Icosaedro

Figura en vértice 3.3.3.3.3

Un icosaedro é un poliedro de vinte caras, convexo ou cóncavo. Se as vinte caras do icosaedro son triángulos equiláteros e congruentes, iguais entre si, o icosaedro é convexo e denomínase regular, sendo entón un dos chamados sólidos platónicos. O poliedro conxugado do icosaedro é o dodecaedro.

O vocábulo icosaedro procede do grego eikosaedron, de εἴκοσι éikosi "vinte" e ἕδρα hedra "asento, cara".

Cálculo de dimensións fundamentais

Raio externo

Se a é a lonxitude dunha aresta dun icosaedro regular, o raio dunha esfera circunscrita (unha que toca o icosaedro en todos os seus vértices) é $r_{u}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\approx 0.9510565163\cdot a$

Raio interno

O raio dunha esfera inscrita (tanxente ás caras do icosaedro) é $r_{i}={\frac {a}{12}}{\sqrt {3}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 0.7557613141\cdot a$

Ángulo

O ángulo que forman os vectores que van do centro a dous vértices adxacentes é constante e vale: $angulo=2\cdot \arcsin \left({\frac {1}{2\cdot 0.9510565163}}\right)\approx 1.10714872\ rad$

Volume, área e desenvolvemento

Animación dun dos desenvolvementos do Icosaedro.

Dado un Icosaedro regular de aresta a, pódese calcular o seu volume V mediante a seguinte fórmula:

$V={\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\cdot a^{3}$
(Aproximadamente 2,18•a³)

e a área total das súas caras A (que é 20 veces a área dunha delas, A_c), mediante:

$A=20\cdot A_{c}=20\cdot {\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}=5{\sqrt {3}}\cdot a^{2}$
(Aproximadamente 8,66•a²)

Desenvolvemento do icosaedro:

Coordenadas cartesianas e estrutura

Os 12 pentágonos internos que constitúen o icosaedro determinan as caras do dodecaedro grande.

As seguintes coordenadas cartesianas definen os vértices dun icosaedro centrado na orixe:

(0, ±1, ±φ)

(±1, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1)

Onde φ = (1+√5)/2 é a razón áurea. Cómpre salientar que os vértices dun icosaedro forman grupos de tres rectángulos áureos ortogonais entre si. O icosaedro contén no seu interior 15 rectángulos áureos: cada rectángulo contén dúas arestas opostas. Isto débese a que dous lados do rectángulo son a aresta do icosaedro e os outros dous son as diagonais de dous pentágonos regulares paralelos xirados 180 graos. A diagonal do pentágono regular está en proporción áurea co lado do pentágono, que neste caso é a aresta do icosaedro.

O icosaedro, a pesar de estar formado por 20 triángulos equiláteros, pode considerarse como a unión de 12 pentágonos regulares internos. A intersección dos pentágonos entre eles orixina as 30 arestas que conforman o icosaedro. Os 12 pentágonos regulares mencionados determinan as caras do gran dodecaedro, un dos sólidos de Kepler-Poinsot.

Proporcións áureas no icosaedro

No icosaedro pódese atopar varias veces o número áureo. Na imaxe da esquerda pódense apreciar algunhas proporcións áureas presentes no icosaedro:

CD/AB = φ; EG/FG = φ

AD/GD = φ; KH/IK = φ

GD/AG = φ; BN/MN = φ

CL/CI = φ; AH/GN = φ

MN/BM = φ; BM/BF = φ

FG/EF = φ; BF/FM = φ

IK/HI = φ; GD/MD = φ

CI/LI = φ; MD/GM = φ

BC/CG = φ; CG/GB = φ