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    Números Racionales

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    MARIN MANOSALVA LUIS FERNANDO
    Este documento introduce los números racionales como una extensión del sistema de números enteros que permite realizar divisiones sin restricciones. Define los números racionales como clases de equivalencia de pares ordenados de enteros, donde dos pares son equivalentes si su cociente es el mismo número mixto. Establece las operaciones de adición, multiplicación y relación de orden en los números racionales, demostrando que cumplen propiedades similares a los enteros como la conmutatividad y asociatividad de la adición y multiplicación.

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    Números Racionales

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    Este documento introduce los números racionales como una extensión del sistema de números enteros que permite realizar divisiones sin restricciones. Define los números racionales como clases de equivalencia de pares ordenados de enteros, donde dos pares son equivalentes si su cociente es el mismo número mixto. Establece las operaciones de adición, multiplicación y relación de orden en los números racionales, demostrando que cumplen propiedades similares a los enteros como la conmutatividad y asociatividad de la adición y multiplicación.

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    Este documento introduce los números racionales como una extensión del sistema de números enteros que permite realizar divisiones sin restricciones. Define los números racionales como clases de equivalencia de pares ordenados de enteros, donde dos pares son equivalentes si su cociente es el mismo número mixto. Establece las operaciones de adición, multiplicación y relación de orden en los números racionales, demostrando que cumplen propiedades similares a los enteros como la conmutatividad y asociatividad de la adición y multiplicación.

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    NÚMEROS

    RACIONALES.
    EXTENSIÓN DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS
    ENTEROS.
    EL SISTEMA DE LOS NUMEROS RACIONALES
    1. Extensión del Sistema de los Números Enteros.

    Se pondrá énfasis en la división ya que la división es una operación parcialmente definida puesto que si:

    0 <|a|< |b|, se puede concluir que no existe a/b

    Se propone efectuar una ampliación del sistema de los números enteros (Z), es decir considerar un conjunto de nuevos
    elementos definidos de manera que comprendan como caso particular a los elementos de Z y las operaciones que entre ellos se
    definan comprendan a las operaciones definidas sobre Z y gocen las mismas propiedades que estas. Además queremos que
    este nuevo conjunto pueda se pueda realizar sin restricciones las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división
    (excepto por cero).
    Para lograr tal objetivo, consideraremos el conjunto de todos los posibles cocientes m/n de números enteros con n>0, a los
    cuales representaremos como pares ordenados (m, n).
    En el conjunto así formado, definiremos una relación de equivalencia que por el teorema fundamental de partición,
    determinara una partición de dicho conjunto en clases disjuntas, no vacías y cuya reunión será el conjunto dado. Luego en el
    conjunto cociente así construido, definiremos operaciones y
    relaciones, obteniendo así el sistema de los números racionales al cual denotaremos por Q y el construirá la solución de
    nuestro problema.

    Sea pues T=Z x Z+. A los elementos de T los denotaremos así: (a1 , a2), (b1 , b2), ……
    Definamos ahora un T’ una relación mediante la siguiente:
    Números Racionales. Adición, Multiplicación y relación menor o igual.
    -Definición 2.1. Daremos el nombre de numero racional a cada una de las clases de pares ordenados (con segunda
    componente positiva) equivalentes de números enteros. Así por ejemplo, serán números racionales las clases:

    De la definición resulta que a cada numero racional le corresponden infinitos pares equivalentes entre si y que a cada par le
    corresponde un único racional que es la clase a la cual pertenece cada par
    Considerado.
    Entonces por la definición anterior queda determinado un conjunto de elementos llamados números racionales (Q), y a sus
    elementos se les denotara así: a=[(a1,a2)], b=[(b1,b2)], etc.
    La operación que hace corresponder a cada par de números racionales (a,b) su suma a+b recibe, el
    nombre de adición.
    Teorema 2.1. La adición de numero racionales goza de las siguientes propiedades:

    a
    c

    d
    e
    DEMOSTRACIÓN.
    A=1
    B=2
    C=1
    1≤2 v 2≥1
    A+C=B….. 1+1=2
    DEFINICION 2.6
    Dado el numero racional a, se llama valor absoluto de a y se denota por |a|, al numero
    Racional definido del modo siguiente:

    |a|=a si a≥0
    |a|=-a si a<0
    De la definición se tiene que|a|≥ 0 para todo número racional .
    DEMOSTRACIÓN: Es completamente análoga a la hecha para números enteros.

    PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO EN INECUACIONES

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