BAB I

PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Vektor merupakan salah satu materi yang diajarkan pada siswa SMA, terutama
bagi siswa program IPA. Vektor disajikan dalam dua mata pelajaran yaitu Fisika dan
Matematika, dua mata pelajaran yang biasa dianggap sebagai mata pelajaran yang
dianggap sulit oleh siswa.
Bicara tentang fungsi vektor, ada baiknya jika kita tahu terlebih dahulu apa itu
vektor. Kita mengenal vektor sebagai sebuah besaran yang memiliki nilai dan arah.
Sedangkan dalam matematika, vektor adalah anggota dari ruang vektor. Secara
geometris, vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis
menyatakan besar vektor dan anak panah menyatakan arah vektor.
Pada dasarnya, setiap bagian dari matematika memiliki fungsi masing-masing.
Baik fungsi matematisnya, penerapannya dalam kehidupan maupun kaitannya dengan
ilmu agama. Tidak terkecuali dengan vektor. Secara matematis, kita kadang-kadang
menyatakan bahwa sebuah fungsi vektor A (x,y,z) mendefinisikan suatu medan vektor
karena mengaitkan suatu vektor dengan setiap titik di suatu daerah. Sementara dari
aplikasi vector banyak diterapkan dalam Fisika.
Dalam makalah ini akan dibahas lebih lanjut mengenai sejarah, pengertian,
penulisan, operasi, serta aplikasi yang berkaitan dengan kajian vektor.
1.2. Rumusan Masalah
1. Bagaimanakah sejarah munculnya vektor?
2. Apakah pengertian dari besaran skalar dan besaran vektor dan bagaimana notasi
penulisanya?
3. Apakah yang disebut dengan kesamaan 2 vektor, vektor posisi, vektor satuan,
dan vektor basis?
4. Bagaimana mengoperasikan penjumlahan, pengurangan dan selisih dalam
vektor?
5. Apa yang dimaksud dengan tiga titik segaris dan letak pembagiannya dalam
vektor?
6. Bagaimana persamaan garis yang melalui dua dan tiga titik di R2 dan R3?
7. Bagaimanakah vektor yang bebas linear dan bergantung linear itu?
8. Apa yang termasuk aplikasi vektor pada Fisika?
1.3. Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah :
1. Dapat mengetahui sejarah munculnya vektor.
2. Dapat mengetahui pengertian dari besaran skalar dan besaran vektor dan
bagaimana notasi penulisanya.
1

3. Dapat mengetahui mengenai kesamaan 2 vektor, vektor posisi, vektor satuan, dan
vektor basis.
4. Dapat mengoperasikan penjumlahan, pengurangan dan selisih dalam vector.
5. Dapat mengetahui mengenai tiga titik segaris dan letak pembagiannya dalam
vector.
6. Dapat mengetahui persamaan garis yang melalui dua dan tiga titik di R2 dan R3.
7. Dapat mengetahui vektor yang bebas linear dan bergantung linear.
8. Dapat mengetahui aplikasi vektor pada Fisika.

BAB II
PEMBAHASAN
2.1.

SEJARAH VEKTOR
Vektor mengalami perjalanan panjang sebelumnya akhirnya dikenal sebagai konsep
keilmuan. Konsep mengenai vektor sendiri sangat tertutup bahkan asal-usulnya pun tidak
banyak diketahui. Hal ini menjadi penyebab utama Isaac Newton menciptakan sebuah
karya yang berjudul Principia Mathematica. Dalam Principia, Newton mengemukakan
vektor secara luas dengan apa yang sekarang dianggap benar adanya (misalnya, kecepatan,
kekuatan), tetapi hal ini bukanlah konsep dari sebuah vektor.
Vektor lahir dalam dua dasawarsa pada abad ke-19 dengan gambaran geometris dari
bilangan kompleks. Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822), Carl
Friedrich Gauss (1777-1855), dan setidaknya satu atau dua orang lainnya menyatakan
bahwa bilangan kompleks berfungsi sebagai titik dalam bidang dua dimensi yaitu sebagai
vektor dua dimensi. Matematikawan dan ilmuwan bekerja sama lalu menerapkan bilanganbilangan baru dalam berbagai cara. Misalnya, pada 1799 Carl Friedrich Gauss
mengungkapkan pentingnya dari bilangan kompleks untuk membuktikan teorema dasar
aljabar.
Pada 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865)
menunjukkan bahwa bilangan kompleks dapat dianggap abstrak
sebagai pasangan terurut (a,b) bilangan real. Ide ini merupakan
bagian dari langkah matematikawan, termasuk Hamilton sendiri.
Mereka mencari cara untuk memperluas "bilangan" dua dimensi
atau tiga dimensi, tetapi dengan tetap mempertahankan sifatsifat aljabar dasar dan bilangan kompleks pada kenyataanya
William Rowan Hamilton

tidak ada yang mampu mencapai hal ini.

