Անորոշ ձև

Մաթեմատիկական անալիզում, սովորաբար հնարավոր է հաշվել երկու ֆունկցիաների գումարի, տարբերության, արտադրյալի, քանորդի կամ աստիճանի սահմանը՝ յուրաքանչյուր ֆունկցայի սահամանը հշավելու և արդյունքները համախատասխան գործողությամբ միացնելու միջոցով։ Օրինակ,

${\begin{aligned}\lim _{x\to c}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}&=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x),\\[3mu]\lim _{x\to c}{\bigl (}f(x)g(x){\bigr )}&=\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x),\end{aligned}}$

այս սկզբունքը կարելի է կիրառել այլ թվաբանական գործղոությունների համար ևս։ Սա երբեմն կոչվում է հանրահաշվական սահմանի թեորեմ։ Այնուամենայնիվ, որոշ սահմաններ չեն կարող այս կերպ հաշվարկվել, և յուրաքանչյուր ֆունկցիայի սահմանն առանձին իմանալը բավարար չէ գումարի սահմանը որոշելու համար։ Այս կոնկրետ իրավիճակներում ասում են, որ արտահայտությունը ներկայացնում է համապատասխանաբար

${\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ կամ }}\infty ^{0},$

տեսքի անորոշություն, որտեղ յուրաքանչյուր արտահայտություն նշանակում է ֆունկցիայի սահման, որը կառուցված է երկու ֆունկցիաների թվաբանական գործողության միջոցով, որոնց սահմանները համապատասխանաբար ձգտում են 0-ի, 1-ի կամ $\infty$-ի։

Այս անորոշ ձևերից որևէ մեկն ընդունող սահմանը կարող է ձգտել զրոյի, կարող է ձգտել դեպի ցանկացած վերջավոր արժեք, կարող է ձգտել անվերջության կամ կարող է տարամետ լինել՝ կախված թվականական գործողության մաս կազմող ֆունկցիաներից։ Սահմանի օրինակ, որը միանշանակորեն ձգտում է անվերջության, բայց չի համարվում անորոշ ${\textstyle \lim _{x\to 0}1/x^{2}=\infty }$ է։ Տերմինն ի սկզբանե ներմուծվել է Կոշիի աշակերտ Մոյնոյի կողմից 19-րդ դարի կեսերին։

Անորոշ ձևի ամենատարածված օրինակը երկու ֆունկցիաների քանորդն է, որոնցից յուրաքանչյուրը զուգամիտում է զրոյի։ Այս անորոշ ձևը նշվում է $0/0$-ով։ Օրինակ, երբ 𝑥-ը ձգտում է 0-ի, $x/x^{3}$, $x/x$, և $x^{2}/x$ հարաբերությունները համապատասխանաբար ձգտում են $\infty$-ի, $1$-ի և $0$-ի։ Յուրաքանչյուր դեպքում, եթե համարիչի և հայտարարի սահմանները փոխարինվեն, կստացվի $0/0$ տեսքի անորոշություն։ Այս առումով, $0/0$ կարող է հավասար լինել $0$-ի, $1$-ի կամ $\infty$-ի՝ կախված համարիչի և հայտարարի ֆունկցիաների ընտրությունից։ Ավելի, կամայական $a$ իրական թվի համար կարելի է գտնել ֆունկցիաների զույգ, որոնց հարաբերության սահմանը անարոշ ձև է, սակայն հավասար է $a$-ի։ Հետաքրքրական է, որ գոյություն ունեն $0/0$ տեսքի անորոշություններ, որոնք տարամիտում են, բայց չեն ձգտում անվերջության, օրինակ՝ $x\sin(1/x)/x$.

Այսպիսով, այն փաստը $f(x)$ և $g(x)$ և ֆունկցիաները ձգտում են $0$-ի, երբ $x$-ը ձգտում է 𝑐-ի, բավարար չէ $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ սահմանը որոշելու համար։

Սահմանի կոնտեքստից դուրս տեղին չէ նման տիպի արտահայտությունները անվանել անորոշ ձև։ Օրինակ՝ $0^{0}$ արտահայտության սահմանված լինելու կամ մեկի հավասար լիենլու կախված է տվյալ բնագավառի և հեղինակի խնդրից, սակայն այն անորոշ ձև են անվանում միայն այն դեպքում, երբ խոսքը սահմանների մասին է։ Նշենք, որ $0^{\infty }$ և անվերջություն պարունակող այլ արտահայտությունները անորոշ ձևեր չեն։

Որոշ օրինակներ

0/0 տեսի անորոշություն

• 
  Նկար. 1: y = xx
• 
  Նկար. 2: y = x²x
• 
  Նկար. 3: y = sin xx
• 
  Նկար. 4: y = x − 49√x − 7 (x = 49 դեպքում)
• 
  Նկար. 5: y = axx որտեղ a = 2
• 
  Նկար. 6: y = xx³

