la cota de la subrasante
con la del terreno para una estaca a través del eje de
la carretera obteniendo los siguientes casos:
natural
Terreno
Estaca “a” Estaca “b”
Corte o excavación (corte cerrado) Relleno o terraplén
Estaca “c” Estaca “d”
Corte en ladera Mixto o a media ladera

557
Diseño geométrico de carreteras
533
Taller N° 6
Haciendo uso del plano AA10 y AA8; se pide dibujar las secciones transversales de todas las estacas a nivel
de terreno y subrasante, bajo las siguientes características técnicas:
Talud en corte : H / V = 1/3
Talud en relleno : V / H = 1 / 1,5

Ancho de calzada :7m
Ancho de berma :1m
Sección de cuneta :
Por motivos de espacio, tan solo se van a considerar las secciones transversales de las primeras estacas.
Procedimiento:
- En el plano AA8; trazar una línea recta en cada estaca (perpendicular al eje en dicho punto).
- La longitud de dicha línea, está sujeta al ancho de la explanación.
En el presente caso se está considerando 24 metros (12 m a cada lado del eje)
- Gracias a las líneas trazadas, es posible obtener un cuadro similar al siguiente para cada estaca.
Progresiva 0 + 40.
Lado Distancia Cota

Izquierda 12,0 194,00
Izquierda 4,40 194,00
Centro 0,00 194,83
Derecha 8,70 196,00
Derecha 12,00 196,50
- Con dicho cuadro procedemos a graficar la sección transversal del terreno para la mencionada estaca.
- Analizando el plano AA10, deducimos que la cota de la subrasante para la estaca 0 + 40 es 194,326 m
(punto A).
A(194.326 m)
- Graficando la sección típica de la subrasante según las características técnicas y haciendo coincidir el
eje de dicha sección con el punto “A”:
- En los planos AA11 y AA12, se presentan las secciones transversales de las doce primeras estacas.
CUBICACIÓN
Consiste en calcular el volumen de tierra, tanto de corte como de relleno.
Para dicho efecto, es preciso, primero calcular el área de la sección transversal en cada estaca; para dicho
cálculo existen varios métodos, sin embargo hoy en día con el uso de la computadora, el valor de dichas
áreas es obtenida casi al instante y simultáneamente para todas las progresivas.
AC : Área de corte
AR : Área de relleno
Para determinar el volumen de tierra a cortar o rellenar, nos basaremos en el siguiente principio.
V=AxL
V : volumen
Para secciones iguales Para secciones diferentes

En consecuencia:
a) Para dos secciones consecutivas de corte
Ejemplo
VCORTE = 608 m3
El volumen, siempre se redondea al metro
b) Para dos secciones consecutivas de relleno:
Ejemplo
VRELLENO = 251 m3
561
537
c) Para dos secciones consecutivas; una de corte y la otra mixta
Ejemplo
• VCORTE = 119 m3
VCORTE = 31 m3
d) Para dos secciones consecutivas, una de relleno y la otra mixta.
Ejemplo
Jorge
538 Mendoza Dueñas Diseño Geométrico de Carreteras
562
VRelleno = 230 m3
VCORTE = 37 m3
Taller N° 7
Con apoyo de los planos AA11 y AA12, se pide: cubicar el volumen de corte y relleno, desde la progresiva
00 + 00 hasta 0 + 150.
Distancia Área (m²) Volumen (m³)

Progresiva parcial Relleno Corte Relleno Corte
km 0+00 0 2,44 2,11
0+20 20 0,42 3,40 29 55
0+40 20 0,23 5,39 7 88
0+60 20 0,00 4,29 1 97
0+80 20 0,00 11,32 0 156
0+100 20 1,49 5,39 7 167
0+107,17 7,17 7,42 1,18 32 24
0+110 2,83 7,87 0,73 22 3
0+120 10 9,04 0,00 85 2
0+130 10 14,40 0,00 117 0
0+140 10 10,29 0,29 123 1
0+150 10 9,18 1,25 97 8
Total 520 601
15
Capítulo
Principios Básicos de
Geodesia y Cartografía
CONCEPTO DE GEODESIA
Es la ciencia que se encarga de estudiar la forma y dimensiones de la superficie terrestre, incluyendo el campo
gravitatorio exterior a la Tierra, así como la superficie del fondo del oceáno y sus variaciones temporales.
Los resultados obtenidos en virtud a la geodesia, sirven de base para la geomática, incluso para las misiones
militares y programas espaciales.
Si se observa la superficie de la Tierra la vemos como si fuera plana, sin embargo a grandes longitudes
notamos la curvatura, Fig. 2 por lo tanto podemos decir que la Tierra es una superficie cerrada Fig. 3.
DIVISIÓN DE LA GEODESIA
H H H
Fig. 1
La superficie “NIVELADA” de la Tierra sobre una distancia corta
Fig. 2
La superficie “NIVELADA” de la Tierra sobre una distancia mayor
564
540 Principios
Principios Básicosbásicos de geodesia
de Geodesia y cartografía
y Cartografía
LINEAS DE VISTA
NIVELADAS
DIRECCIONES LOCALES DE LA
GRAVEDAD SOBRE VERTICALES
LOCALES
SUPERFICIE DE LA TIERRA
“NIVELADA”
Fig. 3: La Tierra es una superficie cerrada
Geodesia geométrica: Los datos de observación están compuestos por ángulos y distancias referidos a
un elipsoide de referencia, plasmándose en coordenadas, los cuales pueden expresarse de diferentes formas.
Geodesia Dinámica: Está basada en las medidas del campo gravitatorio de la Tierra y sus variaciones,
mareas (oceánicas y terrestres) y su relación con el concepto de altitud.
Astronomía Geodésica: Las coordenadas de puntos sobre la superficie terrestre y mediciones realizadas,
provienen de observaciones astronómicas.
Geodesia Satelital : Las coordenadas de puntos sobre la superficie terrestre y mediciones realizadas,
provienen gracias a observaciones satelitales artificiales.
SUPERFICIE TOPOGRÁFICA:
Es el relieve terrestre, con sus montañas, valles y otras formas terrestres continentales y marítimos.
565
Principios Básicos de Geodesia y Cartografía Principios básicos de geodesia y cartografía
541
GEOIDE:
Se define como la superficie equipotencial del campo
gravitacional terrestre que coincide con las aguas del
mar en su estado normal de equilibrio.
Planeta Tierra
Si nuestro planeta estuviese constituido tan solo por
masas de agua y sin movimiento de rotación, el geoide (Constituida solo por agua)
adoptaría la forma de una esfera.
Al añadirle el movimiento de rotación respecto a su

eje polar, se genera una ligera acumulación de masa
Planeta Tierra de agua sobre el Ecuador, por lo que el radio en las
(Achatada en los polos) vecindades de ese lugar se hace un poco mayor que
en los polos.
Si insertamos un cuerpo sólido al volumen antecesor PLANETA TIERRA

tal como se aprecia, la masa total sufrirá cierta Achatada en los polos
deformación, producto de la atracción del cuerpo
sólido hacia las partículas del agua.
En realidad el globo terrestre, además de agua, está compuesto por masas sólidas distribuidas no
uniformemente.
Si nos ceñimos a la definición de geoide: superficie equipotencial; la distancia radial R,
tiene que variar dado que su masa no es homogénea en todos los puntos de la zona sólida.
Por último, podemos complementar la definición de geoide como la superficie equipotencial definida
por los mares en calma prolongada por debajo de los continentes, en donde la gravedad en todo punto es
perpendicular.
542 Principios Básicos de Geodesia y Cartografía
Es necesario mencionar que el geoide, por tener una figura irregular, no es expresable matemáticamente.
SUPERFICIES
EQUIPOTENCIALES
La geoide es una superficie
equipotencial al nivel
medio del mar
ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN:
Es un volumen geométrico que proviene de una elipse que gira alrededor de su eje menor
Elipse Elipsoide
b b
a a
Eje de rotación
567
543
Los parámetros que definen todo elipsoide de revolución, y las relaciones entre ellos, son los siguientes:
Semieje mayor a
Semieje menor
b
Aplanamiento a-b
f =
a
1a Excentricidad a2 - b2
e=
a
2a Excentricidad a2 - b2
e' =
b
Notas adicionales sobre el elipsoide:
El elipsoide de revolución se forma tomando una elipse y girándola sobre su eje menor. Permítase que esta
elipse sea como se ilustra en la figura
P1 P
b
A
F2 0 a F1 B X
P2
F1, F2 = Focos de la elipse O = centro de la elipse

OA = OB = a = semieje mayor OP1 = OP2 = b = semieje menor
P1 y P2 es el eje menor de la elipse Mientras que P es un punto cualquiera de la elipse.
Por la propiedad de una elipse tenemos: F2P + F1P = constante ... (1)
Si P lo desplazamos a B y luego a A, encontramos que: F2P + F1P = 2a ... (2)
568
544 Principios
y Cartografía
Si ahora dejamos que P vaya a P1, y nótese que F2P1 = F1P1, debemos tener de la ecuación (2) que:
F2P1 = F1P1 = a, el semieje mayor, como se muestra en la siguiente figura.
P1 (P)
b α
A
F2 a F1 B X
P2
Ahora podemos definir algunos parámetros fundamentales de esta elipse.
Achatamiento, ............. (3)
Primera excentricidad, ............(4)
Segunda excentricidad, ............(5)
A continuación citaremos algunos de los elipsoides usados:
ELIPSOIDE
Parámetro HAYFORD WGS84
a 6 378 388,000 m 6 378 137,000 m
b 6 356 911,946 m 6356 752,314 m
e2 0,006 722 67 0,006 694 38
e’2 0,006 768 17 0,006 739 497

Principios Básicos de Geodesia y Cartografía
545
El elipsoide, en la geodesia aparece debido a la necesidad de expresar matemáticamente la superficie de la

Tierra, pues ya sabemos que el geoide carece de dicha facultad; así pues el elipsoide es el cuerpo geométrico
que se aproxima en mayor medida a la forma real de la TIERRA.
Geoide Elipsoide
ONDULACIÓN GEOIDAL (N)

Es la separación vertical entre el geoide y una referencia
ALTURA ORTOMÉTRICA (H)

Es la separación vertical entre el geoide y la superficie topográfica
ALTURA ELIPSOIDAL ( h )
Es la separación vertical entre el elipsoide y la superficie topográfica .
570
546 Principios
y Cartografía
DESVIACIÓN DE LA VERTICAL:
Se le llama también desviación astrogeodésica y viene a estar dado por el ángulo formado entre la normal al
geoide (vertical local) y la normal al elipsoide en un punto.
Línea de vista
nivelada
Superficie
topográfica
Elipsoide
Geoide
Normal al Normal al
Geoide Elipsoide
Desviación de
la vertical
PUNTO DATUM:
Llamado también punto fundamental o punto origen. Es aquel punto donde se hace coincidir la vertical al
geoide con la normal al elipsoide (desviación de la vertical igual cero).
Perpendicular al geoide
Normal al elipsoide
Punto Datum
ográfica
ficie top
Super
E
SOID
ELIP
IDE
GEO
571
547
LA ESFERA CELESTE
La tecnología anterior al Sistema de Posicionamiento Global, para efectos de georreferenciación, es la
Astronomía de Posición. Dicha tecnología aprovecha el movimiento angular constante de los astros para
generar efemérides de los mismos; sin embargo la gran restricción de ese entonces era la medición de
distancias, lo cual hoy está solucionado, sin embargo la medición angular estaba resuelto con el uso del
teodolito.
Esto significa que el trabajo de campo estaba conformada solamente por medidas angulares, obviando las
medidas lineales, es en tal sentido que se propuso proyectar imaginariamente todos los astros a la cara
interna de una esfera concéntrica a nuestro planeta : La esfera celeste.
ESFERA CELESTE
Es un globo imaginario concéntrico a la Tierra, de radio infinito, en cuya cara interna se considera ubicado
los astros.
Veamos de donde proviene la esfera celeste.
PNE
Vertical del
observador z(cenit)
PN R
=
Ecuador ∞
Ecuador celeste
terrestre
PS
n(nadir)
Esfera terrestre
PSE
Esfera celeste
Como se verá la esfera celeste tiene varias particularidades, éstas son:
a) El centro de la esfera celeste es el centro de la Tierra.

b) El radio de la esfera celeste es infinito.
c) El ecuador celeste es la prolongación del Ecuador terrestre.
d) La Tierra se considera inmóvil.
e) La esfera celeste gira de este a oeste con respecto a un eje (PN-PS)
572
548 Principios
y Cartografía
Este último se explica a continuación:

PN
Si asumimos que el astro está fijo en la
esfera, se podrá observar que dicho astro gira
junto con la esfera, cumpliendo la regla de la z
mano derecha con el dedo pulgar apuntando
hacia el PS (esfera girando de este a oeste).
n
W E
mano derecha
PS
z
Recomendación
PN Por conveniencia óptica se suele dibujar el cenit
en la parte superior del papel respecto al lector.
PS
Elementos de la Esfera Celeste:
1. Cenit (z): Es aquel punto en el cual la vertical superior respecto a un observador intercepta a la esfera
celeste.
2. Nadir (n): Es aquel punto en el cual la vertical inferior respecto a un observador intercepta a la esfera
celeste.
3. Polo Norte Elevado (PNE o PN): Es la prolongación del polo norte terrestre con la esfera celeste.
573
549
4. Polo Sur Elevado (PSE o PS): Es la prolongación del polo sur terrestre con la esfera celeste.
5. Círculo Vertical: Es aquel círculo máximo que pasa por el cenit y nadir de un observador.
6. Círculo Horario: Es aquel círculo máximo que pasa por el PN y PS.
Q PN
Círculo vertical
Círculo horario
Q
PS
7. Ecuador Celeste (Q - Q): Es la prolongación del Ecuador terrestre con la esfera celeste.
8. Horizonte Celeste (N - S - E - W): Es el círculo máximo perpendicular al círculo vertical.
Observador
z
PN Horizonte celeste
Q
Ecuador del observador
celeste
W
S N
E
Q
PS
n
574
550 Principios
y Cartografía
Meridiano del Lugar u Observador: Meridiano de un lugar, es aquel círculo máximo que pasa por el
CENIT y NADIR del dicho lugar así como de los polos elevados (PN y PS).
PN Meridiano del lugar

u observador
z
PN
n PS
PS
z Meridiano de A Recomendación
o del observador
PN
Para mejor ubicación del meridiano en el
papel, se recomienda dibujar la esfera celeste
A
con el meridiano en el plano del papel.
PS
9. Bóveda Celeste: Es la semiesfera que está encima del horizonte. El observador del lugar solo verá
los astros que están encima del horizonte, vale decir en la bóveda celeste.
z
Bóveda Celeste
Horizonte
575
551
10. Vertical Primo: Es aquel círculo vertical perpendicular al meridiano del lugar y al horizonte.
cenit
PN
Vertical primo
Horizonte
W
S N
PS
nadir
11. Eclíptica: Es aquel círculo máximo en cuyo perímetro recorre al Sol.
12. Punto Vernal (g): Llamado también equinoccio de primavera, es la intersección de la eclíptica con
el Ecuador cuando el Sol recorre de sur a norte.
13. Punto Libra (W): Llamado también equinoccio de otoño, es la intersección de la eclíptica con el
Ecuador cuando el Sol recorre de norte a sur.
PS
Eclíptica
ε
Sol
Ω
Q Q
ε
PN
576
552 Principios
y Cartografía
COORDENADAS ASTRONÓMICAS
Son aquellas que determinan la posición de un punto o de los astros en la esfera celeste.
Cada uno de los sistemas coordenados tienen un plano fundamental a partir de un dirección dada de 0° a
360° y un radio vector cuyo ángulo se mide de 0° a 90° y como origen el centro de la esfera celeste.
Estudiaremos a continuación cuatro tipos de coordenadas astronómicas:
I. Coordenadas Horizontales:
Elementos:
A) Azimut (Z): Es el ángulo diedro medido en el horizonte. Parte del punto sur cardinal en sentido hora-
rio hasta llegar al círculo vertical que contiene al astro.
B) Altura (h): Es el ángulo vertical medido desde el horizonte a la visual del astro.
D) Distancia Cenital (z): Es el ángulo vertical medido desde el cenit hasta la visual del astro:
cenit Meridiano del

z observador
h
Horizonte del
observador
N S
nadir
577
553
II. Coordenadas Geográficas:

Elementos:
A) Longitud (λ): Ángulo diedro medido en el Ecuador.
Parte del meridiano de Greenwich hacia el este de él, hasta llegar al círculo horario que contiene el
punto. λ(+)→E
0 ≤ l ≤ 360°
B) Latitud (ø): Es el ángulo medido en el meridiano del observador. Parte del Ecuador hacia el polo ele-
vado hasta llegar al punto. ø (+)→N
Meridiano PN
de observador Meridiano
Punto de Grennich
φ
Q Q
λ E
W
PS
Como se dijo anteriormente; para efectos prácticos, es recomendable colocar el cenit del lugar en la parte
superior de la esfera; y con el meridiano del lugar en el plano del papel.
Girando la esfera se tiene:
z 90 −
φ φ Meridiano del
PN
Q observador
Q
PS
n
578
554 Principios
y Cartografía
III. Coordenadas Ecuatoriales:

Elementos:
A) Declinación (δ): Es el ángulo medido en el círculo horario.
Parte desde el Ecuador hasta llegar al punto o astro. δ (+)→N
B) Ángulo Horario (t ó AH): Es el ángulo diedro medido en el Ecuador.

Parte en el meridiano superior hasta llegar al círculo horario que contiene al astro.
El ángulo horario es positivo cuando se barre desde el meridiano hacia su oeste.
Como se verá para cada meridiano existe un ángulo horario diferente, por lo cual se dice que esta coorde-
nada es relativa.
0 ≤ t ≤ 360°
C) Ascensión Recta (AR): Es el ángulo diedro medido en el Ecuador.
Parte desde el punto vernal hasta llegar al círculo horario que contiene al astro.
La ascensión recta es positiva cuando se barre desde el punto vernal hacia su este.
Como se podrá apreciar la ascensión recta toma el mismo valor para cualquier meridiano, motivo por el
cual se dice que esta coordenada es absoluta.
Nota:
El sistema de coordenadas ecuatoriales; convencionalmente se ha dividido en
dos subsistemas.
1. Coordenadas Ecuatoriales Locales:
Conocidas:
Declinación (δ)
ü
Ángulo Horario (t)
ü
2. Coordenadas Ecuatoriales Absolutas:

Conocidas:
ü Declinación (δ)
ü Ascensión Recta (AR)
579
555
Astro
E
z
Q
PS W
Meridiano del lugar δ
ta
Observaciones ARa
Distancia Polar = p
γ
En el caso particular de la figura: PS
W
Q
IV. Coordenadas Eclípticas:

E
Astro PN
Para entender el significado de estas coordenadas, es
necesario saber: ε
π
1, El punto vernal (γ): Es aquel que se origina cuan- βa
do el Sol corta al Ecuador en su recorrido de sur a
norte. λa
2. El punto de libra (Ω): Es aquel que se origina E
cuando el Sol corta al Ecuador en su recorrido de
norte a sur. γ
W
π
ε
PS
Elementos:
A. Latitud Astronómica (βa): Es el ángulo medido en el círculo polar

eclíptico.
Se mide desde la eclíptica hasta llegar al astro.
B Longitud Astronómica (λa): Es el ángulo diedro medido en el

círculo de la eclíptica.
Parte desde el punto vernal hacia su este hasta llegar al círculo
polar eclíptico que contiene al astro.
580
556 Principios
y Cartografía
SISTEMA DE REFERENCIA
La posición de un punto puede quedar definido dependiendo del tipo de sistema elegido, así como de los
objetivos que se persigue, en tal sentido distinguiremos dos sistemas genéricos.
£ El sistema de referencia terrestre; el cual se considera fijo a la Tierra y se utiliza para determinar las
coordenadas de puntos sobre la superficie terrestre o sus proximidades, tal como los satélites artificiales
que distan en promedio 20000 km.
£ El sistema de referencia espacial; tal como su nombre lo indica, se encuentra fijo al espacio, lo cual lo
convierte en un sistema inercial (libre de aceleración) donde los cálculos Newtonianos son totalmente
permitidos, este sistema es el apropiado para analizar el movimiento de cuerpos externos a la Tierra, tales
como los planetas, estrellas, etc.
Sistema de Referencia Terrestre.