Pada 1827, August Ferdinand Mbius menerbitkan sebuah

buku pendek dengan judul The Barycentric Calculus, dimana ia
memperkenalkan segmen garis yang diarahkan dan dilambangkan
dengan huruf abjad. Dalam studinya mengenai pusat gravitasi dan
geometri proyektif, Mbius mengembangkan aritmatika segmen garis i
ni dengan mengarahkan, menambahkan dan menunjukkan bagaimana
untuk melipatgandakan segmen garis aritmatika dengan bilangan real.
Karena pada kenyataannya tidak ada orang lain yang peduli untuk
memperhatikan betapa pentingnya perhitungan ini. Hingga akhirnya

August Ferdinand Mbius

Hamilton menyerah untuk mencari sistem "bilangan" tiga dimensi tersebut dan sebagai
gantinya ia menciptakan sebuah sistem empat dimensi yang ia sebut dengan quaternions.
Dalam quaternions Hamilton menulis, q = w + ix + jy +kz dimana w, x, y, dan
z adalah bilangan real. Hamilton menyadari bahwa quaternions miliknya terdiri dari dua
bagian yang berbeda. Istilah pertama, ia disebut skalar dan x, y, z untuk tiga komponen
persegi panjang, ia merasa dirinya telah terdorong untuk menyatakan lambang trinomial
serta baris yang mewakili sebuah vektor. Untuk mengembangkan quaternions miliknya
Hamilton menggunakan rumus dasarnya dimana:

i2

j2

k2

= i j k = 1, ia

pun mengetahui bahwa produk miliknya, q1 q 2 = q 2 q 1 tidak komutatif.

Quaternions (1866), secara terperinci bukan hanya aljabar
quaternions

tetapi

juga

bagaimana

formula

ini

dapat

digunakan dalam geometri. Pada suatu kesempatan, Hamilton

menulis, Saya harus menegaskan bahwa penemuan ini
tampaknya

menjadi

sama

pentingnya

pada

pertengahan

abad kesembilan belas serta sebagai penutupan pada abad ketujuh

belas. Ini juga merupakan penemuan yang akan mengalami
perubahan secara terus menerus. Dia juga memiliki seorang
murid yang bernama Peter Guthrie Tait (1831-1901) yang pada
tahun 1850-an mulai menerapkan quaternions untuk masalah listrik dan magnet dan
masalah lain dalam fisika. Sampai akhirnya pada pertengahan abad ke-19, quaternions
mendapatkan reaksi keras baik positif maupun negatif dari komunitas ilmiah lain.
Pada waktu yang bersamaan saat dimana Hamilton menemukan Quaternions,
Hermann Grassmann (1809-1877) juga telah menyusun The Calculus of Extension (1844)
yang sekarang dikenal dengan judul Jermannya yakni Ausdehnungslehre. Pada 1832,
Grassmann mulai mengembangkan Kalkulus Geometris Baru" sebagai bagian dari studi
3

tentang teori pasang surut, dan ia kemudian menggunakan alat ini

untukmenyederhanakan bagian dari dua karya klasik yakni Mekanika
Analitik dari Joseph Louis Lagrange (1736-1813) dan Mekanika
Celestial dari Pierre Simon Laplace (1749-1827).
Dalam Ausdehnungslehre, pertama, Grassmann

memperluas

dari konsep vektor yang telah dikenal yaitu dua atau tiga dimensi, ndimensi, ini sangat memperluas ruang daya pikir. Kedua bahkan lebih
umum, Grassmann mengembangkan banyak matriks modern, linear

Hermann Grassmann

aljabar, vektor dan analisis tensor. Sayangnya, Ausdehnungslehre memiliki dua kelemahan
akan hal itu. Pertama, teorinya sangat abstrak, kurang jelas dalam contoh dan ditulis dalam
gaya notasi yang terlalu rumit. Bahkan setelah ia memberikan studi yang serius, Mbius
tidak dapat memahami sepenuhnya. Kedua, Grassmann adalah seorang guru sekolah
menengah

tanpa

reputasi

ilmiah

besar

(dibandingkan

dengan

Hamilton). Meskipun karyanya diabaikan, Grassmann mempromosikan karyanya pada

1840-an dan 1850-an dengan aplikasi untuk elektrodinamika dan geometri kurva dan
permukaan, tetapi tanpa banyak mendapatkan pengakuan dari publik. Pada tahun 1862,
Grassmann menerbitkan edisi revisi kedua dari Ausdehnungslehre, tapi itu terlalu samarsamar tertulis dan terlalu abstrak untuk matematika pada waktu itu, hingga mengalami
nasib yang serupa seperti edisi pertama. Dalam tahun-tahun terakhir hidupnya, Grassmann
berpaling dari matematika dan meluncurkan karier penelitian kedua hingga meraih sukses
dalam ilmu fonetik dan linguistik komparatif. Akhirnya, pada akhir 1860-an dan 1870-an,
Ausdehnungslehre perlahan mulai dipahami dan dihargai, sehingga Grassmann mulai
menerima beberapa pengakuan yang menguntungkan untuk matematika visioner. Edisi
ketiga dari Ausdehnungslehre diterbitkan pada tahun 1878, setahun setelah itu Grassmann
pun meninggal dunia.