$0/0$ տեսքի անորոշությունը շատ տարածված է, քանի որ այն հաճախ առաջանում է ըստ սահմանման ածանցյալի հաշվվմանն ժամանակ։

Ինչպես նշվեց վերևում,

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad$ (տես նկար 1)

իսկ

$\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad$ (տես նկար 2)

Սա բավարար է ցույց տալու համար, որ $0/0$ անորոշ ձև է։ Այս անորոշ ձևով այլ օրինակներ ներառում են՝

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad$ (տես նկար 3)

և

$\lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad$ (տես նկար 4)

մինչդեռ սա բավական է ցույց տալու համար $0/0$ iանորոշ ձև է։ Այս անորոշ ձևով այլ օրինակներ ներառում են թվի ուղղակի փոխարինում $x$-ով։ Այս արտահայտություններից որևէ մեկի մոտեցումները ցույց են տալիս, որ սրանք օրինակներ են, որոնք համապատասխանում են անորոշ ձևին $0/0$, բայց այս սահմանները կարող են ենթադրել շատ տարբեր արժեքներ, ցանկալի արժեք 𝑎 ։ Այս անորոշ ձևի $\infty$ համար, կարելի է նաև արժեք ստանալ (անսահմանության շեղման իմաստով)։

Անորոշ ձև 0⁰

• 
  Նկար 7
• 
  Նկար 8

Հետևյալ սահմանները ցույց են տալիս, որ $0^{0}$արտահայտությունը անորոշ ձև է։

Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ, իմանալով, որ $\textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0$ and $\textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0$ սահմանը գնահատելու համար բավարար չէ։

Եթե ֆունկցիաներ $f$ և $g$ վերլուծական են $c$-ին և $f$ -ի համար դրական է 𝑥  բավականաչափ մոտ (բայց ոչ հավասար) 𝑐, ապա սահման $f(x)^{g(x)}$ կլիմի $1$։ Հակառակ դեպքում սահմանը գնահատելու համար օգտագործեք ստորև բերված աղյուսակի փոխակերպումը։

Արտահայտություններ, որոնք անորոշ ձևեր չեն

Արտահայտությունը $1/0$ սովորաբար չի դիտվում որպես անորոշ ձև, եթե սահման $f/g$ գոյություն ունի, ապա դրա արժեքի վերաբերյալ երկիմաստություն չկա, քանի որ այն միշտ տարբերվում է։ Մասնավորապես, եթե $f$ ձգտում է $1$ և $g$ ձգտում է $0,$ ապա $f$ և $g$ կարող է ընտրվել այնպես, որ.

1. $f/g$ ձգտում է $+\infty$,
2. $f/g$ ձգտում է $-\infty$;
3. Սահմանը գոյություն չունի։

Յուրաքանչյուր դեպքում բացարձակ արժեքը $|f/g|$ ձգտում է $+\infty$, և այսպես գործակիցը $f/g$ պետք է շեղվի՝ ընդլայնված իրական թվերի իմաստով (պրոյեկտիվ ընդլայնված իրական գծի շրջանակներում սահմանը անստորագիր անվերջությունն է $\infty$ բոլոր երեք դեպքերում)։ Նման ձևի ցանկացած արտահայտություն $a/0$ -ն $a\neq 0$ հետ (այդ թվում $a=+\infty$ և $a=-\infty$) անորոշ ձև չէ, քանի որ նման արտահայտություն առաջացնող գործակիցը միշտ տարբերվելու է։

$0^{\infty }$ արտահայտությունը անորոշ ձև չէ. Արտահայտություն՝ $0^{+\infty }$ հաշվի առնելով ստացված $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}$ տալիս է $0,$ սահման պայմանով, որ $f(x)$ մնում է ոչ բացասական, քանի որ $x$ ձգտում է $c$։ Արտահայտություն՝ $0^{-\infty }$ նմանապես համարժեք է $1/0$; եթե $f(x)>0$ ինչպես 𝑥  ձգտում է 𝑐, սահմանը ստացվում է $x$ ձգտում է $c$, սահմանը ստացվում է $+\infty$։

Տեսնելու համար, թե $L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},$ որտեղ $\lim _{x\to c}{f(x)}=0,$ և $\lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .$ Վերցնելով երկու կողմերի բնական լոգարիթմը և օգտագործելով $\lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,$ մենք դա ստանում ենք $\ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,$ նշանակում է, որ $L={e}^{-\infty }=0.$

Անորոշ ձևերի գնահատում

Անորոշ ածանցյալը չի նշանակում, որ սահմանը գոյություն չունի, ինչպես ցույց են տալիս վերը նշված օրինակներից շատերը։ Շատ դեպքերում, հանրահաշվական մոտարկումը, Լոպիտալիի կանոնը կամ այլ մեթոդներ կարող են օգտագործվել արտահայտությունը շահարկելու համար, որպեսզի սահմանը հնարավոր լինի գնահատել։

Անսահման փոքրին համարժեք

Երբ երկու փոփոխական $\alpha$ և $\beta$ նույն սահմանային կետում ձգտում են զրոյի և $\textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1$,դրանք կոչվում են համարժեք անվերջ փոքր (համարժեք. $\alpha \sim \beta$).

