Käänteisluku

Funktion y = 1/x kuvaaja arvoille, jolloin x ei ole 0. Kuvaaja on hyperbeli. Sen jokaisen pisteen (x,y) koordinaatit x ja y ovat toistensa käänteislukuja.

Käänteisluku liittyy käsitteenä matematiikassa kahden luvun kertolaskuun, jonka tulokseksi saadaan yksi:

$a\cdot b=1\quad \Leftrightarrow \quad a={\frac {1}{b}}\quad \Leftrightarrow \quad b={\frac {1}{a}}=a^{-1}$.

Tällöin sanotaan, että molemmat luvut $a$ ja $b$ ovat toistensa käänteislukuja. Käänteislukumerkintänä käytetään usein negatiivista eksponenttia

$a^{-1}$.

Edellinen on koulumatematiikassakin esitetty määritelmä. Matematiikassa lukua yksi pidetään kertolaskuun liittyvänä rationaalilukujoukon neutraalialkiona eli 1-alkiona. Koska matematiikan neutraalialkion käsite on paljon laajempi, käytetään nimitystä 1-alkio vain luvuille ja sellaisille binäärioperaatioille, jotka ovat luonteeltaan multiplikatiivisia.

Luonnolliset ja kokonaisluvut

Koska käänteisluku voi olla rationaaliluku, ei termiä käytetä luonnollisten tai kokonaislukujen yhteydessä. Ainoat kokonaisluvut, joiden käänteisluku kuuluu kokonaislukuihin, ovat 1 ja -1. Kummassakin tapauksessa luvun käänteisluku on kyseinen luku itse.

Rationaaliluvut

Jokaisella rationaaliluvulla, paitsi nollalla, on olemassa käänteisluku. Tämän voi todeta itse seuraavasti: Merkitään nollan käänteislukua kirjaimella $a$. Silloin voidaan määritelmästä lähtien nopeasti päätellä, että

$a\cdot 0=1\quad \Leftrightarrow \quad a={\frac {1}{0}}$

ja koska nollalla ei voi jakaa, ei nollalle voi määrittää käänteislukua.

Samalla menettelyllä voidaan muodostaa jokaiselle nollasta eroavalle rationaaliluvulle käänteisluku. Jos merkitään yleisesti rationaalilukua kahden kokonaisluvun osamääränä eli murtolukuna

$a={\frac {m}{n}}$,

voidaan määrittää sille käänteisluku

$a^{-1}=\left({\frac {m}{n}}\right)^{-1}=\left({\frac {n}{m}}\right)$.

Käänteisluvun nimitys liittynee rationaaliluvun murtolukuesityksen "kääntämiseen" käänteislukua muodostettaessa.

Esimerkiksi luvun ${\frac {3}{4}}$ käänteisluku on ${\frac {4}{3}}$.

Kokonaisluvun käänteisluku on sen yksikkömurtoluku. Esimerkiksi luvun $2$ käänteisluku on ${\frac {1}{2}}$ ja luvun $-3$ käänteisluku on ${\frac {1}{-3}}$ eli $-{\frac {1}{3}}$. Tästä huomataan, että rationaalukujen murtoesityksen merkkisäännöt säilyttävät käänteisluvun etumerkin samana.

Reaaliluvut

Reaaliluvut saadaan täydentämällä rationaalilukujen joukkoa irrationaaliluvuilla. Jokaisella irrationaaliluvulla on käänteislukunsa, joten reaalilukujen joukko on samantapainen joukko käänteislukujen suhteen kuin rationaaliluvutkin.

Kymmenpotenssiluvuille, kuten 100:lle ja 10 000:lle, voi määrittää käänteisluvut desimaalimuodossa helposti. Sadan käänteisluku on 0,01 ja 10 000 se on 0,0001. Tämä siksi, että $1000=10^{3}$ ja sen käänteisluku saadaan

$1000^{-1}=\left(10^{3}\right)^{-1}=10^{3\cdot (-1)}=10^{-3}=0,001$.