Selama pertengahan abad kesembilan belas, Benjamin

Peirce

(1809-1880), seorang

matematikawan

yang

paling

menonjol di Amerika Serikat, bahkan ia disebut sebagai titisan

Hamilton. Peirce adalah seorang guru besar matematika dan
astronomi di Harvard pada 1833-1880, dan ia menulis sebuah
sistem besar Mekanika Analitik pada 1855 hingga edisi kedua
ditulis pada 1872, secara mengejutkan temuannya ini tidak
termasuk dalam quaternions. Sebaliknya, Peirce memperluas
Benjamin Peirce

pada apa yang ia sebut "Keindahan Ruang Aljabar" dalam

menyusun Linear Associative Algebra (1870), karya aljabarnya benar-benar abstrak.

Padahal kabarnya, quaternions telah menjadi subjek favorit Peirce
. James Clerk Maxwell (1831-1879) adalah pendukung cerdas dan kritis pada
quaternions. Maxwell dan Peter Guthri Taits adalah warga Negara Skotlandia dan pernah
belajar bersama di Edinburgh dan di Cambridge University, mereka berbagi pengetahuan
dalam fisika matematika. Dalam apa yang disebut "klasifikasi matematika dari kuantitas
fisik", Maxwell membagi variabel fisika ke dalam dua kategori, skalar dan vektor.
Kemudian, dalam hal stratifikasi ini, ia menunjukkan bahwa menggunakan quaternions
dibuat transparan analogi matematika dalam fisika yang telah ditemukan oleh Lord Kelvin
(William

ThomsonSir,

1824-1907)

antara

aliran

panas

dan

distribusi

gaya

elektrostatik. Namun dalam catatan-catatannya dan terutama dalam Treatise on Electricity

and Magnetism (1873) Maxwell menekankan pentingnya apa yang ia sebut sebagai Ide
quaternions atau doktrin vektor sebagai metode matematika sebuah metode berpikir. Pada
saat yang sama, dia menunjukkan sifat homogen dari produk quaternions, dan ia
mengingatkan para ilmuwan dari menggunakan "metode quaternions" dengan rincian yang
melibatkan tiga komponen vektor. Pada dasarnya, Maxwell menunjukkan analisis murni
vektor.
William Kingdon Clifford (1845-1879) menyatakan kekaguman yang mendalam
pada

Ausdehnungslehre

milik

Grassmann

yang

ia

sebut

sebagai

langkah

lebih dari quaternions. Dalam Elements of Dinamis (1878), Clifford membagi produk
dari dua quaternions menjadi dua produk vektor yang sangat berbeda, yang disebut produk
skalar (sekarang dikenal sebagai dot product) dan produk vektor (hari ini kita menyebutnya
cross product). Untuk analisis vektor, ia menegaskan "keyakinan prinsip-prinsip yang akan
memberikan pengaruh besar terhadap masa depan ilmu Matematika. Meskipun elemen

dinamis berada pada urutan pertama dari catatan-catatannya, Clifford tidak pernah memiliki
kesempatan untuk mengejar ide-ide ini karena ia meninggal pada usia muda.
Perkembangan aljabar vektor dan analisis vektor seperti
yang kita kenal sekarang ini pertama kali terungkap pada sebuah
catatan luar biasa yang ditulis oleh J. Willard Gibbs. Gibbs
mendapatkan prestasi ilmiah utamanya berada dalam fisika, yaitu
termodinamika. Maxwell sangat mendukung pekerjaan Gibbs
dalam termodinamika, terutama presentasi geometris hasil Gibbs
itu. Gibbs diperkenalkan ke quaternions ketika ia membaca risalah
Maxwell tentang Listrik dan Magnet, dan Gibbs juga belajar
Grassmann Ausdehnungslehre. Dia menyimpulkan bahwa vektor akan memberikan alat
yang lebih efisien untuk karyanya dalam fisika. Jadi, mulai tahun 1881, Gibbs mencetak
catatan pribadinya mengenai analisis vektor untuk murid-muridnya, yang didistribusikan
secara luas bagi para sarjana di Amerika Serikat, Inggris, dan Eropa. Buku pertama pada
analisis vektor modern di Inggris adalah Analisis Vektor (1901), catatan Gibbs disusun
kembali oleh salah satu mahasiswa pascasarjana terakhirnya, Edwin B.Wilson (1879-1964).
Ironisnya, Wilson menerima pendidikan sarjananya di Harvard tempat ia belajar tentang
quaternions dari dosennya, James Mills Peirce (1834-1906), salah satu putra dari Benjamin
Peirce. Buku Gibbs dan Wilson ini dicetak ulang dalam edisi singkat pada tahun 1960.
Kontribusi lain dengan pemahaman modern dan penggunaan vektor dibuat oleh Jean Frenet
(1816-1990).
Pada 1890-an dan dekade pertama abad kedua puluh, Tait dan beberapa orang
lainnya mencemooh vektor dan membela quaternions sementara banyak ilmuwan lain dan
matematikawan merancang metode vektor mereka sendiri. Oliver Heaviside (1850-1925),
seorang ahli fisika otodidak yang sangat dipengaruhi oleh Maxwell. Dalam makalah dan
teori elektromagnetik (tiga jilid, 1893, 1899, 1912) ia menyerang quaternions dan
mengembangkan analisis vektor sendiri. Heaviside telah menerima salinan catatan Gibbs
dan ia berbicara sangat berlebihan dalam memperkenalkan teori Maxwell tentang listrik dan
magnet ke Jerman (1894), metode vektor dan beberapa buku tentang analisis vektor dalam
bahasa Jerman yang menganjurkan untuk diikuti. Hingga pada akhirnya metode vektor ini
mulai