A) Sistema de Atronómico Local z
Un punto P; queda definido respecto a los ejes x;

y; z;.
Eje “Z”: sentido contrario al vector gravedad en P
“P”
Eje “Y”: tangente a la superficie equipotencial que
pasa por “P” y en la dirección norte. y(Norte)
x(Este)
Eje “X”: tangente a la superficie equipotencial que
pasa por “P” y en la dirección este. g
581
557
Este sistema es válido solo para zonas muy limitadas, los ejes de coordenadas obedecen a direcciones
diferentes para cada punto de estación; por tanto no es válido para efectuar un levantamiento de
coordenadas, dado que es único para cada punto, constituye más bien un sistema instrumental para
referir las observaciones.
y’
4 3
2
A
x’
En topografía es aceptable incrementos de coordenadas para cada punto y tratarlos conjuntamente,

como si estuvieran en el mismo sistema de referencia; sin embargo para cálculos geodésicos no
es válido.
B) sistema Geodésico Local.
El sistema geodésico local, está compuesto por:

£ Un elipsoide de referencia.
£ Un punto datum.
Elipsoide Punto datum

Geoide Inmediaciones del
punto datum
Generalmente el elipsoide elegido se adapta muy bien al geoide en las inmediaciones del punto
datum, pero a medida que nos alejamos, su adaptación se desvanece.
582
558 Principios
y Cartografía
Perpendicular è La latitud y longitud astro-

Perpendicular nómica, toman los mis-
al elipsoide
al geoide mos valores que la latitud
Eje de rotación y longitud geodésica en el
de la Tierra punto datum.
Punto datum
è Generalmente el elipsoide
Eje del
Elipsoide de referencia casi nunca
elipsoide
se encuentra centrado y
Centro de la Tierra Geoide su eje no es coincidente
con el eje de rotación de
Latitud la Tierra.
astronómica
Latitud
geodésica
Centro del elipsoide
Desventajas del Sistema Local:

è Este sistema es enteramente planimétrico, no es tridimensional; las cotas altimétricas se desarrollan a
partir de otros caminos.
è Las zonas limítrofes sufren confusiones en sus redes geodésicas, dado que comúnmente se presentan
diferencias inaceptables.
è Los elementos de los diversos datum no guardan relación.
Sistemas Locales antes de la Segunda Guerra Mundial:

Antes de 1940, cada país técnicamente avanzado había desarrollado su propio sistema en base a sus
conveniencias económicas y militares, normalmente no había sistemas comunes (si existían éstas eran
escasas) dado que ello era contrario a los intereses militares de cada país.
La figura muestra la
cantidad de sistemas
geográficos locales en
Asia Suroriental; si bien
es cierto cada sistema
era de mucha utilidad
para su respectivo
país o región, éstos se
veían impotentes al no
poder determinar las
coordenadas de puntos
vecinos o por lo menos
limítrofes respecto a su
sistema.
583
559
Algunos sistemas locales de hoy:
è El Datum Norteamericano: referido al elipsoide 1866 de Clarke, el origen es rancho inmóvil de

Meades; el sistema incorpora Canadá, México, Estados Unidos de Norteamerica, asimismo contempla
parte de América Central.
è El Datum Europeo: referido al elipsoide Internacional (Hayford), el origen está situado en Potsdam
– Alemania, este Datum se conoce con el nombre ED50 (Datum Europeo 1950); El origen actual está
ubicado en Munich y se llama ED-70 (Datum Europeo 1979 ó Datum Munich).
è El Datum Cabo: Referido al Elipsoide modificado en 1880 de Clarke y tiene su punto de origen en el
FF-Elsfontein, cerca de Elizabeth Portuario. Este Datum fue basado en el trabajo de los astrónomos:
Sir Thomas Maclear (1833- 1870) y Sir David Gill (1879 – 1907).
è El Datum Geodetic Australiano 1984 (AGD84): Se basa en el elipsoide nacional australiano

a = 6378 160.00 m y f = 1/298,25.
El origen es la estación Geodetic de Ichnston.

è El Datum Bogotá: Tiene su punto de partida en el observatorio astronómico de Botogá y está referido
al elipsoide internacional (Hayford).
è El Datum Campo Inchauspe: Tiene su origen en el punto astronómico Inchauspe, cerca de la ciudad
de Pehuajó en la provincia de Buenos Aires, Argentina. El elipsoide asociado fue el internacional
(Hayford).
è El Datum Provisional Sudamericano 1956 (PSAD-56): Tiene su punto de partida en la Canoa –

Venezuela con el elipsoide internacional (Hayford).
è El Datum Sudamericano 1969 (SAD69): Tiene su origen en Chua – Brasil (Lat. 19° 45’, Long. 48°
06’) y está referido al elipsoide sudamericano 1969.
è Se piensa que la mejor

Eje de
solución era escoger
la Tierra Geoide el Datum de un área
no
tum ica y ajustar todos los
Da mer sistemas locales a él.
a
rte
No
è Mientras que en cada
Da rope
Eu
tum o
caso el elipsoide
elegido es un ajuste
adecuado en el área
de origen, ni uno ni
otro proporciona un
buen ajuste para la
Tierra entera.
Elipsoide Clarke
Elipsoide Internacional
Centro de
la Tierra
584
560 Principios
y Cartografía
SISTEMAS DE LOCALES DE DIVERSAS ZONAS Y PAÍSES
ZONA DE USO NOMBRE DEL DATUM ELIPSOIDE

CAMPO INCHAUSPE 1969 Internacional 1924
Argentina
1969 SUDAMERICANO (SAD69) Sudamericano 1969
Afganistán HERAT DEL NORTE Internacional 1924
África Del Sur CABO Clarke 1880
Alaska (Excepto Las Islas De NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
Aleutian) NORTEAMERICANO 1983 GRS 80
Albania S-42 (PULKOVO 1942) Krassovsky 1940
NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
Alberta
NORTEAMERICANO 1983 GRS 80
Alemania (antes de 1990) EUROPEO 1950 Internacional 1924
ISLA DEL ENGAÑO Clarke 1880
Antartida
ÁREA ASTRO DEL CAMPO Internacional 1924
Antigua, Islas De Sotovento ISLA ASTRO 1943 DE ANTIGUA Clarke 1880
NAHRWAN Clarke 1880
Arabia Saudita EUROPEO 1950 Internacional 1924
EL ABD 1970 DE AIN Internacional 1924
VOIROL 1874 Clarke 1880
Argelia SÁHARA DEL NORTE 1959 Clarke 1880
VOIROL 1960 Clarke 1880
1968 GEODETIC AUSTRALIANO Nacional Australiano
Australia
EUROPEO 1950 Internacional 1924
Austria
Bahamas (Excepto La Isla Del
Salvador Del San)
Bahrein EL ABD 1970 DE AIN Internacional 1924
Baltra 1969 SUDAMERICANO (SAD 69) Sudamericano 1969
Bangladesh INDIO EVEREST (La India 1956)
Barbados NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
Barbuda NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
Belice
Belgica EUROPEO 1950 Internacional 1924
1956 SUDAMERICANO PROVISIONAL
Internacional 1924
Bolivia (PSAD 56)
Bosnia HERMANNSKOGEL Bessel 1841
Botswana ARCO 1950 Clarke 1880
CORREGO ALEGRE Internacional 1924
Brasil
1969 SUDAMERICNAO (SAD 69) Sudamericana 1969
Brunei y Malasia de Este
TIMBALAI 1948 Everest (Sabah Sarawak)
(Sarwak y Sabah)
ADINDAN Clarke 1880
Burkina Faso
PUNTO 58 Clarke 1880
Burundi ARCO 1950 Clarke 1880
ADINDAN Clarke 1880
Camerún
NINNA Clarke 1880
Canadá NORTEAMERICANO 1983 GRS 80
Canadá del este (Terranova, NORTEAMERICANO 1983 GRS 80
Brunswich nuevo, Nueva
Escocia y Quebec) NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
Canarias PICO DE LAS NIEVES Internacional 1924
585
561
SISTEMAS LOCALES DE DIVERSAS ZONAS Y PAÍSES

ROMA 1940 Internacional 1924
Cerdeña
OBSERVATORIO DE BOGOTÁ Internacional 1924
Colombia Internacional 1924
(PSAD56)
1969 SUDAMERICANO (SAD 69) Sudamericano 1969
Colombia Británico NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
Congo POINTE NOIRE 1948 Clarke 1880
Conus
Corea Del Sur TOKIO Bessel 1841
Costa Rica
Croatía HERMANNSKOGEL Bessel 1841 (Namiibia)
Cuba NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
S-42 (PLKOVO 1942) Krassovsky 1940
Checoslovaquia
S-jtsk Bessel 1841
Chile 1969 SUDAMERICANO (SAD 69) Sudamericano 1969
Chile – Chile meridional 1956 SUDAMERICANO PROVISIONAL
Internacional 1924
(cerca de 43º S) (PSAD56)
Chile – Chile norteño (cerca 1956 SUDAMERICANO PROVISIONAL
Internacional 1924
de 19° S) (PSAD56)
Chile meridional (cerca de 53° S) CHILENO DEL SUR PROVISIONAL 1963 Internacional 1924
Chipre EUROPEO 1950 Internacional 1924
Da Cunha (TDC) de Tristan TRISTAN ASTRO 1968 Internacional 1924
Diego García ISTS 073 ASTRO 1969 Internacional 1924
Dinamarca EUROPEO 1950 Internacional 1924
Djiboui FARO DE AYABELLE Clarke 1880
Ecuador Internacional 1924
(PSAD 56)
Ecuador (Excepto Las Islas De
las Islas Galápagos).
VIEJO EGIPCIO 1907 Helmert 1906
Egipto
El Salvador
Emiratos Árabes Unidos NAHRWAN Clarke 1880
Eritrea (Etiopia) MASSAWA Bessel 1841
Escocia ENCUESTA SOBRE LA ARTILLERIA DE
Airy 1830
GRAN BRETAÑA 1936
Eslovenia HERMANNSKOGEL Bessel 1841 (namibia)
España
Estados Unidos Del Este
ESTADOS Unidos Occidentales
ESTONIA: SISTEMA COORDINADO
Estonia Bessel 1841
1937
Etiopia ADINDAN Ckarje 1779
586
562 Principios
y Cartografía

Europa Occidental EUROPEO 1950 Internacional 1924
INTERRUPTOR BAJO 1948 DE
Faial Internacional 19424
GRACIOSA
Filipina (Excepto La Isla De
LUZON Clarke 1866
Mindanao)
Finiandia
Forme Las Islas (ENW) ESTELA ENIWETOK 1960 Hough 1960
Francia EUROPEO 1950 Internacional 1924
Gabón MPORALOKO Clarke 1880
Ghana LEIGON Clarke 1880
Graciosa Internacional 1924
GRACIOSA
Grecia EUROPEO 1950 Internacional 1924
Groenlandia (Península De
Hayes)
Groenlandia Del Sur QORNOQ Internacional 1924
Gibraltar EUROPEO 1950 Internacional 1924
Guam GUAM 1963 Clarke 1866
Guatemala
Guinea DABOLA Clarke 1880
Guinea -Bissau BISSAU Internacional 1924
1956 SURAMERICANO PROVISIONAL
Internacional 1924
Guyana (PSAD56)
1969 SURAMERICANO (SAD 69) Sudamericano 1969
VIEJO HAWAIANO Clarke 1866
Hawail
Herzegovina Serbia HERMANNSKOGEL Bessel 1841 (Namibia)
Holanda
Honduras NORTEAMERICANO 1983 GRS 80
Hong Kong HONG KONG 1963 Internacional 1924
Hungria S-42 (PULKOVO 1942) Krassovsky 1940
Indonesio INDONESIO 1974 Indonesio
Inglaterra ENCUESTA SOBRE LA ARTILLERÍA DE
Airy 1830
GRAN BRETAÑA 1936
Irán EUROPEO 1950 Internacional 1924
Iraq EUROPEO 1950 Internacional 1924
Irlanda
IRLANDA 1965 Airy Modificada
Isla De Bahrein EL ABD 1970 DE AIN Internacional 1924
LC. 5 ASTRO 1961 Clarke 1866
Isla De Cayman
Isla De Chatham (Zealand
ISLA ASTRO 1971 DE CHATHAM Internacional 1924
Nuevo)
Isla De Espíritu Santo SANTO (DOS) 1965 Internacional 1924
Isla De Falkland Del este COLINA 1943 DEL ZAPADOR Internacional 1924
Isla De Gizo (Islas Nuevas De
DOS 1968 Internacional 1924
Georgia)
587
563

Isla De Gusalcanal GUX 1 ASTRO Internacional 1924
Isla De Johnston ISLA 1961 DE JOHNSTON Internacional 1924
Isla De Kerguelen ISLA 1949 DE KERGUELEN Internacional 1924
Isla De la Ascensión ISLA 1958 DE LA ASCENSIÓN Internacional 1924
Isla de los Turcos NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
Isla De Mahe MAHE 1971 Clarke 1880
Isla De Marcus ESTACIÓN ASTRONÓMICA 1952 Internacional 1924
Isla De Masirah (Omán) NAHRWAN Clarke 1880
Isla De Pascua ISLA 1967 DE PASCUA Internacional 1924
Isla De Pitcaim PITCAIRN ASTRO 1967 Internacional 1924
Isla De Tem ISLA DE ASTRO TERN (FRIG) 1961 Internacional 1924
Isla Del Engaño ISLA DEL ENGAÑO Clarke 1880
ENCUESTA SOBRE LA ARTILLERÍA DE
Isla del hombre Airy 1830
GRAN GRAN BRETAÑA 1936
Isla Del Salvador Del San NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
Isla Del Sur De Georgia ISTS 061 ASTRO 1968 Internacional 1924
Islas de Virginia PUERTO RICO Clarke 1866
Islandia HJORSEY 1955 Internacional 1924
Islas De Aleutian NORTEAMERICANO 1983 GRS 80
Islas de Aleutian – a este de
180° W
Islas de Aleutian al oeste de
180° W
Islas De América Samoa AMÉRICA SAMOA 1962 Clarke 1866
Islas de Bangka y de Belitung
BUKIT RIMPAH Bessel 1841
(Indonesia)
Islas De Bermudas BERMUDAS 1957 Clarke 1866
Islas de Carolina KUSAIE ASTRO 1951 Internacional 1924
Islas De Cocos ANA 1 ASTRO 1965 Nacional australiano
Islas de Corvo y de Flores OBSERVATORIO METEOROLÓGICO
Internacional 1924
(Azores) 1939
Islas de Efate y de Erromango BELLEVUE (IGNICIÓN) Internacional 1924
Islas de Escocia y de Shetland Airy 1830
Islas De las Islas Galápagos 1969 SUDAMERICANO (SAD 69) Sudamericano 1963
Islas de Jamaica NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
Islas De Mascarene REUNIÓN Internacional 1924
Islas De Phoenix CANTÒN ASTRO 1966 Internacional 1924
Islas De Santa Maria (Azores) SAO BRAZ. Internacional 1924
Islas de Shetland ENCUESTA SOBRE LA ARTILLERÍA DE
Airy 1830
ISLA ASTRO 1943 DE ANTIGUA Clarke 1880
Islas de Sotavento FORTALEZA THOMAS 1955 Clarke 1880
ISLA ASTRO 1958 DE MONTSERRAT Clarke 1880
Islas de Terceira Internacional 1924
GRACIOSA
Islas De Viti Levu (Las Islas Fiji)
VITI LEVU 1916 Clarke 1880
(Mvs)
Islas Del Salvamento SELVAGEM GRANDE 1938 Internacional 1924
Isla Graciosa Internacional 1924
GRACIOSA
588
564 Principios
y Cartografía

Isla Faial Internacional 1924
GRACIOSA
Islas Situado a mitad del ASTRO SITUADO A MITAD DEL
Internacional 1924
camino CAMINO 1961
Israel EUROPEO 1950 Internacional 1924
Italia EUROPEO 1950 Internacional 1924
Iwo Jima FARO “E” 1945 DE ASTRO Internacional 1924
Jamaica NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
Japón TOKIO Bessel 1841
Jordania EUROPEO 1950 Internacional 1924
Kalimantan (Indonesia) GUNUNG SEGARA Bessel 1541
Kauai
Kazakhstan S-42 (PULKOVO 1942) Krassovsky 1940
Neia ARCO 1960 Clarke 1880
Kuwait EUROPEO 1950 Internacional 1924
La India INDIO Everest (La India 1956)
Latvia S-42 (PULKOVO 1942) Krassovsky 1940
Lesotho ARCO 1950 Clarke 1880
Libano EUROPEO 1950 Internacional 1924
Liberia LIBERIA 1964 Clarke 1880
Luxemburgo EUROPEO 1950 Internacional 1924
OBSERVATORIO 1925 DE
Magadascar (Tan) Internacional 1924
ANTANANARIVO
Malasia KETAU 1948 Everest (Malay y Cantan)
Maldivas GAN 1970 Internacional 1924
Malawi ARCO 1950 Clarke 1880
Malol ADINDAN Clarke 1880
Malta EUROPEO 1950 Internacional 1924
Manitoba
Marruecos MERCHICH Clarke 1880
Maui
México
Micronesia KUSAIE 1951 Internacional 1924
Mindanao LUZON Clarke 1866
Montserrat ISLA ASTRO 1958 DE MONTSERRAT Clarke 1880
Namibia SCHWARZECK Bessel 1841 (Namibia)
Nepal INDIO Everest (La India 1956)
Nevis FORTALEZA THOMAS 1955 Clarke 1880
Nicaragua
Nigeria PUNTO 58 Clarke 1880
Nigeria MINNA Clarke 1880
Noruega
Nueva Zelandia DATO GEODETIC 1949 Internacional 1924
589
565

Oahu
Okinawa TOKIO Bessel 1841
Omán OMÁN Clarke 1880
Ontario
País de Gales Airy 1830
Países Bajos EUROPEO 1979 Internacional 1924
Paquistán INDIO Everest (La India 1956)
CHUA ASTRO Internacional 1924
Paraguay
Internacional 1924
Perú (PSAD 56)
Pico Internacional 1924
GRACIOSA
Polonia S-42 (PULKOVO 1942) Krassovsky 1940
Porto Santo e islas de Madeira PORTO SANTO 1936 Clarke 1880
Portugal EUROPEO 1950 Internacional 1924
Puerto Rico PUERTO RICO Clarke 1866
Qatar NACIONAL DE QATAR Internacional 1924
República dominicana
República de Maldives GAN 1979 Internacional 1924
Rumania S-42 (PULKOVO 1942) Krassovsky 1940
Rusia S-42 (PULKOVO 1942) Krassovsky 1940
Sao Jorge Internacional 1924
GRACIOSA
Sao Miguel SAO BRAZ Internacional 1924
St. Kitts FORTALEZA THOMAS 1955 Clarke 1880
Senegal ADINDAN Clarke 1880
Sicilia (Italia) EUROPEO 1950 Internacional 1924
Sierra Leone 1960 SIERRA LEONE 1960 Clarke 1880
Singapur ASIA DEL SUR Fischer Modificado 1960
Singapur del Oeste KERTAU 1948 Everest (Malay y Cantan)
Siria
Singapur del Oeste KERTAU 1948 Everest (Malay y Cantan)
Singapur ASIA DEL SUR Fisher Modificado 1960
Somalia AFGDOYE Krassvsky 1940
Sri Lanka KANDAWALA Everest (La India 1830)
St, Isla De Helena DOS 71/4 DE ASTRO Internacional 1924
Sudán ADINDAN Clarke 1880
Suecia
Suiza
Sumatra (Indonesia) DJAKARTA (BATAVIA) Bessel 1841
Suriname (ZAN) ZANDERIJ Internacional 1924
Swazilandia ARCO 1950 Clarke 1880
INDIO 1954 Everest (La India 1830)
Tailandia
INDIO 1975 Everest (La India 1830)
590
566 Principios
y Cartografía

Taiwán Hu-tzu-shan Internacional 1924
Tanzania ARCO 1960 Clarke 1880
Tasmania
Territorios y Saskatchewan Del NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
Noroeste NORTEAMERICANO 1983 GRS 80
NAPARIMA, BWI Internacional 1924
Trinidad y Trinidad y Tobago
CARTHAGE Clarke 1880
Túnez
Uruguay (YAC) YACARE Internacional 1924
Internacional 1924
Venezuela (PSAD 56)
Vietnam INDIO 1960 Everest (La India 1830)
Yukon
Yugoslavia (antes de 1990) HERMANNSKOGEL Bessel 1841
Zake ARCO 1950 Clarke 1880
Zambia ARCO 1950 Clarke 1880
Zimbabwe ARCO 1950 Clarke 1880
Zona del Canal NORTEAMERICANO 1927 Clarke 1866
C) Sistema Astronómico Global

Esta constituido por un sistema cartesiano tridimensional, el cual cumple con las siguientes
características :
Centro de masa
El origen es el centro de masa de la totalidad de la Tierra, incluyendo los océanos y la atmósfera

(geocentro).
591
567
Z Eje de rotación
Terrestre
PN
PS
El eje “z”, pasa por el eje de rotación de la Tierra.
PN Plano Ecuatorial
HEMISFERIO NORTE
H E M ISFE R I O S U R
PS
El Ecuador es un plano perpendicular al eje de rotación y divide a la Tierra en dos zonas :

Hemisferio Norte y Sur
592
568 Principios
y Cartografía
Z
Meridiano
Internacional
de referencia
(Greenwich)
O
ECUADOR A
X
PS
La intersección del meridiano internacional de referencia y el Ecuador (A), forma con

el punto “o”, el eje “x”.
z Elipsoide de
Referencia
PN
O
y
ECUADOR
PS
El eje “Y” se forma en el Ecuador y parte del punto “O” perpendicular al eje “X” obede-
ciendo la regla de la mano derecha.
Observación
â La posición de un punto queda determinada con las coordenadas cartesianas x; y; z.

â La posición de un punto queda determinada con las coordenadas astronómicas geo-
gráficas: f; l; W.
593
569
Meridiano astronómico de un punto P .

Es aquel plano paralelo al eje de rotación de la Tierra que contiene al vector gravedad que pasa por
dicho punto.
Latitud astronómica (f) .
Es el ángulo medido en el plano del meridiano astronómico que forman la tangente a la dirección de la
línea de la plomada en “p” y el plano del Ecuador. ( 0° ≤ f ≤ 90° ). f(+) Norte
Longitud astronómica (l) .
Es el ángulo diedro medido en el plano del Ecuador. Parte del meridiano de Greenwich hacia el este de
él, hasta llegar al meridiano que contiene al punto P. ( 0° ≤ l ≤ 360° ). l(+) Este.
Potencial gravitatorio (W) .
Está definido por la superficie equipotencial que pasa por el punto “P”
Eje de rotación
z de la Tierra
g
Vertical Astronómica
P que pasa por P.
y
no
r i dia W Línea de
Me de ch W B
i λ = constante
e nw A
e
Gr
φ
λ Superficie
x ECUADOR equipotencial que

pasa por P (WP).
Las coordenadas f y l; se pueden determinar de forma absoluta mediante observaciones astronómicas;

mientras que el campo gravitatorio W no se puede determinar de forma absoluta; pero si la diferencia
de potencial respecto al geoide, empleando para ello la altura ortométrica.
Sin embargo, las observaciones más precisas se obtienen de forma relativa, es decir, referidas al sistema
astronómico local y de alta precisión; ello implica transferir mediciones efectuadas en el sistema
astronómico local al global mediante observaciones adicionales y fórmulas complicadas; lo cual obliga
a buscar sistemas menos complejos.
D) Sistema Elipsoidal Global.

