Hermitoitu matriisi

Hermitoitu matriisi (myös konjugaattitranspoosi, adjungoitu matriisi tai adjungaatti, engl. adjoint) on annetun matriisin kompleksikonjugaatin transpoosi. Toisin sanoen, jos matriisi $A=(a_{ij})\,$ kuuluu renkaaseen ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )$ ja ${\bar {z}}$ on kompleksiluvun $z$ kompleksikonjugaatti, niin $A$:n hermitoitu matriisi on

$A^{*}=({\bar {a}}_{ji})$.

Etenkin kvanttimekaniikassa on tavallista merkitä hermitoitua matriisia "tikarilla" (dagger): $A^{\dagger }$. Hermitointi voidaan myös periaatteessa kirjoittaa "auki" kompleksikonjugointina ja transponointina: ${\bar {A}}^{T}$. Näin toimitaan kuitenkin harvoin, sillä hermitoiduille matriiseille on niiden yleisyyden takia käytännöllistä käyttää omaa merkintää.

Itseadjungoitu matriisi

Pääartikkeli: Hermiittinen matriisi

Hermitoitujen matriisien tärkeän erikoistapauksen muodostavat hermiittiset eli itseadjungoidut matriisit (engl. self adjoint). Ne ovat neliömatriiseja, joille

$A^{*}=A\,$.

Jos $A$ on reaalinen (eli kaikki sen alkiot ovat reaalilukuja), itseadjungoituvuus on sama kuin matriisin symmetrisyys. Itseadjungoidulla matriisilla on sovellusten kannalta tärkeitä ominaisuuksia:

• Olkoon $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ sisätulo. Matriisi $A$ on itseadjungoitu jos ja vain jos $\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle$.
• Itseadjungoidun matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
• Itseadjungoitu matriisi on unitaarisesti diagonalisoituva.
• Itseadjungoidun matriisin ominaisvektoreista voidaan valita $\mathbb {C} ^{n}$:n ortonormaali kanta.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).