disebarluaskan

pada beberapa

negara misalnya

diperkenalkan

ke Italia pada

1887, 1888, 1897, Rusia pada 1907, dan Belanda (1903).

2.2.

PENGERTIAN VEKTOR DAN SKALAR

6

a. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang atau nilai) saja
atau besaran yang tidak memiliki arah. Misalnya: waktu, suhu, panjang, luas,
volum, massa, dan sebagainya.
b. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang atau nilai) juga
memiliki arah. Misalnya: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet,
medan listrik, dan sebagainya.
Pada besaran skalar berlaku operasi-operasi aljabar, tetapi pada besaran vektor, operasioperasi aljabar tidak berlaku.
2.3.

PENULISAN DAN NOTASI VEKTOR

Penulisan besaran vektor secara internasional disepakati dengan Vektor dinyatakan
dengan huruf latin, misalnya u, u, u (huruf yang ditebalkan) atau u (huruf yang
dimiringkan). Sedangkan untuk besaran skalar dicetak biasa.
Disamping hal ini, besaran vektor digambarkan dengan anak panah. Panjang anak
panah menyatakan nilai besar vektor, sedangkan arah mata panah menyatakan arah vektor.
Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor dan ujung panah disebut titik ujung vektor.
Jika v menyatakan ruas
garis berarah dari A ke B, maka
ditulis dengan lambang v = AB.

Dalam aplikasinya vektor selalu menempati ruang. Untuk menjelaskan fenomena

vektor di dalam ruang dapat digunakan bantuan sistem koordinat untuk menjelaskan besar
dan arah vektor.
Vektor u dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan, misalnya u =

(ab)

, atau u

= (a,b) dengan a = komponen mendatar dan b = komponen vertikal.

Panjang Vektor
Vektor di R2
Misalkan u =

(ab)

, maka panjang (besar, nilai) vektor u ditentukan dengan rumus:

|u|=

a2 +b2
7

Vektor di R3
Misalkan u =

a
b
C

()

, maka panjang (besar, nilai) vektor u ditentukan dengan rumus:

|u|=

2.4.

a2 +b2 +c 2

KESAMAAN VEKTOR
Vektor di R2
Dua buah vektor dikatakan sama, bila besar dan arahnya sama.
Misalkan u =

(ab)

dan v =

(dc )

Jika u = v, maka | u | = | v | dan arah u = arah v, sehingga a = c dan b = d.

Vektor di R3
Dua buah vektor dikatakan sama, bila besar dan arahnya sama.
Misalkan u =

a
b
c

()

dan v =

c
d
e

()

Jika u = v, maka | u | = | v | dan arah u = arah v, sehingga a = c, b = d, dan c = e

2.5.

OPERASI JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR

Vektor Di R2
A. Penjumlahan Vektor
a. Penjumlahan Vektor secara Geometri
Jika dua vektor a dan b

dijumlahkan hasilnya vektor

ditulis

+ b = c . Vektor c sebagai vektor resultan dari vektor a dan b .

a
Secara geometris , penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan menggunakan

aturan segitiga atau dengan aturan jajaran genjang.

1. Menentukan Jumlah Dua Vektor Dengan Aturan Segitiga
Jika diketahui dua buah vektor , misalnya vektor u dan vektor

v ,

maka akan didapatkan penjumlahan dari kedua vektor tersebut.

Jumlah dua vektor u dan v atau u + v = w dapat ditentukan
dengan memindahkan vektor (tanpa mengubah besar dan arah) sehingga
8

u . Vektor w = u + v

pangkal vektor v berimpit dengan ujung vektor

diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan ujung

vektor v yang telah dipindahkan tadi. Perhatikan visualisasi berikut ini!

2. Menentukan Jumlah Dua Vektor Dengan Aturan Jajaran Genjang

Pada aturan jajargenjang, Jumlah dua vektor u dan v atau u + v
= w dapat ditentukan dengan memindahkan vektor (tanpa mengubah besar
dan arah) sehingga pangkal vektor v berimpit dengan ujung vektor

u .