Consiste en un caso mejorado del sistema astronómico global.
Así pues la posición de un punto “P” quedará definida por sus tres coordenadas.
Latitud geodésica (f)
Longitud geodésica (l)
Altura elipsoidal (h)
z Plano Meridiano
que contiene la Normal AP
Elipsoide de
Revolución P
ich h
enw
Gre e
Meridiano d
φ
A y
λ
Como verá usted, la superficie de referencia que reemplaza a la equipotencial es el elipsoide de

revolución.
La ventaja de este sistema radica en que el elipsoide se basa en un modelo matemático definido y por
ende las coordenadas de un punto “P” serán fácilmente expresables matemáticamente.
Por otro lado es preciso destacar que latitud y longitud no son exactamente igual a sus homólogos
astronómicos, existe casi siempre una diferencia.
Un punto “P” puede quedar definido de dos formas:
En términos de sus coordenadas geodésicas ( f ; l ; h )
En términos de sus coordenadas cartesianas ( x ; y ; z )
2. Sistemas de referencia espaciales.

Respecto a los sistemas de referencia terrestre, las coordenadas de un punto fijo en el espacio variarían
constantemente en virtud a la rotación terrestre.
Es por ello que para determinar la posición de los astros lejanos que como tal, pueden ser considerados
fijos, se hace uso de las coordenadas astronómicas, gracias a la llamada esfera celeste, cuyo estudio no
está incluido en el presente texto.
Principios Básicos de Geodesia y Cartografía 571
Movimiento del eje de rotación terrestre
La dirección del eje de rotación terrestre, cambia con el

tiempo respecto a la propia superficie terrestre.
El polo describe a lo largo del tiempo una trayectoria
libre que es una curva más o menos circular de radio 6
metros y período aproximado de 430 días, provocado por
el carácter deformable de la Tierra.
Superpuesta a ésta trayectoria libre, se encuentra una
serie de oscilaciones provocadas por la influencia
gravitatoria del Sol y la Luna con una magnitud de 60
centímetros.
Este movimiento del polo afecta directamente a las coordenadas de los puntos sobre la superficie terrestre,
dado que el sistema de referencia irá cambiando. Lo más indicado es tomar como eje z de referencia al origen
o centro de los círculos de movimiento libre, quedando así determinado el eje de un modo convencional.
Si las coordenadas de los puntos se refieren al polo convencional, tendremos coordenadas absolutas, si se
refieren al polo instantáneo, tendremos coordenadas instantáneas.
No hay teoría científica que pueda predecir el movimiento del polo, así que se monitorea contínuamente
mediante observaciones. Esta materialización se realiza con observaciones astronómicas lo que da lugar al
establecimiento de tres polos diferentes.
1. Polo C.I.O. (Convencional International Origen). Definido como la posición media del polo entre
1900 y 1905
2. Polo B.I.H. (BUREAU International de L’Heure) creada en 1912; encargada del mantenimiento
de la hora y de la posición del origen de longitudes (posición media del observatorio astronómico de
Greenwich).
La determinación de la latitud de sus observatorios, generó el polo BIH que proporciona estimaciones
más frecuentes (medias de 5 días) y precisiones de 1 metro en la determinación del movimiento del polo.
3. Polo I.P.M.S. (International Polar Motion Service). Generado a partir de determinaciones de latitud
astronómica en 80 estaciones y con precisión de un metro en la determinación del movimiento del polo.
NOTA
En 1984, la B.I.H. estableció un nuevo sistema de referencia terrestre, basada en las coordenadas car-
tesinas geocéntricas de las estaciones fundamentales, donde técnicas espaciales habían sido aplicadas,
este nuevo sistema coincide con el polo C.I.O. astronómico si se tiene en cuenta las precisiones en la
determinación del CIO, lo cual permite dar continuidad a las coordenadas determinadas antiguamente.
596
572 Principios
y Cartografía
4. Polo I.E.R.S. (International Earth Rotation And Reference Systems Service).

Creado en 1987, reemplazando a la BIH y a la IPMS para, entre otras cosas, monitorear el movimiento
del polo, basándose en técnicas espaciales de forma continua
MARCO DE REFERENCIA :
Es la materialización de un sistema de referencia convencional a través de observaciones, es decir, se trata
de un conjunto de puntos (lugares localizados en la superficie terrestre) con coordenadas y velocidades
conocidas en ese sistema de referencia convencional y que sirven para materializar en el espacio el sistema
de referencia.
MARCO DE REFERENCIA TERRESTRE INTERNACIONAL (ITRF)

El sistema de referencia terrestre internacional convencional se materializa a través de las coordenadas de
una serie de estaciones distribuidas por todo el mundo en ese sistema de referencia, constituyendo el ITRF
(Internacional Terrestrial Reference Frame), establecido y mantenido por la IERS.
La historia de los diferentes ITRF comenzó en 1984, y, a partir de ahí se han obtenido las soluciones 88, 89,
90, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 2000, 2005 y, recientemente la 2008, estas soluciones difieren unas de otras debido
a la incorporación constante de nuevas estaciones, nuevas observaciones en las estaciones ya existentes,
mejora en la precisión de las mismas o nuevos métodos de procesamiento.
Estaciones que forman el ITRF2000 simbolizadas según el número de técnicas espaciales diferentes que utilizan.
597
573
SISTEMA DE REFERENCIA GEODÉSICO GLOBAL WGS84

( WORLD GEODETIC SYSTEM 1984) :
Es un sistema geocéntrico elipsoidal, fundado y monitoreado por el Departamento de Defensa de los Estados
Unidos de Norte América, obtenido exclusivamente a partir de los datos de la constelación de satélites GPS.
Es compatible con el Sistema de Referencia Terrestre Internacional (ITRF).
WGS84, identifica cuatro parámetros :
Semieje mayor = a = 6 378 137,00 m
Aplanamiento = 1/f = 298,257223563
Constante de gravitación geocéntrica = GM = 3 986 004,418 x 108 m3/s2
Velocidad angular media de la Tierra = ω = 7 292 115 x 10-11 rad/s
La orientación del eje Z, está definida por el Polo I.E.R.S. ; el eje x, por el meridiano origen definido por
el I.E.R.S.
Actualización WGS84
Nombre Datum- Observaciones Cambio

Época
WGS84 1984 Primera realización, establecido por el Departamento de Defen- N/A
sa en 1987, usando observaciones Doppler. También conocido
como WGS84 (1987), WGS84 (original), WGS84 (tránsito). Para
fines de topografía, WGS84 original, es idéntico al NAD83 (1986).
WGS84, está conectado al ITRF90 por una transformación Hel-
mert de siete parámetros.
WGS84 1994 Actualización realizada por el Departamento de Defensa el 0.70 m.
(G730) 06/29/1994, basada en observaciones GPS.
G significa GPS y 730, es el número de semana GPS; basado en
ITRF91.
WGS84 1997 Actualización realizada por el Departamento de Defensa, el 0.20 m.
ITRF94.
ITRF2000.
(G1674) 02/08/2012, basada en observaciones GPS. G significa GPS y
1674, es el número de semana GPS; basado en ITRF2008.
Parámetros de transformación :
Parámetros de transformación entre WGS84 (G1674) y actualizaciones pasadas WGS84, así como algunas
realizaciones ITRF.
598
574 Principios
y Cartografía
Desde A Época T1 T2 T3 D R1 R2 R3 Precisión

m m m ppb mas mas mas m
WGS84(G1150) WGS84(G1674) 2001.0 -0.0047 0.0119 0.0156 4.72 0.52 0.01 0.19 0.0059
ITRF2008 WGS84(G1674) 2005.0 0 0 0 0 0 0 0 0.10
ITRF2000 WGS84(G1150) 2001.0 0 0 0 0 0 0 0 0.10
ITRF94 WGS84(G873) 1997.0 0 0 0 0 0 0 0 0.10
ITRF91 WGS84(G730) 1994.0 0 0 0 0 0 0 0 0.10
ITRF90 WGS84(original) 1984.0 0.060 -0.517 -0.223 -11.0 18.3 -0.3 7.0 0.01
m = metro; 1 mas = 0,001”; ppb = partes por billón.
WGS84 y ITRF
» Actualización Antigua: conocida comúnmente como DOPPLER Tránsito, y proporciona
coordenadas de la estación con una precisión de alrededor de un metro.
» Nuevas Actualizaciones: de WGS84, basados en los datos de GPS, como G730, G873 y G1150.
Etas nuevas actualizaciones WGS84 son coincidentes con ITRF la altura de 10 centímetros.
Para estas actualizaciones no hay parámetros oficiales de transformación.
WGS84, NAD83 y ITRF

WGS84 original, está de acuerdo escencialmente con NAD83 (1986).
El Datum de Norteamérica de 1983 (NAD83) se utiliza en todas partes de América del Norte, excepto
México. Este dato se realiza en el Estados Unidos contiguos y Alaska (Placa de Norteamérica) a través
de las CORS Nacionales (estaciones de referencias de funcionamiento continuo) que proporciona la
base para la obtención de transformaciones rigurosos entre la serie ITRF y NAD83, asi como una gran
variedad de aplicaciones científicas.
A partir de noviembre de 2011, la red CORS contiene más de 1800 estaciones, aportados por más,
de 200 organizaciones diferentes, y la red continúa en expansión. La última realización de NAD83
se llama tecnicamente NAD83 (2011/PA11/MA11) época 2010.00 que constituye el marco para la
definición del sistema de referencia espacial nacional (IEN). En Canadá NAD83 se vigila también a
través del Sistema de Control Activo de Canadá. Así, las dos organizaciones encargadas de la vigilancia
y realizar cambios en el NAD83 son el Servicio Geodésico Nacional (NGS), http://www.ngs.noaa.gov
y los Recursos Naturales de Canadá (NRCan), http://www.nrcan.gc.ca. y los recursos naturales de
Canadá (NRCan), http://www.nrcan.gc.ca.
Datum mexicana de 1993

De México Instituto Nacional de Estadística, Geográfica, e Informatica (INEGI), http://www.inegi.
org.mx, la agencia federal responsable de la geodesia y la cartografía del país, adoptó el marco
geocéntrico ITRF92, época 1988.0, como base por su definición de referencia. La realización del
datum se logra a través de la red Geodésica Nacional Activa (RGNA) una red de 14 estaciones de
receptores GPS permanentes. Recientemente, adoptaron ITRF2008, .epoch 2010.0, como la nueva
base para la definición mexicana Datum.
599
575
WGS84, ITRF y SIRGAS

El sistema de referencia Geocéntrico para América del Sur 1995 (SIRGAS 1995) se estableció para
apoyar un marco geodésicoy cartografía unificada para el continente sudamericano. La mayoría de
los países de América del Sur y el caribe participaron en esta empresa con 58 estaciones de referencia
que se extendió posteriormente a América Central y del Norte. El marco de referencia adoptado era
ITRF94, epoch 1,995,42. El Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas 2 000 (SIRGAS 2
000) fue realizado por un marco de 184 estaciones observadas en el 2 000 y ajustados en el ITRF2000,
época 2 000.40 SIRGAS 2000 incluye vínculos con mareógrafos y reemplaza SIRGAS 1995 para
América del Sur, mientras que la expanción de SIRGAS hacia Centroamérica. El nombre fue cambiado
en 2001 para su uso en toda América Latina. hay varias páginas web con información sobre SIRGAS,
tales como: http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/sirgas.
WGS84, ITRF y ETRS89

El ETRS89 (sistema Europeo de Referencia Terrestre de 1989) se basa en (TRF89, época 1989.0 y
monitoreado por una red de cerca de 250 estaciones de seguimiento GNSS permanentes conocidos como
la Red Permanente EUREF (EPN). El IAG Subcomisión EUREF es responsable del mantenimiento
del Sistema Europeo de Refererencia Terrestre (ETRS89). Visite el sitio web EUREF: http://www.
euref.eu. La Oficina Central EPN se ecuentra en el Observatorio Real de Belgica. http://www.epncb.
oma.be.
WGS84, ITRF y GDA94

El Datum Geocéntrico de Australia de 1994 (GDA94) se refería originalmente al marco ITRF92, en
época 1994.0 GDA94 es controlada por la Red Australiana regional GNSS (ARGN) que actualmente está
compuesta por una red de 15 estaciones GPS de seguimiento permanente en Australia y sus territorios,
con las 8 estaciones en Australia conocidos como la Red Fiducial australiano (AFN). La organización
responsable de la supervisión GDA94 es Geoscience Australia. http://www.auslig.gov.au.
600
576 Principios
y Cartografía
PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS
Proyección cartográfica es la representación de la superficie elipsoidal en un plano.
Es imposible llevar a cabo la proyección cartográfica sin evitar la presencia de algunos tipos de distorsiones.
Sin embargo se han elaborado proyecciones que mantienen alguna propiedad de la superficie elipsoidal “sin
distorsión” a costa de distorsionar las otras propiedades; ello obedece al objetivo que se persigue.
PROPIEDADES DE LAS PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS
Proyección Equidistante
Tiene la cualidad de mantener la distancia real entre dos puntos situados sobre la superficie del Elipsoide.
No obstante, es necesario aclarar que no es posible generar una proyección que conserve la distancia en
todas las direcciones para todos los puntos del mapa. En realidad la mayoría de las proyecciones cumple
el principio de equidistancia para algunas líneas o puntos. Por ejemplo en la proyección de Mercator, la
equidistancia se presenta en el Ecuador, (ver figura A).
Proyección Conforme
Tiene la cualidad de conservar los ángulos formados por dos líneas, tanto en el elipsoide como en el plano
cartográfico; sin embargo es importante puntualizar que no existe ninguna proyección conforme que
mantenga dicha propiedad en todo el elipsoide. Este tipo de proyecciones conserva la forma de las figuras
pero no el tamaño de éstas.
Por último es preciso acotar que una proyección conforme, se refiere a la conservación de ángulo, no de
azimuts o rumbos.
La proyección de Mercator es un ejemplo de estas propiedad; en el elipsoide, los paralelos y meridianos se cortan
perpendicularmente; en el plano cartógrafico proyectado conservan dicho ángulo perpendicular, (ver figura A)
ECUADOR
A B
A
B
Meridianos Meridianos Paralelos
Paralelos
Figura A. En el presente caso, la línea ecuatorial es común al elipsoide y al cilindro, en virtud a ello, la distancia AB, no sufre
distorsión alguna. Así mismo los meridianos y paralelos son perpendicular antes y después de la proyección.
601
577
Proyección Equivalente.
Tiene la propiedad de conservar la superficie (área) del elipsoide en el plano proyectado, a costa de
distorsionar la forma de las figuras.
Un ejemplo típico de ello está representado por la proyección cilíndra equivalente, en el cual los puntos del
elipsoide se proyectan paraleo al Ecuador.
TIPOS DE PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA
I. Proyección cartográfica en un plano
1. Proyección Gnomónica
B
Consiste en una proyección geométrica a un plano
tangente al elipsoide en cualquier punto como “A” A
con el centro de proyección ubicado en el centro
del elipsoide.
C
Se clasifica en:
Polar: Plano tangente a la Tierra en un Polo
Ecuatorial: Plano tangente a la Tierra en el Ecuador.
Oblicua: Plano tangente a la Tierra en un punto distinto al Polo y al Ecuador.
2. Proyección Estereográfica.
Es similar a la proyección gnomónica, con la B
diferencia que el centro de proyección se encuentra
en un punto de la superficie del elipsoide (centro
A
de proyección diametralmente opuesta al punto de
tangencia).
C
602
578 Principios
y Cartografía
3. Proyección Ortográfica.
Es una proyección geométrica sobre un plano o tangente, con líneas de proyección paralelas entre si y
perpendiculares al plano tangente.
B’
A’
B
A
C’
C
D’
D E’
E
Observación:
A diferencia de una esfera, tanto el cono como el cilindro pueden desarrollarse o transfor-
marse en un plano sin distorsionarse, y por consiguiente son utilizados en las proyecciones
cartográficas
CILINDRO PLANO
CONO PLANO
603
579
PROYECCIÓN CILÍNDRICA
Proyección de MERCATOR
Consiste en circunscribir un cilindro hueco al elipsoide de referencia, tangente al plano Ecuatorial. El eje de
cilindro es coincidente con el eje de rotación de la Tierra.
Eje de rotación
de la Tierra
Eje del
cilindro
Ecuador
Cilindro tangente al elipsoide en el

plano ecuatorial
Groenlandia
Ecuador
Desarrollando el Cilindro
604
580 Principios
y Cartografía
Análisis Groenlandia
Groenlandia es una isla muy cercana al polo norte
con un área de 2.1 millones de km2.
Sudamérica es un continente ubicado en el hemis-
ferio sur pero no muy cercano al polo sur, con un
área 17,8 millones de km2 (mucho más extensa que
Groenlandia).
La proyección de MERCATOR muestra a Groen-
landia con una superficie mucho mayor que Suda-
mérica (14 veces su área original).
Sudamérica
CARACTERÍSTICAS
- Es una proyección conforme.
- El Ecuador se representa mediante una línea recta sin deformaciónn (escala verdadera)
- Los meridianos se proyectan en líneas rectas paralelas al eje del cilindro.
- Los paralelos se proyectan en líneas rectas paralelas al Ecuador y desigualmente espaciados.
- Los paralelos y meridianos se cortan en ángulos rectos.
- La proyección de Mercator, va exagerando el tamaño de las figuras a medida que nos aleja-
mos del plano ecuatorial.
Observación:
Este tipo de proyección es ventajoso en la navegación, pues el piloto de un barco puede mantener fijo el
timón siempre y cuando el rumbo sea constante.
N50°
N30° Meridiano 1 Meridiano 2
θ N10° Círculo
máximo θ
W70° W30° Loxodrómica
Loxodrómica
W50°
S10°
S30° Meridiano 2
S50°
Meridiano 1
605
581
PROYECCIÓN TRANSVERSAL DE MERCATOR

Consiste en circunscribir un cilindro hueco a un elipsoide, tangente a un Meridiano (meridiano origen), el
eje del cilindro es transversal (perpendicular) al eje de la Tierra.
Eje del
cilindro Eje de
rotación
terrestre
Eje de
Meridiano origen o central
rotación
PN terrestre
Ecuador
Eje del cilindro
PS
Ecuador
θ
4 7 Cilindro
3 6
2 5
4’ 3’ 2’ 1 5’ 6’ 7’
A medida que el ángulo q crece, la distorsión de la proyección en área y distancia

aumenta exageradamente; en virtud a ello, convencionalmente se ha establecido
como ángulo “q” máximo: 3 grados sexagesimales para un meridiano central.
606
582 Principios
y Cartografía
¿La proyección trans- Zona de

Meridiano
versal de MERCATOR, central influencia Meridiano
es aplicable para án- central
gulos menores o igual
a 3° solamente?
No aplica
No aplica
Convencionalmente Ecuador
si; no obstante, ello no
3° 3°
impide incrementar el
valor del ángulo q, si
las circunstancias lo
ameritan.
¿Cuántas zonas de influencia existen?

Dado que el ángulo central de influencia corresponde a un ángulo de seis grados sexagesimales (3° a cada
lado del meridiano central), existen 60 cilindros tangentes, cada uno a un meridiano central diferente (sesenta
zonas de influencia).
¿Cuáles son los sesenta meridianos centrales? Antimeridiano de

Greenwich Observatorio de
Convencionalmente se ha establecido que el Greenwich
meridiano central principal sea el meridiano de
Greenwich; a partir de él, se trazan los 60 meridianos Plano
Ecuatorial
centrales convencionales: en realidad el meridiano λ=180°
de partida (zona) corresponde al antimeridiano
de Greenwich (el otro lado del observatorio de
Greenwich.) λ=0
Esquemáticamente, presentamos a continuación, la ubicación de las 60 zonas.

Meridiano (lado opuesto
de Greenwich) Meridiano de
Greenwich
Zona Zona Zona Zona Zona Zona Zona Zona Zona Zona
1 2 28 29 30 31 32 33 59 60
Ecuador
... ... ... ...
-180° -174° -168° -18° -12° -6° 6° 12° 18° 168° 174° 180°
0
Lado oeste respecto a Greenwich Lado este respecto a Greenwich

607
583
CARACTERÍSTICAS
l Es una proyección conforme.
l Tanto el meridiano central como el Ecuador, se representan como lados rectos.
l No hay distorsión en el meridiano central (es una línea recta).
l Las distancias a lo largo del meridiano central son verdaderas.
l Los meridianos son ligeramente cóncavos con respecto al meridiano central.
l Los paralelos son líneas curvas cóncavos con respecto al polo más cercano.
l La distorsión aumenta a medida que nos alejamos del meridano central.
l La distorsión también aumenta cuando nos alejamos del Ecuador hacia los polos, pero en
menor medida.
l Esta proyección es recomendable en regiones cuya extensión es mucho mayor en la dirección
norte-sur respecto a la dirección este-oeste.
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSAL DE MERCATOR (UTM)

Es un sistema similar a la proyección transversal de MERCATOR, la diferencia radica en que el cilindro transversal
al eje de rotación de la Terra, corta al elipsoide secantemente a lo largo de dos elipses (líneas estándar) paralelas al
meridiano central.
Zona de influencia
correspondiente al
meridiano central.
Zona externa del

elipsoide respecto
al cilindro
Línea Meridiano
estándar central
Línea
estándar
608
584 Principios
y Cartografía
¿Cuál es el radio del cilindro?

