Ֆունկցիոնալ անալիզ

Ֆունկցիոնալ անալիզ, արդի մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է անվերջ չափանի տարածություններն ու նրանց արտապատկերումները։ Ֆունկցիոնալ անալիզում հանրահաշվի, տոպոլոգիայի և դասական մաթեմատիական անալիզի գաղափարների ու մեթոդների հիման վրա կառուցվում են աքսիոմատիկորեն սահմանված վերացական օբյեկտների տեսություններ, որոնք մի կողմից պարունակում են դասական խնդիրները որպես մասնավոր դեպքեր և մյուս կողմից նշում մեթոդներ՝ նոր, ավելի բարդ խնդիրների լուծման համար։ Ֆունկցիոնալ անալիզի վերացական մեթոդները թույլ են տալիս առանձնացնել, հստակեցնել ուսումնասիրվող օբյեկտները, նրանց հատկությունները, փոխադարձ կապը, դեն նետել կոնկրետությունը պայմանավորող ավելորդությունները, դրանով իսկ ընձեռել էապես ավելի խոր ուսումնասիրության և նոր օրինաչափությունների հայտնաբերման հնարավորություններ։

Վերացական ֆունկցիոնալ տարածություններ

Ֆունկցիոնալ անալիզում ուսումնասիրվող ամենաընդհանուր տարածություններն են գծային տոպոլոգիական տարածությունները (ԳՏՏ), այսինքն՝ գծային տարածություններ (իրական կամ կոմպլեքս $\mathbb {C}$ դաշտի նկատմամբ), որոնք օժտված են այնպիսի տոպոլոգիայով, որի նկատմամբ գծային օպերատորներն անընդհատ են։ ԳՏՏ-ի մասնավոր, բայց շատ կարևոր ու հաճախ հանդիպող դեպք է X գծային նորմավորված տարածությունը (ԳՆՏ), որում յուրաքանչյուր $x\in X$-ի համար սահմանված է ոչ բացասական $||x||$ թիվ (կոչվում է x-ի նորմ) այնպես, որ $||x||=0\iff x=0,||\lambda x||=|\lambda |||x||$, երբ $\lambda \in \mathbb {C} ,||x+y||\leq ||x||+||y||$ և $x_{n}\to x_{0}\iff ||x_{n}-x_{0}||\to 0$։ Ակնհայտ է, որ նորմի հասկացությունը սովորական եռաչափ վեկտորի երկարության ընդհանրացումն է։ Եթե $X$ ԳՆՏ-ում մուծվի մետրիկա՝ $X$-ին պատկանող ցանկացած $(x,y)$ կարգավորյալ զույգին համապատասխանեցնելով $\rho (x,y)=||x-y||$, ապա $(X,\rho )$-ն կլինի մետրիկական տարածություն։ Հատկապես կարևոր են այն $X$ ԳՆՏ, երբ $(X,\rho )$-ն լրիվ մետրիկական տարածություն է․ այդ դեպքում $X$-ը կոչվում է բանախյան տարածություն։ Ֆունկցիոնալ անալիզի կարևորագույն օպերացիաներից են լրիվացման, տարածությունների օրթոգոնալ կամ ուղիղ գումարի, տենզորական արտադրյալի, տարածության ֆակտորացման, տարածությունների ինդուկտիվ և պրոյեկտիվ սահմանների օպերացիաները, որոնք բարդ կառուցվածքի տարածությունների ուսումնասիրությունը հանգեցնում են էապես ավելի պարզերի ուսումնասիրության։

Գծային օպերատորներ և ֆունկցիոնալներ

$A:X\to Y$ արտապատկերումը, որտեղ $X,Y$-ը ԳՏՏ են, կոչվում է գծային անընդհատ օպերատոր, եթե յուրաքանչյուր $x,y\in X,\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ համար $A(\alpha x+\beta y)=\alpha A(x)\to \beta A(y)$ և եթե $x_{n}\to x_{0}$ $X$-ում, ապա $A(X_{n})\to A(x_{0})$ $Y$-ում։ Եթե $X,Y$-ը բանախյան տարածություններ են, ապա $A$-ի անընդհատությունից բխում է, որ այն սահմանափակ է և, ընդհակառակը, այսինքն՝ $||A||=Sup||Ax||<\infty$: Բոլոր այդ $||x||=1$ պիսի $A$ օպերատորների $L(X,Y)$ համախմբությունը կկազմի մի նոր բանախյան տարածություն, եթե հանրահաշվական օպերացիաները սահմանվեն սովորականձևով, իսկ $A$-ի նորմ համարվի $||A||$-ն։ Մասնավոր (բայց շատ կարևոր) դեպքում, երբ $Y$-ը միաչափ է, դիտարկվում են $l:X\to \mathbb {C}$ գծային անընդհատ օպերատորներրը, որոնք կոչվում են գծային անընդհատ ֆունկցիոնալներ, իսկ $L(X,\mathbb {C} )$ բանախյան տարածությունը նշանակում են $X'$ և անվանում $X$-ին համալուծ տարածություն։ Եթե $X=H$-ը հիլբերտյան է, ապա յուրաքանչյուր $linH'$ ներկայացվում է $(x,a)$ սկալյար արտադրյալով և $H'$-ը լինում է $H$-ին իզոմորֆ (Ռիսի թեորեմը)։ Սկզբունքային է նաև Հանի-Բանախի թեորեմը՝ եթե $L\in M'$, որտեղ $M$-ը $X$ ԳՆՏ-ի ենթատարածություն է, ապա $l$-ը կարելի է շարունակել մինչև $X$-ին պատկանելը առանց նորմի մեծացման։ Հատկապես կարևոր դաս են կազմում կոմպակտ (լիովին անընդհատ) օպերատորները, որոնք $X$-ի ամեն մի սահմանափակ բազմությունարտապատկերում են այնպիսի բազմության, որի փակումը Y-ում կոմպակտ է (օրինակ, Ֆրեդհոլմի ինտեգրալ օպերատորը)։ Ֆունկցիոնալ անալիզի ամենակարևոր բաժիններից են օպերատորների սպեկտրայինտեսությունը, ընդհանրացված ֆունկցիաների, բանախյան հանրահաշիվների, տոպոլոգիական խմբերի գծային ներկայացումների տեսությունները և ոչ գծային ֆունկցիոնալ անալիզը, որոնք կարևոր դեր են խաղում արդի մաթեմատիկայում և նրա բազմաթիվ կիրառություններում, հատկապես քվանտային մեխանիկայում և դաշտի քվանտային տեսությունում։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 12, էջ 740)։