Kemudian dibuat jajargenjang yang kedua sisi berimpit dengan kedua vektor
u

dan v. Vektor w = u + v adalah vektor yang berhimpit dengan diagonal

jajargenjang yang terbentuk dengan pangkal berhimpit dengan pangkal

kedua vektor terakhir, sedang ujungnya terletak pada titik pojok yang
berhadapan dengan titik pangkal. Perhatikan visualisai berikut ini!

3. Penjumlahan Vektor secara Aljabar

Secara analitik (aljabar), penjumlahan dua vektor u =

xb
yb

( )

xa
ya

( )

dan v

dapat dilakukan dengan menjumlahkan komponen- komponen

vektor yang seletak. Jika vektor w merupakan jumlah dua vektor u dan v
atau w = u + v, maka vektor w ditentukan dengan:
xa
x
x + x b
+ b= a
w=u+v=
.
ya
yb
y a + y b

( )( )(

Contoh :
Tentukan hasil penjumlahan dua vektor berikut :
p =

(53)

dan q =

( 49)

Jawab :

p+ q=

(53)
(53)

( 49)
( 49) = (5+3+ 49)

dan q =
+

(129 )

b. Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor

Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor sembarang, pada operasi
penjumlahan vektor berlaku sifat-sifat :
1. Sifat komutatif : u + v = v + u
2. Sifat asosiatif : u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
3. Terdapat unsur identitas , yaitu vektor 0 sehingga u + 0 = 0 + u = u
4. Setiap vektor mempunyai invers jumlah. invers jumlah vektor u ini adalah
lawan dari u , yakni u , sehingga berlaku u + (-u) = (-u) + u = 0
B. Pengurangan Vektor
a. Pengurangan Vektor secara Geometri
1. Menentukan Hasil Pengurangan Vektor Dengan Aturan Segitiga
Sebelumnya, telah dibahas mengenai dua vektor yang berlawanan
yaitu dua vektor yang mempunyai besar sama, tetapi arahnya berlawanan.
Sebagai contoh, vektor u merupakan lawan dari vektor u dan vektor v
merupakan lawan vektor

v. Sementara itu, pada bilangan real berlaku

hubungan u v = u + (-v), dengan v merupakan invers tambah dari v.

Berdasarkan pengertian diatas, jika diketahui dua buah vektor , misalnya
vektor u dan vektor

v , maka u v artinya sama dengan

Pengurangan vektor u dan vektor

u+(v) .

v , atau u v dapat ditentukan dengan

cara :
a. Tentukan lawan vektor v yaitu v
b. Pindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arah) sehingga
pangkal vektor v

berhimpit dengan ujung vektor u. Vektor w = u +

v diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan ujung

vektor v

yang telah dipindahkan tadi. Perhatikan visualisasi berikut

ini!

10

2. Menentukan Pengurangan Vektor Dengan Aturan Jajargenjang

Pengurangan vektor u dan vektor v , atau u v dapat ditentukan dengan
cara memindahkan vektor
pangkal vektor

(tanpa mengubah besar dan arah) sehingga

berhimpit dengan ujung vektor u, kemudian dibuat

jajargenjang yang kedua sisi berhimpit dengan kedua vektor u dan vektor

v .

Vektor w = u + v adalah vektor yang berhimpit dengan diagonal jajargenjang yang

terbentuk dengan pangkal berhimpit dengan pangkal kedua vektor u dan vektor
v , sedang ujungnya terletak pada titik pojok yang berhadapan dengan titik

pangkal. Perhatikan visualisasi berikut ini!

3. Pengurangan Vektor secara Aljabar

Contoh : Tentukan hasil pengurangan vektor ( uv jika diketahui :

u

(53)

dan v

( 49)

Jawab :
u

- v

(53)

()

4
9

(54
39 )

(61 )

Vektor di R3
A. Penjumlahan Vektor
Jika diketahui dua buah vektor, misalnya vektor u =

()
a1
b1
c1

, v =

()
a2
b2
c2

dan

sebuah skalar, misalnya m, maka penjumlahan danpengurangan dapat mengikuti

persamaan berikut:
1. PenjumlahanVektor, u + v =
Contoh :
Tentukan nilai dari persamaan berikut :

11

 9x=x-1

x=5

2y +12 = y -3

y = -15

z6=6z

z = 6;

2. Pengurangan Vektor , u Contoh :

v =

Jadi, nilai x = 5, y = -15 dan z = 6

Tenukan hasil pengurangan vektor uv

5
4
u=
dan v = 9
3
15
8
Jawab :

()

u-

) jika diketahui :

()

v =

12

2.6.

OPERASI

PERKALIAN

BILANGAN

REAL

DENGAN VEKTOR
Vektor di R2
Perhatikan gambar berikut!

