Tee (topoloogia)

Punkt, mis on ruumis R² viidud A-st B-sse. Aga teised teed võivad läbida sellesama punktihulga.

Topoloogias nimetatakse teeks (või mõnikord parametriseeritud jooneks) topoloogilises ruumis X pidevat kujutust f ühiklõigust I = [0,1] (mõnikord ka mis tahes lõigust, sel juhul samastatakse tee parametriseeritud joonega) ruumi X

f : I → X.

Tee alguspunkt on f(0), tee lõpp-punkt on f(1). Sageli räägitakse "teest punktist x punkti y", kus x ja y on tee algus- ja lõpp-punkt. Tee ei ole lihtsalt ruumi X alamhulk, mis "näeb välja nagu" joon, vaid kätkeb ka parametriseeringut. Näiteks kujutused f(x) = x ja g(x) = x² tekitavad kaks erinevat teed 0-st 1-ni reaalsirgel.

Aas ruumis X baaspunktiga x ∈ X on tee punktist x punkti x. Aasa võib defineerida ka kujutusena f : I → X, mille korral f(0) = f(1), või pideva kujutusena ühikringjoonelt S¹ ruumi X

f : S¹ → X.

Viimane tuleneb sellest, et ruumi S¹ võib pidada ruumi I faktorruumiks 0 ja 1. Kõigi aasade hulk ruumis X moodustab ruumi, mida nimetatakse ruumi X aasruumiks ^[1].

Topoloogilist ruumi, mille mis tahes kaht punkti ühendab tee, nimetatakse lineaarselt sidusaks. Iga ruumi saab lahutada lineaarselt sidusateks komponentideks. Ruumi X lineaarselt sidusate komponentide hulka tähistatakse sageli π₀(X).

Teed ja aasad saab defineerida ka punkteeritud ruumidel, mis on olulised homotoopiateoorias. Kui X on topoloogiline ruum fikseeritud punktiga x₀, siis tee ruumis X on tee, mille alguspunkt on x₀. Samamoodi on aas ruumis X aas punktis x₀.

Teede homotoopia

Pikemalt artiklis Homotoopia

Teed ja aasad on algebralise topoloogia haru homotoopiateooria kesksed uurimisobjektid. Teede homotoopia eksplitseerib tee pideva otspunkte säilitava deformatsiooni mõiste.

Teede homotoopia ruumis X on niisuguste I järgi indekseeritud teede f_t : I → X pere, et:

f_t(0) = x₀ ja f_t(1) = x₁ on fikseeritud;
kujutus F : I × I → X, mille annab F(s, t) = f_t(s), on pidev.

Öeldakse, et teed f₀ ja f₁ on homotoopsed (ehk täpsemalt lineaarselt homotoopsed), kui nad on seotud homotoopiaga. Analoogselt võib defineerida baaspunkti säilitava aasade homotoopia.

Homotoopsus on teede ekvivalentsusseos topoloogilises ruumis. Tee f ekvivalentsiklassi selle seose järgi nimetatakse tee f homotoopiaklassiks ning seda tähistatakse sageli [f].

Teede kompositsioon

Teede kompositsiooni topoloogilises ruumis saab moodustada ilmsel viisil. Olgu f tee punktist x punkti y ja g tee punktist y punkti z. Tee fg defineeritakse kui tee, mis saadakse, kui läbitakse kõigepealt f ning seejärel g:

fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}

Teede kompositsioon on muidugi defineeritud ainult juhul, kui tee f alguspunkt langeb kokku tee g alguspunktiga. Kui vaadelda aasu punktis x₀, siis teede kompositsioon on binaarne tehe.

Teede kompositsioon (kui see on defineeritud), ei ole assotsiatiivne, sest parametrisatsioon on erinev. Küll aga on see assotsiatiivne homotoopia täpsusega, st [(fg)h] = [f(gh)]. Teede kompositsioon määrab aasade homotoopiaklasside hulgal ruumis X baaspunktiga x₀ rühma struktuuri. Saadavat rühma nimetatakse ruumi X fundamentaalseks rühmaks punktis x₀ ja seda tähistatakse tavaliselt π₁(X,x₀).

Tee ruumis X võib defineerida pideva kujutusena lõigust [0,a] ruumi X mis tahes reaalarvu a ≥ 0 puhul. Niisugusel teel f on pikkus |f|, mis defineeritakse kui a. Teede kompositsioon defineeritakse siis teatud muudatusega:

fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g|\end{cases}}

Kui eelmises definitsioonis on teedel f, g ja fg pikkus 1, siis selle definitsiooni järgi |fg| = |f| + |g|. Eelmises definitsioonis rikkus assotsiatiivsuse see, et kuigi teedel (fg)h ja f(gh) on sama pikkus 1, on tee (fg)h keskpunkt g ja h vahel, aga tee f(gh) keskpunkt on f ja g vahel. Muudetud definitsioonis on teedel (fg)h ja f(gh) sama pikkus, nimelt |f|+|g|+|h|, ja sama keskpunkt, nimelt (|f|+|g|+|h|)/2. Ja isegi parametrisatsioon on sama.

Fundamentaalne rühmoid

Mis tahes topoloogiline ruum X tekitab kategooria, mille objektid on ruumi X punktid ja morfismid on teede homotoopiaklassid. Et mis tahes morfism selles kategoorias on isomorfism, on see kategooria rühmoid, mida nimetatakse ruumi X fundamentaalseks rühmoidiks. Aasad selles kategoorias on endomorfismid (kõik need on tegelikult automorfismid). Punkti x₀ automorfismide rühm ruumis X on lihtsalt selle punktiga seotud fundamentaalne rühm ruumis X. Saab defineerida fundamentaalse rühmoidi ruumi X mis tahes alamhulgas A, kasutades alamhulga A punkte ühendavate teede homotoopiaklasse. Seda konstruktsiooni kasutatakse näiteks seoses Seiferti – van Kampeni teoreemiga.

Teed normeeritud ruumis

Normeeritud ruumis saab punkte ühendavate teede loomust täpsustada.

Sirge tee on tee, mida saab esitada kujul $\gamma (t)=x+t{\vec {u}}$ kõikide $t\in [0,1]$ puhul. Vektorit ${\vec {u}}$ nimetatakse tee $\gamma$ juhtvektoriks. Tee kujutiseks olev joon on siis sirge lõik.

Murdjooneline tee on tee, mis on esitatav lõpliku arvu sirgete teede kompositsioonina. Tee kujutiseks olev joon on murdjoon.

Viited

↑ John Frank Adams. Infinite Loop Spaces, Princeton University Press 1978. — Annals of Mathematics Studies, kd 90. ISBN 9780691082066.

Kirjandus

John Frank Adams. Infinite Loop Spaces, Princeton University Press 1978. Annals of mathematics studies, kd 90. ISBN 9780691082066.
Peter May. A concise course in algebraic topology, Chicago: University of Chicago Press 1999. ISBN 0226511820, ISBN 9780226511825.
James R. Munkres. Topology, 2. trükk, Prentice Hall 2000.
Ronald Brown. Topology and groupoids, Deganwy 2006. ISBN 1-4196-2722-8.
О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология, М.: МЦНМО 2010. ISBN 978-5-94057-587-0.

[1] John Frank Adams. Infinite Loop Spaces, Princeton University Press 1978. — Annals of Mathematics Studies, kd 90. ISBN 9780691082066.

[1]