Ընդ որում, եթե փոփոխականներ $\alpha '$ և $\beta '$ այնպիսին են, որ $\alpha \sim \alpha '$ և $\beta \sim \beta '$։

Ահա մի հակիրճ ապացույց.

Ենթադրենք կան երկու համարժեք անվերջ փոքրեր $\alpha \sim \alpha '$ և $\beta \sim \beta '$.

$\lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}$

Անորոշ ձևի գնահատման համար $0/0$, կարելի է օգտագործել հետևյալ փաստերը համարժեք անվերջ փոքրերի վերաբերյալ (օրինակ., $x\sim \sin x$ եթե x մոտենում է զրոյին)։

Օրինակ,

${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}$

2-րդ հավասարության մեջ, $e^{y}-1\sim y$,որտեղ $y=x\ln {2+\cos x \over 3}$ երբ y-ը մոտենում է 0-ին և $y\sim \ln {(1+y)}$,որտեղ $y={{\cos x-1} \over 3}$ օգտագործվում է 4-րդ հավասարության մեջ, և $1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}$ օգտագործվում է 5-րդ հավասարության մեջ։

Լոպիտալի կանոն

Լոպիտալի կանոնը անորոշ ձևերի $0/0$ և $\infty /\infty$ գնահատման ընդհանուր մեթոդ է։ Այս կանոնը սահմանում է, որ (համապատասխան պայմաններում) $f'$ և $g'$, $f$ և $g$-ի ածանցյալները (Նկատի ունեցեք, որ այս կանոնը չի տարածվում $\infty /0$, $1/0$ և այլ արտահայտությունների վրա, քանի որ այս արտահայտությունները անորոշ ձևեր չեն)։ Այս ածանցյալները թույլ կտան կատարել հանրահաշվական պարզեցում և ի վերջո գնահատել սահմանը։

Լոպիտալի կանոնը կարող է կիրառվել նաև այլ անորոշ ձևերի վրա՝ նախ օգտագործելով համապատասխան հանրահաշվական փոխակերպումը։ Օրինակ՝ ձևը գնահատելու համար և այլն, քանի որ այս արտահայտությունները անորոշ ձևեր չեն:) Այս ածանցյալները թույլ կտան կատարել հանրահաշվական պարզեցում և ի վերջո գնահատել սահմանը։

Լոպիտալի կանոնը կարող է կիրառվել նաև այլ անորոշ ձևերի վրա՝ նախ օգտագործելով համապատասխան հանրահաշվական փոխակերպումը։ Օրինակ՝ 0⁰ ձևը գնահատելու համար։ Աջ կողմը ձև է $\infty /\infty$, Լոպիտալի կանոնը կիրառվում է դրա համար. Նկատի ունեցեք, որ այս հավասարումը վավեր է (քանի դեռ սահմանված է աջ կողմը), քանի որ բնական լոգարիթմ (ln) շարունակական ֆունկցիա է. կապ չունի, թե որքան լավ է իրեն պահում 𝑓  և 𝑔  կարող է (կամ չի կարող) լինել այնքան ժամանակ, որքանմ 𝑓  ասիմպտոտիկ դրական է։ (լոգարիթմների տիրույթը բոլոր դրական իրական թվերի բազմությունն է)։

Չնայած Լոպիտալի կանոնը վերաբերում է երկուսին էլ $0/0$ և $\infty /\infty$, Այս ձևերից մեկը կարող է ավելի օգտակար լինել, քան մյուսը կոնկրետ դեպքում (հետագայում հանրահաշվական պարզեցման հնարավորության պատճառով)։ Կարող է փոխվել այս ձևերի միջև՝ փոխակերպվելով $f/g$ to $(1/g)/(1/f)$։

Անորոշ ձևերի ցանկ

Հետևյալ աղյուսակը թվարկում է ամենատարածված անորոշ ձևերը և Լոպիտալի կանոնը կիրառելու եղանակները,

Անորոշ ձև	Պայմաններ	Փոխակերպում դեպի $0/0$	Փոխակերպում դեպի $\infty /\infty$
$0$$0$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty$$\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$	—
$0\cdot \infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty -\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$
$0^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$1^{\infty }$	$\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
$\infty ^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$