Vektor

dapat

diperpendek dan dirubah arahnya. Perubahan vkctor

diperpanjang,
menjadi -2 a
13

, 3 a

dan 5 a

perkalian

tersebut merupakan

vektor

dengan

bilangan

real (skalar).
Jika

bilangan
vektor

sembarang vektor dan k

real

perkalian

dengan k yang ditulis k

adalah

(skalar),
suatu

vektor

yang

panjangnya |k| kali panjang vektor a dengan arah:

1) Untuk k 0 maka ka searah vektor a
2) Untuk k 0 maka ka berlawanan arah vektor a
Secara aljabar, jika diketahui vektor

( xy )
a

dan k bilangan real

(skalar), perkalian vektor

dengan skalar k adalah ka = k

xa
ya

( )

kx a
ky a

( )
Sifat-sifat perkalian vektor dengan skalar
Misalkan

a ,

adalah vektor-vektor sembarang dan p, q

bilangan real skalar), pada operasi perkalian vektor dengan skalar

berlaku sifat-sifat :
1)
2)
3)
4)
5)
6)

p a
=
(pq) a
p (a )
(p + q) a
| p a| =
p ( a +

p
a
= p (q a ) = a (pq)
= p a
= p a + q a
| p||a|
b ) = p a + p b

Contoh :
Diketahui vektor

dan

seperti gambar berikut :

Gambarkan vektor-vektor berikut :

14

1.
2.
3.
4.

2
-2
2
2

a
b
a
a

+ b
- 2 b

Jawab :

Vektor di R3
Jika diketahui dua buah vektor, misalnya vektor

()
a2
b2
c2

()
a1
b1
c1

dan sebuah skalar, misalnya m, maka perkalian vektor dengan

skalar m dapat mengikuti persamaan berikut :

m a1
m b1
m . u =
m c1
Contoh :

( )

15

Diketahui vektor

()
5
3
1

dan vektor

()
2
5
0

. Tentukan 2 a

+ 3 b !
Jawab :
2 a

+ 3 b

=2

()
5
3
1

2.7.

() () ( )

2
10
6
+
5 =
6
15 = =
0
2
0
HUKUM YANG BERLAKU PADA
+3

()

16
9
2
ALJABAR

VEKTOR
Jika A, B, C adalah vektor dan m, n adalah skalar maka:
a.
b.
c.
d.
e.

A+B=B+A
(komutatif terhadap penjumlahan)
A + (B + C) = (A + B) +C (asosiatif terhadap penjumlahan)
mA=Am
(komutatif terhadap perkalian)
m(nA) = (mn)A
(asosiatif terhadap perkalian)
(m+n)A=(mA)+(nA)
(distributif terhadap perkalian)

2.8.
VEKTOR POSISI
Vektor di R2
Vektor posisi dari suatu titik adalah vektor yang titik pangkalnya di
titik O (pangkal koordinat) dan titik ujungnya di titik yang bersangkutan.
Perhatikan gambar berikut :

Vektor di R3
Soal Latihan :
1. Jika

(53)

dan

(42 )

2. Diketahui

a. 2 u

=
v

(94 ) , maka
6
= ( ) dan
8

a
w

(11)

= ...
, tentukan :

16

b. 3( u - v )-( u + v )
3. Diketahui p = 3 i + 6 j

-3 k

dan

= 2 i j

k .

Tentukan :
a. p + q
b. p - q
c. 5 p
1
p
d. 3 q 3
2

4. Jika

( ) ( ) (
5x
2
y 3
2
z

4x
2 y5
z

2 x 4 x +9
y5
6

, maka 2x + y z = ...

2.9.
VEKTOR SATUAN
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan. Vektor satuan u yang searah vektor
a dinyatakan dengan:
a
a

u=
2.10.
VEKTOR BASIS
2
Vektor di R
Vektor sebagai kombinasi vektor satuan. Vektor u dapat dibentuk menggunakan vektor
satuan i dan j, misalkan u = ai + bj
Vektor di R3
z

17

2.11.

TIGA TITIK SEGARIS

2.12.

PEMBAGIAN LUAS GARIS DALAM VEKTOR

18

2.13.

PERSAMAAN GARIS MELALUI DUA TITIK DAN TIGA TITIK

Untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik P (x o.yo.zo) dantitik Q(x,y,z)

dapat dilakukan dengan cara menarik garis lurus dari titik P ke Q. Vektor PQ dapat
dituliskan dalam komponennya,
PQ=(x- xo) i^ + (y- yo) ^j + (z- zo) k^
Perhatikan gambar berikut!