Elipsoide El radio del cilindro, obedece a la siguiente
LE
propiedad.
LC La intersección geométrica del cilindro con
el elipsoide, se realiza tal que la distorsión
del meridiano central del elipsoide respecto
al cilindro es cuantitativamente 0,9996.
Cilindro Lc = 0,9996 . (LE)
Sección Meridiano central
Factor de Escala
Es aquel valor que permite proyectar la longitud A’
medida entre dos puntos en el elipsoide de
referencia sobre el plano cartográfico. A Lp
Lo
LP = (KESCALA) Lo Plano
cartográfico
B B’
Donde:
LP : longitud proyectada al plano catográfico.
Lo : longitud medida en el elipsoide de
Elipsoide de
referencia. referencia
KESCALA : factor de escala
Analizando el factor de escala en la presente proyección cartográfica (UTM)
2 Sección 1-1 Sección 2-2 Sección 3-3

1 3
Elipsoide Elipsoide Elipsoide
Meridiano
Lo Lp Lp Lo Lo Lp
Central
Cilindro Cilindro Cilindro

1 3 El elipsoide se El elipsoide se El elipsoide se
2 ubica dentro del cilindro. ubica fuera del cilindro. ubica dentro del cilindro.
Analizando la zona La proyección de Lo La proyección de Lo La proyección de Lo
de influencia aumenta (Lp) disminuye (Lp) aumenta (Lp)
correspondiente a un Lp = K . Lo Lp = K . Lo Lp = K . Lo
meridiano central. K>1 K<1 K >1
609
585
En Resumen :
Línea
Estándar
K>1 K>1
K<1
Línea
Estándar
Nota
La linea estándar no es
exactamente una recta
Observación:
Esta proyección tiene su rango de validez entre la latitud 84° Norte y 80° Sur. En las áreas polares es
conveniente el uso de la proyección estereográfica.
Meridiano
84° Central
84° N
Ecuador
80° 80° S
Observación:
Dado que la proyección cartográfica UTM, es una modificación de la Proyección Transversal de Mer-
cator (intersección secante en reemplazo del encuentro tangente), se conservan los 60 meridianos
convencionales y por tanto las sesenta zonas.
610
586 Principios
y Cartografía
-177 177 Antimeridiano de

-171 171
-165 165 Greenwich
-159 6 8 -174 -180 174
3 -1 168 159
-15 -162 162
-14
7 -156 1 60 5
1
156 53
0 3 2 9 5
1 -15 4 8 14
-14 4 57 15
0 7
-14 5 14
5 56 14
-13 -138 6 4 1
7 55 13
8
9
13
54
32
-12 -12
5
-1
6
13
-12 -123
12
53
2
9
9
12
0
7
10
123
52
-11
6
120
4
11
51
-111
-11
117
12
114
50
-108
-105
111
49
13
108
-102
-99
105
14
48
102
-96
-93
99
47
15
96
N+
-90
-87
46
16
93
90
-84
45
17
87
-81
84
-78
18
44
-75
81
78
-72
43
19
-69
75
72
-66
20
42
-63
Peruano
Zona del territorio
69
66
41
21
-60
63
-57
22
40
60
-54
39
23
-51
54
57
-48
38
24
5
48
51
2
-4
-4 37
25
36 42 45
-39 -36 26
27 35 36
-33 -30 28 34 39
29 33 30
-24 30 31 32 33
-27 -18
24
-12 18 27
-21 -6 12
Meridiano de Greenwich
-15 0 6 21
--6 15
-3 3 9
611
587
El Perú abarca tres zonas : 17, 18 y 19.
-84° -78° -72° -66°
Zona Zona Zona

17 18 19
-81° -75° -69°
l La zona 17, tiene como meridiano central: -81°

612
588 Principios
y Cartografía
CARACTERÍSTICAS
Es una proyección conforme
No hay distorsión en las líneas de intersección o estándar
Las distancias a lo largo de las líneas estándar, son verdaderas
Los meridianos cercanos al meridiano central son casi rectos (ligeramente cóncavas con
respecto el meridiano central).
Los paralelos son líneas curvas cóncavos con respecto al polo más cercano.
La distorsión aumenta a medida que nos alejamos del meridiano central.
La distorsión o escala también aumenta cuando nos alejamos del Ecuador hacia los polos, pero
en menor medida.
Esta proyección es recomendable en regiones cuya extensión es mucho mayor en la dirección
norte – sur que en el este – oeste.
ORIGEN CONVENCIONAL DE COORDENADAS UTM

A manera de ilustración se tomará como ejemplo una sola zona, sin embargo es preciso acotar que la presente
convención es válida para todas las zonas.
a) Para el hemisferio Norte Norte
» La coordenada norte tiene su origen en el
Ecuador y su valor de inicio es cero me-
tros.
» La coordenada este tiene su referencia en Meridiano central
E=500 000 m
el meridiano central y su valor de partida Ecuador

0m
es 500 000 m.
Este
Ejemplo 1:
N=0+450 000
Zona 16 A=
El punto “A” tiene las siguientes coor- E=500 000+100000
denadas UTM
A
N= 450 000 m 450 000 m
0m Ecuador
E= 600 000 m
500 000 m
Zona 16 N (norte)
Ubicar gráficamente su posición.
100 000 m
613
589
Ejemplo 2:
N=0+2 000 000
El punto “A” tiene las siguientes coorde- Zona 35 A=
E=500 000 − 160 000
nadas UTM.
N= 2 000 000 m
E= 340 000 m 0m 2 000 000 m
500 000 m
Zona 35 N (norte) Ecuador
Ubicar gráficamente su posición.
160 000 m
b) Para el hemisferio Sur

Norte
» La coordenada norte tiene su re-
ferencia en el Ecuador y su valor
es 10 000 000 m.
» La coordenada este tiene su refe-
rencia en el meridiano central y Ecuador
Meridiano central
su valor de partida es 500 000 m.
N=10 000 000 m Este
E=500 000 m
Ejemplo 3:
Zona 18 S
El punto “A” tiene las siguientes coor-
denadas UTM.
N= 8 000 000 m
10 000 000 m Ecuador
E= 560 000 m
500 000 m
2 000 000 m
Zona 18 S (Sur)
Ubicar gráficamente su posición. N=10 000 000 - 2 000 000
A=
E=500 000+60 000
60 000 m
614
590 Principios
y Cartografía
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS UTM A GEODÉSICAS
1. Datos a ingresar
NORTE =
ESTE =
ZONA = P
DATUM =
2. Parámetros de los elipsoides
ELIPSOIDE
a 6 378 388,00 m 6 378 137,00 m
b 6 356 911,946 m 6 356 752,314 m
e2 0,006 722 67 0,006 694 38
e’2 0,006 768 17 0,006 739 497
c 6 399 936,608 6 399 593,626
a) Cálculo de Parámetos Elementales
Donde e2 = cuadrado de la primera excentricidad

615
591
b) Cálculo de f1 (Radianes)
c) Cálculo de la latitud f (Radianes)
d) Cálculo de la longitud l
» Cálculo de l. (Grados sexagesimales)
l0 = P . 6 - 183°
» Cálculo de Dl (Radianes)
» Cálculo de l (Grados sexagesimales)

616
592 Principios
y Cartografía
Ejemplo 1:
Transformar las coordenadas UTM del Punto B a geodésicas.
Datum: WGS84 - Hemisferio Sur
Norte = 6 452 437,347
Este = 745 286,987
Zona = 23
N1 R1 e1 T1 C1 D1
63841 62, 133 6353410,688 0,00167922 0,392415591 0,0048401 47 0,038436546
M1 U f1 P Q S
-3548982,246 -0,557363265 -0,559627569 0,000738684032 -0,00000056065 4,61245825x10-10
f f (RADIANES) f (GRADOS) f (MINUTOS) f (SEGUNDOS)

-0,000464622 -0,559162947 -32 2 15,6369
lo JJ XX  l (RAD)
- 45 0,038419608206 0,000000013791577 0,0453
l (GRADOS) l (MINUTOS) l (SEGUNDOS)

-42 24 8,9009
Ejemplo 2:
Transformar las coordenadas UTM del Punto B a geodésicas.
Datum: WGS84 - Hemisferio Norte
Norte = 3 532 634,862 m
Este = 367 324,721 m
Zona = 54
Nota Para efectos de cálculos, si el punto citado se encontrase en el hemisferio norte,

a la coordenada norte será necesario incrementarle 10 000 000; en nuestro caso:
N = 13 532 634,862.
617
593
N1 R1 e1 T1 C1 D1
6384116,905 6353275,66 0,00167922 0,388331772 0,004854385 -0,020790404
M1 U f1 P Q S
3534048,481 0,555017936 0,557277032 0,000216120452 -0,00000004790 1,14948057x10-11
Df f (RADIANES) f (GRADOS) f (MINUTOS) f (SEGUNDOS)

0,000135302 0,55714173 31 55 18,7310
lo JJ XX  l (RAD)
141 -0,020787735853 -0,000000000632388 -0,0245
l (GRADOS) l (MINUTOS) l (SEGUNDOS)

139 35 47,8182
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A UTM

1. Datos a ingresar
f =
l =
DATUM =
2. Parámetros de los elipsoides
ELIPSOIDE
a 6 378 388,00 m 6 378 137,00 m
b 6 356 911,946 m 6 356 752,314 m
e2 0,006 722 67 0,006 694 38
e’2 0,006 768 17 0,006 739 497
c 6 399 936,608 6 399 593,626
618
594 Principios
y Cartografía
a) Cálculo de la zona
Meridiano central λo
Sea : P = Zona
A
o
b) Cálculo del Meridiano Central l0
l0 = P . 6 - 183° Grados sexagesimales

B
c) Cálculo de Dl
l = l - l0
3. Cálculo de E (ESTE)
a) t = tg f
n2 = e’2 . cos 2 f
c n
b)
c) E = 500 000 + 0,9996. E
4. Cálculo de N (NORTE)
a)
b) AM = a . (A0 . f - A2 . sen2f + A4 . sen 4f - A6 . sen 6f)
c)
d) NORTE = 10 000 000,00 + 0,9996 N

619
595
Ejemplo 1:
Transformar las coordenadas geodésicas del Punto A a UTM.
Datum: WGS84
f = -10° 27’ 3,6’’
l = -100° 14’ 20,4’’
Solución:
lo = -99°
ZONA = 14
P lo l t n2 N(RADIO)
14 -99° -0,021624629 -0,184454597 0,007 6 378 839,577963340
E’ E A0 A2 A4 A6
364 392,6487 364 392,6487 0,99832 0,003 2,639 x 10-6 3,41805 x10-9
AM N' N
-1 155 739,619 -1 156 005,7227 8 844 456,680
Respuesta:
E = 364 392,649 m
N = 8 844 456,680 m
Zona = 14
Hemisferio Sur
Ejemplo 2:
Transformar las coordenadas geodésicas del Punto B a UTM.
Datum: WGS84
f = 30° 27’ 22,32”

l = 63° 59’ 9,60”
Solución:
lo = 63°
ZONA = 41
620
596 Principios
y Cartografía
P lo l t n2 N(RADIO)
41 63 0,017208946 0,58801578 0,005 6383629,175478610
E’ E A0 A2 A4 A6
594 661,7352 594 661,7352 0,99832 0,003 2,639 x 10-6 3,41805 x 10-9
AM N' N
3370686,041 3 371 099,0926 13369750,653
Respuesta:
E = 594 661,735 m Nota
N = 3 369 750,653 m
Para el hemisferio norte; el presente método incrementa en
Zona = 41 10 000 000 el valor de las coordenada norte, en metros.
Hemisferio Norte
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEODÉSICAS A CARTESIANAS
A
ich h
nw
e
Gre
N
Meridiano de
φ y
h
λ N
Ecuador
x
621
597
y
A
y
x z
x
Ecuador
Datos
Z = [ N ( 1 -e2)+h ] sen f
l Latitud geodésica: f
l Longitud geodésica: l Donde:
l Altura elipsoidal: h
Fórmulas:
X = ( N + h ) cos f cos l
e2: cuadrado de la 1° excentricidad.
Y = ( N + h ) cos f sen l
Ejemplo: b) Cálculo del radio de curvatura en el primer

vertical.
Datos:
N= 6 380 252,174 m
Datum WGS 84
f=18° 20’ 30,756’’ S c) Cálculo de las coordenadas cartesianas
l=77° 43’ 17,432’’ W x = 1 288 569,772 m

h= 3 250,24 m y = -5 920 592,089 m
Solución z = -1 995 359,886 m
a) Elipsoide WGS 84
a = 6 378 137,0 m
e2= 0,006 694 381
Transformación de coordenadas cartesianas a geodésicas

DATOS 2
l Coordenada cartesiana X 2
l Coordenada cartesiana Y
l Coordenada cartesiana Z
FÓRMULAS
e2: cuadrado de l° excentricidad.

e’2: cuadrado de la 2° exentricidad.
Ejemplo:
,
Datos: Datum WGS 84
,
x = 1 288 569,753 m
y = -5 920 592,005 m Luego: f = -18° 20’30,765 S’’
z = -1 995 360,148 m
Solución
a) Elipsoide WGS84 l = -77° 43’ 17,432”

a= 6 378 137,0 m ,
b= 6 356 752,3 m
e2 = 0,006 694 381
e’2 = 0,006 739 497
b) Cálculos h=3 250,24 m

623
599
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ENTRE SISTEMAS
En el siglo XX, gran parte de los países, hacía uso de los sistemas locales, considerando elipsoides de
referencia acoplados estratégicamente al punto datum de su territorio, así por ejemplo Venezuela eligió el
elipsoide Internacional de Hayford, ubicando como origen o punto datum , La Canoa (PSAD-56; Provisional
South American 1956).
Dicho fenómeno causaba problemas en territorios limítrofes, por lo que se generó la idea de crear un
sistema global único para todo el planeta.
Hoy en día con el uso del sistema de posicionamiento global, se utiliza el elipsoide geocéntrico WGS84,
y con ello, el sistema del mismo nombre; no obstante gran parte de los países emplea su propio sistema
local en su base cartográfica, a pesar de obtener en el campo información según el sistema WGS84, ello
significa la presencia de un modelo matemático que permita transformar las coordenadas de campo WGS84
al sistema local.
Dátum geodésico Clásico ϕ

φ−
Estación Laplace
Φ, Λ − φ, λ
∆X ϕ
Estación ∆Ζ
Laplace ϕ
Φ, Λ − ϕ, λ
ϕ
Φ−
Dátum geodésico moderno
Marco de
referencia global
X, Y, Z - ϕ, λ, h ϕ
ϕ
Fuente de la imagen: Carlos Pattillo B. y María Elena Pezoa

624
600 Principios
y Cartografía
Uno de los modelos más usados es el de Bursa – Wolf.

Un requisito fundamental en dicho modelo en la transformación de coordenadas, es presentar la posición de
un punto en el sistema cartesiano. (x, y, z).
La forma general de transformar las coordenadas cartesianas es mediante el uso de siete parámetros.
Las tres traslaciones entre los orígenes: Dx; Dy, Dz (metros).
Las tres rotaciones entre los ejes: Rx, Ry, Rz. ( segundos sexagesimales).
La diferencia de escala S (partes por millón = ppm).
z
z’
Rz
B Ry y
r
y’
x R
x
A x’
y
Sea:
A = sistema cartesiano “A”
B = sistema cartesiano “B”
XA
YA = coordenadas cartesianas de un punto P en el sistema A
ZA
XB
YB = coordenadas cartesianas de un punto P en el sistema B
ZB
Dx
Dy = vector traslación
Dz
625
601
Luego:
Resolviendo:
Determinación de los parámetros de transformación

Para calcular los parámetros de transformación, es preciso realizar trabajo de campo, en el cual se deben
elegir puntos de control cuyos datos son las coordenadas en ambos sistemas; cuanto mayor sea el número de
puntos comunes en un área específico, mayor será la precisión obtenida, dado su mejor ajuste probalístico.
Sin embargo es de suponer que dichos parámetros deben ser actualizados constantemente, según el marco
de referencia utilizado compatibilizando la información con el paso del tiempo y el movimiento de las
placas tectónicas.
En el siguiente ejemplo, nos vamos remitir al estudio realizado por el Ing. César Leiva G. publicado por el
Departamento de Geodesia – IGM –Quito – Ecuador, para el cálculo se utilizaron 42 puntos comunes en los
dos sistemas y se aplicó el método paramétrico mediante mínimos cuadrados.
Ejemplo numérico 1: en Ecuador
Sistema “A”: PSAD 56
Sistema “B”: WGS 84
Dx = -60,310 m
Dy = 245,935 m
Dz = 31,008
Rx = -12,324’’ = -5,974843 806 10-5 rad
Ry = -3,755’’ = -1,820 475 373 10-5 rad
Rz = 7,370’’= 3,573 076 83 10-5 rad
,
d = +0,447 ppm = = 0,000 000 447
Nota
En el modelo Bursa – Wolf, para transformar coordenadas del sistema B al sistema A,
se utilizan los mismos parámetros (A a B), pero con signos cambiados.
Aplicando para el punto

S
32,0170
626
602 Principios
y Cartografía
Solución:
Transformando a coordenadas cartesianas
XA = 1 213 072,311 m
YA = -6 255 614,095 m
ZA = -351 494,127 m
Transformando de PSAD 56 a WGS 84
Finalmente
WGS84
Transformando coordenadas cartesianas (WGS84) a coordenadas Geodésicas (WGS84)

S
Observaciones:
1. En la actualidad existen otros modelos que permiten mejorar la precisión, para lo cual se utilizan
mayor número de parámetros de transformación.
2. La transformación entre sistemas también es aplicable para proyecciones cartográficas (2D), en el
cual pueden ser modelados por cuatro parámetros ( dos traslaciones, una rotación y un factor de
escala).
3. Los parámetros de transformación son diferentes para territorios diferentes, esto obedece a varias
razones: las velocidades de los puntos toman diferentes valores y direcciones para cada instante,
el movimiento debido a las placas tectónicas es diferente para cada punto, entre otros.
4. El concepto de transformación de coordenadas entre sistemas, también es aplicable para sistemas
geocéntricos, y el modelo Bursa – Wolf, genera buena precisión para dicho efecto.
5. La transformación de coordenadas local al global (WGS84), solo deben utilizarse para aplicaciones
de muy baja precisión, un punto PSAD56 transformado, no puede ser utilizado como base para una
visación satelital.
627
603
TRANSFORMACION DE COORDENADAS UTM A TOPOGRÁFICAS

Factor de escala (KESCALA)
Es aquel valor que permite proyectar la longitud medida
entre dos puntos en el elipsoide de referencia sobre el A’
plano cartográfico. A
Lp
Lo
LP=(KESCALA) Lo Plano
cartográfico
B B’
Donde:
LP: longitud proyectada al plano cartográfico.
Lo: longitud medida en el elipsoide de referencia.
Elipsoide de
KESCALA: factor de escala. referencia
Radios principales de curvatura del elipsoide en un punto “P”

En la siguiente imagen se muestra un punto
“P” ubicado sobre la superficie del elipsoide.
Meridiano de “P”
El meridiano que pasa por “P” (sección
meridiana o elipse meridiana) se confunde Centro del PN
con el plano del papel. Elipsoide Círculo
P Ecuatorial
PS
Radio de curvatura del meridiano en el punto “P” (r) : ZGeodésico = 0°

Es el radio correspondiente al círculo tangente al meridiano que pasa por “P” en dicho punto.
Meridiano de “P”
Ecuador PN
ρ P
0’ φ
0
PS
Así pues, la latitud geodésica f, es el ángulo limitado por la normal r con el plano ecuatorial.
628
604 Principios
y Cartografía
Radio de curvatura de la primera vertical en el punto “P” (GRAN NORMAL N):

Es el radio correspondiente al círculo tangente al plano perpendicular a la sección meridiana que pasa por
“P” en dicho punto.
Plano perpendicular a la sección

Meridiana que pasa por “P”
Ecuador PN
90-φ P
N
0’’
PS
Radio medio de curvatura (r)

En cálculos geodésicos, se suele usar el radio medio de curvatura, el cual se define como la media geométrica
de R y N respecto al punto en mención.
Factor de escala de un punto (Kescala)

Llamado también módulo de anamorfosis lineal puntual, este factor permite proyectar un diferencial de
longitud en torno al punto en estudio sobre el plano cartográfico.
En realidad, en un ámbito general, dicho factor depende de la ubicación del mismo y de la dirección en el
cual se quiere proyectar; sin embargo en una proyección conforme, el factor de escala es independiente de
la dirección.
En el punto A:
r : Radio de curvatura del meridiano

en el punto A.
N : Radio de la gran normal en “A”
f : Latitud geodésica en A
629
605
Para una proyección cartográfica UTM:

PTO COORDENADAS GEODÉSICAS COORDENADAS UTM
LATITUD LONGITUD NORTE ESTE ZONA
A f l N E #
El factor de escala KESCALA de un punto se puede expresar del siguiente modo:
Donde: q = 0.000001 (X)

e’2 : Cuadrado de segunda excentricidad.
X = |500 000 – ESTE| N : Radio de la gran normal en “A”.
Ko : Factor de escala en el Meridiano Central = 0,9996
o f : Latitud geodésica en A
Ejemplo 1.- Calcular el factor de escala para el siguiente punto “A”.

f = -11°43’33,46”
l = -76° 14’12,91” Meridiano
h=0 central
Datum: WGS84
Solución:
365 205,9239 m
è Transformando a coordenadas UTM :

500 000 m
E = 365 205,9239 m
N = 8 703 453,0211 m
è Cálculo de “X” :
x = |500 000 – 365 205,9239|
x = 134 794,0761 m
è Cálculo de N : x
Dado que el Datum de referencia es WGS84
a = 6378137,0
e2 = 0.006694381
a e2 f (1 – e2 . sen2 f)1/2 N(m)

6 378 137,0 0,006694381 -11º 43’ 33,46’’ 0,999861742 6 379 018,95
è Cálculo de P :
N 2 N2 . K2o e’2 1 + e’2 . cos2 f P
6 379018,95 8,1318x1013 0,006739497 1,006461137 0,012376753

630
606 Principios
y Cartografía
è Cálculo de K :
X q p . q2 0.00003 . q4 K
134 794,0761 0,134794076 0,000224879 9,90386 x 10-9 0,999824799
K = 0,999 824 799
Ejemplo 2.- Calcular el factor de escala para el siguiente punto “B”.

f = -11°44’15,35”
l = -76° 15’06,35”
h=0
Datum: WGS84
Solución:
è Transformando a coordenadas UTM :
E = 363 593,723 m
N = 8 702 158,921 m
è Cálculo de “X” :
x = |500 000 – 365 593,723|
x = 136 406,277 m
è Cálculo de N :
Dado que el Datum de referencia es WGS84
a = 6 378 137,0
e2 = 0,006 694 381
a e2 f (1 – e2 . sen2 f)1/2 N(m)

6 378 137,0 0,006694381 -11º 44’ 15,35’’ 0,999861471 6 379 020,677
è Cálculo de P :
N 2 N2 . Ko
2 e’2 1 + e’2 . cos2 f P
6 379 020,677 8,13187 x 1013 0,006739497 1,006460592 0,01237674
è Cálculo de K :
X q p . q2 0.00003 . q4 K
134 406,277 0,136406277 0,00023029 1,03862 x 10-8 0,999830208
K = 0,999 830 208

631
607
¿Cómo se obtiene Ko = 0,9996 para la proyección cartográfica UTM?