Käänteisluvun numeerinen määritys

Koska kymmenpotenssin kerroin muuttuu lukua käännettäessä, ei yleisen desimaaliluvun kääntäminen ole yksinkertainen laskutoimitus. Seuraavaa iteraatiota toistamalla voidaan käänteisluvun desimaaliesityksen likiarvo laskea käyttämällä pelkästään kerto- ja vähennyslaskua.

Iteraatio vaatii siemenluvun $y_{0}$, joka voi olla mikä tahansa reaaliluku. Annetulla luvulla $y_{0}$ aletaan iteroida riittävän monta kertaa lauseketta $f(y_{i})=2y_{i}-xy_{i}^{2}$, missä $x$ on käännettävä luku.

$y_{i+1}=2y_{i}-xy_{i}^{2}{\mbox{, kun }}i=1,2,3,...$.

Iteraatio tuottaa lukujonon, joka suppenee kohti käänteislukua $x^{-1}$:

$\lim _{i\to \infty }y_{i}=x^{-1}$

Kompleksiluvut

Kompleksiluvut muodostettiin täydentämällä reaaliluvut imaginaariluvuilla. Kompleksiluvun $z=a+bi$, missä $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja ja $i$ on imaginaariyksikkö, käänteisluku on, kun ${\overline {z}}=a-bi$ on sen liittoluku:

$z^{-1}={\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{{\overline {z}}z}}={\frac {a-bi}{(a+bi)(a-bi)}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}$.

Jos kompleksiluku on esitetty polaarimuodossa Eulerin kaavan avulla

$z=re^{i\theta }=r\left[\cos \theta +i\sin \theta \right]$,

niin sen potenssi esityksen

$z^{n}=r^{n}\left[\cos {(n\theta )}+i\sin {(n\theta )}\right]$

käänteisluku on

$z^{-1}=r^{-1}e^{-i\theta }=r^{-1}\left[\cos {(-\theta )}+i\sin {(-\theta )}\right]={\frac {\cos {(\theta )}-i\sin {(\theta )}}{r}}$.

Jaksollisuus

Mikäli kokonaisluvun käänteisarvoa laskettaessa jakolasku ei niin sanotusti mene tasan, on tuloksena jaksollinen desimaaliluku. Tätä voi havainnollistaa suorittamalla jakolaskun kynällä ja paperilla. Laskennan välituloksina saadut jakojäännökset ovat lähtökohtana olevaa kokonaislukua pienempiä, joten ennen pitkää päädytään jakojäännökseen, joka on jo esiintynyt, ja tästä kohdasta alkaa siten uusi jakso. Laskettaessa kokonaisluvun käänteisarvo laskimella voi laitteen näytössä olla liian vähän numeroita, jotta jaksollisuus tulisi esille. Tällöin laskenta voidaan suorittaa joko kynällä ja paperilla tai esimerkiksi seuraavan ohjeen mukaan. Esimerkiksi kokonaisluvun 17 käänteisarvo lasketaan seuraavasti, kunhan ensin on huomattu, että

${1 \over 17}={1 \over 100}{100 \over 17}$

1. jaettava = 100
2. jakaja = 17
3. numero = luvun ${jaettava \over jakaja}$ kokonaislukuosa
4. tulosta numero
5. jäännös = jaettava – numero × jakaja
6. jaettava = jäännös × 10
7. jatka kohdasta 3

Tuloksena saadaan

${1 \over 17}$ = 0,05882352941176470588...

Erityisiä ominaisuuksia

Positiivisen reaaliluvun ja sen käänteisluvun summa on aina vähintään 2 eli

$x+{\tfrac {1}{x}}\geq 2.$

Katso myös

• Vastaluku
• Käänteislukufunktio

Lähteet

• Barile, Margherita: Multiplicative Inverse, MathWorld
• Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 1. (lukion pitkän matematiikan kirja) Helsinki: Otava, 2008. ISBN 978-951-26-5822-0
• Seppänen, Raimo et al.: MAOL. (lukion taulukkokirja) Helsinki: Otava, 2006. ISBN 951-1-20607-9

Kirjallisuutta

• Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964).
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Aiheesta muualla

• Kompleksiluvun vastaluku, geogebra applet (Arkistoitu – Internet Archive)