A
r

P (xo.yo.zo)
0

Q (x.y.z)

Vektor posisi r

adalah
^ vektor
^j+cdari

A =a i+b
z^ (0,0,0) ke titik Q(x,y,z) dan vektor posisi r

adalah vektor dari (0,0,0) ke titik P (xo.yo.zo). Dengan menggunakam pengurangan vektor
diperoleh :

PQ=r r

PQ= (x- xo) i^ +(y- yo) ^j +(z- zo) k^

19

Jika garis

PQ ini sejajar dengan sebuah vektor yang diketahui misalnya vektor

^ ^j+c k^ maka kita dapat mengatakan bahwa garis ini merupakan kelipatan dari
A=a i+b
A . Jadi dapat dituliskan :
vektor

PQ=t
A , r r

A
= t

(x- xo) i^ +( x- xo) ^j +(z- zo) k^

= ta i^ +tb ^j +tc k^

Dengan t parameter
Jika dua buah vektor sama besar berarti komponen dari vektor satuan yang sejenis pada
kedua ruas persamaan akan sama besarnya, sehingga diperoleh persamaan
r r o = t
A r o +
A t
Atau
x- xo = ta, y- yo=tb, z-zo =tc
Persamaan ini disebut persamaan garis parametrik. Persamaan parametris ini dapat pula
dituliskan dalam bentuk lain, yaitu:
xx o y y o zz o
=
=
a
a
a
Persamaan garis yang baru ini disebut persamaan garis simetrik.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa kita dapat membuat sebuah persamaan
garis jika kita mengetahui sebuah titik (x o.yo.zo) yang dilewati garis tersebut dan sebuah
^ ^j+c k^
vektor
A=a i+b

2.14.

yang arahnya sejajar dengan garis tersebut.

VEKTOR BEBAS LINIER DAN BERGANTUNG LINEAR

Jika S = { v1, v2, , vn} adalah sebuah himpunan vektor. Vektor-vektor di S

dikatakan bebas linier (linearly independent) jika persamaan:

k1 s1 +k2 s3 ++ kn sn = 0
hanya memiliki penyelesaian k1 = k2 == kn = 0
Jika ada penyelesaian lain untuk nilai k1, k2, , kn selain 0 maka dikatakan vektor-vektor
di S bergantung linier (linearly dependent)
Contoh 1 :
Vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) di dalam R3
20

Komponen-komponen persamaan vektor adalah :

k1 i + k2 j + k3 k = 0
k1 (1, 0, 0) + k2 (0, 1, 0) + k3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0)
Jika diselesaikan, akan di dapatkan bahwa : k1 = 0, k2 = 0 dan k3 = 0
Kesimpulan : Himpunan S = {I, j, k} adalah bebas linier (linearly independent)
Contoh 2 :
Himpunan Vektor-vektor S = { v1, v2, v3} dengan :
v1 = (-2, -1, 0, 3), v2 = (1, 2, 5, -1) dan v3 = (7, -1, 5,8) di dalam R4
Komponen-komponen persamaan vektor adalah :
k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 = 0
k1 (-2, -1, 0, 3) + k2 (1, 2, 5, -1) + k3 (7, -1, 5,8) = (0, 0, 0)
Jika diselesaikan, akan di dapatkan bahwa : k1 = 3, k2 = 1 dan k3 = -1
Atau ditulis : 3v1+ v2- v3 = 0
Kesimpulan : Himpunan S = { v1, v2, v3} bergantung linier (linearly dependent)
Pemahaman :
1. Dua buah vektor di dalam R2 atau R3 tak bebas linier (bergantung linier) jika dan
hanya jika kedua vektor tersebut terletak pada garis yang sama yang melalui titik asal.
2. Tiga buah vektor v1, v2, v3 di R3 yang membentuk himpunan S = { v1, v2, v3} tak bebas
linier jika dan hanya jika ketiga vektor tersebut terletak di dalam bidang yang sama
yang melalui titik asal jika ketiga vektor tersebut ditempatkan dengan titik-titik
permulaannya di titik asal.
3. Tiga buah vektor v1, v2, v3 di R3 tak bebas linier jika dan hanya jika paling sedikit satu
di antara ketiga vektor tersebut adalah kombinasi linier dari vektor yang lain.
4. Tiga buah vektor v1, v2, v3 di R3 tak bebas linier jika dan hanya jika paling sedikit satu
di antara ketiga vektor tersebut berada di dalam ruang yang direntang oleh kedua
vektor yang lain. Tetapi ruang yang direntang oleh sebarang 2 vektor di dalam R3
adalah sebuah garis yang melalui titik asal, atau sebuah bidang yang melalui titik asal,
atau titik asal itu sendiri.
Teorema 6:

21

Misalkan S = { v1, v2, v3} Jika dari v1, v2, , vn, adalah sebuah himpunan vektorvektor di dalam Rn Jika r > n maka S tak bebas linier atau bergantung linier.
Teorema ini mengatakan pada kita bahwa sebuah himpunan di dalam R2 dengan
lebih dari dua vektor adalah sebuah himpunan yang tak bebas linier. Sebuah himpunan di
R3 dengan lebih dari 3 vektor adalah sebuah himpunan yang tak bebas linier.
Soal Latihan :
1. Polinomial-polinomial p1 = 1-x, p2 = 5+3x-22 dan p3 = 1+3x-x2. Tentukan apakah
himpunan vektor polinomial S = {p1, p2, p3} bebas linier atau bergantung linier.
2. v1 = {1, -2, 3}, v2 = {5, 6, -1} dan v3 = {3, 2, 1}. Tentukan apakah vektor-vektor
tersebut membentuk sebuah himpunan yang bebas linier atau himpunan yang tak
bebas linier?
PENERAPAN VEKTOR PADA FISIKA
Vektor dalam Persoalan Fisika
Berikut ini diberikan beberapa contoh sederhana penggunaan analisa vektor dalam

2.15.

persoalan Fisika yang sering dijumpai.