Se sabe que la proyección cartográfica UTM, proviene de un cilindro secante al elipsoide de referencia en
donde el radio del primero corresponde a un factor de escala en el meridiano central Ko = 0,9996 (Linea
automecoica).
Según el artificio de Tissot, dicho valor implica reducir a la mitad la deformación en los extremos del huso,
para una latitud media de 40° ó -40°.
e
K = Factor de escala en un punto “A”. (UTM extremo del huso)
Ko = Factor de escala en el meridiano central de la zona de huso.
K’ = Factor de escala en un punto “A” (según la proyección cartográfica transversal de Mercator TM)
e = Deformación unitaria en el punto “A” (extremo del huso)
Ilustrando:
A) Proyección T.M.
Para latitud f = 40°
Meridiano
central
°
φ = 40° A Cilindro
K’ = 1 + ε Factor escala = 1
Meridiano central
B) Proyección UTM
Para latitud f = 40°
φ = 40°
A Cilindro
K Ko = 1
Meridiano central
632
608 Principios
y Cartografía
Artificio de Tissot:
e
Del comcepto: K = Ko . K’
e
Finalmente:
Para cuantificar el valor de Ko; citaremos los siguientes ejemplos
Ejemplo 1
A) Para l = -78° y f = -40°

* K’ = 1,0008078457956 Ecuador
1 + e = 1,0008078457956
e = 0,0008078457956
* Artiricio Tissot:
K = Ko . K’
Redondeando al 4to decimal.

Ko = 0,9996
B) Para l = -72° y f = 40°

* K’ = 1,0008078457956
e = 0,0008078457956
* Ko = 0,9996
633
609
Ejemplo 2
A) Para l = 144° y f = 40°
* K’ = 1,0008078457956
e = 0,0008078457956
Ko = 0,9996 Ecuador
B) Para l = 150° y f = -40°

* K’ = 1,0008078457956
e = 0,0008078457956
* Ko = 0,9996
Cálculo de la distancia de cuadrícula entre A y B
Sean A y B; dos puntos ubicados sobre la superficie

LC
elipsoidal; cuando estos puntos se proyectan al
plano cartográfico, se generan los puntos A’ y B’.
B
A
La longitud de la línea recta que une dichas
proyecciones, toma el nombre de distancia de
cuadrícula (Lc). A’ B’
Dado que dicha longitud se desarrolla en un plano;

su cálculo está gobernado por la fórmula aplicada al N
plano cartesiano y – x.
NB B
NA LC
A
EA EB E
634
610 Principios
y Cartografía
En nuestro ejemplo 1 y 2:
è Punto A: è Punto B:
EA = 365 205,924 m EB = 363 593,723 m
NA = 8 703 453,021 m NB = 8 702 158,921 m
Aplicando la fórmula:
LC = 2 067,338 m
Cálculo de la distancia geodésica entre A y B

Distancia Geodésica, es la longitud entre los puntos A
y B medida en la superficie del elipsoide de referencia LO LC
(Lo)
B
La distancia Geodésica, se puede calcular apoyándonos A
en el factor de escala de los puntos extremos que limita
la mencionada línea. A’ B’
Sea:
KA : factor de escala del punto A.

KB : factor de escala del punto B.
KESCALA : factor de escala promedio. En nuestro ejemplo:
Según el concepto de factor de escala: è Punto A:
KA = 0,999824799
è Punto B:
Donde: KB = 0,999830208
Lo : distancia geodésica
Lc : distancia de cuadrícula
è Además:
KESCALA : factor de escala promedio.
LC = 2067,338 m
è Cálculo de Lo:
Lo = 2 067,695 m
635
611
Factor de Elevación (KELEVACIÓN)
Cuando se realiza la medición de distancia entre dos puntos en el terreno, comúnmente se obtiene como
resultado, la distancia geométrica (inclinada) entre ambos puntos; no obstante ser la distancia reducida al
horizonte (distancia topográfica) la utilizada en los cálculos topográficos.
Superficie topográfica
LT2 B
LT LT
LT1 A B
A
hB
hA Lo
Elipsoide de Elipsoide de
referencia referencia
LT : Distancia topográfica entre A y B respecto al punto A. Lo, es la proyección de la distancia topográfica (LT) sobre el
1
LT : Distancia topográfica entre A y B respecto al punto B. elipsoide de referencia.
2
LT : Distancia topográfica promedio entre A y B. Lo = KELEV . LT
Donde :
LT : distancia topográfica entre A y B.
Lo : distancia geodésica entre A y B.
KELEV : factor de elevación entre A y B.
hA : altura elipsoidal de “A”.
hB : altura elipsoidal de “B”.
R : radio de curvatura del meridiano corres- LT
pondiente a la latitud promedio de A y B.
M : flecha central.
Elipsoide de h
referencia
M
Factor de elevación (KELEVACIÓN), es Lcuerda
aquel valor que permite proyectar la
longitud medida entre dos puntos en el
R
terreno (distancia reducida al horizon-
te) sobre el elipsoide de referencia.
636
612 Principios
y Cartografía
DEMOSTRACIÓN nos hemos apoyado en un modelo Geoidal EGM –

Perú, obteniendo:
è Semejanza de triángulos:
hA = 3 450,359 m
hB = 3851,302 m
Donde: ,
è Cálculo de R:
fA = -11° 43’ 33,46”
Luego:
fB = -11° 44’ 15,35”
fPromedio = -11° 43’ 54,41”
Para llevar: Lcuerda al Elipsoide (Lo), es Luego : R = 6 338 070,397 m

necesario adicionar:
è Cáculo de M:
A modo de ejemplo:
M = 0,070 m
LCuerda 10 000 m S 1 mm
è Cálculo de Factor Elevación (KELEVACIÓN):
LCuerda 5 000 m S 0,1 mm
Lo cual conlleva a deducir que para trabajos de

ingeniería con distancias menores o igual a 5 km;
podemos despreciar S , ,
, ,
Finalmente:
KELEVACIÓN = 0,999424304567
Factor de elevación: è Cálculo de distancia topográfica (LT):
Sabiendo: Lo = 2 067,695 m
Ejemplo 3.- Considerando que los puntos “A” y
,
“B” son los mismos presentados en el ejemplo 1 y
,
2. Calcular el factor de elevación; sabiendo que la
altura ortométrica es :
LT = 2 068,886 m
HA = 3 419 m
HB = 3 820 m
Calcular también la distancia topográfica entre A y B.
Solución:
En primer lugar, es preciso transformar las alturas
ortométricas a elipsoidales. En el presente ejemplo
637
613
Factor combinado (K)
Es el producto proveniente entre el factor de elevación y el factor de escala.
K = (KELEVACIÓN) (KESCALA)
K : factor combinado entre A y B.

KELEVACIÓN : factor de elevación entre A y B.
KESCALA : factor de escala entre A y B.
El factor combinado K, permite transformar la distancia topográfica existente entre dos puntos a distancia
de cuadrícula, directamente:
LC = K . LT
LC : longitud de cuadrícula.
K : factor combinado.
LT : longitud Topográfica.
Ejemplo 4.- Considerando los ejemplos anteriores:

KESCALA = 0,999 827 503 (promedio)
KELEVACIÓN = 0,999424 304567 (promedio)
LC = 2067,338
Se pide:
Calcular el factor combinado.
Calcular la distancia topográfica.
Solución:
A) PRIMER MÉTODO
è Cáculo del factor combinado:
K = (0,999827503) (0,999424304567)
K = 0,999251907304
è Cálculo de la distancia topográfica:
,
,
LT = 2068,886 m
638
614 Principios
y Cartografía
B) SEGUNDO MÉTODO
è Considerando los datos de los ejemplos 1, 2 y 3 :
PTO UTM
N(m) E(m) ZONA h(m)
A 8703 453,021 365 205,924 18 3 450,359
B 8 702 158,921 363 593,723 18 3 851,302
LC = 2 067,338 m
è Calculando el Factor Combinado para cada punto :
PTO UTM
Kescala Kelevación Kcombinado
A 0,9998247986607 0,99945591 0,999280804
B 0,999830208023 0,999392723 0,999223035
è Calculando el Factor Combinado Promedio entre A y B :
, ,
K = 0,999251919274
è Calculando la Distancia Topográfica entre A y B :
,
,
LT = 2 068,886 m
Si comparamos el resultado obtenido (LT) respecto al calculado en el primer método; deducimos que son
iguales.
Analizando la influencia del desnivel entre 2 puntos
1) Dh = 400,94 m
h1 h2 Lcuadrícula Ltopográfica Lgeodésica

3 450,359 3 851,302 2 067,330 2 068,886 2 067,695
639
615
2) Dh = 300,94 m

3 550,359 3 851,302 2 067,330 2 068,902 2 067,695
3) Dh = 200,94 m

3 650,359 3 851,302 2 067,330 2 068,918 2 067,695
4) Dh = 100,94 m

3 750,359 3 851,302 2 067,330 2 068,935 2 067,695
5) Dh = 0,943 m

3 750,359 3 851,302 2 067,330 2 068,951 2 067,695
Como es de suponer, al ampliar la influencia del desnivel en las distancias (Cuadrícula, Topográfica y
Geodésica), la única longitud que sufre dicha influencia es la Topográfica. En tal sentido se recomienda tomar
desniveles no muy pronunciados (máximo 400 metros).
¿Qué pasa si en lugar de considera h; se toma H?
1) DH = 401
H1 H2 Lcuadrícula Ltopográfica Lgeodésica

3 419 3 820 2 067,330 2 068,875 2 067,695
2) DH = 301
H1 H2 Lcuadrícula Ltopográfica LGeodésica

3 519 3 820 2 067,330 2 068,892 2 067,695
3) DH = 201
H1 H2 Lcuadrícula Ltopográfica LGeodésica

3 619 3 820 2 067,330 2 068,900 2 067,695
4) DH = 101

3 719 3 820 2 067,330 2 068,875 2 067,695
5) DH = 1

3 619 3 820 2 068,941 2 068,921 2 067,695
Comparado los cuadros obtenidos con alturas ortométrica respecto a los obtenidos con alturas Elipsoidales,
se deduce que en las longitudes Topográficas se presenta una diferencia promedio de 1 cm (en el presente
caso). Se recomienda en lo posible trabajar con alturas Elipsoidales.
¿Es posible despreciar el valor M?
si analizamos el caso de dos puntos con las siguientes coordenadas.
PTO UTM
N(m) E(m) ZONA h(m)
A 9 325 972,63 703 664,90 17 2 089,369
B 9 331 417,29 690 827,99 17 2 358,932
è Calculando M : M = 1,151 m
è Calculando (Lc) : Lc= 13 948,696 m
è Considerando M : Kcombinado = 0,999730976244
Ltopográfica = 13 952,45 m
è Despreciando M : (M = 0) Kcombinado = 0,99973115791
Ltopográfica = 13 952,447 m
En el presente ejemplo, se observa que en 14 km (aprox.) de distancia Topográfica, existe tan solo una dife-
rencia de 3 mm al despreciar el valor de M.
Si consideramos que la máxima longitud a tomar es 5 km. La diferencia antes indicada será aún mucho
menor. Finalmente concluimos que es posible despreciar el valor de M.
¿Será lícito considerar el Radio de Curvatura del Meridiano correspondiente a la Latitud promedio
de A y B equivalente al Radio promedio entre ambos puntos?
l Considerando los datos del ejemplo anterior,
l Cálculo de los Radios de curvatura del Meridiano en cada punto.
Para f A à RA = 6 336 156,536
Para f B à RB = 6 336145,127
Para à R = 6 336 150,83 m
è Calculando el radio medio entre A y B :
Considerando que para una distancia Topográfica de 14 km, la diferencia de resultados en cuanto al cálculo
del Radio es de tan solo 1 cm; se concluye que basta calcular el Radio promedio entre A y B para efectos de
encontrar el factor de elevación.
Observación:
En adelante para obtener el Factor Combinado entre dos puntos, será suficiente calcular independiente-
mente el Factor Combinado de cada punto para luego promediarlo.
Medida de Direcciones
La dirección de una línea AB, está determinada por el ángulo horizontal (q) que forma respecto a un sistema
de coordenadas establecidas convencionalmente.
Comúnmente la dirección de una línea de referencia se determina mediante el Azimut o Rumbo.
N
B
θ
W E
A
Azimut (z) : Es el ángulo horizontal horario formado por el norte y la línea de referencia.
ZAB
W E
A
S
642
618 Principios
y Cartografía
Meridiano Geográfico de un punto A (MG)

El M.G. de un punto del elipsoide de referencia, es la elipse que pasa por dicho punto y por los polos norte
y sur de dicho elipsoide.
Meridiano de cuadrícula de un punto A. (M.C.)

El M.C. de un punto perteneciente al plano cartográfico UTM, es la línea recta que pasa por dicho punto y
que es paralela al meridiano central u origen de la zona correspondiente.
Hay que recordar que el meridiano central de la zona, es el único elemento que se proyecta sobre el cilindro
cartográfico UTM, mediante una línea recta.
Norte de cuadrícula
NC
Meridiano
central de la zona
NC
Hemisferio
norte
A
Ecuador
E
Hemisferio
sur
Meridiano de Plano cartográfico

cuadrícula en “A” de la zona
643
619
Convergencia de Meridianos (g)

Es el ángulo plano que forma el norte verdadero (Geográfico) con el norte de cuadrícula en un punto.
Dicho ángulo es constante a través del tiempo en dicho punto.
g, es positiva cuando el norte de cuadrícula se ubica al este del norte geográfico y negativa cuando se
encuentra al oeste.
NG NC NC NG
γ(+) γ(−)
A A
SIGNO DE "g” EN CADA CUADRANTE DE UNA ZONA O HUSO UTM :
Meridiano central
de la zona
84°
Hemisferio
γ(−) γ(+) Norte
Ecuador
γ(+) γ(−) Hemisferio

Sur
80
FÓRMULA QUE GOBIERNA LA CONVERGENCIA DE MERIDIANOS EN UN PUNTO :
g : convergencia de meridianos en un punto.
t = tg f
n2= e´2 . cos2 f
644
620 Principios
y Cartografía
Ejemplo 1.- Calcular la convergencia de meridianos Ejemplo 3.- Calcular la convergencia de meridianos
del punto ubicado según las siguientes coordenadas del punto ubicado según las siguientes coordenadas
UTM. UTM.
ESTE = 277 076,003 m E = 743 223,742 m
NORTE = 5342 624,724 m N = 3 421 032,614 m
ZONA = 24 (hemisferio norte) ZONA = 40 (hemisferio Norte)
DATUM : WGS84 DATUM : WGS84
è Aplicando la fórmula: è Aplicando la fórmula.
g = - 2° 14’ 14,3219” g = + 1° 18’ 26,3821”
Ejemplo 2.- Calcular la convergencia de meridianos Ejemplo 4.- Calcular la convergencia de meridianos
del punto ubicado según las siguientes coordenadas del punto ubicado según las siguientes coordenadas
UTM. UTM.
E = 277 076,003 m E = 743 223,742 m
N = 8637 242,342 m N = 7 321 037,021 m
ZONA = 24 (Hemisferio Sur) ZONA = 19 (Hemisferio Sur).
DATUM : WGS84 DATUM : WGS84
è Aplicando la fórmula: è Aplicando la fórmula:
g = +0° 26’ 15,1973” g = -0° 58’ 56,2194”
Azimut de Cuadrícula
El azimut de cuadrícula es aquel que se obtiene sobre la proyección del cilindro transversal de Mercator. El
Azimut de cuadrícula está compuesto por:
A) Azimut Plano: t
Es aquel ángulo medido desde el Norte de cuadrícula,

NC en sentido horario hacia la línea recta que une los
NC B puntos A y B.
t Su cálculo obedece a las mismas reglas establecidas

en topografía.
EC
645
621
Ejemplo: Datum WGS84
UTM
PTO N(m) E(m) ZONA
B 8 703 453,021 365 205,924 18
A 8 702 158,921 363 593,723 18
Graficando :
Ecuador
N=10 000 000 m NC
E=500 000 m
t
B
A
Calculando :
t = 51° 14’ 46,02’’
B) Azimut Geodésico Proyectado : T

La línea recta entre los puntos A y B ubicados en el elipsoide; se proyecta en el cilindro transversal de
Mercator como una línea curva cóncava hacia el Meridiano Central.
Ecuador
N=10 000 000 m
E=500 000 m
B A
A
El ángulo medido en sentido horario desde el Norte de cuadrícula hasta la línea tangente en “A”, se le
llama Azimut Geodésico proyectado de A.
646
622 Principios
y Cartografía
Ecuador
NC
T
B
Meridiano central
Corrección por Curvatura (T – t) :
Es la diferencia de los Azimuts de cuadrícula antes expuesto y debe ser aplicado en los lados de partida y
llegada de una poligonal Geodésica.
Ecuador
NC
NC
T B T-t
T-t
t B
A
t
T
, segundos
Donde:
2
e’ : cuadrado de la segunda excentricidad.
N : radio de curvatura de la primera vertical en el

punto “A”.
Ko : factor de escala en el Meridiano Central

= 0.9996
f : latitud geodésica en el punto A.

647
623
è Aplicando a nuestro ejemplo anterior (T - t)AB
» N = NB – NA = 1294,1
» X1 = |500 000 – 363 593,723| = 136 406,277
» X2 = |500 000 – 365 205,924| = 134 794,076
» fA = -11° 44’ 15,35”
» ,
» P = 0,01237673944
» (T – t)AB = (- 1 294,1) (2 x 136 406,277 + 134 794,076) x 0,01237673944 x 6,8755x10-8
(T – t) AB = - 0,45” Corrección por curvatura.
è Calculando el Azimut Geodésico proyectado (T)
T = t + (T – t)
En nuestro caso: T = 51° 14’ 46,62” + (-0,45”)
T = 51° 14’ 46,17”
Azimut Geográfico o verdadero : ZG

El Azimut geográfico de una línea AB, se calcula del siguiente modo:
NC
ZG = T + g NG
ZG
» En nuestro ejemplo : en el punto A.
γ T
g = 0° 15’ 16,8685’’
B
T = 51° 14’ 6,17’’
» Calculando el Azimut geográfico de la linea AB.
ZG = T + g A
ZG = 51° 14’46,17’’ + 0° 15’ 16,8685’’
ZG = 51° 30’ 3,04’’

648
624 Principios
y Cartografía
Cálculo de coordenadas
Cálculo de Coordenadas UTM de un Punto “B”, conociendo las Coordenadas UTM de un punto
“A”, el Azimut Plano AB y la distancia de cuadrícula entre ambos.
Ejemplo:
COORDENADAS UTM
PTO N(m) E(m) ZONA
A 8 702 158,921 363 593,723 18
NC
62’’
6, B
14’4
51°
=
t AB
ZAB = tAB = 51° 14’ 46,62”
Lc (A y B) = 2 067,338 m
è Calculando las Coordenadas UTM del punto B :
NB = NA + LC . cos tAB
NB = 8 702 158,921 + 2 067,338 cos (51° 14’ 46,62”)
NB = 8 703 453,021 m
EB = EA + LC . sen tAB
EB = 363 593,723 + 2 067,338 sen (51° 14’ 46,62”)
EB = 365 205,924 m
649
625
Cálculo de Coordenadas Topográficas de los puntos A y B, conociendo las Coordenadas

UTM de A y B.
Hay que tener presente que las coordenadas topográficas son relativas, es decir, un punto materializado
físicamente puede ser representado por diversas coordenadas.
N N N’
2°
8,192 m
A(6; 8) m A(15,735; 18,192) m
8

(0; 0) 6 (10; 10) m E

E
5,735 m
E’
Las coordenadas topográficas del punto A son diferentes, sin embargo ambos reprersentan el mismo punto
físico
CASO A: Considerando la convergencia de meridianos.
COORDENADAS UTM
PTO N(m) E(m) ZONA h
A 8 702 158,921 363 593,723 18 3 851,302
B 8 703 453,021 365 205,924 18 3 450,359
è Calculando el Factor Combinado para cada punto:
UTM
PTO Kescala Kelevación Kcombinado
A 0,9998302082023 0,999392723 0,999223035

B 0,9998247986607 0,99945591 0,999280804
è Calculando el Factor Combinado promedio entre A y B :

K = 0,999251919274
650
626 Principios
y Cartografía
è Calculando la distancia Topográfica entre A y B :

,
,
LT = 2 068,886 m
è Calculando la correción de Azimut por Curvatura (T - t) :

,
è Azimut plano tAB = 51° 14’ 46,62’’
è Azimut Geodésico proyectado : T

T = t + (T – t)
T = 51° 14’ 46,62” + (-0.45”)
T = 51° 14’ 46,17”
è Cálculo de la convergencia de Meridianos en “A” :

g = 0° 15’ 16,8685”
è Cálculo del Azimut geográfico de la línea AB.

