Forgatás

A geometriában a forgatás az egybevágósági transzformációk közé tartozik. A síkban pont körüli, a térben tengelyes forgatások léteznek. A síkban forgatás az a transzformáció, amire teljesül, hogy az O középpont körüli forgatás során bármely P pont esetére, ami nem az egyértelmű O középpont a POP¹ szög a sík minden pontjára ugyanakkora. A térben forgatás az a transzformáció, ami egy adott egyenesen kívüli P pontot egy olyan P¹ pontba viszi, ami a P-n átmenő, az egyenesre merőleges síkban ugyanakkora távolságra fekszik, mint a P pont, és a PCP¹ irányított szög ugyanakkora minden ilyen P pontra. A síkban kitüntetett szerepet játszik a 180 fokos forgatás, amit középpontos tükrözésnek is neveznek. Az identitás is felfogható forgatásnak. A síkbeli tengelyes tükrözések a térben kiterjeszthetők forgatássá, amit továbbra is tengelyes tükrözésnek neveznek, és részben hasonló szerepet tölt be, mint a pontra tükrözés a síkban.

Egy sík alakzat elforgatása a szintén pirossal jelölt $O.$ pont körül

Középpontos forgatás

A középpontos forgatásnak a következő tulajdonságai vannak:

• megadható
  • középpontjával és irányított szögével
  • szögével és egy pont, pont képe párral
  • egy pont, pont képe párral és a középpontjával
• van egy fixpontja: a középpontja
• nincs fixegyenese, kivéve ha szöge 360 fok többszöröse (azaz a forgatás az identitás, és ekkor minden egyenes fix)
• invariáns egyenesei csak akkor vannak, ha szöge 180 fok többszöröse
  • a pontra tükrözés invariáns egyenesei a középponton átmenő egyenesek
• megtartja a körüljárási irányt
• a szabályos n-szöget önmagába viszi, ha annak középpontja körül (k/n)x360 fokkal forgat
• felírható két tengelyes tükrözés szorzataként, melyek tengelyei a középpontban metszik egymást; a forgatás szöge a két egyenes által közrezárt szög kétszerese, iránya pedig a tükrözések sorrendjétől függ
• hegyesszögű forgatás esetén az egyenesek a forgatás szögét zárják be képükkel
• a transzformációszorzásban:
  • eltolás és forgatás szorzata forgatás
  • két forgatás szorzata forgatás, ha szögeik összege nem a teljesszög többszöröse; egyébként eltolás

Forgásszimmetria

Egy síkbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha van egy pont a síkban, ami körül bizonyos szögekkel elforgatva önmagába megy át. Ilyenek például a szabályos sokszögek, a téglalap, a kör.

Egy síkbeli alakzat középpontosan szimmetrikus, ha van egy pont a síkban, amire tükrözve az alakzat önmagába megy át. Ilyenek például a paralelogrammák, a kör és a páros oldalszámú szabályos sokszögek.

Tengelyes forgatás

• Előáll két metsző síkra való tükrözés szorzataként: tengelye a két sík metszésvonala, szöge a két sík által bezárt szög kétszerese
• Egyértelműen létezik forgatás, amely egy, a tengelyre illeszkedő félsíkot egy adott másik, szintén a tengelyre illeszkedő félsíkba visz
• A tengelyt metsző egyenesek képe ugyanabban a pontban metszi a tengelyt, mint az eredeti metsző egyenes
• A tengellyel párhuzamos egyenesek képe is párhuzamos a tengellyel
• Az ugyanahhoz a tengelyhez tartozó forgatások Abel-csoportot alkotnak
• A síkbeli tengelyes tükrözések a térben kiterjeszthetők forgatássá
  • Két így kapható forgatás akkor és csak akkor egyezik meg, ha tengelyeik megegyeznek
  • Megkapható két merőleges síkra tükrözéssel
  • A tengely felezőmerőleges minden pont - pont képe szakaszra
  • A tengelyen merőlegesen áthaladó egyenesek invariánsak
  • Három párhuzamos tengelyű ilyen forgatás szorzata is ilyen, és a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető
  • Ezeket a transzformációkat továbbra is tengelyes tükrözésnek nevezik. De ezek, lévén forgatások, irányítástartók. Félfordulatnak is hívják őket.