1. Posisi suatu benda pada saat t = 0 dinyatakan dengan r0 = 2i3j+k. Dalam selang
waktu

t = 3 s perpindahan yang dialami benda adalah

r = 3i + 4j + 2k,

maka posisi benda pada saat t = 3 s adalah....

Jawab:
r(t = 3) = r0 + r
= (2i 3j + k) + (3i + 4j + 2k)
= i + j + 3k
2. Sebuah gaya F = i + 3j bekerja pada benda sehingga benda bergerak lurus sejauh 2 m
sepanjang sumbu x. Besar usaha yang oleh gaya F terhadap benda adalah...
Jawab:
W=Fr
= (i + 3j) (2i)
= 2 joule
Sudut antara gaya F dengan arah perpindahan adalah
F.r
|F||r|
2

cos =

( 12 +32 )( 22 )
22

2
1
= 10
2 10 10

arccos

( 101 10)

3. Benda titik bermassa m = 2 kg bergerak sepanjang garis y = 2x + 3 dalam arah

kuadran satu pada bidang koordinat xy dengan laju v = 3 m/s. Arah gerak benda
dapat dinyatakan menggunakan gradien persamaan garis tersebut. Maka vektor
satuan dalam arah garis tersebut adalah:
v^ =

1+2 j
5

Vektor kecepatan benda tersebut adalah...

Jawab:
v =v v^ =

3
(i+ 2 j)
5

4. Momentum sudut terhadap suatu titik tertentu didefinisikan sebagai L = r p

dengan p = mv adalah momentum linier benda dan rnadalah vektor posisi benda
dari titik acuan yang dimaksud. Misalkan posisi awal benda adalah r0 = 3j, maka
posisi benda tiap saat dapat dinyatakan sebagai
r (t )=

3t
6t
i+
+3 j
5 5

Sehingga momentum sudut terhadap titik pusat koordinat O adalah

l=r x p

( ( ) ) (

3t
6t
3 (
i+
+3 j x m
i+2 j )
5
5
5

( 185tm 185tm 9m5 ) k

( 9m5 ) k

5. Sebuah benda bermassa m bergerak dengan kecepatan yang dinyatakan dengan v =

v0xi + v0yj. Energy kinetik tersebut adalah....
1
T = m( v . v)
Jawab:
2

23

1
m( v 0 x i+ v oy j)
2
1
m v2
2
6.

Dalam persoalan kesetimbangan gaya seperti ditunjukkan dalam Gambar

1.15, kesetimbangan terjadi jika jumlah total gaya (ingat bahwa gaya merupakan
besaran vektor) sama dengan nol. Artinya, bila gaya-gaya yang ada diuraikan pada
sumbu-sumbu koordinat (misalnya sumbu x dan sumbu y), maka resultan gaya pada
arah sumbu x sama dengan nol dan demikian juga halnya dengan resultan gaya pada
arah sumbu y. Agar titik O berada dalam keadaan setimbang, maka haruslah F1 +F2
+ F3 = 0. Artinya jumlah gaya dalam arah sumbu x harus sama dengan nol,

ini

memberikan:
F x =F 1 cos F2 cos =0
Demikian halnya dengan jumlah gaya dalam arah sumbu y juga harus sama dengan
0 yang berarti

F x =F 1 sin F 2 sin F 3=0

BAB III
PENUTUP
3.1.

Simpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah, sedangkan skalar
adalah besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Penulisan vektor dapat dengan
huruf kecil dan di garis bawah, atau huruf kecil tebal, huruf kecil dengan tanda
panah di atas dan juga huruf kapitak dengan tanda panah diatasnya. Konsep
kesamaan dua vektor adalah jika keduanya mempunyai panjang dan arah yang
24

sama. Penjumlahan atau pengurangan dua vektor dapat dilakukan secara geometri
dan juga analitik.
3.2.

Saran
Adapun saran yang dapat penulis berikan adalah perlunya pengaplikasian
dari pengetahuan tentang vektor ini di masyarakat luas, untuk memudahkan
pekerjaan masyarakat pula tentunya, sehingga secara tidak langsung akan
meningkatkan taraf hidup bangsa
DAFTAR PUSTAKA

Kariadinata, Rahayu. 2011. Pengantar Aljabar Linier. Bandung: CV. Intan Mandiri.
Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika SMA kelas XII. Jakarta: Erlangga.
http://klompokku.blogspot.com/2013/09/makalah.html
https://lovemathstory.wordpress.com/2012/03/03/analisis-vektor/
http://tomatalikuang.blogspot.com/2013/10/sejarah-vektor.html
https://www.scribd.com/doc/178697539/Makalah-Matematika-Vektor
http://alansileo.blogspot.com/2012/09/makalah-vektor.html

25