ZG = T + g
ZG = 51° 14’ 46,17” + 0° 15’ 16,8685”
ZG = 51° 30’ 3,04”
è Cálculo de las Coordenadas Topográficas del punto B :

Como quiera que las coordenadas topográficas son relativas, es posible asignar al punto de partida
(A), valores inspiradas en nuestra imaginación ; no obstante es prácticamente común asignarle como
coordenadas topográficas al punto A, los mismos valores que las UTM.
Luego:
NB = NA + LT. cos ZG (AB) EB = EA + LT. sen ZG (AB)
NB = 8 702 158.9,21 + 2068,886. cos (51° 30’ 3.04’’) EB = 363 593,723 + 2068,886. sen (51° 30’ 3,04”)
NB = 8 703 446,809 m EB = 365 212,869 m
Finalmente:
COORDENADAS TOPOGRÁFICAS
PTO N E
A 8 702 158,921 363 593,723
B 8 703 446,809 365 212,869
651
627
CASO B: Sin considerar la convergencia de meridianos.

COORDENADAS UTM
PTO N(m) E(m) ZONA h
A 8 702 158,921 363 593,723 18 3 851,302
B 8 703 453,021 365 205,924 18 3 450,359
è Calculando el Factor Combinado para cada punto:
UTM
PTO Kescala Kelevación Kcombinado
A 0,9998302082023 0,999392723 0,999223035

B 0,9998247986607 0,99945591 0,999280804
è Calculando el Factor Combinado promedio è Cálculo de las Coordenadas Topográficas del

entre A y B : punto B :
K = 0,999251919274 La diferencia con el caso A, radica en el
è Calculando la distancia Topográfica entre A azimut, dado que ahora se considera el azimut
yB: geodésico.
, Luego:
, NB = NA + LT. cos TAB
LT = 2 068,886 m
NB = 8 702 158.9,21 + 2068,886. cos (51° 14’ 46,17’’)
è Calculando la correción de Azimut por
NB = 8 703 453,993 m
Curvatura (T - t) :
, EB = EA + LT. sen TAB
EB = 363 593,723 + 2068,886. sen (51° 14’46,17’’)

è Azimut plano tAB = 51° 14’ 46,62’’
EB = 365 207,128 m
è Azimut Geodésico proyectado : T
T = t + (T – t) Finalmente:
T = 51° 14’ 46,62” + (-0.45”)
COORDENADAS TOPOGRÁFICAS
T = 51° 14’ 46,17”
PTO N E
è Cálculo de la convergencia de Meridianos A 8 702 158,921 363 593,723
en “A”: En este caso se va a considerar un
B 8 703 453,993 365 207,128
norte común (norte de cuadrícula), por tanto:
g = 0°
652
628 Principios
y Cartografía
SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL GPS

EL GPS (Global Positioning System) es un sistema de navegación creado por el Departamento de Defensa
de los Estados Unidos, basado en un conjunto de satélites que giran en orbitas respecto a la Tierra con el
objetivo de determinar la posición de un punto en cualquier parte de nuestro planeta, gracias a la presencia
de un receptor.
Los estudios de investigación del GPS, datan de los años 50 del siglo XX, hoy en día es prácticamente de
uso masivo, no existe actividad que no involucre esta tecnología.
Aunque el GPS se creó con fines militares (navegación de aviones militares, direccionamiento de misiles,
posicionamiento de tropas, localización de barcos de combate militar en tiempo real, etc.) hoy, las
aplicaciones para usos civiles son innumerables: taxis, aviones, barcos, trenes, la minería, la construcción,
el marketing, la política, la medicina, etc. No hay duda que la imaginación del hombre seguirá creando
aplicativos basados en la tecnología GPS.
CONSTELACIONES DE SATELITES PARA FINES DE GEORREFERENCIACIÓN

En el exterior de nuestra atmósfera terrestre, existen miles de satélites, orbitando alrededor de la Tierra, cada
uno con un objetivo específico; sin embargo los satélites con fines de georreferenciación se cuentan tan solo
por decenas. En la actualidad existen varias constelaciones destinados para este fin. Se estima que cada
satélite supera ampliamente los cien millones de dólares.
Constelación GPS o NAVSTAR
La constelación de satélites NAVSTAR (GPS). Actualmente está compuesto por 32 satélites (30 activos y 2
de reserva), cada uno de ellos gira en torno a la Tierra con una frecuencia de 2 veces por día y una velocidad
aproximada de 13 300 km/h.
653
629
20180 km
Satélite
Estos satélites se encuentran distribuidos en seis

orbitas elípticas casi circulares y diferentes. Estos
seis planos están igualmente espaciados entre si en
60°.
La posición que ocupan los satélites en sus
respectivas orbitas facilita que el receptor GPS
reciba, de forma constante y simultánea las señales
de por lo menos 6 u 8 de ellos independientemente
del sitio donde nos encontremos situados.
El sistema está a cargo del Departamento de Defensa
de los Estados Unidos de Norteamèrica.
Constelación GLONASS o RUSA ( Global’naya Navigatsionnaya Sputnikovaya Sistema)
La constelación de satélites GLONASS. Actualmente 19 100 km

está compuesto por 31 satélites (24 activos, 3 de Satélite
repuesto, 2 en mantenimiento, 1 en servicio y otro en
pruebas), cada uno de ellos gira en torno a la Tierra
con período de 11 horas 55 minutos y una velocidad
aproximada de 13 400 km/h.
654
630 Principios
y Cartografía
Estos satélites se encuentran distribuidos en tres orbitas elípticas casi circulares y diferentes.
La posición que ocupan los satélites en sus respectivas orbitas facilita que el receptor GPS reciba, de forma
constante y simultánea las señales de por lo menos 5 de ellos independientemente del sitio donde nos
encontremos situados.
El sistema está a cargo del Ministerio de Defensa de la Federación Rusa.
Constelación Galileo
23 222 km
La constelación de satélites GALILEO (UNIÓN Satélite
EUROPEA). Actualmente está compuesto por 18
satélites, y se proyectan a 30 ( 24 activos y 6 de
reserva) para el año 2020, cada uno de ellos gira en
torno a la Tierra con un período de 14 horas y una
velocidad aproximada de 13 200 km/h.
655
631
Estos satélites se encuentran distribuidos en tres órbitas elípticas casi circulares y diferentes.
El sistema está a cargo de la Unión Europea y la Agencia espacial Europea; a diferencia de las dos
constelaciones anteriores, los cuales están monitoreados por instituciones militares, la constelación Galileo
está a cargo de instituciones civiles.
Constelación Beidou
Bideou es un sistema de navegación chino, que consta de dos etapas :

La primera generación, BeiDou-1, la cual funcionó desde el 2000, con una constelación de 3 satélites en
órbita geoestacionaria y es un sistema de posicionamiento por satélite local dando servicio a China y a sus
países vecinos, actualmente ya no se encuentra operativo.
La segunda generación, BeiDou-2 (Compass), actualmente en construcción, su inicio data del año 2000
y empezó a operar el año 2012 con cobertura local ( china y las regiones vecinas) se prevé que para el
año 2020, deberá contar con
35 satélites, de los cuales 27
se encontrarán en una órbita
media (MEO), cinco en
órbita geoestacionaria (GEO)
y tres en órbita geosincrónica
inclinada (IGSO) .
Una vez completado, el
proyecto se convertiría
en un equivalente del
Sistema estadounidense de
Posicionamiento Global
(GPS), el ruso Glonass y
el europeo Galileo, con
cobertura total para nuestro
planeta.
656
632 Principios
y Cartografía
GEORREFERENCIACIÓN DE UN PUNTO P, APLICANDO LA TECNOLOGÍA GPS

1. Explicación Gráfica.
Matemáticamente, el método de Pothenot, aparece en el siglo XVII; y según los conocimientos de la

topografía, bastará tres puntos de coordenadas bidimensionales conocidas, ubicamos el teodolito en P, para
luego visar los tres puntos antes mencionados, los cuales físicamente se materializan como hitos o puntos
de control ,
Los datos de campo, están representados por los ángulos α y β; el cálculo es historia conocida.
B (xB; yB)
A (xA; yA)
B (xC; yC)
α β
En el caso del sistema de posicionamiento global, los tres

puntos (A, B y C, y más puntos), están compuestos por
satélites artificiales cuyas coordenadas son conocidas,
mientras que el punto P, puede estar representado por
cualquier punto de la superficie terrestre e incluso por
nosotros mismos.
¿ Pero cómo visar los satélites ? . En realidad son los
satélites los que nos visan (por decirlo de cierta forma),
dado que éstos emiten ondas en todas direcciones
bajo frecuencias establecidas, dichas ondas trasladan
información, tales como las coordenadas de los satélites, Receptor GPS Navegador
el instante de salida de la onda, entre otros datos; si
contamos con un dispositivo sincronizado bajo la misma
frecuencia de la onda portadora del satélite, estaremos
en la posibilidad de decodificar dicha información,
siempre y cuando tengamos un reloj capaz de captar el
instante de llegada de la onda.
Receptor GPS Diferencial

657
633
Supongamos un punto P sobre la superficie de

la Tierra cuyas coordenadas se desea conocer y
S1
la presencia de un satélite GPS.
Nótese que la distancia entre P y el satélite S1, d1
es d1
P
Esfera 1
d1
Es posible trazar imaginariamente una
esfera con centro en el satélite S1 y radio
d1; Nuestro punto P, se encontrará en algún
S1 lugar de la superficie de la esfera.
S1
Si hacemos un análisis similar respecto a un
d1
segundo satélite, hay que tener presente que S2
la distancia entre P y el satélite 2 es diferente
al de S1.
P d2
Si trazamos dos esferas con centro en cada uno de los satélites, la ubicación del punto P, se reduce a la
intersección de ambas esferas ( una circunferencia).
658
634 Principios
y Cartografía
Intersección
Circunferencia C
Esfera 1
Esfera 2
d2
d1 S1 S2
S1 S2
d2 S3
Sin analizamos la presencia de un tercer d1
d3
satélite, tendremos : d1, d2, d3.
Si trazamos tres esferas con

Intersección esfera 1
centro en cada uno de los y esfera 2
satélites, la posición del Esfera 1
punto P se reduce tan solo a
Esfera 2
la ubicación de dos puntos,
producto de la intersección d2
de la circunferencia C y la
esfera 3.
d1 S1 S2
S3
Intersección
de las tres Esfera 3
esferas d23
(dos puntos)
659
635
De lo explicado, deducimos que midiendo la distancia a tres satélites, limitamos nuestra posición a tan
solo 2 puntos, de los cuales uno de ellos nos arrojará un valor incoherente, con lo cual nos quedamos
únicamente con una posición; sin embargo para obtener directamente una sola respuesta, es necesario
el uso de un cuarto satélite.
2. Explicación Matemática.-
Adoptaremos un sistema de referencia geocéntrico tridimensional

Según la representación gráfica :
Satélite 1 : S1 (x1; y1; z1), z S1(x1; y1; z1)
Satélite 2 : S2 (x2; y2; z2),
r1 d1
Para los cuatro satélites
P(x0; y0; z0)

r0
(0; 0; 0) y
Luego:
....... (1)
x
....... (2)
....... (3)
....... (4)
Si hacemos; (1) - (2); (2) - (3) y (3) - (4), tendremos:
Tres ecuaciones con tres incógnitas (x0; y0; z0), Tener presente:
660
636 Principios
y Cartografía
Ejemplo:
Se muestran las coordenadas cartesianas geocéntricas de cuatro satélites :
SATÉLITE X (m) Y (m) Z (m)

S1 12 000 000,00 11 000 000,00 10 000 000,00
S2 -10 000 000,00 10 000 000,00 9 000 000,00
S3 9 000 000,00 -12 000 000,00 11 000 000,00
S4 3 000 000,00 -14 082 203,15 10 084 016,22
Si la distancia de cada satélite a P, es la que se muestra:
TRAMO DISTANCIA (m)

S1- P 11 180 339,89
S2- P 12 529 964,09
S3 - P 20 639 767,44
S4 -P 21 330 036,24
Se pide, las coordenadas cartesianas del punto P.
Solución.
Cálculos previos :
SATÉLITE r2 (m2)
S1 3,65 x 1014
S2 2,8 x 1014 r2 = x2 + y2 + z2
S3 3,46 x 1014
S4 3,08996 x 1014
Luego :
22 000 000 x0 + 1 000 000 y0 + 1 000 000 z0 = 5,8 1013
-19 000 000 x0 + 22 000 000 y0 - 2 000 000 z0 = 1,02 1014
6 000 000 x0 + 2 082 203,150 y0 + 915 983,780 z0 = 3,2987 1013
Expresando matricialmente :
22 000 000 1 000 000 1 000 000 5,8 1013
-19 000 000 22 000 000 - 2 000 000 1,02 1014
6 000 000 2 082 203,150 915 983,780 3,2987 1013
Aplicando el método matricial de Gauss, obtenemos :
1 0,045454545 0,045454545 2636363,636

0 1 -0,049701789 6652087,475
0 0 733190,696 5,13203 1012
661
637
De donde :
x0 = 2 000 020,077 m
y0 = 6 999 979,087 m
z0 = 6 999 579,223 m
En el escenario de tener más de cuatro satélites (n) , lo cual es normal, obtendremos n-1 ecuaciones
para tres incógnitas, en tal caso es preciso realizar el ajuste respectivo ( puede aplicarse el método de
mínimos cuadrados), finalmente nos quedaremos con tres ecuaciones y tres incógnitas.
COMPONENTES DEL SISTEMA GLOBAL DE NAVEGACIÓN POR SATÉLITE (GNSS)

Existen tres conjuntos de componentes denominados segmentos, éstos son :
Segmento espacial.
Segmento de control.
Segmento del usuario
1. Segmento espacial.- está compuesto por todos los satélites, destinados para este fin, girando alre-
dedor de la Tierra con velocidad angular constante, aunque es afectado por la presencia del Sol, la Luna,
etc. en virtud a ello, se hace conocida sus coordenadas (efemérides), información imprescindible en
la georreferenciación de un punto. A la fecha existen varias constelaciones : GPS (NAVSTAR), GLO-
NASS, GALILEO, BEIDOU y MICHIBIKI. La mayor parte de estas constelaciones fueron citadas
líneas arriba.
2. Segmento de control.- consiste en un sistema estaciones localizados alrededor del mundo, cuyo
objetivo es controlar desde Tierra las constelaciones GNSS.
A continuación vamos a proceder a citar el segmento de control NAVSTAR, el cual se encuentra
dirigido por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos de Norteamérica.
Existen dos tipos
a) Estación Maestra: Ubicado en Falcon AFB – Colorado Spring.
Su función principal, es calcular los efemérides de todos los satélites de la constelación Navstar
con alta precisión y por tanto la posición exacta de cualquiera de los satélites GPS en un momento
determinado.
La estación Maestra envía
las efemérides y correcciones
de reloj a cada satélite. Cada
satélite envía posteriormente
subconjuntos de estas
informaciones a los receptores de
GPS mediante señales de radio.
Además controla y asegura el
eficiente funcionamiento de los
satélites NAVSTAR.
662
638 Principios
y Cartografía
b) Estaciones de monitoreo: controlan el estado y posición de los satélites.

Reciben las señales transmitidas por los satélites y a partir de ellas obtienen información para
poder calcular las efemérides de los satélites. Esta información es transmitida a la estación
maestra de control que es la encargada de calcular las efemérides y obtener así la posición de los
satélites con una precisión muy buena.
Asi mismo recopila datos metereológicos.
A la fecha existen 15 estaciones de monitoreo, de las cuales cuatro de ellas, son las más importantes
Diego García, Isla Ascensión, Kwajalein, Hawái.
FUENTE : www.GPS.gob
3.- Segmento usuario.-Está compuesto por un dispositivo que decodifica la información satelital GPS,
aí como un software de procesamiento, cuyo producto final, son las coordenadas del mismo. Su costo
es relativamente módico, dependiendo de la precisión y los objetivos que se persiga, a no ser que se
requiera coordenadas precisas y exactas para trabajos de topografía y/o geodesia, en cuyo caso, los
receptores alcanzan cifras de varias decenas de miles de dólares.
Hoy en día la inteligencia del hombre hace que cada día aparezcan nuevos aplicativos, donde la base
fundamental es el GPS, usamos el waze para controlar nuestro tiempo de viaje, nuestro celular, como
hardware de los diversos aplicativos que nos ofrece, los aviones no funcionarían si ayuda del GPS,
la minería a tajo abierto, optimiza sus operaciones de movimientos de tierra gracias al GPS; no existe
actividad que pueda prescindir de la tecnología GPS sin ver reducida su eficiencia; sin embargo las
663
639
aplicaciones existentes del GPS constituyen una pequeña muestra del gran océano de aplicaciones que
en realidad podemos descubrir; todo depende de nuestra creatividad.
¿Y cómo es que se conocen las coordenadas de dichos satélites, si éstos se encuentran en

movimiento?
Hay que recordar que a 20 000 km de altitud respecto a la superficie terrestre, los satélites se desplazan
en el vacío, por tanto no encuentran ninguna oposición a su movimiento.
Si bien es cierto los satélites orbitan la Tierra por efecto de la fuerza centrípeta originada por la fuerza
gravitatoria terrestre, también es cierto que la primera ley de Newton manifiesta su presencia, pues el
valor de la velocidad de cada satélite permanece constante.
Siendo así, es posible establecer una función entre la posición de un satélite respecto al tiempo, para
luego extrapolar la posición del mismo para cada instante futuro, de este modo se pueden generar
almanaques y efemérides que permitan pronosticar la ubicación de cada satélite para cada día del año
y para cada instante de cada día.
Por otro lado es preciso informar que cada satélite envía como información las efemérides de todos los
satélites de su constelación
¿Cómo se mide la distancia entre un satélite y el receptor GPS?

