Centro (teoría de grupos)

Táboa de Cayley para D4 que mostra os elementos do centro, {e, a2}, que conmutan con todos os outros elementos (isto pódese ver observando que todas as ocorrencias dun elemento central dado están dispostas simétricamente sobre a diagonal central ou observando que a fila e columna que comeza cun elemento central dado son transpostos entre si).
∘	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
e	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
b	b	e	a³b	a²b	ab	a³	a²	a
a	a	ab	a²	a³	e	a²b	a³b	b
a²	a²	a²b	a³	e	a	a³b	b	ab
a³	a³	a³b	e	a	a²	b	ab	a²b
ab	ab	a	b	a³b	a²b	e	a³	a²
a²b	a²b	a²	ab	b	a³b	a	e	a³
a³b	a³b	a³	a²b	ab	b	a²	a	e

En álxebra abstracta, o centro dun grupo $G$ é o conxunto de elementos que conmutan con cada elemento de $G$ . Denomínase $Z(G)$ , do alemán Zentrum.

Z(G) = {z \in G | \forall g \in G, zg = gz}

.

O centro é un subgrupo normal, $Z(G) ⊲ G$ , e tamén un subgrupo característico, pero non é necesariamente totalmente característico. O grupo cociente, $G / Z(G)$ , é isomorfo ao grupo do automorfismo interno, $Inn(G)$ .

Un grupo $G$ é abeliano se e só se $Z(G) = G$ . No outro extremo, dise que un grupo é sen centro se $Z(G)$ é trivial; é dicir, consiste só no elemento identidade.

Os elementos do centro son elementos centrais.

Como subgrupo

O centro de G é sempre un subgrupo de $G$ . En particular:

$Z(G)$ contén o elemento neutro de $G$ , porque conmuta con todos os elementos de $g$ , por definición: $eg = g = ge$ , onde $e$ é o elemento neutro;
Se $x$ e $y$ están en $Z(G)$ , daquela tamén está $xy$ , pola asociativa: $(xy) g = x (yg) = x (gy) = (xg) y = (gx) y = g (xy)$ para todo $g \in G$ ; i.e., $Z(G)$ é pechado;
Se $x$ está en $Z(G)$ , daquela tamén está $x -1$ pois, para todo $g$ en $G$ , $x -1$ conmuta con $g$ : $(gx = xg) \Rightarrow (x -1 gxx -1 = x -1 xgx -1) \Rightarrow (x -1 g = gx -1)$ .

A maiores, o centro de $G$ é sempre un subgrupo abeliano e normal de $G$ . Dado que todos os elementos de $Z(G)$ se conmutan, está pechado baixo conxugación.

Un homomorfismo de grupo $f : G \to H$ pode non restrinxirse a un homomorfismo entre os seus centros. Os elementos da imaxe $f (g)$ conmutan coa imaxe $f (G)$ , mais non precisan conmutar con todo $H$ a non ser que $f$ sexa sobrexectivo. Así o mapeo do centro $G\to Z(G)$ non é un functor entre as categorías Grp e Ab, xa que non induce un mapa de frechas.

Clases de conxugación e centralizadores

Por definición, un elemento é central sempre que a súa clase de conxugación contén só o propio elemento; é dicir $Cl(g) = {g}$ .

O centro é a intersección de todos os centralizadores de elementos de $G$ :

$Z(G)=\bigcap _{g\in G}Z_{G}(g).$

Como os centralizadores son subgrupos, isto mostra de novo que o centro é un subgrupo.

Conxugación

Considere o mapa $f : G \to Aut(G)$ , dende $G$ ata o grupo de automorfismos de $G$ definido por $f (g) = ϕ g$ , onde $ϕ g$ é o automorfismo de $G$ definido por

f (g)(h) = ϕ g (h) = ghg -1

.

A función, $f$ é un homomorfismo de grupo, e o seu kernel é precisamente o centro de $G$ , e a súa imaxe chámase grupo de automorfismo interno de $G$ , denotado $Inn(G)$ . Polo primeiro teorema do isomorfismo obtemos:

G /Z(G) ≃ Inn(G)

.

O cokernel deste mapa é o grupo $Out(G)$ de automorfismos externos, e estes forman a secuencia exacta

1 ⟶ Z(G) ⟶ G ⟶ Aut(G) ⟶ Out(G) ⟶ 1

.

Exemplos

O centro dun grupo abeliano, $G$ , é todo $G$ .
O centro do grupo de Heisenberg, , $H$ , que son as matrices de forma: ${\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$ , é o conxunto de matrices da forma: ${\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ .
O centro dun grupo non abeliano simple é trivial.
O centro do grupo diédrico, $D n$ , é trivial para $n \geq 3$ impar. Para $n \geq 4$ par, o centro consiste do elemento identidade xunto cunha rotación de 180° do polígono.
O centro do grupo de cuaternións, $Q 8 = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}$ , é ${1, -1}$ .
O centro do grupo simétrico, $S n$ , é trivial para $n \geq 3$ .
O centro do grupo linear xeral sobre un corpo $F$ , $GL n (F)$ , é a colección de matrices diagonais, ${ sIn ∣ s ∈ F \ {0}$ }.
O centro do grupo ortogonal, $O n (F)$ é ${I n, -I n}$ .
O centro do grupo ortogonal especial, $SO(n)$ é o grupo completo cando $n = 2$ , e ${I n, -I n}$ cando n é par, e trivial cando n é impar.
O centro do grupo unitario, $U(n)$ é $\left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ .
Se o grupo cociente $G /Z(G)$ é cíclico, $G$ é abeliano (e por tanto $G = Z(G)$ , logo $G /Z(G)$ é trivial).