Forgatások az algebrában

Lineáris algebra

A sík origó körüli óramutató járásával ellentétes irányú $\vartheta$ szögű forgatása a következő mátrixszal adható meg:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \vartheta &-\sin \vartheta \\\sin \vartheta &\cos \vartheta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.$

Több dimenzióban a forgatómátrixok olyan antiszimmetrikus alakra hozhatók, amiben ilyen részmátrixok vannak. Ezek a megfelelő síkbeli pont körüli forgatásokat jelzik.

Például három dimenzióban:

$R_{x,\vartheta }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\vartheta )&-\sin(\vartheta )\\0&\sin(\vartheta )&\cos(\vartheta )\\\end{bmatrix}}$

$R_{y,\vartheta }={\begin{bmatrix}\cos(\vartheta )&0&\sin(\vartheta )\\0&1&0\\-\sin(\vartheta )&0&\cos(\vartheta )\\\end{bmatrix}}$

$R_{z,\vartheta }={\begin{bmatrix}\cos(\vartheta )&-\sin(\vartheta )&0\\\sin(\vartheta )&\cos(\vartheta )&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

ahol $\vartheta$ az óramutató járásával ellentétes irányú szög az x,y illetve z tengely körüli forgatásokban.

Mindezek a mátrixok négyzetesek, ortogonálisak, és determinánsuk +1. Megfordítva, az ilyen mátrixok forgatómátrixok, azaz a hozzájuk tartozó lineáris leképezés forgatás. Euler tétele szerint a tér minden pozitív ortogonális transzformációja előáll a koordinátatengelyek körüli forgatások szorzataként.

Két és három dimenzióban vannak más reprezentációk is. Síkban komplex számokkal, térben kvaterniókkal is le lehet írni őket.

Csoportelmélet

• Az egy középpont körüli forgatások csoportot alkotnak.
• Egy síkbeli alakzatot önmagába vivő forgatások csoportot alkotnak. Ez az alakzat forgatáscsoportja.

Az ilyen csoportok lehetnek folytonosak vagy diszkrétek. A diszkrét forgatáscsoportok ciklikusak.

Kapcsolódó szócikkek

• Szimmetria
• Csoportelmélet
• Tükrözés

Források

• https://web.archive.org/web/20080215214054/http://lexikon.fazekas.hu/123
• https://web.archive.org/web/20081021092706/http://web.axelero.hu/ebalog/matektetel.htm
• https://web.archive.org/web/20110926082024/http://www.geo.u-szeged.hu/~bodis/maths/szakdolgozat/#2.2
• https://web.archive.org/web/20160308051506/http://kemeny-eger.sulinet.hu/public/doks/matematika/tetel15.pdf
• https://web.archive.org/web/20081109194722/http://bel.freeweb.hu/e3/matek2.html (Megszűnt a lap. Te is segíthetsz megfelelő hivatkozást találni!)
• https://web.archive.org/web/20081104062923/http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/sik/siktraf/siktraf.htm eltolás és forgatás szorzata
• https://web.archive.org/web/20130329103526/http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/rozsa/rozsaabl.html az absztrakt algebrához
• https://web.archive.org/web/20081210183650/http://www.math-inst.hu/~carlos/geo2ttem.html transzformációcsoportok
• Transzformációcsoportok bővebben
• https://web.archive.org/web/20080626081453/http://vili.pmmf.hu/jegyzet/analgeom/12.html a térbeli koordináta-rendszer elforgatása
• http://zeus.nyf.hu/~kovacsz/app01.pdf Archiválva 2007. február 26-i dátummal a Wayback Machine-ben ortogonális transzformációk a térben
• https://web.archive.org/web/20080603080105/http://www.pharmachip.hu/zyx/old/hiperter/4dgeo.htm magasabb dimenziók
• https://web.archive.org/web/20080616192331/http://www.ngkszki.hu/~trembe/szakdoga/05.htm reprezentáció komplex számokkal
• http://files.szt.ektf.hu/dl.php?file=files%2FTan%C3%A1ri+Megoszt%C3%A1sok%2FKov%C3%A1cs+Em%C5%91d%2Fgrafika%2F!Komputergrafika+vizsga+seg%C3%A9danyagjai%2FKrammer+jegyzet+v%C3%A1ltozat%2FG4ADO-Mellekletek.rtf reprezentáció kvaterniókkal