Dado que las ondas de radio son electromagnéticas, es conocida su velocidad en el vacío:
300 000 km/s.
Por tanto basta determinar el tiempo de viaje de la onda de radio desde el momento en que sale
despedida desde el satélite hasta el instante de llegada en el receptor.
Es precisamente este último instrumento el encargado de calcular la distancia aplicando la fórmula:
d = c(Dt);
Donde: d, es la distancia
Dt, es el tiempo de viaje de la onda de radio.
c, velocidad de la luz en el vacío.
Es preciso mencionar que el intervalo de tiempo “Dt” es del orden de las centésimas de segundo la cual
obliga al uso de relojes de alta tecnología, es por ello que los satélites disponen de relojes atómicos con
precisiones de 10-11 a 10-14 segundos (su costo es del orden de centenas de miles de dólares).
Sin embargo no es posible utilizar el mismo tipo de reloj en receptores GPS, pues esto los convertiría
en equipos tan costosos que sería imposible su distribución al mercado mundial.
Por tal razón el reloj del satélite y el reloj del receptor nunca se encuentran sincronizados perfectamente.
Esto induce un error en el cálculo del tiempo y por lo tanto en la determinación de la distancia. Por ello
la distancia así medida se llama pseudodistancia.
Por tanto para calcular la posición de un punto en el espacio se debe conocer el error de tiempo
(sincronización).
Determinado el error de tiempo, es fácil conocer las pseudodistancias y obtener sus valores reales.
Este error es determinado efectuando mediciones a un cuarto satélite.
664
640 Principios
y Cartografía
En la imagen superior, P es el punto cuyas coordenadas son obtenidas aplicando el método de

trilateración, analizado en la página 470, para ello es necesario hacer uso de las distancias reales
existentes entre los satélites y el punto P; Sin embargo en la práctica las distancias obtenidas están
acompañadas de errores ( error de sincronización), motivo por el cual con la participación de cuatro
satélites, se obtienen la coordenadas de los puntos A, B y C, generando una superficie de incertidumbre.
Para que el reloj del receptor se sincronice con el reloj atómico de los satélites, dicho receptor varía
el tiempo medido hasta que los puntos A, B y C, concurran en un punto, el cual se acercará a P,
dependiendo de la posición de los satélites respecto a dicho punto.
Por último, es preciso aclarar, que los relojes atómicos ubicados en los satélites, sufren el principio de
la relatividad (Teoría de Einstein), lo cual significa que dichos relojes se adelantan respecto a los que
se encuentran en tierra, sin embargo ello no es inconveniente para nosotros los usuarios, dado que los
propios satélites se encargas de la correcciones respectivas.
ALMANAQUE Y EFEMÉRIDES.
Almanaque
Almanaque es la información que almacena en cada momento todo receptor GPS proveniente de los
mensajes enviados por los satélites.
La información está constituida por valores o parámetros que permiten predecir la órbita y la posición de
todos los satélites activos, pero de forma aproximada.
Cada satélite transmite un almanaque para todos los satélites.
Los datos de estos almanaques son válidos durante varios meses.
El cuadro que se expone a continuación, muestra el azimut y ángulo de elevación de cada satélite con
un período de cinco minutos respecto al punto cuyas coordenadas geodésicas son φ = -12º01’20” y
λ = -77º03’46”, para el 07 de febrero del año 2017.
665
641
Efemérides de transmisión
Son datos recibidos por el receptor GPS, provenientes de cada satélite.
Estos datos indican la posición de los satélites y su información es mucho más completa y precisa que los
obtenidos en los almanaques.
Cada satélite transmite solo sus propias efemérides aproximadamente cada 30 segundos estos parámetros
permiten determinar con bastante exactitud la posición de los satélites en un instante dado.
Por otro lado, el receptor GPS, utiliza la información de las efemérides de varios satélites simultáneamente
para realizar cálculos con el fin de determinar su posición.
666
642 Principios
y Cartografía
Cuando se activa el GPS, lo primero que hace es tener en cuenta los datos del almanaque y la hora de su
reloj interno para predecir que satélites van a estar disponibles en la constelación respectiva. Entonces
intentará conectar solo con esos satélites presuntamente disponibles con el objeto de captar la información
de sus efemérides, esto permite ahorrar tiempo a la hora de determinar su posición, dado que sino obtiene la
información del almanaque, tendría que buscar uno a uno todos los satélites y algunos de ellos podrían estar
en la otra cara del planeta, donde serían completamente inaccesibles.
Efemérides Transmitidas (Broadcast).-

Son prediciones de la posición de los satélites basadas en datos de observaciones de las estaciones de control
terrestre , normalmnte se actualizan cada hora, tienen una precisión de un metro aproximadamente. Dicha
información llega al GPS conjuntamente con el mensaje de navegación en las visaciones satelitales.
Efemérides precisas
Son datos recibidos por los receptores GPS ubicados en las estaciones de control pertenecientes al Centro
Nacional de Geodesia ( NGS- National Geodetic Survey), que representan la órbita real de cada satélite,
son calculadas a posteriori y constantemente actualizadas, se publican vía internet, generalmente están
disponibles después de la toma de datos.
Se dividen en :
Efemérides precisas ultrarápidas (IGU).- se pueden obtener seis horas después de culminar la visación,
tienen una precisión de 25 cm aproximadamente.
Efemérides precisas rápidas (IGR).- se pueden obtener al culminar el primer a segundo día de visación,
tienen una precisión de 5 a 10 cm aproximadamente.
Efemérides finales (IGS).- Se pueden obtener después de los trece días de efectuado la visación, tienen una
precisión de 5 cm aproximadamente.
Gracias a la red de control GNSS de Polonia ASG-EUPOS, cuya dirección se muestra :

http://www.asgeupos.pl/webpg/graph/dwnld/gpscalendar_EN.html , podemos obtener las efemérides
precisas de la constelación GPS y GLONASS.
DILUCIÓN DE LA PRECISIÓN DOP (DILUTION OF PRECISION)
Llamado también GDOP (dilución geométrica de precisión)

El DOP es un valor adimensional que describe la solidez de la figura observable constituida por el tetraedro
compuesto por el receptor y los satélites a la vista. Su valor ideal es cero (aunque es muy difícil su obtención),
pero aumenta si la geometría empeora, pudiéndose producir una situación en la que habiendo suficientes
satélites a la vista, deba suspenderse la observación porque el DOP supera el valor admisible que puede ser
seis.
667
643
PDOP Norte
MALO
h=60°
h=40°
h=20°
h=0°
P
h: ángulo de elevación
Proyección de los satélites en el horizonte
Cuando los satélites se encuentran contiguos, el área de incertidumbre de las coordenadas buscadas es muy
grande y por tanto su DOP es muy alto.
PDOP
BUENO Norte
h=0°
h=20°
h=40°
h=60°
h: ángulo de elevación
Proyección de los satélites en el horizonte
Cuando los satélites se encuentran distribuidos simétricamente (aproximadamente), el área de
incertidumbre de las coordenadas buscadas es pequeño y por tanto su DOP es muy bajo.
Se recomienda que el ángulo de elevación h (máscara de elevación) no sea menor a 10 grados sexagesimales.
Componentes del DOP
PDOP es la incertidumbre en la precisión debido a la ubicación geométrica de los satélites (3D). Este a su
vez se clasifica en:
HDOP dilución de precisión horizontal.
VOP dilución de precisión vertical.
TDOP es la incertidumbre en la posición debido a la falta de sincronización de los relojes.
668
644 Principios
y Cartografía
Observación:
1. El DOP, comúnmente se obtiene a partir de los almanaques del receptor.

2. Cuando existe un gran número de satélites respecto al punto en estudio, se espera una dilución
geométrica aceptable, es decir un valor bajo, aunque no siempre es así, pues puede presentarse
en algún momento la presencia de muchos satélites pero focalizados en una misma zona.
3. La presencia de obstáculos (edificios árboles, montañas) incrementa el valor del DOP, pues reduce
la participación de algunos satélites.
Los obstáculos impiden la transmisión de las señales de

algunos satélites, luego la dilución geométrica será pobre,
Clasificación del DOP
DOP Clasificación Descripción

Es el más alto nivel de confianza, pero difícil de
0 Ideal
obtener.
El nivel de confianza se considera suficientemente exacto,

1-3 Excelente
aplicables para mediciones de alta precisión.
Representa un alto nivel de confianza y es aplicable para

4-6 Bueno
mediciones ordinarias.
Las mediciones bajo estas circunstancias pueden ser

7-8 Moderado tomadas en consideración, sin embargo es recomendable
mejorar la calidad del trabajo.
Representa un bajo nivel de confianza,

9-20 Justo
Las mediciones deben ser eliminadas o servirán solo para
indicar una estimación aproximada de la posición.
21-50 Pobre En este nivel, las mediciones son inexactas.

Retraso Ionosférico
Dado que los satélites se encuentran a
20000 km de altitud respecto a la
superficie terrestre, las ondas de radio
que emite atraviesa el espacio con
velocidad de 300 000 km/s, sin embar-
go dicha velocidad se ve afectada al
encontrarse con la atmósfera terrestre
(espesor aproximada de 1 000 km),
principalmente con la ionósfera,
ocasionando un error en el cálculo de la
distancia.
Dicho error se soluciona cuando en el mismo instante desde el satélite se emiten dos señales
Teóricamente ambos deben llegar al mismo tiempo al receptor GPS, pero en la práctica
existe un desfase, dicha diferencia representa en retraso ionosférico.
En la actualidad existen receptores GPS

capaz de leer ondas de frecuencias L1 y
L2, a éstas se les llama GPS de doble
frecuencia, sin embargo también se
encuentran receptores que tan solo
pueden leer una sola frecuencia, obvia-
mente entre una y la otra existe amplia
diferencia económica.
Una vez atravesada la ionósfera, queda todavía la tropósfera en la cual las fuentes de error más
importantes son la variación de temperatura del aire seco y la presencia de vapor de agua. La
primera tiene mucha mayor influencia (alrededor del 90%), pero el gradiente térmico puede
determinarse con relativa facilidad, con lo que se eliminaría de igual manera el error cometido
por este factor. Aunque la influencia del vapor de agua es mucho menor, es muy difícil determi-
nar la distribución del mismo en la ionósfera, y por tanto corregir esta fuente de imprecisión.
669
646 Principios
y Cartografía
Influencia de la altura instrumental del receptor en las mediciones GPS

En realidad, la altura instrumental del receptor GPS, para una persona que requiere ubicarse aproximadamente,
no importa, dado que con una gruesa precisión de metros, tendrá solucionado su problema de ubicación ;
Sin embargo para trabajos geodésicos y topográficos de precisión, se hace importante considerar la altura
instrumental.
Por tal razón nos vamos a referir a la altura instrumental.
CFE
ARP
CFE
Marca Altura
Altura Altura
In
Instrumental
clinad
vertical
ARP
a
ARP ( antenna reference point).- Está materializado mediante la intersección del eje de simetría de la antena
con la parte inferior de la misma.
CFE (centro de fase eléctrico de la antena).- es aquel punto receptor de las ondas provenientes de los
satélites. Dicho punto es ligeramente diferente para cada frecuencia.
Siendo así, es fácil entender que lo primero que se obtiene son las coordenadas cartesianas del CFE.
CFE
z z
Hito
r2
r1
x x
y y
670
647
Clasisficación de Puntos Geodésicos

A continuación, nos permitiremos presentar un extracto de la Norma Técnica Geodésica del Perú publicada
por el Instituto Geográfico Nacional , en diciembre del año 2015.
Con el objeto de unificar un marco de referencia geodésico, todos los trabajos de georreferenciación estarán
referidos a la Red Geodésica Geocéntrica Nacional (REGGEN). Los puntos geodésicos en el territorio
nacional se clasifican de la siguiente manera:
Punto Geodésico Orden “0”

Este orden es considerado a nivel continental, y están destinados para estudios sobre deformación regional
y global de la corteza terrestre, de sus efectos geodinámicos y trabajos en los que se requiera una precisión
a un nivel máximo de 4,00 mm; estos puntos servirán para la densificación de la Red Geodésica Nacional.
Punto Geodésico Orden “A”

Este orden debe aplicarse para aquellos trabajos encaminados a establecer el sistema geodésico de referencia
continental básico, a levantamientos sobre estudios de deformación local de la corteza terrestre y trabajos
que se requiera una precisión a un nivel máximo de 6,00 mm.
Punto Geodésico Orden “B”

Este orden se destina a levantamientos de densificación del sistema geodésico de referencia nacional,
conectados necesariamente a la red básica; trabajos de ingeniería de alta precisión, así como de geodinámica
y trabajos que se requiera una precisión a un nivel máximo de 8,00 mm. Los trabajos que se hagan dentro de
esta clasificación deben integrarse a la red geodésica básica nacional y ajustarse junto con ella.
Punto Geodésico Orden “C”

Este orden debe destinarse al establecimiento de control suplementario en áreas urbanas y rurales, al apoyo
para el desarrollo de proyectos básicos de ingeniería y de desarrollo urbano-rural, así como a trabajos que se
requiera una precisión a un nivel máximo de 10,00 mm
Puntos de apoyo (PFCH)

Estos son puntos geodésicos característicos de los puntos geodésicos de orden “C”, no son monumentados
y se destinarán a los puntos de fotocontrol de trabajos básicos de ingeniería en áreas urbanas, rurales y de
desarrollo urbano – rural, el nivel de precisión de estos puntos no serán mayores a 10,00 mm.
El trabajo de campo para establecimientos de puntos geodésicos deben cumplir los siguientes
requerimientos:
a. Puntos geodésicos de orden “0”

Para la toma de datos de todos los puntos geodésicos de orden “0”, se utilizará el método relativo
estático, apoyado con no menos de seis puntos geodésicos del mismo orden a nivel continental, que
estén separados equidistantemente, a una distancia no mayor de 4 000 km al punto geodésico que se
quiere instalar, con un intervalo de registro no mayor a 15 segundos, considerando el tiempo continuo
mínimo en el cambio de dos ciclos de la luna (14 días), con una elevación de la máscara no mayor
a diez (10) grados sobre el horizonte (preferiblemente a cero grados) y con el rastreo permanente no
menor de 4 satélites.
671
648 Principios
y Cartografía
b. Puntos geodésicos de orden “A”

Para la toma de datos de todos los puntos geodésicos de orden “A”, se utilizará el método relativo
estático, apoyado con no menos de tres puntos geodésicos de orden “0” a nivel nacional, que estén
separados equidistantemente, a una distancia no mayor de 500 km al punto geodésico que se quiere
instalar, con un intervalo de registro no mayor a 15 segundos, considerando el tiempo continuo mínimo
en el cambio de un ciclo de la luna (7 días), con una elevación de la máscara no mayor a diez (10)
grados sobre el horizonte y con el rastreo permanente no menor de 4 satélites.
c. Puntos geodésicos de orden “B”

Para la toma de datos de todos los puntos geodésicos de orden “B”, se utilizará el método relativo estático,
apoyado con no menos de tres puntos geodésicos de orden “0” ó tres puntos geodésicos de orden “A”
ó tres puntos geodésicos de orden “B” a nivel nacional, que estén separados equidistantemente, a una
distancia no mayor de 250 km al punto geodésico que se quiere instalar, con un intervalo de registro no
mayor a 5 segundos, considerando el tiempo continuo mínimo en el cambio de dos séptimos de ciclo
de la luna (2 días), con una elevación de la máscara no mayor a diez (10) grados sobre el horizonte y
con el rastreo permanente no menor de 4 satélites.
d. Puntos geodésicos de orden “C”

Para la toma de datos de todos los puntos geodésicos de orden “C”, se utilizará el método relativo
estático, estos se obtendrán con apoyo de por lo menos un punto geodésico, ya sea de orden “0”, orden
“A” u orden “B” a nivel nacional, que estén separados equidistantemente, a una distancia no mayor de
100 km al punto geodésico que se quiere establecer, considerando el tiempo continuo de observación
no menor a 900 registros o épocas (de coincidencia con la base), a no menor de un (1) segundo ni
mayor de cinco (5) segundos de sincronización (con la base), con una elevación de la máscara no
mayor a quince (15) grados sobre el horizonte y con el rastreo permanente no menor de 4 satélites.
e. Puntos de apoyo (PFCH)

Para la toma de datos de todos los puntos geodésicos de apoyo (PFCH), podrán obtenerse por técnicas
diferenciales del Sistema Satelital de Navegación Global anteriormente descritas, estos se obtendrán
con apoyo mínimo de un (1) punto geodésico de orden “0”, ó un (1) punto geodésico de orden “A” ó
un (1) punto geodésico de orden “B” a nivel nacional, que estén separados equidistantemente, a una
distancia no mayor de 100 km al punto geodésico que se quiere apoyar. Considerando el tiempo de
observación igual que los puntos geodésicos de orden “C”.
672
649
EL TIEMPO
La medición del tiempo puede efectuarse solamente con la consideración de determinados movimientos: Así por
ejemplo, si se tiene a disposición un movimiento exactamente uniforme, basta la medición del espacio recorrido
para hacer la determinación del tiempo, dado que la proporcionalidad entre espacio y tiempo es exacta.
Clasificación de la escala de tiempo de acuerdo al fenómeno periódico
1. Movimiento de rotación de la Tierra. 2. Sistema solar.
a) Tiempo sideral a) Tiempo dinámico terrestre
b) Tiempo solar. b) Tiempo dinámico baricentro.
c) Tiempo universal.
3. Oscilación atómica
a) Tiempo atómico internacional.
b) Tiempo universal coordinado
c) Tiempo GPS
1. Movimiento de rotación de la Tierra

Por efecto de la rotación de la Tierra y por ende de la esfera celeste, los ángulos horarios de los puntos
fijos sobre la esfera, varían igualmente en el mismo intervalo de tiempo, y en intervalos distintos,
varían cantidades proporcionales al tiempo. Es natural , por lo tanto, tomar como medida de intervalo
de tiempo, al ángulo que en dicho intervalo es descrito por el círculo horario de un punto determinado
del cielo, que conviene suponer situado sobre el ecuador celeste y que será el índice móvil de la esfera.
Entonces podemos definir el tiempo como el ángulo horario de un punto de la esfera celeste.
Ángulo Horario de un astro (t ó AH): es el ángulo diedro medido en el Ecuador celeste. Parte en el
meridiano superior hasta llegar al círculo horario que contiene al astro.
Como se verá para cada meridiano existe un ángulo horario diferente, por lo cual se dice que esta
coordenada es relativa.
Meridiano
z del observador
A
PN B
t
Círculo horario
C de la estrella en “B”
Cuando la estrella se encuentra
en el punto A, el ángulo horario
r
respecto al meridiano del ado
observador es 0°, cuando está en Ecu este PS
B, es t y cuando se ubica en C, su cel
Q
ángulo horario es 180°.
673
650 Principios
y Cartografía
El punto vernal (γ): se le llama también punto de Aries o equinoccio de primavera, es aquel que se
origina cuando el Sol corta al Ecuador en su recorrido de sur a norte.
El punto de libra (Ω): se le llama también equinoccio de otoño, es aquel que se origina cuando el Sol
corta al Ecuador en su recorrido de norte a sur.
Elíptica
PN (trayectoria que
A
Punto de recorre el Sol)
Libra
Ω
Sol
t
Punto
Vernal
PS
Ascensión Recta (AR): Es el ángulo diedro medido en el Ecuador celeste.

Parte desde el punto vernal hasta llegar al círculo horario que contiene al astro.
Como se podrá apreciar, la ascensión recta toma el mismo valor para cualquier meridiano, motivo por
el cual se dice que esta coordenada es absoluta.
Meridiano
CENIT del observador
A
Estrella
PN
B
t
e AR Círculo horario
t
les
C de la estrella en “B”
ce
or
ad
Ecu
Punto
γ
Vernal PS
Q
NADIR
674
651
Escala de tiempo: es el intervalo de tiempo entre dos fenómenos consecutivos.

Para ello se hace imprescindible la presencia de un punto fijo, esto se puede lograr a través de un
fenómeno astronómico, como el punto vernal (γ).
a) Tiempo sideral: es el ángulo horario de un estrella o del punto vernal respecto a un meridiano.
Día sideral: es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos culminaciones sucesivas de una estrella
por la parte superior de un mismo meridiano.
El día sideral no corresponde exactamente a una vuelta completa de la Tierra sobre su eje con respecto
al espacio inerte, porque la posición del equinoccio de primavera está afectada por la precesión. La
diferencia diaria es 0,0084 segundos con un día sideral más corto.
El día sideral comienza en el instante de la culminación superior de la estrella y está dividido en 24
horas sidéreas, la hora sidérea en 60 minutos sidéreos, el minuto sidéreo en 60 segundos sidéreos.
Día solar verdadero: es el intervalo de tiempo que transcurre entre dos culminaciones sucesivas
superiores del Sol (centro) en el meridiano.
La culminación superior se denomina también mediodía verdadero, la culminación inferior medianoche
verdadera.
Por tanto, el tiempo solar verdadero de un lugar es el ángulo horario del centro del Sol respecto al
meridiano del lugar.
b) Tiempo solar Medio: Es el tiempo marcado por el Sol ficticio que se mueve uniformemente hacia
el este en el Ecuador. Este intervalo de tiempo (365,2422 dias medios) se le llama año trópico y viene
a ser el intervalo entre dos pasajes sucesivos del Sol por el punto vernal
1 día medio sidéreo = 1 día medio solar − 3m56,4s
Tiempo civil: es el tiempo astronómico (sidéreo y solar verdadero) aumentado en 12 horas; es decir,
el día empieza a medianoche.
Nota
El tiempo civil (sidéreo y solar verdadero), es local, dado que
depende del lugar de observación
C) Tiempo universal (T.U.): es el tiempo civil respecto al meridiano de Greenwich .

El objetivo fue uniformizar la hora mundial y organizar las diversas efemérides de los astros.
TU0.- Es el TU proveniente de las observaciones de una estación particular (B), dicho valor se
encuentra afectada por la influencia de la localización dependiente de la actual posición polar. La
reducción del polo terrestre convencional (CTP) causa un cambio ∆∆P en la longitud y afecta al tiempo.
TU1.- es la escala fundamental de tiempo en astronomía de posición y geodesia satelital, dado que
define la orientación real del sistema convencional terrestre con respecto al espacio. UT1 es también
una escala de tiempo básica para la navegación . UT1 contiene sin embargo, todas las variaciones de
la rotación de la Tierra y en consecuencia no es una escala de tiempo uniforme.
675
652 Principios
y Cartografía
UT1 = UT0(B) + ∆∆P

UT2 .- Es el TU1 corregido de la variaciones estacionales, así como de los cambios periódicos del
movimiento de rotación de la Tierra.
2.- Sistema solar.

