Sistema ez lineal

Matematikan, sistema ez linealak deskribatzaileen jokabideen batura gisa adierazten ez diren sistemak adierazten dituzte. Formalkiago, sistema fisiko, matematiko edo beste sistema bat ez lineala da bere portaera erregulatzen duten higidura- bilakaera edo portaera-ekuazioak ez linealak direnean. Bereziki, sistema ez linealen portaera ez dago gainjartze-printzipioaren menpe, sistema lineal batean den bezala.

Zientziaren hainbat adarretan, ez linealtasuna jokabide konplexu eta, askotan, ezusteko edo kaotikoen erantzule da. Ez linealtasuna maiz agertzen da autointerakzioarekin lotuta, sisteman bertan sistemaren aurreko egoerak duen eragina. Fisikan, biologian edo ekonomian, hainbat azpisistemaren ez linealtasuna arazo konplexuen iturria da. Azken hamarkadetan, konputagailu digitalak eta zenbakizko simulazioa agertzeak interes zientifikoa piztu du sistema ez linealetan, lehen aldiz sistema asko, gutxi edo gehiago, modu sistematikoan ikertu baitira.

Sarrera

Sistema baten linealtasunari esker, ikertzaileek zenbait hipotesi eta hurbilketa matematiko egin ditzakete emaitzak errazago kalkulatzeko. Sistema ez linealak beren zatien baturaren berdinak ez direnez, normalean, zailak (edo ezinezkoak) izan ohi dira modelatzea, eta aldagai jakin batekiko (adibidez, denbora) duten portaera oso zaila da aurreikustea.

Sistema ez lineal batzuek soluzio zehatzak edo integragarriak dituzte, beste batzuek, aldiz, portaera kaotikoa dute; beraz, ezin dira forma soil batera murriztu, eta ezin dira konpondu. Jokabide kaotikoaren adibide bat olatu erraldoiak dira. Interes orokorreko sistema ez lineal eta ekuazio batzuk sakonki aztertu badira ere, gehien-gehienak gaizki ulertzen dira.

Sistema linealak

Artikulu nagusia: «Aplikazio lineal»

Matematikan, funtzio lineala honako propietate hauek betetzen dituena da (sistema batean bi ekuazio edo gehiago elkartu behar baita):

1. Gehigarritasuna: $f(x+y)=f(x)+f(y)\$
2. Homogeneotasuna: $f(\alpha \,x)=\alpha \,f(x)\$

Bi arau horiek batera gainjartze printzipioa bezala ezagutzen dira.

Sistema ez linealak

Ekuazio ez linealak interesgarriak dira fisikan eta matematikan, problema fisiko gehienak, inplizituki, ez-linealak direlako. Sistema linealen adibide fisikoak nahiko arraroak dira. Ekuazio ez linealak zailak dira ebazten, eta fenomeno interesgarriak sortzen dituzte, hala nola kaosaren teoria. Ekuazio lineal bat operadore lineal bat erabiliz deskriba daiteke, L. Ekuazio lineal bat $u$-ren balio ezezagun batean, honako forma du:

$Lu=0\,$

Ekuazio ez lineala honako formako ekuazio bat da:

$F(u)=0\,$

$u$-ren balio ezezagun baterako.

Edozein ekuazio ebazteko, zein espazio matematikotan aurkitzen den $u$ soluzioa erabaki behar da. Baliteke $u$ zenbaki erreal bat, bektore bat edo, agian, propietate batzuk dituen funtzio bat izatea.

Ekuazio linealen soluzioak, oro har, ekuazio bereko beste soluzio batzuen gainjartze gisa deskriba daitezke. Horrek ekuazio linealak erraz ebazten ditu.

Ekuazio ez linealak askoz konplexuagoak dira, eta askoz zailagoak ulertzeko, gainjarritako soluzio sinpleen faltagatik. Ekuazio ez linealetarako soluzioek ez dute, orokorrean, espazio bektorialik osatzen, eta, oro har, ezin dira gainjarri soluzio berriak sortzeko. Horrek, ekuazioak ebaztea, sistema linealetan baino askoz zailagoa egiten du.

Zenbait ekuazio ez lineal ebazteko tresnak

Gaur egun, ekuazio ez linealak aztertzeko, tresna ugari daude, ditugun batzuk aipatzearren: sistemaren dinamika, funtzio inplizituaren teorema eta bifurkazioen teoria.

• Malinietsky G.G 2006. Sinergetikaren oinarri matematikoak. Kaosa, egiturak eta ordenagailu bidezko simulazioa[1].

Sistema ez linealen adibideak

Badirudi sistema fisikoen eta bestelakoen bilduma garrantzitsu bat denboraren bilakaeraren ekuazio-sistemek deskribatuta daudela, hain zuzen ere, ekuazio diferentzial ez linealak direnak; ez linealtasunaren adibide ezagun batzuk honako hauek dira:

• Erlatibitatearen teoria orokorrean eremu grabitatorioa deskribatzen duten Einstenen eremu-ekuazioak.
• Fluidoen dinamikaren Navier-Stokes-en ekuazioak, zeinen konplexutasunak problema matematiko ospetsu bihurtu dituena (hain zuzen ere, ekuazio horiei lotutako problema berezi bat da Clay Institute-k proposatutako milurteko arazoetako bat ).
• Optika ez-lineala.
• Lurrean eguraldi sistema.
• Monoziklo robot baten kulunka.
• Boltzmann-en garraio-ekuazioa.
• Korteweg-de Vries ekuazioa.
• Schrödinger ekuazio ez-lineala.

Bibliografia

• Malinietsky GG 2006. Sinergetikaren oinarri matematikoak. Kaosa, egiturak eta ordenagailu bidezko simulazioa .
• YAN Kun (2011). Nonlinstor-Ekuazio diferentzial ez-linealaren forman oinarritutako zirkuitu elektronikoko elementua (Brief commentation of the connection equation(R)), Xi'an: Xi'an Modern Nonlinear Science Applying Institute.

Ikus, gainera

• Aplikazio lineala

Kanpo estekak

• [2].

• Datuak: Q660848
• Multimedia: Nonlinear systems / Q660848