Se puede encontrar una escala de tiempo estrictamente uniforme que gobierne los movimientos de
los cuerpos en un campo gravitatorio; es decir, el argumento independiente de las ecuaciones de
movimiento para un cuerpo en un particular marco de referencia y de acuerdo con una particular teoría
gravitacional (Newtoniana o Relativista).
El marco de referencia más próximo a un sistema inercial al que se tiene acceso a través de la teoría
gravitacional, tiene su origen en el baricentro del sistema solar.
a) Tiempo dinámico terrestre (TDT).- Representa una escala de tiempo uniforme para el movi-
miento en el campo gravitacional de la Tierra; tiene el mismo ritmo que un reloj atómico situado en el
centro de la Tierra.
Para describir el movimiento de un satélite artificial, es suficiente el TDT.
b) Tiempo dinámico baricentro (BDT).- Se deriva de los movimientos orbitales del baricentro del
Sistema Solar.
El BDT, es muy importante en el VLBI (La interferometría de base muy larga) donde observatorios de
la Tierra registran señales de radio extragalácticas.
En el concepto de relatividad general, un reloj moviéndose con la Tierra, experimenta variaciones
periódicas hasta de 1,6 milisegundos, originadas por el movimiento anual dentro del campo de
gravedad del 50%.
Por otro lado, comparando con el BDT, el TDT es independiente de las teorías dinámicas planetarias.
El tiempo dinámico ha sido usado como el argumento para las efemérides astronómicas desde el 1º de
enero de 1984.
3. Oscilación atómica
El reloj atómico :
En 1949 se puso en funcionamiento el primer reloj atómico basado en la frecuencia de resonancia de
la molécula de amoniaco, pero no era más preciso que un reloj con oscilador de cuarzo; en los años
50 apareció el primer reloj de haz de cesio; en 1958 se empezó a usar para medir el tiempo de forma
experimental, y en 1960 se instala el primer máser de hidrógeno. La exactitud de los nuevos relojes
fue tan espectacular que entre 1960 y 1965 se comienzan a instalar patrones y estándares del tiempo
-aparece también el reloj de rubidio- y el SI -Sistema Internacional de Unidades- define en 1967 el
segundo como “la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación emitida en la transición entre
los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133, a nivel del mar (con campo
magnético cero)”. El número de oscilaciones fue escogido para que su duración fuera lo más similar
posible al segundo de efemérides establecido en 1900.
676
653
a) Tiempo atómico internacional (TAI)

Procede del promedio del tiempo suministrado por unos 180 relojes atómicos, repartidos por unos 50
laboratorios y departamentos del tiempo, situados en distintos países del mundo.
El TAI está definido por el IERS como una escala continua de tiempo relacionado por definición con
el TDT por :
TDT = TAI + 32,184 s
El intervalo de tiempo fundamental del TAI es el segundo SI definido en la 13 conferencia general del
Comité de Pesas y Medidas de 1967.El día SI abarca 86400 s y el siglo juliano 36525 días.
Debido a que el TAI es una escala continua de tiempo, no mantiene la sincronización con el día solar
(UT), la rotación se mueve más lentamente.
Para muchas aplicaciones y en particular para la navegación, se requiere una escala de tiempo que
considere una unidad de tiempo altamente uniforme tanto como sea posible adaptada al TU1, y
considere a la rotación de la Tierra.
b) Tiempo universal coordinado (TUC).
Corresponde al TAI incrementado o reducido en n segundos (leap seconds)
TUC = TAI – n(1s)
Dependiendo la situación predominante, n puede ser cambiado a una determinada fecha, así la época
UTC se adapta al UT1 aumentando o disminuyendo los llamados lapsos de segundos. La unidad de
UTC sigue siendo el segundo del SI.
La diferencia DUT1, entre ambos tiempos no deberá exceder de 0,9 segundos.
TUC – TU1 = DTU ≤ 0,9 s
DTU1, es distribuido por el IERS, y debe ser tomado en consideración en todos los cálculos relativos al
sistema de ejes de referencia de la Tierra. En la mayoría de los países, las señales de tiempo divulgadas
corresponden al Tiempo Universal Coordinado UTC.
c) Tiempo GPS (TGPS).
El Sistema de Posicionamiento Global (GPS), utiliza su propia escala particular de tiempo GPS.
Ambas escalas de tiempo tuvieron épocas iguales de tiempo el 5 de enero de 1980;
Sin embargo el tiempo GPS difiere del TUC por casi un número entero de segundos, debido a que el
tiempo GPS no está incrementado por lapsos de segundos. La unidad de tiempo GPS es el segundo
del Sistema Internacional; sin embargo el tiempo GPS es únicamente obtenido a partir de los relojes
que forman parte de sistema de control del GPS. Es de aquí en adelante que la escala de tiempo es
independiente y puede mostrar ligeras diferencias cuando se compara con el TAI. La relación entre el
tiempo TUC y GPS es divulgado en los mensajes de los satélites GPS.
TGPS – TUC = n – Co
n : número entero en segundos.
Co : corrección.
677
654 Principios
y Cartografía
UNIDADES DERIVADAS DEL TIEMPO USADAS EN GPS

Día Juliano (JD).- Es el número de días que tiene como referencia el 1 de enero del año 4 713 a.c., a
partir del cual se vienen contando los días por orden correlativo.
Datos de ingreso : YY MM DD TUC
YY = Año
MM = Mes
DD = Día
TUC = Hora universal coordinado
Condición y= m=
MM ≤ 2 YY-1 MM + 12
MM > 2 YY MM
JD = entero[(365,25 )y] + entero[(30,6001)(m+1)]+DD+ TU/24 +1 720 981,5
Ejemplos:
Para el 6 de enero de 1 980 a las cero horas de TU : JD = 2 444 244,5
Para el 1 de enero del 2000 a las 12 horas de TU : JD = 2 451 545
Para el 25 de enero del 2017 a las cero horas de TU: JD = 2 457 778,5
Para el 02 de agosto del 2017 a las cero horas de TU: JD =2 457 967,5
Día Juliano Modificado (MJD).- Día Juliano menos 2 400 000,5 días solares medios.
Día del Año (DOY).- número del día dentro del año calculado en el intervalo 1-365 ó 1-366 para años
bisiestos.
Día GPS.- es el día juliano a partir del 6 de enero de 1980, a las cero horas de TUC, es decir a partir de
JD = 2 444 244,5.
Día GPS = JD - 2 444 244,5
Ejemplo:
Día GPS para el 25 de enero del 2017 = 2 457 778.5 - 2 444 244,5 = 13 534
Día GPS para el 02 de agosto del 2017 = 2 457 967.5 - 2 444 244,5 = 13 723
Semana GPS.- son las semanas transcurridas a partir del 6 de enero de 1980, a las cero horas de TUC, es
decir a partir de JD = 2 444 244,5.
Semana GPS = entero [( JD - 2 444 244,5 )/7]
Semana GPS para el 25 de enero del 2017 = entero [(2 457 778,5 - 2 444 244,5)/7]= 1933
Semana GPS para el 02 de agosto del 2017 = entero [(2 457 967,5 - 2 444 244,5)/7] = 1960
Día de semana.- es la numeración de días dentro de cada semana en la que corresponde el 0 para el
domingo y el 6 para el sábado.
Se recomienda practicar haciendo uso del calendario publicado en la siguiente dirección.
http://www.asgeupos.pl/webpg/graph/dwnld/gpscalendar_EN.html
678
655
Métodos en las Observaciones Satelitales.

I. MÉTODOS CON POSTPROCESO
Se instala uno o varios receptores (GPS) en puntos específicos para luego realizar las observaciones
satelitales, una vez culminado el trabajo de campo, se lleva a cabo la transferencia de información del
receptor a la computadora, obteniendo como resultado digital un archivo conteniendo la información,
el cual deberá ser procesado por algún software específico para así obtener las coordenadas buscadas.
CAMPO GABINETE
1. Método autónomo
Consiste en el uso de un solo receptor, éste recibirá las señales de los diversos satélites y los almacenará
en su memoria según el intervalo de tiempo configurado.
Finalmente después del post proceso se obtendrá el promedio de todas las coordenadas obtenidas
provenientes de las observaciones
satelitales.
Al valor de las coordenadas
obtenidas se les llama autónomas
o navegadas, dado que éstos
se encuentran acompañados de
los diversos errores analizados
paginas atrás, tales como la falta
de sincronización de los relojes,
la acción de la ionósfera, las
efemérides, la disponibilidad
selectiva (si lo hubiese), por tanto
es de esperar que las coordenadas
encontradas englobe un error de
varios metros o incluso decenas
de metros.
679
656 Principios
y Cartografía
2. Método o modo diferencial – estático (DGPS)
Se basa en el empleo de dos receptores : el receptor BASE (A), ubicado en un punto de coordenadas
conocidas, y el receptor ROVER (B), instalado en un punto cuyas coordenadas se requiere conocer.
Es importante que las observaciones se realicen simultáneamente.
El vector desplazamiento entre ambos receptores es conocido como línea base y es recomendable que
no supere los 100 km.
A Línea - base B
Es importante que los satélites sean comunes a ambos receptores
Receptor GPS Receptor GPS

Base Rover
Es recomendable el uso de receptores con rastreo de doble frecuencia (L1 yL2), dado que los satélites
emiten las llamadas frecuencias L1 y L2.
680
657
Sabemos que el motivo del uso de las frecuencias es eliminar gran porcentaje del error proveniente por
la presencia de la ionósfera.
El principio se fundamenta en la siguiente explicación:
a. Con el receptor BASE: aplicando el método autónomo, es posible obtener las coordenadas
navegadas (en el post proceso), sin embargo, como quiera que dichas coordenadas son conocidas,
se hace fácil deducir el error de posición que acompaña a las coordenadas navegadas.
b. Con el receptor ROVER: considerando que la distancia entre ambos receptores se hace ínfimo
en comparación a la existente entre cada receptor y los satélites, se hace lícito adoptar como
corrección de posición, el error obtenido con el receptor base. Es así que el cálculo de la posición
en el receptor ROVER se realiza de forma relativa gracias al conocimiento de los incrementos de
coordenadas de un receptor con respecto a otro tomado como referencia.
La desviación obtenida puede variar desde (5 mm+1 ppm) hasta (10 mm+1 ppm).
Imagen 1
Imagen 2
681
658 Principios
y Cartografía
Las imágenes 1 y 2 muestran las coordenadas navegadas graficadas por épocas, obtenidas por dos
receptores GPS instalados en los puntos A y B respectivamente, bajo la observación de los mismos
satélites. La nube de puntos en ambas imágenes resultan muy similares, de lo cual se deduce que los
errores (coordenadas navegadas) tanto en la base como en el rover, son comunes para ambos.
Coordenadas Coordenadas
conocidas por conocer
(x; y; z) (x’; y’; z’)
A B
9h00 m05s (x 1; y1; z1) - (x; y; z) = E1

9h00 m10s (x 2; y2; z2) - (x; y; z) = E2
9h00 m15s (x 3; y3; z3) - (x; y; z) = E1
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Tiempo de visación mínimo para línea base.- Aplicable para el método diferencial estático
con receptores GPS de doble frecuencia; el tiempo mínimo de observaciones satelitales depende de los
siguientes factores: la distancia de la línea base, el número de satélites visibles, la geometría satelital
(GDOP), la ubicación de la antena, el nivel de actividad ionosférica, los tipos de receptores utilizados,
los requerimientos de precisión, el software de post-proceso, el tipo de efemérides y las velocidades
del sitio.
Según investigaciones realizadas por el Autor del presente libro, conjuntamente con el Ing. David Condor
García y la empresa SERVIG XCVI S.A.C, el tiempo mínimo de visado obedece a la siguiente función.
y = 0,000022x3 - 0,007834x2 + 2,660074x + 8,346236
Donde:
x es la distancia en kilómetros.
y es el tiempo en minutos.
682
659
Valores del tiempo mínimo-distancia de línea base (1km hasta 100 km)
Distancia de línea base (km) Tiempo mínimo (minutos)
x y
1 11
5 22
10 35
20 59
50 125
100 219
Valores del tiempo mínimo-distancia de línea base (10 km hasta 45 km)

x y
10 35
15 47
20 59
25 71
30 82
35 93
40 104
45 115
Valores del tiempo mínimo-distancia de línea base (1 km hasta 10 km)

x y
1 11
2 14
3 17
4 19
5 22
6 25
7 27
8 30
9 32
10 35
683
660 Principios
y Cartografía
Observación:
Con ayuda de un receptor BASE, es posible el uso de varios receptores ROVER, obteniendo así las
coordenadas de varios puntos.
El requisito radica en la simultaneidad de las observaciones tanto en la BASE como en los ROVERTS.
5 (móvil)
4 (móvil) 1 (móvil)
Base
3 (móvil)
2 (móvil)
3. Método o modo diferencial – estático (línea base mayor a 100 km)
Este método es aplicable para distancias grandes o trabajos de gran precisión y su proceso es similar al
anterior.
La diferencia radica en el uso de varios receptores BASE, con sus respectivas coordenadas dato. Esto
permite la aparición de una red planimetría sujeta a los ajustes respectivos lo cual genera valores de
óptima calidad.
Usando receptores de doble frecuencia, operando entre 50 y 500 km y en iguales condiciones
de número de satélites y tiempo de observación pueden alcanzar precisiones del orden de
0,1 mm +1 ppm.
Base 4 Base 1
Rover
Base 3 Base 2
(Vista en planta)
684
661
4. Método Diferencial Cinemático
Consiste en el uso de dos receptores GPS tan igual que el método diferencial, uno de ellos Base
instalado en un punto de coordenadas conocidas, mientras que el receptor ROVER se ubica en un
punto de coordenada por conocer, solo que esta vez el tiempo de permanencia de este último receptor
no sobrepasa el minuto.
De este modo es posible obtener las coordenadas de varios
puntos en corto tiempo.
Obviamente no es de esperar la misma precisión que en el
método estático, pero si de taquimetría se trata, este método
resulta ideal.
El requisito fundamental radica en la correcta posición
estática del receptor móvil en cada punto a estacionar, para
dicho efecto se hace uso de un bastón cuyo extremo superior
va montado el receptor GPS.
El principio del método diferencial es el que gobierna el
presente método, pues se considera que el desfase entre las
coordenadas autónomas y la coordenada real en el punto
base, es la misma al método estático.
Sin embargo una de las grandes ventajas es el uso simultáneo
de varios receptores móviles con tan solo una base.
5. Método dinámico
Es muy similar al cinemático, solo que esta vez el receptor

móvil se encuentra en constante movimiento y según la
configuración establecida, almacenará la información en su
memoria de datos.
En realidad la toma de datos en el receptor móvil puede
efectuarse cada cierto tiempo o distancia constante.
Este método es ideal en levantamientos de carreteras, canales
e incluso trabajos de batimetría, siempre y cuando entre el
cielo y el receptor no exista obstáculos que se interpongan,
tales como edificios, árboles, muros, etc.
El post proceso es tan igual que el método estático.
II. MÉTODOS EN TIEMPO REAL

Tiempo Real.- En topografía y geodesia, podemos definir, tiempo real como la obtención de las
coordenadas finales de un punto prácticamente en el instante del levantamiento de campo.
A diferencia del método de post proceso, en donde se corrigen las posiciones, en tiempo real se corrigen
las distancias existentes entre el receptor y cada satélite (método diferencial); esto es fácil de explicar:
teniendo como información, las coordenadas de la estación base y cada satélite, se puede calcular la
distancia “verdadera” entre el receptor base y cada satélite en cada instante (época), dicha distancia
“verdadera” es comparada con la distancia calculada (d=vt) y la diferencia entre ambas corresponde al
error para ese satélite en ese instante, valor que cambiado de signo es aplicado a la distancia calculada
por el receptor rover a ese satélite en ese instante.
685
662 Principios
y Cartografía
Finalmente para cada juego de distancias corregidas, se calcula la posición del punto rover
correspondiente a ese instante.
¿Cómo se realiza dicha operación en tiempo real? El error calculado en la base se traslada al rover
gracias al uso de antenas de radio, tanto en el receptor base como en el móvil.
Dichas radios son usadas como instrumentos de comunicación para informar el desfase de distancias
en la base para ser ajustados en el receptor móvil.
En la actualidad existen varias técnicas en el uso del GNSS en tiempo real.
a) Método diferencial RTK (tiempo real cinemático)

Este método aplica el principio del método en tiempo
real explicado líneas arriba.
Esta técnica exige la disponibilidad de por lo menos
una estación base, con las coordenadas conocidas
y está dotada de un receptor GNSS y un módem de
radiotransmisor. La estación genera y transmite las
correcciones diferenciales a las estaciones móviles
que usan los datos para determinar precisamente sus
posiciones.
El formato de las correcciones diferenciales es definido
por la Radio Technical Comittee for Maritime Service
(RTCM). Los radiotransmisores operan en las fajas de
frecuencia VHF/UHF, y la observación fundamental
usada en el RTK es la medida de la fase de la portadora.
En el caso del uso del módem de radio, la técnica RTK se
restringe a líneas de base cortas (hasta 10 km), debido al
alcance limitado del UHF.
b) NTRIP (Red de Transporte de Formato RTCM a través del Protocolo de Internet)

Está técnica aparece el año 2004, con el objetivo de extender la cobertura RTK así como mejorar el
medio de transmisión.
Para dicho efecto, se hace uso del INTERNET, como herramienta fundamental en el medio de
transmisión de correcciones RTK.
El sistema NTRIP consta de tres componentes :
1º Servidor NTRIP.- Está conformado por la o las estaciones de rastreo permanente GPS cuyas
correcciones son enviadas a la unidad central (servidor).
2º Caster NTRIP .- Es un servidor de internet, este recoge los datos y los distribuye al usuario o cliente
previamente identificado.
3º Clientes NTRIP .- Está conformado por el o los receptores GPS rover, los cuales reciben la
información proveniente de Caster vía internet normalmente mediante un teléfono móvil, el cual hace
la función de modem.
La distancia entre el servidor (base) y el cliente (rover), es tal que el principio de la presencia de
satélites comunes entre ambos se cumpla.
686
663
Servidor Caster CLIENTE

NTRIP NTRIP NTRIP
c) SBAS (Sistema de Aumentación Basado en Satélites).

Es un sistema de corrección de las señales que los Sistemas Globales de Navegación por
Satélite (GNSS) transmiten al receptor GPS del usuario utilizando satélites de comunicación Inmarsat
geoestacionarios sobre el Ecuador cubriendo grandes áreas.
Dado que el método diferencial es el que gobierna en esta tecnología, se hace necesario la presencia
de receptores GPS instalados permanentemente en puntos de coordenadas conocidas (Estación de
Monitoreo Continuo), de los cuales unos de ellos funciona como Master, recibiendo y procesando los
datos de los demás.
OmniSTAR, que es una empresa que aplica esta tecnología, presta sus servicios en todo el mundo
ofreciendo varios tipos de información en tiempo real :
“VBS”, posicionamiento con precisión inferior a un metro.
“XP”, posicionamiento con precisión inferior a 20 cm.
“HP”, posicionamiento con precisión inferior a 10 cm.
Satélite GNSS
Satélite SBAS
Estación de Estación Usuario

monitoreo continuo Master
687
664 Principios
y Cartografía
Señal de los satélites

Los satélites GNSS, emiten dos tipos de ondas : L1 y L2 y son portadoras de códigos tal como se muestra
a continuación:
Satélite GNSS
L1 L2
Mensaje de
C/A navegación
P
P
Mensaje de L2C
navegación
C/A (COARSE/ADQUISITION) : puede ser leído por todos los receptores GPS y posee un a precisión que
fluctúa de 3 a 10 metros; cada satélite cuenta con un código C/A diferente propio de ese satélite.
P (PRECISE) : de uso militar, su precisión métrica
L2C : de precisión similar al C/A, pero con mejores características.
Mensaje de navegación : incluye información sobre efemérides de los satélites, estado de sus relojes
atómicos, datos ionosféricos, etc.
Por otro lado, dependiendo del tipo de receptor, también se puede obtener la MEDIDA DE FASE :
Esta técnica permite obtener distancias mucho más precisas que el método de pseudo-distancias.
Satélite
d = n.λ + x GNSS
n : ambigüedad nλ d
λ : longitud de onda (conocida)
x : ángulo de fase (fracción de λ)
x
El receptor GPS, calcula el valor de
n así como x, expresado en grados.
688
665
TIPOS DE RECEPTORES
1. Navegadores.- se caracterizan por decodificar tan
solo la señal C/A de la onda portadora L1, su preci-
sión es del orden de los 10 metros.
2. Submétricos.- tienen las mismas características

que los navegadores, la diferencia radica en que in-
crementan notablemente su precisión gracias a que
son capaces de trabajar en modo diferencial ( base
y rover); su precisión es del orden del metro.
3. Monofrecuencia de Código y Fase.- estos equi-

pos toman datos de la portadora L1 en sus dos mo-
dalidades código C/A y fase, además de trabajar en
modo diferencial tanta estático como en RTK, su
precisión es del orden de 1 cm + 2ppm
4. Doble Frecuencia : Toman observables de las dos

portadoras emitidas por los satélites, realizando
medidas de código C/A y P en L1, de código P y
L2C en L2, y medidas de fase en L1 y L2. Trabajan
también en modo diferencial tanta estático como en
RTK, su precisión es del orden de 5 mm + 1 ppm.

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TOPOGRAFÍA

JORGE MENDOZA DUEÑAS

Primera edición, febrero 2019

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2019-01780

Se terminó de imprimir en febrero 2019 en :

En la edición primigenia del Texto Topografía Práctica, tuvimos el alto honor de

Socrates: “Cuida tu Pericles de Atenas, que yo os’ cuidaré de los Atenienses”

Esto trae a la memoria de mis épocas juveniles cuando escuchaba a mis

“LA ESCUELA NO SE PIERDE, CUANDO SE TIENE DISCÍPULOS”.

Samuel A. Mora Quiñones

Jorge Mendoza Dueñas

CAPÍTULO 2: TEORÍA DE OBSERVACIONES

Teodolitos reiteradotes ........................................................................................................... 132

CAPÍTULO 5: MEDIDA DE ÁNGULOS Y DIRECCIONES

CAPÍTULO 7: MEDICIÓN DE DISTANCIAS

CAPÍTULO 8: EQUIPOS EN LA MEDICIÓN DE DISTANCIAS

CAPÍTULO 9: REDES DE APOYO PLANIMÉTRICOS

CAPÍTULO 11: AJUSTE EN LOS CIRCUITOS TOPOGRÁFICOS, APLICANDO EL

CAPÍTULO 12: ANÁLISIS DE ERRORES ACCIDENTALES EN LAS

CAPÍTULO 13: METODOS PLANIMÉTRICOS Y SUS ERRORES ACCIDENTALES

CAPÍTULO 14: DISEÑO GEOMÉTRICO DE CARRETERAS

CAPÍTULO 15: PRINCIPIOS BÁSICOS DE GEODESIA Y CARTOGRAFÍA

Apoyándonos en la topografía podemos replantear un punto desde un plano en el terreno.

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En topografía cada punto topográfico representa el origen de un sub-sistema de coordenadas y gracias

EXTENSIÓN DEL USO DE LA TOPOGRAFÍA

LÍMITE DE APRECIACIÓN GRÁFICA

  

   

Componentes de un Plano Topográfico

Mostrando otro formato de plano

A efectos de ilustrar nuestros formatos presentamos a continuación un ejemplo.

Esacala gráﬁca 1/200

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Se quiere medir el área del rectángulo.

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        

     

         

 +   +   +       33

C) Error medio cuadrático de una observación (Desviación típica o estándar): σ

+ + + 33

σ

σ Σ Σ

σ

Solución

3.

×

σ ± ×

Σ ×

Analizando la nivelación del grupo 01

Analizando la nivelación del grupo 02

= =

= =

= ± + +

Solución

1° observación

Medición (m) V

2° observación

Σ

= ± + = ± +

σ

Cuando el equipo tiene un nivel de burbuja partida (parábola):

(Fig. A) (Fig. B)